山东省济南市某中学2023-2024学年高二年级上册期中学情检测数学试卷

山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中

学情检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线^=4/的准线方程为（）

A.y=-1B.x=-l

2.直线血》一逐歹+1=（）的倾斜角为（）

£2^715%

A.3B.3C.6D.-6~

3.已知空间向量4=（机+1,私一2）3=（-2,1,4）,且打石，则加的值为（

1010

A.B.-10C.ioD.3

4.如图，在四面体045C中，OA=a,无=OC=cfCQ=2QB尸为线段04

的中点，则°。等于（）

匕

+4+2"——a+—b+—c

A.233B.233C.233D.

1-2r1-

——a+—b+—c

233

5.在正方体中，初和N分别为4片和84的中点，那么直线4W与

CN所成角的余弦值是（）

2_2叵而

A.5B.5C.5D.5

6.若圆^一3）一+5+5）一」2上至少有三个点到直线4》-3了-2=0的距离为1,则半径

〃的取值范围是（）

A.（6，+°°）B.飙+⑹c（46]D.[4，句

22

=1（^>0,6>0）尼日

7.已知双曲线。b2/的左、右焦点分别为《，外，点?在双曲线的右

支上，且卜当卜3归工|,则双曲线离心率的取值范围是（）

A.。，4]B.I*动c2]D.2+s）

8.已知E尸是圆0：/+/-2苫-4»+3=0的一条弦，且CE1CF,尸是放的中点,

71

7rc…ZAPB>-

当弦防在圆C上运动时，直线=°上存在两点43,使得2恒成

立，则线段N8长度的最小值是（）

A.3A/2+1B.4V2+2c.4>/3+1D.4A/3+2

二、多选题

2222

—+—=1——+^—=l（-9<f<0）

9.已知椭圆169与椭圆16+f9+t,则下列说法错误的是

（）

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

10.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点A,B距

离之比是常数的点M的轨迹是圆.若两定点“（々°）,以2，°）,动点M

满足战H=加阿，则下列说法正确的是（）

A.点M的轨迹围成区域的面积为32万

B.面积的最大值为8及

C.点"到直线x->+4=°距离的最大值为5a

D.若圆C：（x+l）2+（）一1）2=，上存在满足条件的点初，则半径厂的取值范围为

[72,972]

11.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（3+加）x+4y-3+3加=O（meR）恒过点（.3）,3）

B.圆/+V=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+g=°的距离都等于1

C.圆G：Y+/+2x=0与圆的：/+必-4x-8y+M7=0恰有三条公切线，则看《

D.已知圆°：/+r=4,过点尸⑶4）向圆C引两条切线尸/、PB,4、B为

切点，则直线45方程为标+勺-4=°

12.在棱长为1的正方体-44aoi中，E为侧面的中心，尸是棱G2

的中点，若点尸为线段8〃上的动点，则下列说法正确的是（）

A.%的长最小值为万

B.丽•丽的最小值为一欣

9

C.若BP=2P%则平面尸ZC截正方体所得截面的面积为W

27r

D.若正方体绕8功旋转。角度后与其自身重合，则8的值可以是行

三、填空题

13.平行六面体ABCDTMQI,AB=AD=4,M=5,

ABAD=ABAA,=ZDAA[=60°则/G=

14.正方体”04绰物的棱长为i,P^^AP=2AB+2AD+AA',则p到

AB的距离为

15.已知尸（T，°）,3是圆C：仁-1）2+/=16上的任意一点，线段①z的垂直平分线

交BC于点尸.则动点P的轨迹方程为.

222

16.已知力3是x+歹=r的直径，M是圆上不同于/、5的任意一点，MA、班的斜

率分别为"小、及MB,贝|心,"河5=—1（•.*/I/I±俯）

22

工+匕=1

类比到椭圆中，是过椭圆/b2（a＞白＞。）中心的弦，M是椭圆上不同于

4、2的任意一点，MA、朋3的斜率分别为儿、％,则LrL=

四、解答题

17.已知/（T2）,以点A为圆心的圆被了轴截得的弦长为2百.

⑴求圆A的方程；

⑵若过点'0,-2）的直线/与圆A相切，求直线/的方程.

18.如图，在棱长为2的正方体,38一4片GA中，E,尸分别为线段8c的

中点.

⑴求点尸到平面4CE的距离；

(2)求平面4CE与平面BCCA夹角的余弦值.

19.已知正三棱柱"8C-44G的底面边长为2,。是8片的中点，AB.LDQ

⑴求三棱柱"Be-44a的体积

(2)求直线他与平面4Go所成角的正弦值

C：-7=1(Q>6>0)p

20.已知椭圆ab2的左焦点为'「4刃，点尸到短袖的一个端点的

距离为新.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点/作斜率为左的直线/,与椭圆C交于A,3两点，若E•砺>-2,求后的取

值范围.

21.如图，在梯形48CD中，AB//CDt四边形/CEE为矩形，且C尸，平面/5CD

AD=CD=BC^CF^-AB=\

.2

（1）求证：EFJ.BC.

（2）点”在线段（不含端点）上运动，设直线5E与平面M4c所成角为。，求sin®

的取值范围.

22.已知圆尸："一2）+V=4,点£（-2,0）,点G是圆尸上任意一点，线段EG的垂

直平分线交直线BG于点7,点7的轨迹记为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）已知曲线C上一点.（2/。）（%>°）,动圆N：（x-2）2+/=〃（r>0）,且点加在

圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点N,B

①求证：直线的斜率为定值；

②若直线与>2交于点。，且&*=2,我"时，求直线43的方程.

参考答案:

1.D2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.B

9.ABC10.ABD11.BCD12.BCD

V5公/b2

13.而---------1-----=1----7

14.215.4316.a

17.【详解】（1）不妨设圆的半径为R,根据垂径定理，可得：R'=r+（6）

解得：R=2

.(x+iy+(y-2y=4

则圆的方程为:

（2）当直线/的斜率不存在时，则有：x=l

故此时直线/与圆相切，满足题意

当直线/的斜率存在时，不妨设直线/的斜率为左，点'（1厂2）的直线/的距离为d

直线/的方程为：V=MxT）-2

则有：Jl+公

k=--

解得：4,此时直线/的方程为：3x+4y+5=0

综上可得，直线/的方程为：尤=1或3x+—+5=°

18.【详解】（1）以。为原点，N为x轴，℃为了轴，为z轴，建立如下图所示的空

间直角坐标系.

由于正方体/8C。-44GA的棱长为2和E,尸分别为线段42,4G的中点知,

4=(2,0,2),£(2,1,0),。(0,2,0),尸(1,2,2).设平面4。£1的法向量为"=(冗，歹/)

\n-A,C=0[—2x+2y—2z=0_

______5___=〃=(1,2,1)

A{C=(-2,2,-2),A1E=(0,1,-2)^[n^AiE=0[y_2z=0

而内_|-1+2+2|_逐

所=(-1,1,2),故点尸到平面4CE的距离J1+4+1：：

(2)平面2CG用的法向量有=(°，1，°),平面与平面夹角的余弦值

m'n2V6

cos6=

|加V63

19.【详解】(1)因为所以"A’OG,因此

福.西=0=(麴+福)(函+昭)=0

=>AA[•DB]+AAX•4G+44,DB[+4sl.BXCX=0

因为ABC-44G是正三棱柱,所以"4//叫M1平面/4G,

而4G，，4u平面44G,因此44_L44,所以有。自，44,

DB=—

设8旦=。，。是的中点，所以12,于是有：

—a1+2x2-cos120°=0=>—^z2—2=0=>tz=2

22,〃二一2舍去,

1h

2x—x2x2-sin60°=4x——=2

三棱柱一44G的体积为:22

(2)设%。，平面4G。，设/。=",

取44的中点£,所以CS4印，所以G£->-(2x2)-£

因为平面AA^B1平面"4G,而平面说与2C平面44G=44,

因此GE,平面44#2,

.Kd-AgD=^G-AAiDn7,d,S“GD=7,C]E•S“AD

由33

由勾股定理可知中：DG=DA[=df+2。=5AG=2,

--x2x^(V5)-(-x2)-2^因为期=2,所以四边形4W是正方形,

5=-x2x2=2L，2=Lg.2nd=6

故’2,所以有33

在正方形N48避中，设=尸，。是84的中点,

AAJ/BB\n^=^=2nAF=EWH¥=^,

因为“。工平面4G。，所以ZAFO是直线/片与平面4G。所成角,

3

sinZ^F(9=-屈

AF4V2^T~

所以3

20.【详解】（1）根据题意，已知椭圆C的左焦点为尸（一2，°）,则有：c=2

点尸到短袖的一个端点的距离为几,则有："=指

则有：b=41

3-1

故椭圆C的方程为：62

（2）设过点尸作斜率为左的直线/的方程为：V=%（x+2）

联立直线/与椭圆C的方程可得：

y=左（％+2）

,，+「-1

[62

士（3^2+1）x2+12k2x+12F-6=0

则有：＜＞,

直线/过点尸，所以公＞°恒成立，

不妨设A,3两点的坐标分别为：/（国,必）再（马,%），则有:

12k2

X+X=-----5------

1273k2+1

12产一6

**T

又OAOB=x1x2+必％

且%％=廿（X[+2）（%+2）

则有:

左~（X]+2）（X?+2）=（左2+1）再了2+4上2+2%~（X]+怎）

OA•OB=xxx2+y1y2=xxx2+

12k2l2k2-6

X+=1——再12-——5---------

将3人?+l,一3/+1代入后可得:

10左2一6

OAOB=

3r+1

16公一4

>0

若力•赤＞-2,则有：3r+1

k>-k<--

解得：2或2

21.【详解】（1）由己知可得四边形NBC。是等腰梯形,

2-11

BnTHT=------

过C作C7/L/8,垂足为“，则22,

CH=^BC--BH-=

在Rt八BCH中，2

V3

smZCBH=^~V3

则12,可得NCB"=60°,

在“BC中，由余弦定理可得,

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZCBH=4+l-2x2xlx~=3

2

则藉+叱=/町.\AC.LBCf

又CT7_L平面ABCD,ACu平面ABCD,

CF±AC,

:BCcCF=C,BC,CVu平面3CF,

.:/C工平面BC尸，

又4CFE为矩形,

ACHEF,则EF1平面BCF,

而BCu平面8W,

EF1BC.

（2）平面N3CD,且NC18C,

以C为坐标原点，分别以。，CB,。尸所在直线为x,V,z轴建立空间直角坐标系,

则/（6,0,0）,8（0,1,0）,尸（0,0,1）,E（6,0」）,

尸，.•.设跖0，1-。，。），

则由=（0,1-a,a）,又而=（6,0,0）,

设平面M4c的法向量为:=（'//）,

n-CM=（l_Q）y+az=0

<

+n-CA=V3x=0

取）=Q,得亢=（0,a,〃_l）

屉=（后-1,1）

21Q_；+£1

,/a£（0,1）11i

"VsVw

singe、歹'亨

则

22.【详解】（1）圆R（x-2）-+V=4的圆心尸（2,0）,半径厂=2,

如上右图，归尸日阳T77—=|FG|=2<4=M,

因此IIHTHTFIHITGHr刊HFG|=2<4=|M

点T的轨迹是以点£、尸为焦点，且实轴长为2a=2的双曲线，其中焦距2c=,虚半轴长

b=yjc2—a1=\/3,

X---------1

所以点T的轨迹C方程为3

（2）①设点"（知为），'（%，%）,直线的方程为卜="+机，

…7

<3

由y=kx+m消去）得（3-IE_2左加工_m2_3=0

其中3—左2wo,且八=4k2m2+4（3-k2）（疗+3）=12（m2-^2+3）>0,

2kmm2+3

x,+x=-------x,x=---------

123-左2,123-k2,

由点M（2,%）（%>0）在曲线c上，得川（2,3）,显然直线M4和直线儿归关于》=2对称,

%1-2+^-2=0

直线跖4和直线九必的斜率满足七《+33=0,即%-3%-3,

整理得（%一2）（%-3）+（必-3）（%-2）=0,

即（石—2）（AX