图形的相似与位似-中考数学复习题型训练（全国版）

专题23图形的相似与位似【十四大题型】

►题型梳理

【题型1利用比例的性质求值】.................................................................1

【题型2黄金分割】...........................................................................4

【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】..................................................8

【题型4平行线分线段成比例（A型）】.......................................................11

【题型5平行线分线段成比例（X型）】.......................................................15

【题型6平行线分线段成比例（AX型）】......................................................18

【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】..........................................21

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】.............................................26

【题型9相似多边形的性质】..................................................................33

【题型10画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】.............................................38

【题型11求位似图形的坐标】..................................................................44

【题型12求位似图形的线段长度】.............................................................47

【题型13坐标系中求位似图形的周长】.........................................................50

【题型14求位似图形的面积】..................................................................53

►举一反三

【知识点图形的相似与位似】

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是，-=-

bn

或写成a：b=m：n

在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简

称比例线段

HC

若四条a,b,c,d满足一二一或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫做比

bd

例外项，线段b,c叫做比例内项，线段的d叫做a,b,c的第四比例项。

ah

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即3=2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例中

bc

项。

2.比例的性质

(1)基本性质

①a：b=c：d=ad=bc

②a：b=b：c=b2=ac

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

厂-=-（交换内项）

cd

acdc/一3小v、

_=__=—（父换外项）

bdba

-（同时交换内项和外项）

ca

（3）反比性质（交换比的前项.后项）：

——a=——c~~>b———d——

bdac

（4）合比性质：

aca+bc+d

—=一n------=-------

bdbd

（5）等比性质：

a_c_em,,,,c、a+c+e-\-------1-ma

=—(b+d+f+---+n^Q)=>---------------------=—

~b~~d~7nb+d+fH-------\-nb

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金

分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=----------ABuO.618AB

2

4.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平

行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

5.相似多边形

定义1：形状相同的图形叫做相似图形。

定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边

形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

【题型1利用比例的性质求值】

【例1】（2023•浙江•统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容

是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.图中横线处应填—

当x=y=6时一7―b~\当@=▲时abI-

a=y_b=c=^

Xc»b~c----------------►

比例线段出现比例中项线段出现特殊线段比

【答案】2

【分析】根据题意得出口=鱼6£=¥。，进而即可求解.

【详解】解：«

.•.a=y［2b,c=当b

a

・1=*=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

【变式1-1］（2023•四川甘孜・统考中考真题）若］=2,则子=.

【答案】1

【分析】根据比例的性质解答即可.

【详解】解：；］=2,

x—yx

•1•—=y-l=2-l=l.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质.

【变式1-2］（2023•湖南岳阳•校考一模）已知l岩=?,且3x+4z—2y=40,贝仕的值为.

【答案】4

【分析】设5=?=?=上再用k表示x、y、z,代入方程求出k后，再求x即可.

【详解】解:设RK=k，

则％=2k,y-3fc,z=5fc,

那么3%+4z-2y=6fc+20k-6k=40,

解得，k=2,

则%=4.

故答案为：4

【点睛】本题考查了比例的性质，解答关键是用k表示x、y、z,构造方程求解.

【变式1-3］（2023・浙江•模拟预测）用“▲”，“・“，“♦”分别表示三种物体的重量，若：=胃=之，则

▲,・，♦这三种物体的重量比为（）

A.2:3:4B.2:4:3C.3:4:5D.3:5:4

【答案】B

【分析】可设：=F=a=k,利用等比性质可得k的值，设▲为x,•为y,♦为z,得至！J3个等式，联

立可得用x表示y、z,相比即可.

【详解】解：设;=三^==i=卜，▲为％，•为y,♦为z,

x+y—z+zx+y1

•,一y+x+y+x-2（x+y）-2，

111.、

­•-X=-y,y-z=-x,z=-（%+y）,

„3

.-.y=2.x,z=-x,

・・.▲,•,♦这三种物体的重量比为2:4:3.

故选：B.

【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键.

【题型2黄金分割】

【例2】（2023•广东云浮・统考一模）如图，在△ABC中，”=36。，AB=AC,以点3为圆心任意长为半径

1

画弧，分别交ZB,8C于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点。，

连接BO,并延长交力C于点。，若AB=2,贝UCD的长为（）

A

【答案】B

【分析】证4D=BD=BC,再证△BDCs/^BC,得当=益则*=需则点。是"的黄金分割点，求出40

l.rfZJ(yZ1\ar\IJ

的长，即可求解.

【详解】解：.♦4=36°,AB=AC=2,

■■■zJ4BC=zC=|(180°-36°)=72°,

由题意得：平分乙4BC,

・•.^ABD=Z.CBD=^Z-ABC=36°,

/.ABD=/.A9乙BDC=4A+乙ABD=72°=乙C,

・•.AD=BD=BC,

-Z.CBD=Z.CAB=36°fzC=zC

:・ABDC~AABC,

BC_DC

：'~AC-~BCf

ADCD

：'~AC-~AD9

.••点D是AC的黄金分割点，AD>CD,

■：AB=2,AB=AC,

.-.AD=^-AC=y/5-l,

•••CD=AC-AD=3-V5.

故选：B.

【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角

形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式2-1](2023•上海杨浦•统考一模)已知P是线段4B的黄金分割点，且AP>BP,那么下列等式能成立

的是（）

A丝="B

APBPBPAP

rAP_CAB_遮_1

c-^--TD-Q--~

【答案】A

【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是

掌握黄金分割点的性质.

【详解】解：如图，

P

A1------------------1-----------唔

•・,点P是线段48的黄金分割点，且4P>BP,

_AP_PB_y/5-l

"AB~AP2-'

故选：A.

【变式2-2］（2023・四川达州•统考中考真题）如图，乐器上的一根弦4B=80cm,两个端点4B固定在乐器

板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点力的黄金分割点，C,D之间的距离为.

【答案】（80V5-160）cm

【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之

比.其比值是一个无理数，用分数表示为与\由此即可求解.

【详解】解：弦4B=80cm,点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=尤，贝何。=80—x,

•丹”二年1,解方程得，%=120-4075,

点。是靠近点4的黄金分割点，设40=y,则8D=80—y,

•••需=亨，解方程得，y=120-4075,

••CD之间的距离为80—久一y=80-120+40代一120+40V5=80而一160,

故答案为：（80而一160）cm.

【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键.

【变式2-3］（2023•安徽・统考模拟预测）如图，4B为半圆。的直径，点。为圆心，点C是弧上的一点,

沿CB为折痕折叠前交力B于点连接CM,若点M为4B的黄金分割点,贝Usin/BCM的值为

【答案】A

【分析】过点M作“DLCB,垂足为。，延长MD交半O。于点M',连接CM,BM',根据折叠的性质可得：

乙CMB=4CM'B,BCLMM',从而可得ZBOM=90。，再根据黄金分割的定义可得器=年，然后利用直

径所对的圆周角是直角可得乙4cB=90。，从而证明/字模型相似三角形△DEM-△C84进而利用相似三

角形的性质可得能=器=年，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：4力=NAMC,从

而可得C4=CM,再在RtaCDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

【详解】解：过点M作MD1CB,垂足为。，延长MD交半。。于点M',连接CM,BM',

M'

由折叠得：乙CMB=MM'B,BC1MM',

."BDM=90°,

•••点M为48的黄金分割点,

.BM_二_1

"~AB丁,

,・弘8为半圆。的直径，

.♦.乙4cB=90°,

：.Z-ACB=乙MDB,

•.ZDBM=Z.CBA,

ACBA,

DM_BM_Vs-i

''~AC~~AB~2?

•.•四边形ACM'B是半。。的内接四边形，

.•24+NCM'B=180°,

■:Z.AMC+乙CMB=180°,乙CMB=乙CM'B,

.-.AA=Z.AMC,

：.CA=CM,

在RtZiCDM中，sin乙BCM=得=察=与\

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周

角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

【题型3由平行线分线段成比例判断式子正误】

【例3】（2023•青海西宁・统考中考真题）如图，在△4BC中，乙4cB=90。，分别以点/和点C为圆心,

大于豺。的长为半径作弧，两弧相交于P,。两点，作直线PQ交4B,2C于点。，E,连接CD.下列说法错

误的是（）

A.直线PQ是4c的垂直平分线B.CD=^AB

C.DE--BCD.S44DE：S四边形OBCE=1：4

【答案】D

【分析】根据直线PQ是ac的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和

性质等知识，分别进行判断即可.

【详解】解：A.由作图过程可知，直线PQ是4c的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；

B.由作图过程可知，直线PQ是4C的垂直平分线，

•••点E是AC的中点，AD=CD,

在中，乙4cB=90°,

.-.DEWBC,

ADAE«

'而=k=L

即点。是48的中点，

:.CD^AB,

故选项正确，不符合题意；

C.，••点。是4B的中点，点E是24c的中点，

.•.DE是△ABC的中位线，

：.DE=^BC,

故选项正确，不符合题意；

D.'.'DEWBC,

.-.AADE-AABC,

一S^ADE=（DE^_flV_1

f

,^^ABC~\BCJ~~4

•••S&WE：S四边形=1:3,

故选项错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中

位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键.

【变式3-1］（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，在中，D、E分别为ZB、AC边的中点，连

接。号点9为BC边上一点，BF=2FC,连接交DE于点M则下列结论中错误的是（）

A-左=5B.-=-C.-=-D,-=-

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出ZN=N£根据中位线定理分析求解.

【详解】解：S、£分别为2B、4c边的中点，

.-.DEWBC.

,丝=竺

「DBNF

嘿』E=*F,DN=3BF.

NE_1

"'~FC~2,

•:BF=2FC,

；.DN=2NE.

DN_2

：'~DE.3,

所以，A,B,D正确，C错误；

故选：C

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解

题的关键.

【变式3-2］（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，△ABC中，。是边上一点，。E||BC交/C于点

E,连接BE,DFIIBE交ZC于点八则下列结论错误的是（）.

A—=—R—=—。—=—D—=—

BDECAEBEECFEBCFE

【答案】D

【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论.

【详解】解：--DE||BC,DF||BE,

AnAFAFAD

・・・g=芸，AADE-AABCAADF芸=券，

BDECfFEBD

DE_ADAF_DF_AD

,•丽—病~AE~~BE~~AB，

AE_AFDE_AF

"FC-FF，~BC~~AEf

选项A、B、C正确，选项D错误；

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例

定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

【变式3-3］（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分

别是4D、CD边上的点，连接BE、AF,它们相交于点G,延长BE交CD的延长线于点H,下列结论错误的是

（）

A--------------T3——--------------------I——------

ED~EHEB~CDBG~BCFG~GH

【答案】c

【分析】由平行四边形的性质得出4BIICD,AD||BC,证出△■《一△。旧凡AABG^AFHG,寥=瞿，

CDLU

得出对应边成比例黑=黑，当=需，即可得出结论.

c,Ur.nrUun

【详解】解：，•,四边形ABC。是平行四边形，

：.AB||CD,AD||BC,

.-.AABE-ADHE,AABG-AFHG,缪=经，

EBCD

.AE_BEAG_BG

••~ED~~EHf7G~~GHJ

••・选项A、B、D正确，C错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握

平行四边形的性质是解决问题的关键.

【题型4平行线分线段成比例（A型）】

【例4】（2023•湖北恩施•统考中考真题）如图，在△A8C中，。矶BC分别交AC,于点。，E,EFII&C交

BC于点、F,^=|,BF=8,则DE的长为（）

DC,J

A

A.yB.yC.2D.3

【答案】A

【分析】先证得四边形DEFC是平行四边形，得到DE=FC,再利用平行线截线段成比例列式求出FC即可.

【详解】"DEWBC,EFWAC,

.•・四边形DEFC是平行四边形，

.-.DE=FC,

■:EF\\AC,

,pc_AE_2

：'~BF

,:BF=8,

故选：A.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解

题的关键.

【变式4-1]（2023•辽宁沈阳•校考一模）如图，在△ABC中，点。、E分别在4B、4c上，连接DE,DE\\

BC,AE=4,AD=3,CE=2,则BD的长为（）

A

K

BC

A.1.5B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【详解】解：•••DEIIBC,

_AD_AE

"~DB~'EC,

■.■AE=4,AD=3,CE=2,

34

"DB-2"

解得：BD=1.5,

故选：A.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

【变式4-2］（2023•湖北武汉•校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角

ADPC=30°,已知窗户的高度AF=2m,窗外水平遮阳篷的宽力。=0.8m,则洒在地面上光线EP的宽度为一

m（参考数据遍=1.732,结果精确到0.1）.

【答案】2.7

【分析】设力C,DP交于点Q,解RtaADQ,求得AQ,然后求得QF,根据平行线分线段成比例，即可求解.

【详解】解：如图所示，

设4&DP交于点Q,

依题意，ADWPC

：./.ADQ=4DPC=30°

：.AQ=ADxtan^ADQ=当AD=曰x0.8(m),

：,QF=AF-AQ=(2-0,8x争m

-DPWEF

.-.ZFEC=ZPPC=3O°,

.,.段=tanZ-CEF=—

Cc3

■.■DP\\EF

0£=££=V3

-EC-V

■.EP=V3QF=2V3-0.8=2x1.732-0.8«2.7(m)

故答案为：2.7.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的

关键.

【变式4-3](2023•全国•一模)剪纸是中国的传统文化之一.如图1,将长为12cm,宽为5cm的矩形纸片

剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”.若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小

纸片①”中，较长直角边=cm.

图1图2

【答案】y/8y

【分析】如图，设CO=xcm,DE=ycm,则BD=(12—x)cm,利用平行线分线段成比例得到〉与x之间的关

系，构建方程求解即可.

【详解】如图，设CD=xcm,DE=ycm则BD=(12-x)cm,

-DE||AB,

DE_CD

y_^_

,*'5=129

又・.•％=y+5,

5.

­•%=—x+5c,

_60

:x—~

•••较长直角边为枭m

故答案为：y.

【点睛】本题考查图形的拼剪,正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意,

学会利用参数构建方程组解决问题.

【题型5平行线分线段成比例（X型）】

【例5】（2023•广西贵港•统考一模）如图，尸是矩形48CD的边CD上一点，射线BF交4。的延长线于点E,

已知DE=2BC=4,CD=6,求BP的长（）

A.2V2B.3C.V13D.V5

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例结合已知条件可知CP=2=8C,在根据勾股定理求出8c即可;

【详解】解：•••四边形/BCD为矩形，

­.AD//BC,

DP_DE

"~CP=~BC

又•:DE=2BC=4；

.-.DP=2PC；

又•:CD=6；

；.CP=2；

在RtABCP中，NC=90。，由勾股定理得：

BP=7BC2+CP2=V22+22=2vL

故选：A

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及勾股定理,利用平行线分线段成比例求得CF=2是解题的关键.

【变式5-1］（2023•北京・统考中考真题）如图，直线8c交于点。，4B||EF||CD若4。=2,。尸=1,

FD=2.则等的值为.

【分析】由平行线分线段成比例可得，器=黑号,雾=黑=；,得出8。=2。凡EC=2OE,从而尊=嘤？

CzCCzLJLCC*£U乙C乙Ci

3

2'

【详解】VAB||EF||CD,4。=2,。9=1,

.BO_AO_2

**OF-OF-T*

・,.BO=2OE,

,,OE_OF_1

*~EC~~FD~^

・•・EC=2OE,

.££_2OE+OE_3

"^C~2OE~2；

故答案为：

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决

本题的关键.

【变式5-2］（2023•安徽滁州•统考二模）如图，在△48C中，点。、E分别在边AB、AC的反向延长线上，

S.DEWBC.若力E=2,AC=4,AB=5,贝的长为

【答案】|/2.5

【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式喘=条进行求解即可.

/IDAC

【详解】-DEWBC,

AD_AE

,：AE—2,AC—4,AB—5,

zo_2

,,,"r=4*

•-AD-I，

故答案为：

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关

键.

【变式5・3】（2023・重庆渝中•统考一模）已知口/凤?。，点E是延长线上一点，CE^AD,8。分别相交

于点G,F.求证：CF2=EF-GF.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质得IIBC,AB||CD,再根据平行线分线段成比例定理得到黑=黑，黑=

crDrDr

陆等量代换得黑=等，然后根据比例的性质即可得到结论.

CrcrCr

【详解】QABCD,

：.AB||CD,AD||BC,

CF_DFDF_GF

''~EF~~BF9~BF~~CF9

CF_GF

：''EF~CF，

^CF2=EF-GF.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），

所得的对应线段成比例.也考查了平行四边形的性质.

【题型6平行线分线段成比例与三角形中位线综合】

【例6】（2023•安徽滁州・统考二模）如图，G为△/2C的重心，AG=12,则/£）=.

【答案】18

【分析】连接CG并延长交N2于点E,连接。£,根据题意，可以得到。E时442C的中位线，从而可以得

1

到DEIIZC且。田3/C,然后即可得到△OEGs/\/CG,由相似三角形的性质得到。G和NG的比值，求出然

后。G,即可得到结果.

【详解】解：如图，连接CG并延长交48于点£,连接。£,

■.•点G是A48C的重心，

.••点£和点。分别是和8c的中点,

.♦•DE是A42C的中位线，

1

■■.DEWAC且DE=-AC,

.'.ADEG-AACG,

DE_DG_1

^~AC~~AG~2f

必G=12,

.•.OG=6,

・・・4Z）=/G+GZ）=18.

故答案为：18.

【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形

结合的思想解答.

【变式6-1］（2023・湖南湘潭•模拟预测）如图，平行四边形4BCD的对角线ZC、BD相交于点O,0EIIAB交ZD

于点E.若。4=2,△20E周长为10,则平行四边形力BCD的周长为（）

A.16B.32C.36D.40

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质得4B=CD,AD=BC,OB=OD,证。E是△ABD的中位线，贝柄B=2OE,

AD-2AE,求出4E+0E=8,贝必8+AD=24E+2OE=16,即可得出答案.

【详解】解：,•・四边形28CD是平行四边形，

■■.AB=CD,AD=BC,OD=OB,

■：OE\\AB,

—DE=——OD--1«,

AEOB

:.AE—DE,

;.OE是△4BD的中位线，

.-.AB=2OE,AD=2AE,

•.•△aoE的周长等于io,

■■.OA+AE+OE=10,

.-.AE+OE=10-OA=10-4=8,

.-.AB+AD=2AE+20E=16,

.,.口4BCD的周长=2X（AB+AD）=2X16=32；

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行

四边形的性质和三角形中位线定理，求出AB+AD=16是解题的关键.

【变式6-2］（2023•宁夏银川・校考一模）如图，在口ABCD^,AB=5,8C=8.E是边的中点，F是口ABCD

内一点，且NBFC=90。.连接4F并延长，交CD于点G.若，贝UDG的长为（）

53

A.-B.-C.3D.2

【答案】D

【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再得到CG的长，进而得出DG的长.

【详解】解：rE是边BC的中点，且NBFC=90。，

.•.RtzXBCF中，EF=^BC=4,

-EF||AB,AB||CG,E是边BC的中点，

二户是4G的中点,

可得EF=《（4B+CG）,

：.CG=2EF-AB=3,

又•.•CD=4B=5,

・••DG=5—3=2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形

斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键.

【变式6-3］（2023•山东聊城•统考二模）如图，在正方形A8CD中，按如下步骤作图：①连接AC,8。相交

于N点O；②分别以点2,C为圆心、大于|SC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点衣

④连接4F交B。于点G.若4。=4或，则。G的长度为（）

4t—

A.1B.2C.-D.V2

【答案】C

【分析】证明。FIIAB,OF=^AB,求出。B,然后根据三角形的中位线和平行线分线段成比例可得结论.

【详解】解：•••四边形4BCD是正方形，

：.AB=AD=BC=CD=4瓜/.BAD=90°,OA=OC=OB=OD,

■-BD=7AD2+力灰=J（4或）2+（4际2=

.-.OB=OD=4,

由作图可知。E垂直平分线段BC,

:.BF=CF,又。C=O4

■.OFWAB,FO=^AB,

OGOF114

==P--0G=30B=r

故选：c.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比

例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【题型7平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】

【例7】（2023•湖北武汉•校考模拟预测）△力B7中,Z.BAC=90°,D、E分别是4B、4C上的点，CE=2,

CA=5,AD=4,BD=|,则sin/DOB的值是.

A

【答案】'

【分析】过8作DC的平行线交AC的延长线于点过E作由平行线分线段成比例可得黑=告,

UDCM

进而求得CM=能由勾股定理可得BM='AB2+4M2=*,再证得博=需求得

ooMDAD

NE=容，由勾股定理可得BE=7AB2+4=B=零,由sin/DOB=sin/EBN=黑即可求解.

22DL

【详解】解：过3作DC的平行线交4C的延长线于点过E

A

B^^\C

、

L)_____1•、

………，…、、、

N-7M

■:DC||BM,

AnAC

W而,乙DOB=LEBN,

,:CE=2,CA=5,4。=4,BD=|,

13

•.AC=5,AB=­f

厂ACDB5x825

"M=AD=b=8，

・•.ME=2,

o

在RtzXABM中，8M=AMB2+ZM2=[⑶+得)=113V^T

-8~~

•••ZEM/V=^BMAfZ.ENM=^LBAM,

:.AMNEFMAB,

ME_NE

~MB~~AB

MR_13可丁,

在Rt△力BE中，BE=7AB2+/=

FN———/p

.-.sin^DOB=sin4EBN=而=施普

故答案为：字

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形以及三角形相似，关键是构造直角三角形并能将

更多的已知线段集中.

【变式7-1]（2023•广东深圳•统考模拟预测）如图，在△ABC中，。为BC边的中点，点E在线段ZD上，BE

的延长线交AC边于点尸，若4E：ED=1：3,AF=2,则线段FC的长为.

BDC

【答案】12

【分析】过点。作DG||BF于点G,由平行线分线段成比例定理得蔡=M，求得FG=6,再结合中点进一步可

C.UrCr

得GF=GC=[FC,从而得到答案.

【详解】解：如图，过点。作DG||BF于点G；

•••FG—6；

为8C边的中点,

•••GF=GC=^FC

•••CF=2FG=12,

故答案为：12.

A

F

G

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键.

【变式7-2］（2023•安徽宿州•校考一模）如图，在△4BC中，CG平分N4CB,过点力作力”1CG交BC于点

H,且H是BC的中点.若4H=4,CG=6,则AB的长为

【答案】y

【分析】作HKIICG交48于点K,由平行线分线段成比例定理可证4G=KG=BG,根据勾股定理求出4K的长,

进而可求出28的长.

【详解】解：作HKIICG交于点K,

.BK_BHAG_AN

••~KG~~CH"~KG~'NH'

•••H是BC的中点，

・•・BH=CH,

BK=KG,

・•.HK=#G=3.

•・•AHICG,

・•・乙ANC=乙HNC=乙ANG=90°.

•・•CG平分44C8,

:'乙ACN=乙HCN.

•・•CN=CN,

在△ACN与△”(?可中，

(AACN=乙HCN

]CN=CN,

VZ.ANC=乙HNC

・••△/CNm△”CN(4SZ),

：.AN=HN,

'.AG=KG,

：.AG=KG=BG,

•・•HKWCG,

乙KHA=乙ANG=90°,

・•・AK=y/AH^+HK2=5,

AG=—,

AAB=--

故答案为：-y.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定

理等知识，证明AG=KG=BG是解答本题的关键.

【变式7-3](2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六十九中学校校考三模)如图，在△ZBC中，48=9,

(B=2(C,ADLBC,AE是边上中线，则线段DE=.

【答案】4.5

【分析】首先过E点作MEII40,交4C于M,连接易证得△M48又由MEIIAD,根据比例线

段的性质，即可求得=继而求得答案.

【详解】解：过E点作MEMO,交/C于M,连接

A

・••AD1BC,

••・ME1BC,

•・•4E是BC边上中线，

BM=CM,

:.Z-C=乙CBM,

又v=2zC,

・•.Z.MBA=zC,

又vACAB=^CABf

••・△MABBAC,

.AB_BC_BC

-ME\\AD,

.CE_DE

**

•••CE=^CB,

BC_2DE

••'CM~AM9

.AB_2DE

“AM~AMf

AB=2DE,

vAB=9,

・•.DE=4.5.

故答案为：4.5.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及平行线分

线段成比例定理.注意正确的作出辅助线是解题的关键.

【题型8平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】

【例8】（2023・浙江•一模）如图，菱形4BCD中，点E是CD的中点，EF垂直交A8延长线于点F,若器=

pEF=2V5,则菱形4BCD的边长是（）

A.3V5B.^V5C.5D.6

【答案】D

【分析】过。作CM，AB延长线于M,根据第=1设BG=久,CG=3%,由菱形的性质表示出DC=BC=4久,

Guo

由平行线分线段成比例表示出BM=BF+FM=|x+3%=1x,根据勾股定理列方程计算即可.

【详解】解：过C作CM12B延长线于

BG1

：~CG-W，

・•.设BG=x,CG=3x,

••.DC=BC=4%,

•・,点E是边CD的中点，

：.CE==2%,

•・•菱形

：.CE||AB,

-EFLAB,CMLAB,

：.EF||CM,

・•・四边形"MC是矩形，

.-.CM=EF=2V5,MF=CE=2x,

-GF||CM,

BFBG口RBF1

-7M='GC'即五=?

・・・8F=|%,

：.BM=BF+FM=|x+3x=|x,

在RtZXBCM中，BM2+CM2=BC2,

•••Qx)+(2伺)2=(4x)2,解得「=«|或%=_|(舍去)，

3

.-.C£)=4x=4x1=6.

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活

运用.属于拔高题.

【变式8-1](2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四十九中学校校考一模)在△48C中，乙48c=45。，AK1BC

于点K,点M在2K上，CK=KM,tan^KAC=-,N为的中点，G为AC的中点，若8C=14,则线段NG

的长为.

C

【答案】5V2

【分析】如图：过N作ND1BC,过G作GELBC,过N作NFLGE,则四边形DEFN是矩形；再说明△ABK

是等腰三角形可得4K=BK；然后再证ABKMWAAKC(SAS)可得BM=AC；再根据正切的定义结合BC=14可

得CK=KM=6,4K=BK=8；根据平行线分线段成比例定理可得DN、EG是△BKM和△4CK的中位线，

再根据三角形中位线定理可得ON=勺＜用=3、EG=、1K=4、DK=9BK=4,EK=《CK=3,进而可得

NF=DE=DK+EK=7,FG=EG-EF=1,最后运用勾股定理即可解答.

【详解】解：如图：过N作NDLBC,过G作GE1BC,过N作NF1GE,

二.四边形DEFN是矩形，

•••4BC=45°,AKLBC,

.•.△48K是等腰三角形,

：.AK=BK,

在△BKM和△/KC中，

(BK=AK

｛乙BFM=AAKC=90°

IKM=CK

・・・ABKM»/KC(SAS)

・・.BM=AC

3

'.'tanZ-KAC=

・•・设CK=3%,则BK=ZK=4x,

.-.5C=3x+4x=14,解得：x=2

：.CK=KM=6MK=BK=8,

•；NDJ.BC,NFIGE

.-.DN\\AK\\EGf

BD_BNCE_AG

：''DK~'MNf~EK~~CG"

,.w为BM的中点，G为4c的中点，

：.BD=DK,CE=EK,

；.DN,EG为△BKM,△ACK的中位线

:.DN=^KM=3,EG=^AK=4,DK=1BK=4,EK=^CK=3,

:.EF=DN=3

.-.NF=DE=DK+EK=7,FG=EG-EF=1

■■NG=7NF2+FG2=V72+I2=5V2.

故答案为5立.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾

股定理、正切的定义等知识点，正切作出辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键.

【变式8-2］（2023•河南商丘•校考二模）如图，中，zX=90°,AC=5,AB=12,将△ABC绕

点C逆时针旋转力（0。＜戊。＜90。），得到△DEC,点/,8的对应点分别为。，E,射线ED分别交BC,AB

于点尸，M,当△MFB为等腰三角形时，AM的长为.

【答案】1或&1

【分析】分两种情况讨论，当8F=BM时，得到EF=EC=13,求得OF=EF—DE=1,在RtaCDF中，利

用勾股定理求解；当BF=FM时，则=作FN14B于N,设FC=FE=x,在RtZkCDF中，利用

勾股定理求得％=矍，由FNII4C,利用平行线分线段成比例定理，计算即可求解.

【详解】解：•,•乙4=90。