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文档简介

第09讲双曲线及其性质

【人教A版2019】

1.双曲线的定义

双曲线的定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于㈤F』)的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系:

心/

1

双曲线在坐标

系中的位置二b

K

3=l(Q>0,b>0:

标准方程%-,=1(。>。2>0)

焦点坐标F、(-cM,R(c,0)(0,c)

a,b,c的关系c2=a2+b2

3.双曲线方程的求解

(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义,确定的值,结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在无轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定

22

°2,尻的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为J—J=力0)

mn

或机——力俨=1(祖〃>0),再根据条件求解.

4.双曲线的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点,片,尸2为双曲线的焦点,当点P,片,尸2不在同一条直线上时,它们构成一个焦

点三角形,如图所示.

(2)焦点三角形的常用结论

若尸是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,分别为双曲线的左、右焦点,则品也B=-万

tanj

其中。为/4尸生.

►题型归纳

【题型1双曲线的定义及其应用】

22

【例1.1](2024•河北邢台二模)若点尸是双曲线C:器—^=1上一点,6,尸2分别为C的左、右焦点,

则-PF/=8”是TPF2I=16”的()

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

【例1.2](23-24高二上•陕西咸阳•阶段练习)双曲线C:/一1=l(a>0)的两个焦点分别是Fi与尸2,焦距

为8,M是双曲线上的一点,且|M&|=5,则IMF2I等于()

A.9B.9或1C.1D.6

【变式1.1](2024•青海•模拟预测)已知&,尸2分别是双曲线C:捻―5=15>0/>0)的左、右焦点,

|&&|=2c,点P在C的右支上,且的周长为6c,则|Pa|=()

A.3c—aB.3c+aC.2c—aD.2c+a

2

【变式1.2](23-24高二上.广东河源•期末)已知双曲线C:菅v-*=1的左、右焦点分别为&尸2,点P是C的

左支上一点,则|P6I—IP&I=()

A.2V5B.-2V5C.±V5D.±2A/5

【题型2曲线方程与双曲线】

【例2.1](23-24高三下.上海普陀.阶段练习)对于常数a,b,“ab<0”是“方程a/+打2=1对应的曲线

是双曲线''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

【例2.2](23-24高二下•安徽芜湖•阶段练习)已知方程三+4=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数根

m-32-m

的取值范围是()

A.(-co,2)B.(2,|)C.(3,+00)D.(|,3)

22

【变式2.1](23-24高一下•四川成都・开学考试)方程j+1表示双曲线的必要不充分条件可以是()

m+3m-1

A.TnG(—3,1)B.771G(—3,-1)U(—1,1)

C.mE(—3,4-oo)D.mG(—3,—1)

22

【变式2.2](23-24高三上•天津滨海新•阶段练习)“巾<1”是“方程一+之=1表示双曲线”的()

m+2m-1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【题型3双曲线的标准方程的求解】

22

【例3.1](23-24高二上.河北衡水.期末)已知双曲线京一a=l(a>0,6>0)的左,右焦点分别为F2,

半焦距为c.若双曲线上存在点A使得N&4F2=90。,且=2|4尸21=%则双曲线的方程为()

,,2-,2-,2-,2-,2-,2

A./一匕=1B.—-y2=1C.--^=1D.-=1

44y2332

【例3.2](23-24高二上.天津河西•期末)设中心在原点,焦点在无轴上的双曲线的焦距为16,且双曲线上

的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6,双曲线的方程为()

X2X2y2

A.B.二一匕二1

997

%2丫2y2丫2

C.--^=1D.匕—匕=1

1006479

【变式3.1](23-24高三上•北京通州•期末)已知双曲线的左、右焦点分别为&(—3,0),F2(3,0),P为双曲线上

一点,且llPFzl-IP&II=2,则双曲线的标准方程为()

A.x2——=1B.x2――=1

810

C.-——x2=1D.-——x2=1

810

22

【变式3.2X2024.河南安阳.二模)已知双曲线。橐―色=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F?,I&F2I=

2V3,尸为C上一点,P6的中点为。,APFzQ为等边三角形,则双曲线C的方程为().

22

A./-匕=1B.—-y2=1

22/

C.空—空=1D.3/-空=1

338

【题型4双曲线的轨迹方程】

【例4.1](23-24高二上•四川成都•期末)相距1400m的A,B两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3s,

已知声速是340m/s,炮弹爆炸点一定在曲线()的方程上.

A.----------=1(x<-510)B.----------------=1(x>510)

260100229900''260100229900'7

22

C.y=0(久W—700或久N700)D.-----------—=1

)260100229900

【例4.2](23-24高二上.重庆•期中)已知M(—2,0),圆C:/一4久+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切,

则动圆圆心P的轨迹方程是()

22_

A.%2—Y=1(%之1)B.y2=1(%之V3)

C.%2——=1D.-——y2=1

33

【变式4.1](24-25高二上•上海•课堂例题)已知动圆尸与圆M:(x+3)2+y2=1,圆N:(x-3)2+y2=9

均外切,记圆心尸的运动轨迹为曲线C,则C的方程为()

A.%2——=1B.x2―——l(x<—1)

88

22

C.x2-^-=1(%>1)D.y2-^-=1

【变式4.2](23-24高二上.湖南怀化・期中)直线3/="和丫=—x上各有一点P,Q(其中点P,Q的纵坐标分别

为外,总且满足人为<0),AOPQ的面积为4,则PQ的中点M的轨迹方程为()

A.x2+y2—4B.x2—y2=4

C.y2—x2=4D.x2+y2=8

【题型5双曲线中焦点三角形问题】

22

【例5.1](23-24高二上.四川成都•阶段练习)设6,尸2分别是双曲线一一"=1的下、上焦点,尸是该双曲

412

线上的一点,且3|PF/=52尸21则APFiF2的面积等于()

A.12B.24C.12V3D.24^3

【例5.2](23-24高二.全国.课后作业)己知F为双曲线1的左焦点,P,Q为双曲线C右支上的

916

点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点力(5,0)在线段PQ上,则APFQ的周长为()

A.28B.36C.44D.48

【变式5.1](23-24高三上.重庆沙坪坝.期中)设双曲线C:/-?=1的左、右焦点分别为乙尸2,点M在C的

右支上,且NM&F2=30°,则AMFiF2的面积为()

A.2B.V6C.2V3D.4+2百

【变式5.2](23-24高二.全国•课后作业)已知双曲线C:/一1=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一

点,M(0,2),则APFM的周长的最小值为()

A.2+4V2B.4+2V2

C.3V2D.2V6+3

模块二卜双曲线的几何性质。|

►知识梳理

i.双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质:

图形zA

第2y2

,一方=l(a>0,b>0)

标准方程/一庐=l(a>0,b>0)

范围x>a或x<-a,y£Ry>a或朽R

对称性关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称

顶点

4(-〃,0)小(。,0)Ai(0,-a)5A2(0,。)

半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b

离心率e=?(e>1)

渐近线方程b1a

—x片土针

v=±a

2.双曲线的离心率

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比反,叫作双曲线的离心率.

a

(2)双曲线离心率的范围:e>l.

(3)离心率的意义:离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线的开口大小.

因为2=够=^=后口,所以e越大,2越大,则双曲线的开口越大•

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直,离心率

3.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有0,4c的齐次方程(或不等式),借助于〃=/—消去人转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

►题型归纳

【题型6利用双曲线的几何性质求标准方程】

【例6.1](23-24高三上.山东临沂・开学考试)已知双曲线嗒-彩1的一条渐近线斜率为-2,实轴长为

4,则C的标准方程为()

222

Yvx22v/

A.y2--=lB.匕一上=1C.^-%=1D.匕一二=1

416164

【例6.2](23-24高三上•广东东莞•阶段练习)已知双曲线中心在原点,一顶点坐标为(0,4),且渐近线方程

为x=±2y,则其标准方程为()

22

A.匕V一X二=1B."2=1

1664

,2

AX2

C.x2-----=1D.y

166416

【变式6.1](24-25高二上•上海•课后作业)南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将

如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线写-1=1(。>0fb>0)下支的一部分,且此双曲线的下

焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的方程为()

2

D.y—=1

164

【变式6.2](23-24高三下•全国•阶段练习)过双曲线C:/-3=l(a>0,6>0)的右顶点A作一条渐近线

的平行线,交另一条渐近线于点P,AOAP的面积为半(。为坐标原点),离心率为2,则双曲线C的方程

4

为()

【题型7求双曲线的离心率或其取值范围】

22

【例7.1](24-25高三上•河北•阶段练习)已知双曲线3-a=1的右焦点为尸,过点尸作双曲线的一条渐近

线的垂线,垂足为A若[。川(O为坐标原点),则双曲线的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

【例7.2](24-25高三上•湖南•阶段练习)已知凡是双曲线捺一《=l(a〉6>0)的左、右焦点,以尸2为圆

心,a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于4B两点,若31aBi>固尸21,则双曲线的离心率的取值范围是

A.(1,沿B.(1,争C.(1,V2)D.(1,V3)

2

【变式7.1](24-25高三上•安徽亳州•开学考试)己知双曲线。曝v―V=«〉0),点M在C上,过点M作C

两条渐近线的垂线,垂足分别为48,若则双曲线C的离心率为()

4

A.—B.—C.—D.V3

233

22

【变式7.2](2024.四川德阳•模拟预测)已知双曲线/:5-总=l(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,

2

过A作无轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点,若SM0N>^c,则E的离心率的取值范围是()

A.停,2]B.[管,网C.[V2>V3]D.[V3,2]

【题型8双曲线的几何性质问题】

【例8.1](23-24高二下•广东•期中)已知双曲线C:3-5=1((1>0,6>0)的离心率为逐,则双曲线C的

渐近线方程为()

A.y=±V5xB.y=±V6xC.y=±—xD.y=+-x

56

【例8.2】(23-24高二下•广东惠州•阶段练习)若双曲线C:9—A=l(a>0,b>0)的一条渐近线与直线y=

2久+1垂直,且M(逐在C上,贝北的实轴长为()

A.1B.2C.3D.4

【变式8.1](23-24高二下.海南省直辖县级单位.阶段练习)已知双曲线C:捺―2=1(。>0">0)的离

心率为遍,左,右焦点分别为6,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|P&|=4,贝肪=()

A.4B.V5C.2D.1

【变式8.2](23-24高三上•海南•阶段练习)已知双曲线\-箕=l(a>0,6>0)的实轴长为2vL其左焦点

到双曲线的一条渐近线的距离为百,则双曲线的渐近线方程为()

A.y=±V3xB.y=±,久

C.y=+y[2xD.y=±半X

【题型9双曲线中的最值问题】

【例9.1](23-24高二上•云南楚雄.期末)已知点F是双曲线G:?—7=1的上焦点,M是G下支上的一点,

点N是圆。2:久2+y2—4x+3=0上一点,贝U|MF|+|MN|的最小值是()

A.7B.6C.5D.4V2-1

22

【例9.2](23-24高二上•福建福州•期末)已知4(0,4),双曲线^一号=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是

45

双曲线左支上一点,则|P4|+|PF2l的最小值为()

A.5B.7C.9D.11

【变式9.1](23-24高二上.全国.单元测试)已知等轴双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左焦点为

焦距为4,点4的坐标为(2,1),P为双曲线右支上一动点,则IP&I-|P川的最大值为()

A.2V2B.V17C.2V2+1D.2V2+V5

22

【变式9.2](23-24高二・全国•课后作业)设P是双曲线5-2=1上一点,M、N分别是两圆。-5)2+3y2=4

916

和0+5)2+外=1上的点,则|PM|—|PN|的最大值为()

A.6B.9C.12D.14

【题型10椭圆与双曲线综合】

22

【例10.1](23-24高三上.新疆乌鲁木齐•阶段练习)以椭圆京+a=l(a>b>0)的焦点为顶点,以椭圆的

顶点为焦点的双曲线的方程是()

A日一"=1--^=1

A,a2b2~1Bb2a2~1

y2[

C22-D.=

Ca-b匕2-1D.谓a2_b2-1

【例10.2](2024.江苏.模拟预测)已知&尸2为椭圆Cl与双曲线公共的焦点,且小。2在第一象限内的交点

为尸,若C1(2的离心率满足看+,=4,则“止尸2=()

A.-B.-C.-D.-

6432

【变式101】(23-24高二上•江苏宿迁•期末)已知椭圆[+[=1与双曲线/—1=1有相同的焦点6,F2,

且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,则COS4&Pa的值为()

A.-B.-C.-D.-

5555

2222

【变式10.2](23-24高二上.山东日照.期末)已知椭圆6++底=1(的>瓦>0)与双曲线。2橐—

1(a2>。”2>0)有相同的焦点&、F2,椭圆G的离心率为双曲线C2的离心率为02,点尸为椭圆G与双

曲线C2的交点,且N&PF2=B则当士+但取最大值时e1+62的值为()

3^102

A.V3B.等C.2V2D.

A课后提升练(19题)

一、单选题

22

1.(23-24高二下.北京海淀.期末)已知双曲线C京-卷=1的左右焦点依次为Fi,F2,且|正出1=10,若

点P在双曲线的右支上,则IPF/-|PF2I=()

A.-6B.6C.8D.10

2.(23-24高二上.云南迪庆・期末)已知点M(—2飓,0),N(2小,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=4.则动

点P的轨迹方程为()

A-T-£=1(X-2)B.9一T=1(XW—2)

C,_7=1(X24)D.言_?=1(久W—4)

3.(23-24高二下•江苏南京•阶段练习)与双曲线1有公共焦点,且离心率为;的椭圆的方程是()

542

A.次+”=1B.互+些=1C.立+艺=1D.立+艺=1

433436272736

4.(2024•陕西西安•模拟预测)已知双曲线立摄一'=l(a>0,b>0)的焦点关于渐近线的对称点在双曲线

E上,则双曲线E的离心率为()

A.2B.—C.V2D.V5

12

5.(23-24高二下.浙江.阶段练习)江南水乡多石拱桥,现有等轴双曲线形的石拱桥(如图),拱顶离水面

10米,水面宽力B=20有米,若水面上升5米,则水面宽为()

A.10鱼米B.15鱼米C.12百米D.30米

22

6.(2024・湖南邵阳•三模)已知双曲线C:叁一番=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左、右顶点分别为

4,点M在C上且MFlx轴,直线M4,时必与丫轴分别交于点P,Q,若3|OQ|=4|OP|(。为坐标原点),

则C的渐近线方程为()

A.y=+2y[6xB.y=±2V10xC.y—±4,xD.y=±2V15x

22

7.(23-24高二下.上海静安.期末)已知点P是双曲线9一5=1右支上的一点,点4、B分别是圆(X+6)2+

1620

y2=4和圆(无―6)2+y2=1上的点.则IP川—|PB|的最小值为()

A.3B.5C.7D.9

C:?=12

8.(23-24高二下.江苏盐城•阶段练习)已知双曲线的左,右焦点分别为&,F2,过户的直线

与双曲线C的右支交于4B两点,且|48|=6,则AFiAB的周长为()

A.20B.22C.28D.36

二、多选题

9.(23-24高二•江苏•假期作业)设a,&分别是双曲线/-?=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,且|P6I=

5,则IPF2I=()

A.5B.3

C.7D.6

22

10.(23-24高二下•河北张家口•开学考试)已知曲线C的方程为+-=1(me/?),则下列说法不

2m+l5-2m

正确

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