图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）解析版

第4章图形的相似（易错必刷30题8种题型专项训练）

♦题型目录展示*

A比例的性质A相似三角形的判定

A平行线分线段成比例A相似三角形的判定与性质

A相似多边形的性质A相似三角形的应用

A相似三角形的性质A位似变换

—题型通关专训*

一.比例的性质（共2小题）

1.对等式三3进行变形，则下列等式成立的是（）

23

A.2x=3yB.3x=2yC.D仔

【答案】B

【解答】解：•••&/,

23

»•3%=2y,

A、2x=3y,不成立，故A不符合题意；

B、3x=2y,成立，故5符合题意；

C、•・•2■=X,・・.2%=3»不成立，故C不符合题意；

32

0、.・.2x=3y,不成立，故。不符合题意；

故选：B.

2.若包底屋」，则3a-2c+e的值为（）

bdf33b-2d+f

A.AB.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【解答】解：•••2秀屋=1,

bdf3

/3a—~2c—6—1

'3bW7丁

3a~~2c+e=1

*'3b-2d+f~3

故选：A.

二.平行线分线段成比例（共1小题）

3.如图，已知AB〃CD〃ER则下列结论正确的是（）

A.迪_=区B.—=—CAF=ADD.生=也

DFBEAFBC,BEBCDFBC

【答案】c

【解答】解：，：AB/ICDI/EF,

坦注，故4错误，

DFCE

亚军，故8错误；

AFBE

a

确

故

空型，即AFC正

ADBCBEBaC

故

错

CE误

坦期，即DF。

DFCEAD

故选：C.

三.相似多边形的性质（共1小题）

4.如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（E尸为折痕），得到两个全等的小矩形.若小矩形的长与宽的

比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是（）

D

B

A.2：1B.3：2C.V3：1D.V2：1

【答案】。

【解答】解：由折叠得：AE=1AD,

2

由题意得：矩形AB尸E与矩形40cB相似,

AAD=AB；

"ABAE，

：.AD-AE=AB2,

:.1.AD2^AB2,

2

.AD2T

AB2

：.AD：AB=®1,

故选：D.

四.相似三角形的性质（共1小题）

5.如图所示，若△ZMCS^ABC,则需满足（）

A.CD1=AD-DBB.AC2=BC'CDC.£望.D.史

CDBCDAAC

【答案】B

【解答】解：由可得CDAD=BD：CD,由此得不出结论；

由AC2=BC・C。，可得AC：BC=CD：AC,

vzc=zc,

.,.△ABC^ADAC,故B选项正确；

由£4得不出结论；

CDBC

由型=区■及/BAC=/AOC=90°可得结论，但题目中未提及.

DAAC

故选：B.

五.相似三角形的判定（共5小题）

6.如图，△ABC中，点O在线段AC上，连接B。，下列选项添加的条件中不能使△A3。与△ACB相似的

是（）

A

D

BC

A.坦B.ZADB=ZABCC.ZABD=ZCD.AB2=AD-AC

ABBC

【答案】A

【解答】解：在△AB。与△ABC中，由于若添加或/ABO=/C,

满足“两角对应相等的两个三角形相似”，故要使与△A2C相似，可添加一个条件2或C.

在△AB。与△ABC中，由于NA=/A,若添加坐即AB2=A£）.AC,

ADAB

满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”，故要使△ABD与△ABC相似，可添加一个条件D.

在△A2Z）与AABC中，若添加地理，由于不能说明/ADB=NABC,也不能说明三边对应成比例，

ABBC

故要使△ABO与△ABC相似，不能添加一个条件A.

故选：A.

7.如图，△ABC中，ZA=60°,BML4c于点M,CNLAB干点、N,BM,CN交于点O,连接MN.下列

结论：®ZAMN=ZABC；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN.其中正确的个数是（）

【解答】解：'：BM±AC,CN±AB,

：.ZANC=ZAMB=90°,

又

：.AABM^/\ACN,

•ANAC即ANAM

AM-ABAC-AB

XVZA=ZA,

:.AAMNsAABC,

：.ZAMN=ZABC,故①正确；

由题可得，AABMs/\ACNsAOBNsAOCM,AAMN^AABC,

•••图中共有8对相似三角形，故②正确；

：RtA4CN中，ZA=6Q°,

/.ZACN=30°,

，ATV=AAC,

2

又：ZlAMNsAABC,

•.,-M--N-=--A--N-=—1,

BCAC2

即BC=2MN,故③正确.

故选：C.

8.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=\6cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点。从

点2开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果尸、。两动点同时运动，那么何时尸与△ABC相似？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设经过t秒时，以△Q2P与ZXABC相似，则AP=2f厘米，BP=(8-2?)厘米，2。=4r厘

米，

:/PBQ=AABC,

...当坦=跑时，/XBPQsABAC,即生2_=处，解得f=2(s)；

BABC816

当岂匕=凶■时，△BPQS^BCA,即§-2t=生,解得r=0.8(s)；

BCBA168

即经过2秒或0.8秒时，402尸与AABC相似.

9.如图，AB±BC,DC±BC,E是BC上一点，使得AE_LOE；

(1)求证：AABEs^ECD；

(2)若A2=4,AE=BC=5,求CD的长；

(3)当时，请写出线段AD、AB,C。之间数量关系，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：VAB±BC,DC.LBC,

：.ZB=ZC=90°,NBAE+NAEB=90°,

VAE±DE,

ZAED=90°,

AZAEB+ZDEC=90°,

J/DEC=NBAE,

：.AABE^AECD；

(2)解：RtZkABE中,*：AB=4,AE=5,

:・BE=3,

9：BC=5,

：.EC=5-3=2,

由(1)得：XABEsXECD,

•・AB=—EC,

BECD

•・•42,

3CD

：.CD=1；

2

(3)解：线段A。、AB,CD之间数量关系：AD=AB+CD；

理由是：过E作EP_LA。于R

,?AAEDs^ECD,

：.ZEAD=ZDEC,

'：ZAED=ZC,

：.ZADE=/EDC,

VDCXBC,

：.EF=EC,

,:DE=DE,

:.RtADFE%RtADCE(HL),

：.DF=DC,

同理可得：AABE出AAFE,

：.AF=AB,

：.AD=AF+DF=AB+CD.

10.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P从点A沿AC向C以2aw/s的速度移动,

到C即停，点。从点C沿CB向B以lcm/s的速度移动，到B就停.

(1)若P、。同时出发，经过几秒钟S"CQ=2on2；

(2)若点。从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与AACB相似.

【解答】解：(1)设经过f秒钟&PCQ=2C«?,

由题意得，AP=2t,CQ=t,

则PC=8-2t,

由题意得，Ax(8-2r)Xt=2,

2

整理得，t2-4/+2=0

解得，尸2±6，

则P、。同时出发，经过(2土&)秒钟SAPCQ=2C%2；

（2）设再经过〃秒△PCQ与△ACB相似由题意得，AP=2n,CQ=2+n,

则PC=8-2n,

当△PCQs"cB时，空=型，即8-2n.=2tn,

CACB86

解得，〃=1.6,

当△时，CP=CQ,即2tn,

PCQS/XBCA----------,aIJ--6-------2----R----.=---------

CBCA68

解得，”=空，

11

综上所述，点。从C点出发2s后点尸从点A出发，再经过1.6秒或空秒秒△PC。与AACB相似.

六.相似三角形的判定与性质（共14小题）

11.如图，ZVIBC中，点。，E分别是边AB,AC上的点，DE//BC,点”是边BC上的点，连接AH交线

段DE于点G,且BH=DE=12,DG=8,S^ADG=U,贝US四边形BCED=（）

BH

A.24B.22.5C.20D.25

【答案】B

【解答】解：如图所示:

BHC

'JDE//BC,

：.AADEs^ABC,

•••D一E-D--G,

BCBH

又；BH=DE=12,DG=8,

•CC_BH・DE_12X121

=1

又,：DE=DG+GE,

：.GE=\2-8=4,

又：△AQG与△AGE的高相等，

•SAADG^DG

S&AGEGE

又•；SAADG=12,

.GE4

"SAAGE=DG-'SAADGX12=6，

又,**SAADE—SAADG+SAAGE，

**•S丛ADE=12+6—18,

又△吟（吗2,

,△ADEDE

•-/18、2_81

c=1o8vX

,,SAABC（五）正，

又：S四边形BCED=SAABC_5AA£>E>

.81

,•S四边形BCED-^--18=22.5，

故选：B.

12.如图，将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离，平移后的三角形记为B'C,边A'B'刚好

经过边BC的中点O,已知△ABC的面积为16,则阴影部分AA'0c的面积为（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】D

【解答】解：•••点。是BC的中点，

：.CD=^BC,

2

由平移得：AB//A'B',

：.AB=ZA'DC,AA=ADA'C,

.•.△ABCs"'DC,

SZ

•AADC(CD)2=(2)2=工

^AABCBC24

•.•△ABC的面积为16,

.•.△A'DC的面积的面积=4,

4

故选：D.

13.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与8。相交于点O,则△ABO的面积

【答案】C

【解答】解：设小方格的边长为1,

由图可知，AB//CD,

:AABOs丛CDO,且A3=&,CD=2近,

S^ABO：SACDO=(AB：CD)

S/\ABO'S丛CDO=(V2：2&)2=1：4,

故选：c.

14.如图，在△ABC中，CD平分/ACB,交AB于点。，过。作BC的平行线交AC于M,若BC=3,AC

=2,则。M=()

A.B.AC.gD.A

6543

【答案】B

【解答】解：・.・CD平分NAC3,

:.ZACD=ZDCB,

*：DM//CB,

：./MDC=NDCB,

：.ZMDC=ZACD,

：.MD=MC,

■:DM〃BC,

：.ZADM^ZB,ZAMD^ZACB,

：.AADM^AABC,

・・.吼=幽，

e，BCAC，

・

••DM=-2---D-M--,

32

5

故选：B.

15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS,若BC=3,AD=2,

则正方形尸。RS的边长为（）

542

【答案】A

【解答】解：如图：

DQ

设正方形尸QRS的边长为无，

•.,AD是△ABC的高，SR//BC,

是△AST?的高，

贝！］AE^AD-ED=2-x,

,四边形尸。RS是正方形，

J.SR//BC,

：.△ASRS/XABC,

ASR=AE；

"BCAD"

•••x——.2-x,

32

解得：尸旦，

5

.•.正方形尸QRS的边长为旦

5

故选：A.

16.在团A3CD中，E是8C边上的点，连接A石交5。于点R若EC=2BE.贝I」A尸：尸石的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解答】解：在菱形A3C0中，BE//AD,AD=BC9

:.ABEFsADAF,

：.BE：AD=EF：AF,

EC=2BE,

：.AD=BC=3BE,

:.EF：AF=A,ipAF-.EF=3.

3

故选：A.

17.如图，在△ABC中，CHJ_A8,CH=5,A3=10,若内接矩形。E尸G邻边。G：GF=l：2,则AG/。与

四边形ABbG的面积比为（)

A

A.AB.Ac.AD.亚

3422

【答案】A

【解答】解：：DG：GF=1：2,

.•.设£>G=x,FG=2x,

•..四边形DEFG是矩形，

：.FG//DE,

：.ZCGF=ZA.ZCFG=ZB,

:.丛CGFs丛CAB,

'：CH±AB,FG//DE,

：.CHLFG,

；。=四，

"CH而’

.•.旦=”

510

・・.x=2.5,

经检验，x=2.5是原方程的根，

：.FG=5,

.SACGF_rFG、2_1

^ACAB杷4

.♦.△GFC与四边形ABPG的面积比为=1：3,

故选：A.

18.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,£＞为格点（即小正方形的顶点），与CD

相交于点O,则AO的长为

D

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示:

在△BOF和△EC尸中，

，ZDBF=CEF=90°

，ZBFD=ZEFC，

BD=CE

:.△BDF^AECF(A4S),

：.BF=EF=1,

2

y.'：BF//DA,

：./\BFO^/\ADO,

•••A--O=AD，，

BOBF

又：AO=4,

在RtZXABO中，由勾股定理得，

AB=VAD2+BD2=^42+12=417，

5L'：AB=AO+BO,

故答案为

19.如图，a//b//c,直线。与直线b之间的距离为直线c与直线6之间的距离为2«,等边△ABC

的三个顶点分别在直线〃、直线从直线c上，则等边三角形的边长是，

【答案】2巾.

【解答】解：如图，过点A作直线。于D,将绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,作EG

_L直线c于G交直线〃于

cG

则有/AEC=/AQB=/AFE=/EGC=90°,AE=AO=«,NEAF=NCEG=30°,

：.EF=1.AE=J^,

22

:.EG=5遮,CG=®EG=$,CE=2CG=5,

232

AC=VAE^CE^=7(73)2+52=-

等边△ABC的边长为20

故答案为：2曲.

20.如图，在等边三角形ABC中，D,E,尸分别是BC,AC,AB上的点，DELAC,EF±AB,FDLBC,

若△ABC的面积为48,则△£>EF的面积为16.

【答案】16.

【解答】解：,••△A3C是等边三角形,

ZA=ZB=ZC=60°,

DELAC,EFLAB,FD±BC,

：./AFE=NBDF=ZDEC=90°,

AZAEF=90°-NA=30°,NBFD=90°-ZB=30°,ZEDC=90°-ZC=30°,

：.ZDFE=1800-NAFE-NBFD=60°,ZFDE=1800-NBDF-NEDC=60°,Z£>£F=180°-

/DEC-/AEF=60°,

NDFE=/FDE=ZDEF=60°,

.♦.△OFE是等边三角形,

：.DF=EF,AABC^ADEF,

在RtZXBD尸和RtZXABE中，ZBFD=ZAEF==30°,

：.BD：DF：BF=\-.M：2,AF：EF=1：%，

：.AF：DF：BF=1：V3：2,

•DF=«

"AB

'：LABCSADEF,

SADEF=(DF)2=(近)2=工

^AABC皿33

VAABC的面积为48,

△£>£■/的面积=16,

故答案为：16.

21.如图，在中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接DE,>ZADE=ZACB.

(1)求证：△ADES.CB；

(2)若AD=2DB,A£=4,AC=9,求8。的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：VZADE=ZACB,ZA=ZA,

AADESAACB；

（2）解：由（1）可知：△ADEs/viCB,

•AD=AE

"ACAB，

设B£»=x,则A£»=2x,AB=3x,

'：AE=4,AC=9,

-2x=_i_

兹

解得：x=V6（负值舍去），

：.BD的长是仇.

22.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与2。交于点E,DB平分/ADC,S.AB2=BE-BD.

(1)求证：LABEsLDCE；

(2)AE-CD=BUED.

【答案】证明过程见解答部分.

【解答】证明：(答:AB2=BE・BD,

：.AB：BE=BD：AB,

'：ZABE=ZDBA,

:.AABEsADBA,

：.ZBAC=ZBDC,

,：BD平分/AOC,

ZADB=NBDC=ZBAC,

：.AABEsADCE；

(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE,

"?ZBEC=ZAED,

：.△ADEsLBCE,

：.ZEAD=ZEBC,ZADE=NBDC=ZBCE,

:.△BCDs^AED,

：.BC：AE=CD：ED,

AE-CD=BC'ED.

23.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AELBC,垂足为£,连接。E,P为线段DE上一点，且/

AFE=ZB.

(1)求证：△AOPS/VDEC；

(2)若A8=8,AD=U,AF=6,求AE的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：・・•四边形ABC。是平行四边形,

J.AD//BC,AB//CD,

:・NADF=NCED,ZB+ZC=180°；

VZAFE+ZAFD=180°,/AFE=/B,

：.ZAFD=ZC,

：.AADFsADEG

(2)解：,・•四边形A3CO是平行四边形，

：.DC=AB=S.

,:AADFs^DEC,

・AD—AFpn12—6

DEDCDE8

：.DE=\6.

'."AD//BC,AE±BC,

：.AE±AD.

在RtZXADE中，ZE4D=90°,£>£=16,AO=12,

A£=VDE2-AD2=V162-122==4"

24.如图所示，在EIABCD中，AF平分/BAD交直线BC于尸，DE_LAF交直线BC于E

(1)求证：BE=CF；

(2)若点G为AB的中点，求旦旦的值.

HF

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）如图所示:

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

：.NDAF=NAFB,

又YA/平分N3A0,

ZDAF=/BAF,

：./AFB=/BAF,

：.AB=FBf

ZAHG=ZAHD=90°,

又・・・NAHG+NGAH=9(T,ZAHD=Z£>AH=90°,

ZGAH=ZDAH,

：.ZAGH=ZADH,

又,：MyIIEF,AB//DC,

：.ZADG=ZDEC,/EGB=/EDC,

又•・•ZAGD=ZBGE,

：./DEC=/EDC,

：・DC=EC,

'：AB=DC,

:・EC=BF,

又,：EC=BE+BC,BF=CF+BC,

：.BE=CF；

(2)如图所示:

•.•点G为A3的中点，

.'.AG=AD=—^,

又:AB=DC=BF=EC,

AD=BC=AG,

：.AD=BE=BC=CF=L^,

又ZAHD=ZFHE,ZDAH=ZEFH,

:.△AHDSFHE(A4),

•AD_AH

..瓯HF

•AH1

••♦--=---

HF3

七.相似三角形的应用(共4小题)

25.四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量

员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F,窥衡杆与四分

仪的一边BC交于点”.图2中，四分仪为正方形ABCD方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得

AB为1,BH为05,实地测得BE为2.5.则井深86为()

A'~ID

3c

BE

G

图i图2

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解答】解：・・•四边形ABC。是正方形，

・・・NA3C=90°,

・；BE=2.5,BH=0.5,

：.HE=BE-BH=2.5-0.5=2,

•・,四边形3EFG是矩形，

:・BG=EF,NBEF=90°,

ZABH=ZFEH=90°,

NAHB=/EHF,

：.△ABHs^FEH,

.AB=BH

••丽EH，

・1=0.5

•・丽丁'

：・EF=4,

:・BG=EF=4,

故选：A.

26.如图，已知，M,N分别为锐角NAO8的边。4,08上的点，ON=6,把△<?胸沿MN折叠，点。落

在点。处，MC与OB交于点P,若MN=MP=5,则PN=()

A.2B.3C.gD.也

33

【答案】D

【解答】解：・.・MN=MP,

工/MNP=NMPN,

：.ZCPN=ZONM,

由折叠可得，/ONM=/CNM,CN=ON=6,

:./CPN=/CNM,

又•.•〃=/<?,

:.ACPNs/\CNM,

空=型，BPCN1=CPXCM,

CNCM

62=CPX(CP+5),

解得CP=4,

又•.•里=空，

NMCN

•里=2

：.PN=^-,

3

故选：D.

27.明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在N处竖立一根高1.6m的标杆MN,发现点8、M、P

在同一直线上.测得PN=0.5m,AN=45m,已知，点A、N、尸在同一直线上，MNLAP于点、N,AB1

AP于点A.则楼高A3为16m.

【答案】16.

【解答】解：：MN_LAP,AB±AP,

:./BAP=/MNP=90°,

VZP=ZP,

:.ABAPsAMNP,

•AB=AP

"MN而’

•AB=4.5+0.5

"T60.5

解得：AB=16,

；・楼高AB为16m,

故答案为：16.

28.综合实践活动

在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度.如图，九（1）班数

学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一

个长度为4米的直杆CD测得。N等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶

点C和高楼顶点M三点共线.此时测量人与直杆的距离2£>=3.2米，眼睛高度42=1.6米.请你根据以

上测量数据求出这栋教学楼M