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文档简介
山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中
学情检测数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.抛物线^=4/的准线方程为()
A.y=-1B.x=-l
2.直线血》一逐歹+1=()的倾斜角为()
£2^715%
A.3B.3C.6D.-6~
3.已知空间向量4=(机+1,私一2)3=(-2,1,4),且打石,则加的值为(
1010
A.B.-10C.ioD.3
4.如图,在四面体045C中,OA=a,无=OC=cfCQ=2QB尸为线段04
的中点,则°。等于()
匕
+4+2"——a+—b+—c
A.233B.233C.233D.
1-2r1-
——a+—b+—c
233
5.在正方体中,初和N分别为4片和84的中点,那么直线4W与
CN所成角的余弦值是()
2_2叵而
A.5B.5C.5D.5
6.若圆^一3)一+5+5)一」2上至少有三个点到直线4》-3了-2=0的距离为1,则半径
〃的取值范围是()
A.(6,+°°)B.飙+⑹c(46]D.[4,句
22
=1(^>0,6>0)尼日
7.已知双曲线。b2/的左、右焦点分别为《,外,点?在双曲线的右
支上,且卜当卜3归工|,则双曲线离心率的取值范围是()
A.。,4]B.I*动c2]D.2+s)
8.已知E尸是圆0:/+/-2苫-4»+3=0的一条弦,且CE1CF,尸是放的中点,
71
7rc…ZAPB>-
当弦防在圆C上运动时,直线=°上存在两点43,使得2恒成
立,则线段N8长度的最小值是()
A.3A/2+1B.4V2+2c.4>/3+1D.4A/3+2
二、多选题
2222
—+—=1——+^—=l(-9<f<0)
9.已知椭圆169与椭圆16+f9+t,则下列说法错误的是
()
A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等
10.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个顶点A,B距
离之比是常数的点M的轨迹是圆.若两定点“(々°),以2,°),动点M
满足战H=加阿,则下列说法正确的是()
A.点M的轨迹围成区域的面积为32万
B.面积的最大值为8及
C.点"到直线x->+4=°距离的最大值为5a
D.若圆C:(x+l)2+()一1)2=,上存在满足条件的点初,则半径厂的取值范围为
[72,972]
11.以下四个命题表述正确的是()
A.直线(3+加)x+4y-3+3加=O(meR)恒过点(.3),3)
B.圆/+V=4上有且仅有3个点到直线/:x-y+g=°的距离都等于1
C.圆G:Y+/+2x=0与圆的:/+必-4x-8y+M7=0恰有三条公切线,则看《
D.已知圆°:/+r=4,过点尸⑶4)向圆C引两条切线尸/、PB,4、B为
切点,则直线45方程为标+勺-4=°
12.在棱长为1的正方体-44aoi中,E为侧面的中心,尸是棱G2
的中点,若点尸为线段8〃上的动点,则下列说法正确的是()
A.%的长最小值为万
B.丽•丽的最小值为一欣
9
C.若BP=2P%则平面尸ZC截正方体所得截面的面积为W
27r
D.若正方体绕8功旋转。角度后与其自身重合,则8的值可以是行
三、填空题
13.平行六面体ABCDTMQI,AB=AD=4,M=5,
ABAD=ABAA,=ZDAA[=60°则/G=
14.正方体”04绰物的棱长为i,P^^AP=2AB+2AD+AA',则p到
AB的距离为
15.已知尸(T,°),3是圆C:仁-1)2+/=16上的任意一点,线段①z的垂直平分线
交BC于点尸.则动点P的轨迹方程为.
222
16.已知力3是x+歹=r的直径,M是圆上不同于/、5的任意一点,MA、班的斜
率分别为"小、及MB,贝|心,"河5=—1(•.*/I/I±俯)
22
工+匕=1
类比到椭圆中,是过椭圆/b2(a>白>。)中心的弦,M是椭圆上不同于
4、2的任意一点,MA、朋3的斜率分别为儿、%,则LrL=
四、解答题
17.已知/(T2),以点A为圆心的圆被了轴截得的弦长为2百.
⑴求圆A的方程;
⑵若过点'0,-2)的直线/与圆A相切,求直线/的方程.
18.如图,在棱长为2的正方体,38一4片GA中,E,尸分别为线段8c的
中点.
⑴求点尸到平面4CE的距离;
(2)求平面4CE与平面BCCA夹角的余弦值.
19.已知正三棱柱"8C-44G的底面边长为2,。是8片的中点,AB.LDQ
⑴求三棱柱"Be-44a的体积
(2)求直线他与平面4Go所成角的正弦值
C:-7=1(Q>6>0)p
20.已知椭圆ab2的左焦点为'「4刃,点尸到短袖的一个端点的
距离为新.
⑴求椭圆C的方程;
⑵过点/作斜率为左的直线/,与椭圆C交于A,3两点,若E•砺>-2,求后的取
值范围.
21.如图,在梯形48CD中,AB//CDt四边形/CEE为矩形,且C尸,平面/5CD
AD=CD=BC^CF^-AB=\
.2
(1)求证:EFJ.BC.
(2)点”在线段(不含端点)上运动,设直线5E与平面M4c所成角为。,求sin®
的取值范围.
22.已知圆尸:"一2)+V=4,点£(-2,0),点G是圆尸上任意一点,线段EG的垂
直平分线交直线BG于点7,点7的轨迹记为曲线C.
⑴求曲线C的方程;
(2)已知曲线C上一点.(2/。)(%>°),动圆N:(x-2)2+/=〃(r>0),且点加在
圆N外,过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点N,B
①求证:直线的斜率为定值;
②若直线与>2交于点。,且&*=2,我"时,求直线43的方程.
参考答案:
1.D2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.B
9.ABC10.ABD11.BCD12.BCD
V5公/b2
13.而---------1-----=1----7
14.215.4316.a
17.【详解】(1)不妨设圆的半径为R,根据垂径定理,可得:R'=r+(6)
解得:R=2
.(x+iy+(y-2y=4
则圆的方程为:
(2)当直线/的斜率不存在时,则有:x=l
故此时直线/与圆相切,满足题意
当直线/的斜率存在时,不妨设直线/的斜率为左,点'(1厂2)的直线/的距离为d
直线/的方程为:V=MxT)-2
则有:Jl+公
k=--
解得:4,此时直线/的方程为:3x+4y+5=0
综上可得,直线/的方程为:尤=1或3x+—+5=°
18.【详解】(1)以。为原点,N为x轴,℃为了轴,为z轴,建立如下图所示的空
间直角坐标系.
由于正方体/8C。-44GA的棱长为2和E,尸分别为线段42,4G的中点知,
4=(2,0,2),£(2,1,0),。(0,2,0),尸(1,2,2).设平面4。£1的法向量为"=(冗,歹/)
\n-A,C=0[—2x+2y—2z=0_
______5___=〃=(1,2,1)
A{C=(-2,2,-2),A1E=(0,1,-2)^[n^AiE=0[y_2z=0
而内_|-1+2+2|_逐
所=(-1,1,2),故点尸到平面4CE的距离J1+4+1::
(2)平面2CG用的法向量有=(°,1,°),平面与平面夹角的余弦值
m'n2V6
cos6=
|加V63
19.【详解】(1)因为所以"A’OG,因此
福.西=0=(麴+福)(函+昭)=0
=>AA[•DB]+AAX•4G+44,DB[+4sl.BXCX=0
因为ABC-44G是正三棱柱,所以"4//叫M1平面/4G,
而4G,,4u平面44G,因此44_L44,所以有。自,44,
DB=—
设8旦=。,。是的中点,所以12,于是有:
—a1+2x2-cos120°=0=>—^z2—2=0=>tz=2
22,〃二一2舍去,
1h
2x—x2x2-sin60°=4x——=2
三棱柱一44G的体积为:22
(2)设%。,平面4G。,设/。=",
取44的中点£,所以CS4印,所以G£->-(2x2)-£
因为平面AA^B1平面"4G,而平面说与2C平面44G=44,
因此GE,平面44#2,
.Kd-AgD=^G-AAiDn7,d,S“GD=7,C]E•S“AD
由33
由勾股定理可知中:DG=DA[=df+2。=5AG=2,
--x2x^(V5)-(-x2)-2^因为期=2,所以四边形4W是正方形,
5=-x2x2=2L,2=Lg.2nd=6
故’2,所以有33
在正方形N48避中,设=尸,。是84的中点,
AAJ/BB\n^=^=2nAF=EWH¥=^,
因为“。工平面4G。,所以ZAFO是直线/片与平面4G。所成角,
3
sinZ^F(9=-屈
AF4V2^T~
所以3
20.【详解】(1)根据题意,已知椭圆C的左焦点为尸(一2,°),则有:c=2
点尸到短袖的一个端点的距离为几,则有:"=指
则有:b=41
3-1
故椭圆C的方程为:62
(2)设过点尸作斜率为左的直线/的方程为:V=%(x+2)
联立直线/与椭圆C的方程可得:
y=左(%+2)
,,+「-1
[62
士(3^2+1)x2+12k2x+12F-6=0
则有:<>,
直线/过点尸,所以公>°恒成立,
不妨设A,3两点的坐标分别为:/(国,必)再(马,%),则有:
12k2
X+X=-----5------
1273k2+1
12产一6
**T
又OAOB=x1x2+必%
且%%=廿(X[+2)(%+2)
则有:
左~(X]+2)(X?+2)=(左2+1)再了2+4上2+2%~(X]+怎)
OA•OB=xxx2+y1y2=xxx2+
12k2l2k2-6
X+=1——再12-——5---------
将3人?+l,一3/+1代入后可得:
10左2一6
OAOB=
3r+1
16公一4
>0
若力•赤>-2,则有:3r+1
k>-k<--
解得:2或2
21.【详解】(1)由己知可得四边形NBC。是等腰梯形,
2-11
BnTHT=------
过C作C7/L/8,垂足为“,则22,
CH=^BC--BH-=
在Rt八BCH中,2
V3
smZCBH=^~V3
则12,可得NCB"=60°,
在“BC中,由余弦定理可得,
AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZCBH=4+l-2x2xlx~=3
2
则藉+叱=/町.\AC.LBCf
又CT7_L平面ABCD,ACu平面ABCD,
CF±AC,
:BCcCF=C,BC,CVu平面3CF,
.:/C工平面BC尸,
又4CFE为矩形,
ACHEF,则EF1平面BCF,
而BCu平面8W,
EF1BC.
(2)平面N3CD,且NC18C,
以C为坐标原点,分别以。,CB,。尸所在直线为x,V,z轴建立空间直角坐标系,
则/(6,0,0),8(0,1,0),尸(0,0,1),E(6,0」),
尸,.•.设跖0,1-。,。),
则由=(0,1-a,a),又而=(6,0,0),
设平面M4c的法向量为:=('//),
n-CM=(l_Q)y+az=0
<
+n-CA=V3x=0
取)=Q,得亢=(0,a,〃_l)
屉=(后-1,1)
21Q_;+£1
,/a£(0,1)11i
"VsVw
singe、歹'亨
则
22.【详解】(1)圆R(x-2)-+V=4的圆心尸(2,0),半径厂=2,
如上右图,归尸日阳T77—=|FG|=2<4=M,
因此IIHTHTFIHITGHr刊HFG|=2<4=|M
点T的轨迹是以点£、尸为焦点,且实轴长为2a=2的双曲线,其中焦距2c=,虚半轴长
b=yjc2—a1=\/3,
X---------1
所以点T的轨迹C方程为3
(2)①设点"(知为),'(%,%),直线的方程为卜="+机,
…7
<3
由y=kx+m消去)得(3-IE_2左加工_m2_3=0
其中3—左2wo,且八=4k2m2+4(3-k2)(疗+3)=12(m2-^2+3)>0,
2kmm2+3
x,+x=-------x,x=---------
123-左2,123-k2,
由点M(2,%)(%>0)在曲线c上,得川(2,3),显然直线M4和直线儿归关于》=2对称,
%1-2+^-2=0
直线跖4和直线九必的斜率满足七《+33=0,即%-3%-3,
整理得(%一2)(%-3)+(必-3)(%-2)=0,
即(石—2)(AX
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