双曲线及其性质-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第09讲双曲线及其性质

【人教A版2019】

1.双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于㈤F』）的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

心/

1

双曲线在坐标

系中的位置二b

K

3=l(Q>0,b>0：

标准方程%-，=1(。>。2>0)

焦点坐标F、(-cM,R(c,0)(0,c)

a,b,c的关系c2=a2+b2

3.双曲线方程的求解

(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在无轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定

22

°2,尻的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为J—J=力0)

mn

或机——力俨=1(祖〃>0),再根据条件求解.

4.双曲线的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，片,尸2为双曲线的焦点，当点P,片,尸2不在同一条直线上时，它们构成一个焦

点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用结论

若尸是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，则品也B=-万

tanj

其中。为/4尸生.

►题型归纳

【题型1双曲线的定义及其应用】

22

【例1.1](2024•河北邢台二模)若点尸是双曲线C：器—^=1上一点，6,尸2分别为C的左、右焦点,

则-PF/=8”是TPF2I=16”的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

【例1.2］（23-24高二上•陕西咸阳•阶段练习）双曲线C：/一1=l（a>0）的两个焦点分别是Fi与尸2,焦距

为8,M是双曲线上的一点，且|M&|=5,则IMF2I等于（）

A.9B.9或1C.1D.6

【变式1.1］（2024•青海•模拟预测）已知&,尸2分别是双曲线C：捻―5=15>0/>0）的左、右焦点，

|&&|=2c,点P在C的右支上，且的周长为6c,则|Pa|=（）

A.3c—aB.3c+aC.2c—aD.2c+a

2

【变式1.2］（23-24高二上.广东河源•期末）已知双曲线C:菅v-*=1的左、右焦点分别为&尸2,点P是C的

左支上一点，则|P6I—IP&I=（）

A.2V5B.-2V5C.±V5D.±2A/5

【题型2曲线方程与双曲线】

【例2.1］（23-24高三下.上海普陀.阶段练习）对于常数a,b,“ab<0”是“方程a/+打2=1对应的曲线

是双曲线''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

【例2.2］（23-24高二下•安徽芜湖•阶段练习）已知方程三+4=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数根

m-32-m

的取值范围是（）

A.（-co,2）B.（2,|）C.（3,+00）D.（|,3）

22

【变式2.1］（23-24高一下•四川成都・开学考试）方程j+1表示双曲线的必要不充分条件可以是（）

m+3m-1

A.TnG（—3,1）B.771G（—3,-1）U（—1,1）

C.mE（—3,4-oo）D.mG（—3,—1）

22

【变式2.2］（23-24高三上•天津滨海新•阶段练习）“巾<1”是“方程一+之=1表示双曲线”的（）

m+2m-1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【题型3双曲线的标准方程的求解】

22

【例3.1]（23-24高二上.河北衡水.期末）已知双曲线京一a=l（a>0,6>0）的左，右焦点分别为F2,

半焦距为c.若双曲线上存在点A使得N&4F2=90。，且=2|4尸21=%则双曲线的方程为（）

,,2-,2-,2-,2-,2-,2

A./一匕=1B.—-y2=1C.--^=1D.-=1

44y2332

【例3.2]（23-24高二上.天津河西•期末）设中心在原点，焦点在无轴上的双曲线的焦距为16,且双曲线上

的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6,双曲线的方程为（）

X2X2y2

A.B.二一匕二1

997

%2丫2y2丫2

C.--^=1D.匕—匕=1

1006479

【变式3.1]（23-24高三上•北京通州•期末）已知双曲线的左、右焦点分别为&（—3,0）,F2（3,0）,P为双曲线上

一点，且llPFzl-IP&II=2，则双曲线的标准方程为（）

A.x2——=1B.x2――=1

810

C.-——x2=1D.-——x2=1

810

22

【变式3.2X2024.河南安阳.二模）已知双曲线。橐―色=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为F?,I&F2I=

2V3,尸为C上一点，P6的中点为。，APFzQ为等边三角形，则双曲线C的方程为（）.

22

A./-匕=1B.—-y2=1

22/

C.空—空=1D.3/-空=1

338

【题型4双曲线的轨迹方程】

【例4.1]（23-24高二上•四川成都•期末）相距1400m的A,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s,

已知声速是340m/s,炮弹爆炸点一定在曲线（）的方程上.

A.----------=1（x<-510）B.----------------=1（x>510）

260100229900''260100229900'7

22

C.y=0（久W—700或久N700）D.-----------—=1

）260100229900

【例4.2］（23-24高二上.重庆•期中）已知M（—2,0）,圆C:/一4久+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切,

则动圆圆心P的轨迹方程是（）

22_

A.%2—Y=1（%之1）B.y2=1（%之V3）

C.%2——=1D.-——y2=1

33

【变式4.1］（24-25高二上•上海•课堂例题）已知动圆尸与圆M：（x+3）2+y2=1,圆N：（x-3）2+y2=9

均外切，记圆心尸的运动轨迹为曲线C,则C的方程为（）

A.%2——=1B.x2―——l（x<—1）

88

22

C.x2-^-=1（%>1）D.y2-^-=1

【变式4.2］（23-24高二上.湖南怀化・期中）直线3/="和丫=—x上各有一点P,Q（其中点P,Q的纵坐标分别

为外,总且满足人为<0）,AOPQ的面积为4,则PQ的中点M的轨迹方程为（）

A.x2+y2—4B.x2—y2=4

C.y2—x2=4D.x2+y2=8

【题型5双曲线中焦点三角形问题】

22

【例5.1］（23-24高二上.四川成都•阶段练习）设6,尸2分别是双曲线一一"=1的下、上焦点，尸是该双曲

412

线上的一点，且3|PF/=52尸21则APFiF2的面积等于（）

A.12B.24C.12V3D.24^3

【例5.2］（23-24高二.全国.课后作业）己知F为双曲线1的左焦点，P,Q为双曲线C右支上的

916

点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点力（5,0）在线段PQ上，则APFQ的周长为（）

A.28B.36C.44D.48

【变式5.1］（23-24高三上.重庆沙坪坝.期中）设双曲线C:/-?=1的左、右焦点分别为乙尸2，点M在C的

右支上，且NM&F2=30°,则AMFiF2的面积为（）

A.2B.V6C.2V3D.4+2百

【变式5.2］（23-24高二.全国•课后作业）已知双曲线C:/一1=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一

点，M（0,2）,则APFM的周长的最小值为（）

A.2+4V2B.4+2V2

C.3V2D.2V6+3

模块二卜双曲线的几何性质。|

►知识梳理

i.双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

图形zA

第2y2

，一方=l(a>0,b>0)

标准方程/一庐=l(a>0,b>0)

范围x>a或x<-a,y£Ry>a或朽R

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点

4(-〃,0)小(。,0)Ai(0,-a)5A2(0,。)

半轴长实半轴长为a,虚半轴长为b

离心率e=?(e>1)

渐近线方程b1a

—x片土针

v=±a

2.双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比反，叫作双曲线的离心率.

a

(2)双曲线离心率的范围：e>l.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为2=够=^=后口，所以e越大，2越大，则双曲线的开口越大•

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率

3.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有0,4c的齐次方程(或不等式)，借助于〃=/—消去人转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

►题型归纳

【题型6利用双曲线的几何性质求标准方程】

【例6.1](23-24高三上.山东临沂・开学考试)已知双曲线嗒-彩1的一条渐近线斜率为-2,实轴长为

4,则C的标准方程为（）

222

Yvx22v/

A.y2--=lB.匕一上=1C.^-%=1D.匕一二=1

416164

【例6.2］（23-24高三上•广东东莞•阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为（0,4）,且渐近线方程

为x=±2y,则其标准方程为（）

22

A.匕V一X二=1B."2=1

1664

,2

AX2

C.x2-----=1D.y

166416

【变式6.1］（24-25高二上•上海•课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将

如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线写-1=1（。>0fb>0）下支的一部分，且此双曲线的下

焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的方程为（)

2

D.y—=1

164

【变式6.2］（23-24高三下•全国•阶段练习）过双曲线C:/-3=l（a>0,6>0）的右顶点A作一条渐近线

的平行线，交另一条渐近线于点P,AOAP的面积为半（。为坐标原点），离心率为2,则双曲线C的方程

4

为（）

【题型7求双曲线的离心率或其取值范围】

22

【例7.1］（24-25高三上•河北•阶段练习）已知双曲线3-a=1的右焦点为尸，过点尸作双曲线的一条渐近

线的垂线，垂足为A若［。川（O为坐标原点）,则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【例7.2］（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知凡是双曲线捺一《=l（a〉6>0）的左、右焦点，以尸2为圆

心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于4B两点，若31aBi>固尸21，则双曲线的离心率的取值范围是

A.（1,沿B.（1,争C.（1,V2）D.（1,V3）

2

【变式7.1]（24-25高三上•安徽亳州•开学考试）己知双曲线。曝v―V=«〉0）,点M在C上，过点M作C

两条渐近线的垂线，垂足分别为48,若则双曲线C的离心率为（）

4

A.—B.—C.—D.V3

233

22

【变式7.2]（2024.四川德阳•模拟预测）已知双曲线/:5-总=l（a>0,b>0）的焦距为2c,右顶点为A,

2

过A作无轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若SM0N>^c,则E的离心率的取值范围是（）

A.停，2]B.[管,网C.[V2>V3]D.[V3,2]

【题型8双曲线的几何性质问题】

【例8.1]（23-24高二下•广东•期中）已知双曲线C：3-5=1（（1>0,6>0）的离心率为逐，则双曲线C的

渐近线方程为（）

A.y=±V5xB.y=±V6xC.y=±—xD.y=+-x

56

【例8.2】（23-24高二下•广东惠州•阶段练习）若双曲线C:9—A=l（a>0,b>0）的一条渐近线与直线y=

2久+1垂直，且M（逐在C上，贝北的实轴长为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式8.1]（23-24高二下.海南省直辖县级单位.阶段练习）已知双曲线C：捺―2=1（。>0">0）的离

心率为遍，左，右焦点分别为6,F2,F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|P&|=4,贝肪=（）

A.4B.V5C.2D.1

【变式8.2]（23-24高三上•海南•阶段练习）已知双曲线\-箕=l（a>0,6>0）的实轴长为2vL其左焦点

到双曲线的一条渐近线的距离为百，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±V3xB.y=±，久

C.y=+y[2xD.y=±半X

【题型9双曲线中的最值问题】

【例9.1]（23-24高二上•云南楚雄.期末）已知点F是双曲线G：?—7=1的上焦点，M是G下支上的一点，

点N是圆。2：久2+y2—4x+3=0上一点，贝U|MF|+|MN|的最小值是（）

A.7B.6C.5D.4V2-1

22

【例9.2］（23-24高二上•福建福州•期末）已知4（0,4）,双曲线^一号=1的左、右焦点分别为F1，F2,点P是

45

双曲线左支上一点，则|P4|+|PF2l的最小值为（）

A.5B.7C.9D.11

【变式9.1］（23-24高二上.全国.单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为

焦距为4,点4的坐标为（2,1）,P为双曲线右支上一动点，则IP&I-|P川的最大值为（）

A.2V2B.V17C.2V2+1D.2V2+V5

22

【变式9.2］（23-24高二・全国•课后作业）设P是双曲线5-2=1上一点,M、N分别是两圆。-5）2+3y2=4

916

和0+5）2+外=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）

A.6B.9C.12D.14

【题型10椭圆与双曲线综合】

22

【例10.1］（23-24高三上.新疆乌鲁木齐•阶段练习）以椭圆京+a=l（a>b>0）的焦点为顶点，以椭圆的

顶点为焦点的双曲线的方程是（）

A日一"=1--^=1

A，a2b2~1Bb2a2~1

y2［

C22-D.=

Ca-b匕2-1D.谓a2_b2-1

【例10.2］（2024.江苏.模拟预测）已知&尸2为椭圆Cl与双曲线公共的焦点，且小。2在第一象限内的交点

为尸，若C1（2的离心率满足看+,=4,则“止尸2=（）

A.-B.-C.-D.-

6432

【变式101】（23-24高二上•江苏宿迁•期末）已知椭圆［+［=1与双曲线/—1=1有相同的焦点6,F2,

且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P,则COS4&Pa的值为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

2222

【变式10.2］（23-24高二上.山东日照.期末）已知椭圆6++底=1（的>瓦>0）与双曲线。2橐—

1（a2>。”2>0）有相同的焦点&、F2,椭圆G的离心率为双曲线C2的离心率为02，点尸为椭圆G与双

曲线C2的交点，且N&PF2=B则当士+但取最大值时e1+62的值为（）

3^102

A.V3B.等C.2V2D.

A课后提升练（19题）

一、单选题

22

1.（23-24高二下.北京海淀.期末）已知双曲线C京-卷=1的左右焦点依次为Fi，F2,且|正出1=10,若

点P在双曲线的右支上，则IPF/-|PF2I=（）

A.-6B.6C.8D.10

2.（23-24高二上.云南迪庆・期末）已知点M（—2飓,0）,N（2小,0）,动点P满足条件|PM|-|PN|=4.则动

点P的轨迹方程为（）

A-T-£=1（X-2）B.9一T=1（XW—2）

C,_7=1（X24）D.言_?=1（久W—4）

3.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）与双曲线1有公共焦点，且离心率为;的椭圆的方程是（）

542

A.次+”=1B.互+些=1C.立+艺=1D.立+艺=1

433436272736

4.（2024•陕西西安•模拟预测）已知双曲线立摄一'=l（a>0,b>0）的焦点关于渐近线的对称点在双曲线

E上，则双曲线E的离心率为（）

A.2B.—C.V2D.V5

12

5.（23-24高二下.浙江.阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面

10米，水面宽力B=20有米，若水面上升5米，则水面宽为（）

A.10鱼米B.15鱼米C.12百米D.30米

22

6.（2024・湖南邵阳•三模）已知双曲线C：叁一番=1（a＞0,b＞0）的右焦点为F,左、右顶点分别为

4，点M在C上且MFlx轴，直线M4,时必与丫轴分别交于点P，Q，若3|OQ|=4|OP|（。为坐标原点），

则C的渐近线方程为（）

A.y=+2y[6xB.y=±2V10xC.y—±4,xD.y=±2V15x

22

7.（23-24高二下.上海静安.期末）已知点P是双曲线9一5=1右支上的一点，点4、B分别是圆（X+6）2+

1620

y2=4和圆（无―6）2+y2=1上的点.则IP川—|PB|的最小值为（）

A.3B.5C.7D.9

C：?=12

8.（23-24高二下.江苏盐城•阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为&,F2,过户的直线

与双曲线C的右支交于4B两点，且|48|=6,则AFiAB的周长为（）

A.20B.22C.28D.36

二、多选题

9.（23-24高二•江苏•假期作业）设a,&分别是双曲线/-?=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|P6I=

5,则IPF2I=（）

A.5B.3

C.7D.6

22

10.（23-24高二下•河北张家口•开学考试）已知曲线C的方程为+-=1（me/?）,则下列说法不

2m+l5-2m

正确