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文档简介

第4章图形的相似(易错必刷30题8种题型专项训练)

♦题型目录展示*

A比例的性质A相似三角形的判定

A平行线分线段成比例A相似三角形的判定与性质

A相似多边形的性质A相似三角形的应用

A相似三角形的性质A位似变换

—题型通关专训*

一.比例的性质(共2小题)

1.对等式三3进行变形,则下列等式成立的是()

23

A.2x=3yB.3x=2yC.D仔

【答案】B

【解答】解:•••&/,

23

»•3%=2y,

A、2x=3y,不成立,故A不符合题意;

B、3x=2y,成立,故5符合题意;

C、•・•2■=X,・・.2%=3»不成立,故C不符合题意;

32

0、.・.2x=3y,不成立,故。不符合题意;

故选:B.

2.若包底屋」,则3a-2c+e的值为()

bdf33b-2d+f

A.AB.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【解答】解:•••2秀屋=1,

bdf3

/3a—~2c—6—1

'3bW7丁

3a~~2c+e=1

*'3b-2d+f~3

故选:A.

二.平行线分线段成比例(共1小题)

3.如图,已知AB〃CD〃ER则下列结论正确的是()

A.迪_=区B.—=—CAF=ADD.生=也

DFBEAFBC,BEBCDFBC

【答案】c

【解答】解:,:AB/ICDI/EF,

坦注,故4错误,

DFCE

亚军,故8错误;

AFBE

a

空型,即AFC正

ADBCBEBaC

CE误

坦期,即DF。

DFCEAD

故选:C.

三.相似多边形的性质(共1小题)

4.如图,把一张矩形纸片沿着它的长边对折(E尸为折痕),得到两个全等的小矩形.若小矩形的长与宽的

比恰好等于原来矩形的长与宽的比,则小矩形的长与宽的比是()

D

B

A.2:1B.3:2C.V3:1D.V2:1

【答案】。

【解答】解:由折叠得:AE=1AD,

2

由题意得:矩形AB尸E与矩形40cB相似,

AAD=AB;

"ABAE,

:.AD-AE=AB2,

:.1.AD2^AB2,

2

.AD2T

AB2

:.AD:AB=®1,

故选:D.

四.相似三角形的性质(共1小题)

5.如图所示,若△ZMCS^ABC,则需满足()

A.CD1=AD-DBB.AC2=BC'CDC.£望.D.史

CDBCDAAC

【答案】B

【解答】解:由可得CDAD=BD:CD,由此得不出结论;

由AC2=BC・C。,可得AC:BC=CD:AC,

vzc=zc,

.,.△ABC^ADAC,故B选项正确;

由£4得不出结论;

CDBC

由型=区■及/BAC=/AOC=90°可得结论,但题目中未提及.

DAAC

故选:B.

五.相似三角形的判定(共5小题)

6.如图,△ABC中,点O在线段AC上,连接B。,下列选项添加的条件中不能使△A3。与△ACB相似的

是()

A

D

BC

A.坦B.ZADB=ZABCC.ZABD=ZCD.AB2=AD-AC

ABBC

【答案】A

【解答】解:在△AB。与△ABC中,由于若添加或/ABO=/C,

满足“两角对应相等的两个三角形相似”,故要使与△A2C相似,可添加一个条件2或C.

在△AB。与△ABC中,由于NA=/A,若添加坐即AB2=A£).AC,

ADAB

满足“两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似”,故要使△ABD与△ABC相似,可添加一个条件D.

在△A2Z)与AABC中,若添加地理,由于不能说明/ADB=NABC,也不能说明三边对应成比例,

ABBC

故要使△ABO与△ABC相似,不能添加一个条件A.

故选:A.

7.如图,△ABC中,ZA=60°,BML4c于点M,CNLAB干点、N,BM,CN交于点O,连接MN.下列

结论:®ZAMN=ZABC;②图中共有8对相似三角形;③BC=2MN.其中正确的个数是()

【解答】解:':BM±AC,CN±AB,

:.ZANC=ZAMB=90°,

:.AABM^/\ACN,

•ANAC即ANAM

AM-ABAC-AB

XVZA=ZA,

:.AAMNsAABC,

:.ZAMN=ZABC,故①正确;

由题可得,AABMs/\ACNsAOBNsAOCM,AAMN^AABC,

•••图中共有8对相似三角形,故②正确;

:RtA4CN中,ZA=6Q°,

/.ZACN=30°,

,ATV=AAC,

2

又:ZlAMNsAABC,

•.,-M--N-=--A--N-=—1,

BCAC2

即BC=2MN,故③正确.

故选:C.

8.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=\6cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s;动点。从

点2开始沿BC边运动,速度为4cm/s;如果尸、。两动点同时运动,那么何时尸与△ABC相似?

【答案】见试题解答内容

【解答】解:设经过t秒时,以△Q2P与ZXABC相似,则AP=2f厘米,BP=(8-2?)厘米,2。=4r厘

米,

:/PBQ=AABC,

...当坦=跑时,/XBPQsABAC,即生2_=处,解得f=2(s);

BABC816

当岂匕=凶■时,△BPQS^BCA,即§-2t=生,解得r=0.8(s);

BCBA168

即经过2秒或0.8秒时,402尸与AABC相似.

9.如图,AB±BC,DC±BC,E是BC上一点,使得AE_LOE;

(1)求证:AABEs^ECD;

(2)若A2=4,AE=BC=5,求CD的长;

(3)当时,请写出线段AD、AB,C。之间数量关系,并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明:VAB±BC,DC.LBC,

:.ZB=ZC=90°,NBAE+NAEB=90°,

VAE±DE,

ZAED=90°,

AZAEB+ZDEC=90°,

J/DEC=NBAE,

:.AABE^AECD;

(2)解:RtZkABE中,*:AB=4,AE=5,

:・BE=3,

9:BC=5,

:.EC=5-3=2,

由(1)得:XABEsXECD,

•・AB=—EC,

BECD

•・•42,

3CD

:.CD=1;

2

(3)解:线段A。、AB,CD之间数量关系:AD=AB+CD;

理由是:过E作EP_LA。于R

,?AAEDs^ECD,

:.ZEAD=ZDEC,

':ZAED=ZC,

:.ZADE=/EDC,

VDCXBC,

:.EF=EC,

,:DE=DE,

:.RtADFE%RtADCE(HL),

:.DF=DC,

同理可得:AABE出AAFE,

:.AF=AB,

:.AD=AF+DF=AB+CD.

10.如图,在△ABC中,ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P从点A沿AC向C以2aw/s的速度移动,

到C即停,点。从点C沿CB向B以lcm/s的速度移动,到B就停.

(1)若P、。同时出发,经过几秒钟S"CQ=2on2;

(2)若点。从C点出发2s后点P从点A出发,再经过几秒△PCQ与AACB相似.

【解答】解:(1)设经过f秒钟&PCQ=2C«?,

由题意得,AP=2t,CQ=t,

则PC=8-2t,

由题意得,Ax(8-2r)Xt=2,

2

整理得,t2-4/+2=0

解得,尸2±6,

则P、。同时出发,经过(2土&)秒钟SAPCQ=2C%2;

(2)设再经过〃秒△PCQ与△ACB相似由题意得,AP=2n,CQ=2+n,

则PC=8-2n,

当△PCQs"cB时,空=型,即8-2n.=2tn,

CACB86

解得,〃=1.6,

当△时,CP=CQ,即2tn,

PCQS/XBCA----------,aIJ--6-------2----R----.=---------

CBCA68

解得,”=空,

11

综上所述,点。从C点出发2s后点尸从点A出发,再经过1.6秒或空秒秒△PC。与AACB相似.

六.相似三角形的判定与性质(共14小题)

11.如图,ZVIBC中,点。,E分别是边AB,AC上的点,DE//BC,点”是边BC上的点,连接AH交线

段DE于点G,且BH=DE=12,DG=8,S^ADG=U,贝US四边形BCED=()

BH

A.24B.22.5C.20D.25

【答案】B

【解答】解:如图所示:

BHC

'JDE//BC,

:.AADEs^ABC,

•••D一E-D--G,

BCBH

又;BH=DE=12,DG=8,

•CC_BH・DE_12X121

=1

又,:DE=DG+GE,

:.GE=\2-8=4,

又:△AQG与△AGE的高相等,

•SAADG^DG

S&AGEGE

又•;SAADG=12,

.GE4

"SAAGE=DG-'SAADGX12=6,

又,**SAADE—SAADG+SAAGE,

**•S丛ADE=12+6—18,

又△吟(吗2,

,△ADEDE

•-/18、2_81

c=1o8vX

,,SAABC(五)正,

又:S四边形BCED=SAABC_5AA£>E>

.81

,•S四边形BCED-^--18=22.5,

故选:B.

12.如图,将△ABC沿射线AC方向平移一定的距离,平移后的三角形记为B'C,边A'B'刚好

经过边BC的中点O,已知△ABC的面积为16,则阴影部分AA'0c的面积为()

A.8B.6C.5D.4

【答案】D

【解答】解:•••点。是BC的中点,

:.CD=^BC,

2

由平移得:AB//A'B',

:.AB=ZA'DC,AA=ADA'C,

.•.△ABCs"'DC,

SZ

•AADC(CD)2=(2)2=工

^AABCBC24

•.•△ABC的面积为16,

.•.△A'DC的面积的面积=4,

4

故选:D.

13.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,。是网格线交点,AC与8。相交于点O,则△ABO的面积

【答案】C

【解答】解:设小方格的边长为1,

由图可知,AB//CD,

:AABOs丛CDO,且A3=&,CD=2近,

S^ABO:SACDO=(AB:CD)

S/\ABO'S丛CDO=(V2:2&)2=1:4,

故选:c.

14.如图,在△ABC中,CD平分/ACB,交AB于点。,过。作BC的平行线交AC于M,若BC=3,AC

=2,则。M=()

A.B.AC.gD.A

6543

【答案】B

【解答】解:・.・CD平分NAC3,

:.ZACD=ZDCB,

*:DM//CB,

:./MDC=NDCB,

:.ZMDC=ZACD,

:.MD=MC,

■:DM〃BC,

:.ZADM^ZB,ZAMD^ZACB,

:.AADM^AABC,

・・.吼=幽,

e,BCAC,

••DM=-2---D-M--,

32

5

故选:B.

15.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,在△ABC的内部,作一个正方形PQRS,若BC=3,AD=2,

则正方形尸。RS的边长为()

542

【答案】A

【解答】解:如图:

DQ

设正方形尸QRS的边长为无,

•.,AD是△ABC的高,SR//BC,

是△AST?的高,

贝!]AE^AD-ED=2-x,

,四边形尸。RS是正方形,

J.SR//BC,

:.△ASRS/XABC,

ASR=AE;

"BCAD"

•••x——.2-x,

32

解得:尸旦,

5

.•.正方形尸QRS的边长为旦

5

故选:A.

16.在团A3CD中,E是8C边上的点,连接A石交5。于点R若EC=2BE.贝I」A尸:尸石的值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解答】解:在菱形A3C0中,BE//AD,AD=BC9

:.ABEFsADAF,

:.BE:AD=EF:AF,

EC=2BE,

:.AD=BC=3BE,

:.EF:AF=A,ipAF-.EF=3.

3

故选:A.

17.如图,在△ABC中,CHJ_A8,CH=5,A3=10,若内接矩形。E尸G邻边。G:GF=l:2,则AG/。与

四边形ABbG的面积比为()

A

A.AB.Ac.AD.亚

3422

【答案】A

【解答】解::DG:GF=1:2,

.•.设£>G=x,FG=2x,

•..四边形DEFG是矩形,

:.FG//DE,

:.ZCGF=ZA.ZCFG=ZB,

:.丛CGFs丛CAB,

':CH±AB,FG//DE,

:.CHLFG,

;。=四,

"CH而’

.•.旦=”

510

・・.x=2.5,

经检验,x=2.5是原方程的根,

:.FG=5,

.SACGF_rFG、2_1

^ACAB杷4

.♦.△GFC与四边形ABPG的面积比为=1:3,

故选:A.

18.如图,由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,£>为格点(即小正方形的顶点),与CD

相交于点O,则AO的长为

D

【答案】见试题解答内容

【解答】解:如图所示:

在△BOF和△EC尸中,

,ZDBF=CEF=90°

,ZBFD=ZEFC,

BD=CE

:.△BDF^AECF(A4S),

:.BF=EF=1,

2

y.':BF//DA,

:./\BFO^/\ADO,

•••A--O=AD,,

BOBF

又:AO=4,

在RtZXABO中,由勾股定理得,

AB=VAD2+BD2=^42+12=417,

5L':AB=AO+BO,

故答案为

19.如图,a//b//c,直线。与直线b之间的距离为直线c与直线6之间的距离为2«,等边△ABC

的三个顶点分别在直线〃、直线从直线c上,则等边三角形的边长是,

【答案】2巾.

【解答】解:如图,过点A作直线。于D,将绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,作EG

_L直线c于G交直线〃于

cG

则有/AEC=/AQB=/AFE=/EGC=90°,AE=AO=«,NEAF=NCEG=30°,

:.EF=1.AE=J^,

22

:.EG=5遮,CG=®EG=$,CE=2CG=5,

232

AC=VAE^CE^=7(73)2+52=-

等边△ABC的边长为20

故答案为:2曲.

20.如图,在等边三角形ABC中,D,E,尸分别是BC,AC,AB上的点,DELAC,EF±AB,FDLBC,

若△ABC的面积为48,则△£>EF的面积为16.

【答案】16.

【解答】解:,••△A3C是等边三角形,

ZA=ZB=ZC=60°,

DELAC,EFLAB,FD±BC,

:./AFE=NBDF=ZDEC=90°,

AZAEF=90°-NA=30°,NBFD=90°-ZB=30°,ZEDC=90°-ZC=30°,

:.ZDFE=1800-NAFE-NBFD=60°,ZFDE=1800-NBDF-NEDC=60°,Z£>£F=180°-

/DEC-/AEF=60°,

NDFE=/FDE=ZDEF=60°,

.♦.△OFE是等边三角形,

:.DF=EF,AABC^ADEF,

在RtZXBD尸和RtZXABE中,ZBFD=ZAEF==30°,

:.BD:DF:BF=\-.M:2,AF:EF=1:%,

:.AF:DF:BF=1:V3:2,

•DF=«

"AB

':LABCSADEF,

SADEF=(DF)2=(近)2=工

^AABC皿33

VAABC的面积为48,

△£>£■/的面积=16,

故答案为:16.

21.如图,在中,D,E分别是边AB,AC上的点,连接DE,>ZADE=ZACB.

(1)求证:△ADES.CB;

(2)若AD=2DB,A£=4,AC=9,求8。的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明:VZADE=ZACB,ZA=ZA,

AADESAACB;

(2)解:由(1)可知:△ADEs/viCB,

•AD=AE

"ACAB,

设B£»=x,则A£»=2x,AB=3x,

':AE=4,AC=9,

-2x=_i_

解得:x=V6(负值舍去),

:.BD的长是仇.

22.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与2。交于点E,DB平分/ADC,S.AB2=BE-BD.

(1)求证:LABEsLDCE;

(2)AE-CD=BUED.

【答案】证明过程见解答部分.

【解答】证明:(答:AB2=BE・BD,

:.AB:BE=BD:AB,

':ZABE=ZDBA,

:.AABEsADBA,

:.ZBAC=ZBDC,

,:BD平分/AOC,

ZADB=NBDC=ZBAC,

:.AABEsADCE;

(2)由(1)中相似可得,AE:DE=BE:CE,

"?ZBEC=ZAED,

:.△ADEsLBCE,

:.ZEAD=ZEBC,ZADE=NBDC=ZBCE,

:.△BCDs^AED,

:.BC:AE=CD:ED,

AE-CD=BC'ED.

23.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AELBC,垂足为£,连接。E,P为线段DE上一点,且/

AFE=ZB.

(1)求证:△AOPS/VDEC;

(2)若A8=8,AD=U,AF=6,求AE的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明:・・•四边形ABC。是平行四边形,

J.AD//BC,AB//CD,

:・NADF=NCED,ZB+ZC=180°;

VZAFE+ZAFD=180°,/AFE=/B,

:.ZAFD=ZC,

:.AADFsADEG

(2)解:,・•四边形A3CO是平行四边形,

:.DC=AB=S.

,:AADFs^DEC,

・AD—AFpn12—6

DEDCDE8

:.DE=\6.

'."AD//BC,AE±BC,

:.AE±AD.

在RtZXADE中,ZE4D=90°,£>£=16,AO=12,

A£=VDE2-AD2=V162-122==4"

24.如图所示,在EIABCD中,AF平分/BAD交直线BC于尸,DE_LAF交直线BC于E

(1)求证:BE=CF;

(2)若点G为AB的中点,求旦旦的值.

HF

【答案】见试题解答内容

【解答】证明:(1)如图所示:

・・・四边形ABCD是平行四边形,

:.AD//BC,

:.NDAF=NAFB,

又YA/平分N3A0,

ZDAF=/BAF,

:./AFB=/BAF,

:.AB=FBf

ZAHG=ZAHD=90°,

又・・・NAHG+NGAH=9(T,ZAHD=Z£>AH=90°,

ZGAH=ZDAH,

:.ZAGH=ZADH,

又,:MyIIEF,AB//DC,

:.ZADG=ZDEC,/EGB=/EDC,

又•・•ZAGD=ZBGE,

:./DEC=/EDC,

:・DC=EC,

':AB=DC,

:・EC=BF,

又,:EC=BE+BC,BF=CF+BC,

:.BE=CF;

(2)如图所示:

•.•点G为A3的中点,

.'.AG=AD=—^,

又:AB=DC=BF=EC,

AD=BC=AG,

:.AD=BE=BC=CF=L^,

又ZAHD=ZFHE,ZDAH=ZEFH,

:.△AHDSFHE(A4),

•AD_AH

..瓯HF

•AH1

••♦--=---

HF3

七.相似三角形的应用(共4小题)

25.四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量

员用四分仪测量一方井的深度,将四分仪置于方井上的边沿,通过窥衡杆测望井底点F,窥衡杆与四分

仪的一边BC交于点”.图2中,四分仪为正方形ABCD方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得

AB为1,BH为05,实地测得BE为2.5.则井深86为()

A'~ID

3c

BE

G

图i图2

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解答】解:・・•四边形ABC。是正方形,

・・・NA3C=90°,

・;BE=2.5,BH=0.5,

:.HE=BE-BH=2.5-0.5=2,

•・,四边形3EFG是矩形,

:・BG=EF,NBEF=90°,

ZABH=ZFEH=90°,

NAHB=/EHF,

:.△ABHs^FEH,

.AB=BH

••丽EH,

・1=0.5

•・丽丁'

:・EF=4,

:・BG=EF=4,

故选:A.

26.如图,已知,M,N分别为锐角NAO8的边。4,08上的点,ON=6,把△<?胸沿MN折叠,点。落

在点。处,MC与OB交于点P,若MN=MP=5,则PN=()

A.2B.3C.gD.也

33

【答案】D

【解答】解:・.・MN=MP,

工/MNP=NMPN,

:.ZCPN=ZONM,

由折叠可得,/ONM=/CNM,CN=ON=6,

:./CPN=/CNM,

又•.•〃=/<?,

:.ACPNs/\CNM,

空=型,BPCN1=CPXCM,

CNCM

62=CPX(CP+5),

解得CP=4,

又•.•里=空,

NMCN

•里=2

:.PN=^-,

3

故选:D.

27.明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高,小明先在N处竖立一根高1.6m的标杆MN,发现点8、M、P

在同一直线上.测得PN=0.5m,AN=45m,已知,点A、N、尸在同一直线上,MNLAP于点、N,AB1

AP于点A.则楼高A3为16m.

【答案】16.

【解答】解::MN_LAP,AB±AP,

:./BAP=/MNP=90°,

VZP=ZP,

:.ABAPsAMNP,

•AB=AP

"MN而’

•AB=4.5+0.5

"T60.5

解得:AB=16,

;・楼高AB为16m,

故答案为:16.

28.综合实践活动

在现实生活中,对于较高的建筑物,人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度.如图,九(1)班数

学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度,他们在教学楼前的D处竖立一

个长度为4米的直杆CD测得。N等于18米,让同学调整自己的位置,使得他直立时眼睛A、直杆顶

点C和高楼顶点M三点共线.此时测量人与直杆的距离2£>=3.2米,眼睛高度42=1.6米.请你根据以

上测量数据求出这栋教学楼M

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