2024-2025学年下学期初中数学九年级第二十七章A卷

第27页（共27页）第二十七章A卷一．选择题（共10小题）1．（2024秋•蜀山区校级期末）已知3x＝4y，且x≠0，则下列比例式成立的是（）A．x4=3y B．x+yy=2．（2024秋•济南期末）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠E的度数为（）A．65° B．70° C．80° D．85°3．（2024秋•滨江区期末）若ab=2A．25 B．15 C．13 4．（2024秋•江阴市期末）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．1 B．3 C．9 D．815．（2024秋•南岸区期末）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，如图所示，且相似比为k，则（）A．BDAB=k B．DEBC=k C6．（2024秋•海门区期末）若△ABC∽△DEF，且AB＝10cm，BC＝12cm，DE＝5cm，则EF的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．（2024秋•城关区期末）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为13，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点CA．（2，233） B．（3，3） C．（3，32） D．（238．（2024秋•锦江区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（2024秋•顺德区期末）如图，当点P1、P2、O在同一直线上时，在D1处与D2处测得的视力相同．若b1＝5米，A1A2＝5米，OA2＝3米，则b2是（）米．A．158 B．2 C．3 D．10．（2024秋•行唐县期末）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝120，高AD＝120．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，（阴影部分为正方体展开图），则正方体的棱长为（）A．20 B．24 C．28 D．32二．填空题（共5小题）11．（2024秋•碑林区期末）如图，已知△ABC∽△ACD，∠A＝80°，∠ADC＝60°，则∠B＝．12．（2024秋•响水县期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是m．13．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，已知AC∥BD，AB交CD于O，AOAB=13，OD＝6，则CD的长为14．（2024秋•碑林区校级期末）已知两个相似三角形的周长之比是2：3，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是．15．（2024秋•邛崃市期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②以点D为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠ABC内部交上面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交AC于点E．若BDAD=14，三角形ABC的面积为25，则三角形ADE的面积为三．解答题（共8小题）16．（2024秋•新城区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3）、B（3，1）、C（4，2）．请以原点O为位似中心，在第一象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，并写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．17．（2024秋•丰顺县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的长．18．（2024秋•城关区期末）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AB=7，CD＝2，求19．（2024秋•鄠邑区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：AC2＝AD•AB．20．（2024秋•延津县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2；（3）求以B1，B2，A1，A2为顶点构成的四边形的面积．21．（2024秋•玄武区期末）如图，古城墙进出口的道闸杆AB水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离OA＝1.2m，与另一端点B之间的距离OB＝18m．道闸杆AB绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点A′时，测得点A′到AB的距离为0.8m，此时，点B′到AB的距离是多少？22．（2025•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝5，sinB=35，点D、E在BC的延长线上，联结AD、AE，且AD＝（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长．23．（2024秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若CD=3，BD＝1，求

第二十七章A卷参考答案与试题解析题号12345678910答案BBACBDBDAB一．选择题（共10小题）1．（2024秋•蜀山区校级期末）已知3x＝4y，且x≠0，则下列比例式成立的是（）A．x4=3y B．x+yy=【考点】比例的性质．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】B【分析】利用比例的性质逐项判断即可．【解答】解：已知3x＝4y，且x≠0，则y≠0，那么xy=43，则x+yy=xx-yx=1-yx=1故选：B．【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．2．（2024秋•济南期末）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠E的度数为（）A．65° B．70° C．80° D．85°【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】B【分析】利用三角形内角和定理求出∠B＝70°，再利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝75°，∴∠B＝180°﹣35°﹣80°＝70°，△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E＝70°．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．3．（2024秋•滨江区期末）若ab=2A．25 B．15 C．13 【考点】比例的性质．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】A【分析】由已知条件可得ba=3【解答】解：∵ab∴ba∴a+ba∴aa故选：A．【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．4．（2024秋•江阴市期末）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．1 B．3 C．9 D．81【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，∴△ABC与△DEF面积的比为：1：9，∵△ABC的面积为1，∴△DEF的面积为9，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．（2024秋•南岸区期末）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，如图所示，且相似比为k，则（）A．BDAB=k B．DEBC=k C【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】B【分析】根据相似比的定义确定正确的选项即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，相似比为k，∴DEBC=故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似比的定义，难度不大．6．（2024秋•海门区期末）若△ABC∽△DEF，且AB＝10cm，BC＝12cm，DE＝5cm，则EF的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴EFBC∵AB＝10cm，BC＝12cm，DE＝5cm，∴EF12∴EF＝6．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．7．（2024秋•城关区期末）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为13，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点CA．（2，233） B．（3，3） C．（3，32） D．（23【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】B【分析】先利用位似的性质得到OB：OD＝1：3，则OD＝6，过C点作CH⊥OD于H，如图，根据等腰三角形的性质得到∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，从而得到C点坐标．【解答】解：∵B（2，0），∴OB＝2，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为13∴OB：OD＝1：3，∴OD＝OB＝2×3＝6，过C点作CH⊥OD于H，如图，∵CO＝CD，∠OCD＝120°，∴∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，在Rt△OCD中，CH=33DH∴C点坐标为（3，3）．故选：B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．8．（2024秋•锦江区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC∴24∴EF＝6．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．9．（2024秋•顺德区期末）如图，当点P1、P2、O在同一直线上时，在D1处与D2处测得的视力相同．若b1＝5米，A1A2＝5米，OA2＝3米，则b2是（）米．A．158 B．2 C．3 D．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】A【分析】先证明△OP2A2∽△OP1A1，然后根据相似三角形的性质计算b2的值．【解答】解：∵P1A1∥P2A2，∴△OP2A2∽△OP1A1，∴P2即b2解得b2=15故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．10．（2024秋•行唐县期末）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝120，高AD＝120．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，（阴影部分为正方体展开图），则正方体的棱长为（）A．20 B．24 C．28 D．32【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】B【分析】设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到∠APM＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质可得结论．【解答】解：设正方形边长MN为a，∵AD为△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵MN∥BC，∴∠APM＝∠ADB＝90°，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴MNBC∴a120∴a＝24，即正方体的棱长为24．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2024秋•碑林区期末）如图，已知△ABC∽△ACD，∠A＝80°，∠ADC＝60°，则∠B＝40°．【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】40°．【分析】由三角形内角和定理求出ACD＝40°，由相似三角形的性质推出∠B＝∠ACD＝40°．【解答】解：∵∠A＝80°，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝40°，∵△ABC∽△ACD，∴∠B＝∠ACD＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应角相等．12．（2024秋•响水县期末）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是8m．【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE＝AC：DE，即1：5＝1.6：DE，∴DE＝8（m），故答案为：8．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．13．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，已知AC∥BD，AB交CD于O，AOAB=13，OD＝6，则CD的长为【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】9．【分析】由AOAB=13，得到AOOB=12，判定△AOC∽△BOD，推出【解答】解：∵AOAB∴AOOB∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴OCOD∵OD＝6，∴OC＝3，∴CD＝OD+OC＝9．故答案为：9．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是由△AOC∽△BOD，推出OCOD14．（2024秋•碑林区校级期末）已知两个相似三角形的周长之比是2：3，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是40．【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】40．【分析】根据两个相似三角形的周长之比是2：3得到两个相似三角形的面积之比是4：9，设这两个三角形中较小三角形的面积是4x，则这两个三角形中较大三角形的面积是9x，根据面积之差是50列方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是2：3，∴两个相似三角形的面积之比是4：9，设较小三角形的面积是4x，则较大三角形的面积是9x，根据题意得：9x﹣4x＝50，解得：x＝10，∴4x＝40，即较小三角形的面积是40．故答案为：40．【点评】此题考查了相似三角形的性质、一元一次方程的应用．解题的关键是了解相似三角形的性质，难度不大．15．（2024秋•邛崃市期末）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②以点D为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠ABC内部交上面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交AC于点E．若BDAD=14，三角形ABC的面积为25，则三角形ADE的面积为【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】16．【分析】由作图可知，∠ADE＝∠ABC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可解答．【解答】解：由作图可知，∠ADE＝∠ABC，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴S△∵BDAD∴ADAB∵三角形ABC的面积为25，∴S△解得S△ADE＝16．故答案为：16．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．三．解答题（共8小题）16．（2024秋•新城区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3）、B（3，1）、C（4，2）．请以原点O为位似中心，在第一象限内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，并写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．【考点】作图﹣位似变换．【专题】作图题；应用意识．【答案】作图见解析，点A1（2，6）；C1（8，4）．【分析】延长OA至格点A1，使OA＝AA1，延长OB至格点B1，使OB＝BB1，延长OC至格点C1，使OC＝CC1，然后连接A1B1，C1B1，A1C1即可，根据点A1、C1的位置即可得到结论．【解答】解：如图所示，点A1（2，6）；C1（8，4）．【点评】本题考查了作图﹣位似变换，正确地作出图形是解题的关键．17．（2024秋•丰顺县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）AC＝4，AB＝5且AD＝3，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE⊥AB得到∠DEA＝∠C＝90°，然后得到△DEA∽△BCA；（2）利用相似三角形的性质求得AE的长．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴ADAB∵AC＝4，AB＝5，AD＝3，∴35∴AE=12【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．18．（2024秋•城关区期末）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AB=7，CD＝2，求【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）22-1【分析】（1）根据∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB即可得出结论；（2）设AD＝x，AC＝AD+CD＝x+2，根据△ABD和△ACB相似得AB：AC＝AD：AB，将AB=7，AD＝x，AC＝x+2代入比例式整理得x2+2x﹣7＝0，由此解出x即可得AD【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB；（2）设AD＝x，∵AB=7，CD＝2∴AC＝AD+CD＝x+2，∵△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，∴（7）2＝x（x+2），整理得：x2+2x﹣7＝0，解得：x＝22-1，x＝﹣22-∴AD＝x＝22-1【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．19．（2024秋•鄠邑区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求证：AC2＝AD•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】由∠CDA＝∠ACB，∠A＝∠A，证出△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB＝AD：AC，即可得出结论．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．20．（2024秋•延津县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2；（3）求以B1，B2，A1，A2为顶点构成的四边形的面积．【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．【专题】网格型；几何直观．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）92【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可作图；（2）根据位似变换的性质找出对应点即可作图；（3）根据四边形的面积＝正方形的面积﹣两个三角形的面积求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）四边形B1B2A1A2的面积＝3×3-1【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，旋转变换，熟记轴对称变换、旋转变换的性质是解题的关键．21．（2024秋•玄武区期末）如图，古城墙进出口的道闸杆AB水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离OA＝1.2m，与另一端点B之间的距离OB＝18m．道闸杆AB绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点A′时，测得点A′到AB的距离为0.8m，此时，点B′到AB的距离是多少？【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】12m．【分析】根据题意得，OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m，再根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解答】解：如图，A′M⊥AB于点M，B′N⊥AB于点N，根据题意得，OA＝OA′＝1.2m，OB＝OB′＝18m，A′M＝0.8m，∵A′M⊥AB，B′N⊥AB，∴A′M∥B′N，∴△A′OM∽△B′ON，∴A'即0.8B∴B′N＝12（m），即点B′到AB的距离是12m．【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．（2025•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝5，sinB=35，点D、E在BC的延长线上，联结AD、AE，且AD＝（1）求tan∠ADC的值；（2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）2；（2）9．【分析】（1）过点A作AM⊥CD于点M，根据正弦定义及勾股定理求出AM＝6，BM＝8，则CM＝3，根据等腰三角形的性质求出CM＝DM＝3，再根据正切定义求解即可；（2）根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△ABE∽△CBA，再根据相似三角形的性质及线段的和差求解即可．【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥CD于点M，在Rt△ABM中，AB＝10，sinB=AM∴AM＝6，∴BM=AB∵BC＝5，∴CM＝BM﹣BC＝3，∵AD＝AC，AM⊥CD，∴CM＝DM＝3，∴tan∠ADC=AMDM（2）∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴ABBC∴105∴BE＝20，∴DE＝BE﹣BC﹣CM﹣DM＝20﹣5﹣3﹣3＝9．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．23．（2024秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若CD=3，BD＝1，求【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）3．【分析】（1）推导出∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠CBD，由此能证明△ACD∽△CBD．（2）由△ACD∽△CBD．得到，由此能求出AD的长．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠B+∠BCD＝90，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴CDBD∵CD=3，BD＝1∴AD＝3．【点评】本题考查三角形相似的证明，考查线段长的求法，考查相似三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．3．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．④作出的垂线为最短路径．4．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则②合比性质．若ab=c③分比性质．若ab=c④合分比性质．若ab=c⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…5．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．6．相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比