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文档简介
第4章图形的相似(易错必刷30题8种题型专项训练)
♦题型目录展示*
A比例的性质A相似三角形的判定
A平行线分线段成比例A相似三角形的判定与性质
A相似多边形的性质A相似三角形的应用
A相似三角形的性质A位似变换
—题型通关专训*
一.比例的性质(共2小题)
1.对等式三3进行变形,则下列等式成立的是()
23
A.2x=3yB.3x=2yC.D仔
【答案】B
【解答】解:•••&/,
23
»•3%=2y,
A、2x=3y,不成立,故A不符合题意;
B、3x=2y,成立,故5符合题意;
C、•・•2■=X,・・.2%=3»不成立,故C不符合题意;
32
0、.・.2x=3y,不成立,故。不符合题意;
故选:B.
2.若包底屋」,则3a-2c+e的值为()
bdf33b-2d+f
A.AB.1C.1.5D.3
3
【答案】A
【解答】解:•••2秀屋=1,
bdf3
/3a—~2c—6—1
'3bW7丁
3a~~2c+e=1
*'3b-2d+f~3
故选:A.
二.平行线分线段成比例(共1小题)
3.如图,已知AB〃CD〃ER则下列结论正确的是()
A.迪_=区B.—=—CAF=ADD.生=也
DFBEAFBC,BEBCDFBC
【答案】c
【解答】解:,:AB/ICDI/EF,
坦注,故4错误,
DFCE
亚军,故8错误;
AFBE
a
确
故
空型,即AFC正
ADBCBEBaC
故
错
CE误
坦期,即DF。
DFCEAD
故选:C.
三.相似多边形的性质(共1小题)
4.如图,把一张矩形纸片沿着它的长边对折(E尸为折痕),得到两个全等的小矩形.若小矩形的长与宽的
比恰好等于原来矩形的长与宽的比,则小矩形的长与宽的比是()
D
B
A.2:1B.3:2C.V3:1D.V2:1
【答案】。
【解答】解:由折叠得:AE=1AD,
2
由题意得:矩形AB尸E与矩形40cB相似,
AAD=AB;
"ABAE,
:.AD-AE=AB2,
:.1.AD2^AB2,
2
.AD2T
AB2
:.AD:AB=®1,
故选:D.
四.相似三角形的性质(共1小题)
5.如图所示,若△ZMCS^ABC,则需满足()
A.CD1=AD-DBB.AC2=BC'CDC.£望.D.史
CDBCDAAC
【答案】B
【解答】解:由可得CDAD=BD:CD,由此得不出结论;
由AC2=BC・C。,可得AC:BC=CD:AC,
vzc=zc,
.,.△ABC^ADAC,故B选项正确;
由£4得不出结论;
CDBC
由型=区■及/BAC=/AOC=90°可得结论,但题目中未提及.
DAAC
故选:B.
五.相似三角形的判定(共5小题)
6.如图,△ABC中,点O在线段AC上,连接B。,下列选项添加的条件中不能使△A3。与△ACB相似的
是()
A
D
BC
A.坦B.ZADB=ZABCC.ZABD=ZCD.AB2=AD-AC
ABBC
【答案】A
【解答】解:在△AB。与△ABC中,由于若添加或/ABO=/C,
满足“两角对应相等的两个三角形相似”,故要使与△A2C相似,可添加一个条件2或C.
在△AB。与△ABC中,由于NA=/A,若添加坐即AB2=A£).AC,
ADAB
满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”,故要使△ABD与△ABC相似,可添加一个条件D.
在△A2Z)与AABC中,若添加地理,由于不能说明/ADB=NABC,也不能说明三边对应成比例,
ABBC
故要使△ABO与△ABC相似,不能添加一个条件A.
故选:A.
7.如图,△ABC中,ZA=60°,BML4c于点M,CNLAB干点、N,BM,CN交于点O,连接MN.下列
结论:®ZAMN=ZABC;②图中共有8对相似三角形;③BC=2MN.其中正确的个数是()
【解答】解:':BM±AC,CN±AB,
:.ZANC=ZAMB=90°,
又
:.AABM^/\ACN,
•ANAC即ANAM
AM-ABAC-AB
XVZA=ZA,
:.AAMNsAABC,
:.ZAMN=ZABC,故①正确;
由题可得,AABMs/\ACNsAOBNsAOCM,AAMN^AABC,
•••图中共有8对相似三角形,故②正确;
:RtA4CN中,ZA=6Q°,
/.ZACN=30°,
,ATV=AAC,
2
又:ZlAMNsAABC,
•.,-M--N-=--A--N-=—1,
BCAC2
即BC=2MN,故③正确.
故选:C.
8.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=\6cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点。从
点2开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果尸、。两动点同时运动,那么何时尸与△ABC相似?
【答案】见试题解答内容
【解答】解:设经过t秒时,以△Q2P与ZXABC相似,则AP=2f厘米,BP=(8-2?)厘米,2。=4r厘
米,
:/PBQ=AABC,
...当坦=跑时,/XBPQsABAC,即生2_=处,解得f=2(s);
BABC816
当岂匕=凶■时,△BPQS^BCA,即§-2t=生,解得r=0.8(s);
BCBA168
即经过2秒或0.8秒时,402尸与AABC相似.
9.如图,AB±BC,DC±BC,E是BC上一点,使得AE_LOE;
(1)求证:AABEs^ECD;
(2)若A2=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当时,请写出线段AD、AB,C。之间数量关系,并说明理由.
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明:VAB±BC,DC.LBC,
:.ZB=ZC=90°,NBAE+NAEB=90°,
VAE±DE,
ZAED=90°,
AZAEB+ZDEC=90°,
J/DEC=NBAE,
:.AABE^AECD;
(2)解:RtZkABE中,*:AB=4,AE=5,
:・BE=3,
9:BC=5,
:.EC=5-3=2,
由(1)得:XABEsXECD,
•・AB=—EC,
BECD
•・•42,
3CD
:.CD=1;
2
(3)解:线段A。、AB,CD之间数量关系:AD=AB+CD;
理由是:过E作EP_LA。于R
,?AAEDs^ECD,
:.ZEAD=ZDEC,
':ZAED=ZC,
:.ZADE=/EDC,
VDCXBC,
:.EF=EC,
,:DE=DE,
:.RtADFE%RtADCE(HL),
:.DF=DC,
同理可得:AABE出AAFE,
:.AF=AB,
:.AD=AF+DF=AB+CD.
10.如图,在△ABC中,ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P从点A沿AC向C以2aw/s的速度移动,
到C即停,点。从点C沿CB向B以lcm/s的速度移动,到B就停.
(1)若P、。同时出发,经过几秒钟S"CQ=2on2;
(2)若点。从C点出发2s后点P从点A出发,再经过几秒△PCQ与AACB相似.
【解答】解:(1)设经过f秒钟&PCQ=2C«?,
由题意得,AP=2t,CQ=t,
则PC=8-2t,
由题意得,Ax(8-2r)Xt=2,
2
整理得,t2-4/+2=0
解得,尸2±6,
则P、。同时出发,经过(2土&)秒钟SAPCQ=2C%2;
(2)设再经过〃秒△PCQ与△ACB相似由题意得,AP=2n,CQ=2+n,
则PC=8-2n,
当△PCQs"cB时,空=型,即8-2n.=2tn,
CACB86
解得,〃=1.6,
当△时,CP=CQ,即2tn,
PCQS/XBCA----------,aIJ--6-------2----R----.=---------
CBCA68
解得,”=空,
11
综上所述,点。从C点出发2s后点尸从点A出发,再经过1.6秒或空秒秒△PC。与AACB相似.
六.相似三角形的判定与性质(共14小题)
11.如图,ZVIBC中,点。,E分别是边AB,AC上的点,DE//BC,点”是边BC上的点,连接AH交线
段DE于点G,且BH=DE=12,DG=8,S^ADG=U,贝US四边形BCED=()
BH
A.24B.22.5C.20D.25
【答案】B
【解答】解:如图所示:
BHC
'JDE//BC,
:.AADEs^ABC,
•••D一E-D--G,
BCBH
又;BH=DE=12,DG=8,
•CC_BH・DE_12X121
=1
又,:DE=DG+GE,
:.GE=\2-8=4,
又:△AQG与△AGE的高相等,
•SAADG^DG
S&AGEGE
又•;SAADG=12,
.GE4
"SAAGE=DG-'SAADGX12=6,
又,**SAADE—SAADG+SAAGE,
**•S丛ADE=12+6—18,
又△吟(吗2,
,△ADEDE
•-/18、2_81
c=1o8vX
,,SAABC(五)正,
又:S四边形BCED=SAABC_5AA£>E>
.81
,•S四边形BCED-^--18=22.5,
故选:B.
12.如图,将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离,平移后的三角形记为B'C,边A'B'刚好
经过边BC的中点O,已知△ABC的面积为16,则阴影部分AA'0c的面积为()
A.8B.6C.5D.4
【答案】D
【解答】解:•••点。是BC的中点,
:.CD=^BC,
2
由平移得:AB//A'B',
:.AB=ZA'DC,AA=ADA'C,
.•.△ABCs"'DC,
SZ
•AADC(CD)2=(2)2=工
^AABCBC24
•.•△ABC的面积为16,
.•.△A'DC的面积的面积=4,
4
故选:D.
13.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,。是网格线交点,AC与8。相交于点O,则△ABO的面积
【答案】C
【解答】解:设小方格的边长为1,
由图可知,AB//CD,
:AABOs丛CDO,且A3=&,CD=2近,
S^ABO:SACDO=(AB:CD)
S/\ABO'S丛CDO=(V2:2&)2=1:4,
故选:c.
14.如图,在△ABC中,CD平分/ACB,交AB于点。,过。作BC的平行线交AC于M,若BC=3,AC
=2,则。M=()
A.B.AC.gD.A
6543
【答案】B
【解答】解:・.・CD平分NAC3,
:.ZACD=ZDCB,
*:DM//CB,
:./MDC=NDCB,
:.ZMDC=ZACD,
:.MD=MC,
■:DM〃BC,
:.ZADM^ZB,ZAMD^ZACB,
:.AADM^AABC,
・・.吼=幽,
e,BCAC,
・
••DM=-2---D-M--,
32
5
故选:B.
15.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,在△ABC的内部,作一个正方形PQRS,若BC=3,AD=2,
则正方形尸。RS的边长为()
542
【答案】A
【解答】解:如图:
DQ
设正方形尸QRS的边长为无,
•.,AD是△ABC的高,SR//BC,
是△AST?的高,
贝!]AE^AD-ED=2-x,
,四边形尸。RS是正方形,
J.SR//BC,
:.△ASRS/XABC,
ASR=AE;
"BCAD"
•••x——.2-x,
32
解得:尸旦,
5
.•.正方形尸QRS的边长为旦
5
故选:A.
16.在团A3CD中,E是8C边上的点,连接A石交5。于点R若EC=2BE.贝I」A尸:尸石的值是()
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【解答】解:在菱形A3C0中,BE//AD,AD=BC9
:.ABEFsADAF,
:.BE:AD=EF:AF,
EC=2BE,
:.AD=BC=3BE,
:.EF:AF=A,ipAF-.EF=3.
3
故选:A.
17.如图,在△ABC中,CHJ_A8,CH=5,A3=10,若内接矩形。E尸G邻边。G:GF=l:2,则AG/。与
四边形ABbG的面积比为()
A
A.AB.Ac.AD.亚
3422
【答案】A
【解答】解::DG:GF=1:2,
.•.设£>G=x,FG=2x,
•..四边形DEFG是矩形,
:.FG//DE,
:.ZCGF=ZA.ZCFG=ZB,
:.丛CGFs丛CAB,
':CH±AB,FG//DE,
:.CHLFG,
;。=四,
"CH而’
.•.旦=”
510
・・.x=2.5,
经检验,x=2.5是原方程的根,
:.FG=5,
.SACGF_rFG、2_1
^ACAB杷4
.♦.△GFC与四边形ABPG的面积比为=1:3,
故选:A.
18.如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,£>为格点(即小正方形的顶点),与CD
相交于点O,则AO的长为
D
【答案】见试题解答内容
【解答】解:如图所示:
在△BOF和△EC尸中,
,ZDBF=CEF=90°
,ZBFD=ZEFC,
BD=CE
:.△BDF^AECF(A4S),
:.BF=EF=1,
2
y.':BF//DA,
:./\BFO^/\ADO,
•••A--O=AD,,
BOBF
又:AO=4,
在RtZXABO中,由勾股定理得,
AB=VAD2+BD2=^42+12=417,
5L':AB=AO+BO,
故答案为
19.如图,a//b//c,直线。与直线b之间的距离为直线c与直线6之间的距离为2«,等边△ABC
的三个顶点分别在直线〃、直线从直线c上,则等边三角形的边长是,
【答案】2巾.
【解答】解:如图,过点A作直线。于D,将绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,作EG
_L直线c于G交直线〃于
cG
则有/AEC=/AQB=/AFE=/EGC=90°,AE=AO=«,NEAF=NCEG=30°,
:.EF=1.AE=J^,
22
:.EG=5遮,CG=®EG=$,CE=2CG=5,
232
AC=VAE^CE^=7(73)2+52=-
等边△ABC的边长为20
故答案为:2曲.
20.如图,在等边三角形ABC中,D,E,尸分别是BC,AC,AB上的点,DELAC,EF±AB,FDLBC,
若△ABC的面积为48,则△£>EF的面积为16.
【答案】16.
【解答】解:,••△A3C是等边三角形,
ZA=ZB=ZC=60°,
DELAC,EFLAB,FD±BC,
:./AFE=NBDF=ZDEC=90°,
AZAEF=90°-NA=30°,NBFD=90°-ZB=30°,ZEDC=90°-ZC=30°,
:.ZDFE=1800-NAFE-NBFD=60°,ZFDE=1800-NBDF-NEDC=60°,Z£>£F=180°-
/DEC-/AEF=60°,
NDFE=/FDE=ZDEF=60°,
.♦.△OFE是等边三角形,
:.DF=EF,AABC^ADEF,
在RtZXBD尸和RtZXABE中,ZBFD=ZAEF==30°,
:.BD:DF:BF=\-.M:2,AF:EF=1:%,
:.AF:DF:BF=1:V3:2,
•DF=«
"AB
':LABCSADEF,
SADEF=(DF)2=(近)2=工
^AABC皿33
VAABC的面积为48,
△£>£■/的面积=16,
故答案为:16.
21.如图,在中,D,E分别是边AB,AC上的点,连接DE,>ZADE=ZACB.
(1)求证:△ADES.CB;
(2)若AD=2DB,A£=4,AC=9,求8。的长.
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明:VZADE=ZACB,ZA=ZA,
AADESAACB;
(2)解:由(1)可知:△ADEs/viCB,
•AD=AE
"ACAB,
设B£»=x,则A£»=2x,AB=3x,
':AE=4,AC=9,
-2x=_i_
兹
解得:x=V6(负值舍去),
:.BD的长是仇.
22.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与2。交于点E,DB平分/ADC,S.AB2=BE-BD.
(1)求证:LABEsLDCE;
(2)AE-CD=BUED.
【答案】证明过程见解答部分.
【解答】证明:(答:AB2=BE・BD,
:.AB:BE=BD:AB,
':ZABE=ZDBA,
:.AABEsADBA,
:.ZBAC=ZBDC,
,:BD平分/AOC,
ZADB=NBDC=ZBAC,
:.AABEsADCE;
(2)由(1)中相似可得,AE:DE=BE:CE,
"?ZBEC=ZAED,
:.△ADEsLBCE,
:.ZEAD=ZEBC,ZADE=NBDC=ZBCE,
:.△BCDs^AED,
:.BC:AE=CD:ED,
AE-CD=BC'ED.
23.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AELBC,垂足为£,连接。E,P为线段DE上一点,且/
AFE=ZB.
(1)求证:△AOPS/VDEC;
(2)若A8=8,AD=U,AF=6,求AE的长.
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明:・・•四边形ABC。是平行四边形,
J.AD//BC,AB//CD,
:・NADF=NCED,ZB+ZC=180°;
VZAFE+ZAFD=180°,/AFE=/B,
:.ZAFD=ZC,
:.AADFsADEG
(2)解:,・•四边形A3CO是平行四边形,
:.DC=AB=S.
,:AADFs^DEC,
・AD—AFpn12—6
DEDCDE8
:.DE=\6.
'."AD//BC,AE±BC,
:.AE±AD.
在RtZXADE中,ZE4D=90°,£>£=16,AO=12,
A£=VDE2-AD2=V162-122==4"
24.如图所示,在EIABCD中,AF平分/BAD交直线BC于尸,DE_LAF交直线BC于E
(1)求证:BE=CF;
(2)若点G为AB的中点,求旦旦的值.
HF
【答案】见试题解答内容
【解答】证明:(1)如图所示:
・・・四边形ABCD是平行四边形,
:.AD//BC,
:.NDAF=NAFB,
又YA/平分N3A0,
ZDAF=/BAF,
:./AFB=/BAF,
:.AB=FBf
ZAHG=ZAHD=90°,
又・・・NAHG+NGAH=9(T,ZAHD=Z£>AH=90°,
ZGAH=ZDAH,
:.ZAGH=ZADH,
又,:MyIIEF,AB//DC,
:.ZADG=ZDEC,/EGB=/EDC,
又•・•ZAGD=ZBGE,
:./DEC=/EDC,
:・DC=EC,
':AB=DC,
:・EC=BF,
又,:EC=BE+BC,BF=CF+BC,
:.BE=CF;
(2)如图所示:
•.•点G为A3的中点,
.'.AG=AD=—^,
又:AB=DC=BF=EC,
AD=BC=AG,
:.AD=BE=BC=CF=L^,
又ZAHD=ZFHE,ZDAH=ZEFH,
:.△AHDSFHE(A4),
•AD_AH
..瓯HF
•AH1
••♦--=---
HF3
七.相似三角形的应用(共4小题)
25.四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量
员用四分仪测量一方井的深度,将四分仪置于方井上的边沿,通过窥衡杆测望井底点F,窥衡杆与四分
仪的一边BC交于点”.图2中,四分仪为正方形ABCD方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得
AB为1,BH为05,实地测得BE为2.5.则井深86为()
A'~ID
3c
BE
G
图i图2
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【解答】解:・・•四边形ABC。是正方形,
・・・NA3C=90°,
・;BE=2.5,BH=0.5,
:.HE=BE-BH=2.5-0.5=2,
•・,四边形3EFG是矩形,
:・BG=EF,NBEF=90°,
ZABH=ZFEH=90°,
NAHB=/EHF,
:.△ABHs^FEH,
.AB=BH
••丽EH,
・1=0.5
•・丽丁'
:・EF=4,
:・BG=EF=4,
故选:A.
26.如图,已知,M,N分别为锐角NAO8的边。4,08上的点,ON=6,把△<?胸沿MN折叠,点。落
在点。处,MC与OB交于点P,若MN=MP=5,则PN=()
A.2B.3C.gD.也
33
【答案】D
【解答】解:・.・MN=MP,
工/MNP=NMPN,
:.ZCPN=ZONM,
由折叠可得,/ONM=/CNM,CN=ON=6,
:./CPN=/CNM,
又•.•〃=/<?,
:.ACPNs/\CNM,
空=型,BPCN1=CPXCM,
CNCM
62=CPX(CP+5),
解得CP=4,
又•.•里=空,
NMCN
•里=2
:.PN=^-,
3
故选:D.
27.明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高,小明先在N处竖立一根高1.6m的标杆MN,发现点8、M、P
在同一直线上.测得PN=0.5m,AN=45m,已知,点A、N、尸在同一直线上,MNLAP于点、N,AB1
AP于点A.则楼高A3为16m.
【答案】16.
【解答】解::MN_LAP,AB±AP,
:./BAP=/MNP=90°,
VZP=ZP,
:.ABAPsAMNP,
•AB=AP
"MN而’
•AB=4.5+0.5
"T60.5
解得:AB=16,
;・楼高AB为16m,
故答案为:16.
28.综合实践活动
在现实生活中,对于较高的建筑物,人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度.如图,九(1)班数
学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度,他们在教学楼前的D处竖立一
个长度为4米的直杆CD测得。N等于18米,让同学调整自己的位置,使得他直立时眼睛A、直杆顶
点C和高楼顶点M三点共线.此时测量人与直杆的距离2£>=3.2米,眼睛高度42=1.6米.请你根据以
上测量数据求出这栋教学楼M
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