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文档简介
人教版新九年级暑期成果评价卷
测试范围:一元二次方程、二次函数、旋转
选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)围棋起源于中国,古代称之为“弈。至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是
中心对称图形的是()
2.(3分)下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是()
A.(x+2)2=0B./+3=0C./+2x-17=0D.x2+x+5=0
3.(3分)将函数y=x2+x的图象向右平移a(a>0)个单位,得到函数y=/-5x+6的图象,则a的值()
A.1B.2C.3D.4
4.(3分)小亮根据取尤的值为:1.1,1.2,1.3,1.4,1.5时,代入/+12x-15求值,估算一元二次方程的
解()
X1.11.21.31.41.5
X2+12X-15-0.590.842.293.765.25
A.l.l<x<1,2B.1.2<x<1.3C.1.3<x<1.4D.1.4<x<1.5
5.(3分)已知点(-4,ji),(2,>2)均在抛物线y=/-l上,则yi,”的大小关系为()
A.y\<yiB.y\>yiC.yiW”D.
6.(3分)有一个正"边形旋转90°后与自身重合,则w的值可能为()
A.6B.9C.12D.15
7.(3分)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度//(单位:加)与小球运动时间f(单位:s)之间的函数
关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40m;
②小球运动的时间为6s;
③小球抛出3秒时,速度为0;
④当t=1.5s时,小球的高度/i=30m.
其中正确的是()
A.①④B.①②C.②③④D.②④
8.(3分)在中秋活动中,参加活动的同学每两人之间互赠礼物,所有参加活动的同学共赠送了72件礼物,
则参加活动的人数为()
A.8人B.9AC.10AD.11A
9.(3分)将点(1,2)绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是()
A.(-1,-2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(-2,1)
10.(3分)如图是二次函数>=办2+云+<?的图象,对于下列说法:①ac>0,®2a+b>0,③4acW廿,®a+b+c
<0,⑤当尤>0时,y随尤的增大而减小,其中正确的是()
A.①②③B.②④C.②③④D.③④⑤
填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11.(3分)一元二次方程x(x-2)=x-2的一个根为x=2,另一个根为.
12.(3分)已知点Pi(a-1,1)和尸2(2,b-1)关于原点对称,贝!|。+6=.
13.(3分)抛物线y=7-x-1与y轴的交点的坐标为.
14.(3分)已知a,0是方程/+3x-1=0的两个实数根,则3a3-101=.
15.(3分)如图,在4X4的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,若将△AOC绕点。顺时针旋转90°
三.解答题(共8小题,满分75分)
16.(10分)解方程:
(1)2?-3x=0(2)x2-4x-1=0
17.(9分)已知关于x的方程区2+4尤-2=0有实数根,求左的取值范围.
18.(9分)如图,在RtZkABC中,ZB=90°,AB=3cm,8C=4c加,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿
运动;同时,点。从点B出发,以2c%/s的速度沿BC运动.当点0到达点C时,P、。两点同时停
止运动.设运动时间为t(s),四边形APQC的面积为S(cm).
(1)试写出四边形APQC的面积为S(cm)与动点运动时间r之间的函数表达式;
(2)运动时间/为何值时,四边形APQC的面积最小?最小值为多少?
19.(9分)下列三幅图中的网格均由边长为1的小正方形组成,图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制
的“弦图”,它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成,赵爽利用这“弦图”对勾股定理作出了证
明,是中国古代数学的一项重要成就,请根据下列要求解答问题.
(1)图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形(阴影部分)是(填"轴”或“中心”)
对称图形;
(2)将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形,通过你所学过的图形变换知识,按下列要求画图:
①在图2中画出RtAABC向右平移4格后得到的△OEG
②在图3中画出Rt^ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A8C.
20.(9分)为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召,某公司自主设计了一款可控温杯,每个
生产成本为18元,投放市场进行了试销.经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元/个)之
间的部分数据如下:
销售单价x(元/件)…20253035…
每月销售量y(万件)…60504030…
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)设每月的利润为w(万元),求w与龙之间的函数关系式;
(3)该公司既要获得一定利润,又要符合相关部门规定(产品利润率不得高于50%)请你帮助分析,公
司销售单价定为多少时可获利最大?并求出最大利润.
21.(9分)某校为进一步打造“空中花园”,优化育人环境,增添校园绿色文化,计划到一家花卉种植基地
采购甲、乙两种花卉共50盆,其中甲种花卉的数量不超过30盆,且不少于10盆.据了解,甲、乙两种
花卉的原价分别是80元/盆、56元/盆.种植基地负责人为了支持学校建设,提供以下优惠:购买几盆甲
种花卉,甲种花卉每盆就降几元,乙种花卉按原价购买.设该校购买甲种花卉x盆,请回答以下问题:
(1)若该校采购甲、乙两种花卉共花费2880元,求该校分别购买甲、乙两种花卉各多少盆?
(2)设购买甲、乙两种花卉共花费w元,求卬与x的函数关系式;
(3)请预计本次采购该校最少准备多少元,最多准备多少元?
22.(10分)在平面直角坐标系中,点A在无轴上,点8、C在y轴上,且点8与点C关于x轴对称,点。
在线段上,点E为该坐标平面内一点.
%VA
①如图1,若点E在线段AC上,求证:CD=BE;
②如图2,若点E在线段上,且/。EA=NABC,求证:ZACO^2ZOAE.
(2)如图3,已知8£)=AE,点E在线段CA的延长线上,尸为CD中点,且/。48=30°,求证:BF
±EF.
23.(10分)如图,直线y=x+2与抛物线y=/-2MU+H?+相交于A、B两点(A在2的左侧),与y轴交于
点C,抛物线的顶点为。,抛物线的对称轴与直线A3交于点
(1)当四边形COOM是菱形时,求点。的坐标;
(2)若点尸为直线OO上一动点,求AAPB的面积;'
人教版新九年级暑期成果评价卷
测试范围:一元二次方程、二次函数、旋转
选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.(3分)围棋起源于中国,古代称之为“弈。至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项符合题意;
8、不是中心对称图形,故本选项不合题意;
C、不是中心对称图形,故本选项不合题意;
。、不是中心对称图形,故本选项不合题意.
故选:A.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.(3分)下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是()
A.(x+2)2=0B./+3=0C./+2x-17=0D.x2+x+5=0
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值,取其大于零的选项即可得出结论.
【解答】解:A、原方程可变形为/+4x+4=0,
•/A=42-4X1X4=0,
...一元二次方程(龙+2)2=0有两个相等的实数根;
B、VA=O2-4X1X3=-12<0,
...一元二次方程/+3=0没有实数根;
C、VA=22-4X1X(-17)=72>0,
一元二次方程7+2x-17=0有两个不相等的实数根;
D、VA=12-4X1X5=-19<0,
一元二次方程/+x+5=0没有实数根.
故选:C.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>()时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
3.(3分)将函数y=/+x的图象向右平移a(a>0)个单位,得到函数y=/-5x+6的图象,则a的值()
A.1B.2C.3D.4
【分析】把两个函数都化为顶点式,按照''左加右减,上加下减”的规律,则可求出a的值.
【解答】解:y=x2+x=(x+—)2-—,
24
顶点的横坐标为:-工;
2
y=7-5x+6=(x--)2--,
24
顶点的横坐标为:区;
2
.,.a=--(--)=3.
22
故选:C.
【点评】本题考查的是二次函数的图形与几何变换,熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的
关键.
4.(3分)小亮根据取x的值为:1.1,1.2,1.3,1.4,1.5时,代入/+12x-15求值,估算一元二次方程的
解()
X1.11.21.31.41.5
X2+12X-15-0.590.842.293.765.25
A.l.l<x<1.2B.1.2<尤<1.3C.1.3<x<1.4D.1.4<x<1.5
【分析】由表格可发现y的值-0.59和0.84最接近0,再看对应的尤的值即可得.
【解答】解:由表可以看出,当无取1.1与1.2之间的某个数时,y=0,即这个数是7+12x-15=0的一
个根.
/+12x-15=0的一个解x的取值范围为1.1<尤<1.2.
故选:A.
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解,正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关
系正确理解的基础上的.
5.(3分)已知点(-4,yi),(2,y2)均在抛物线y=f-1上,则yi,”的大小关系为()
A.yi<y2B.yi>y2C.yiWy2D.
【分析】把(-4,yi),(2,j2)分别代入抛物线y=/-1求出口、”,再比较得出答案.
【解答】解:把(-4,yi),(2,”)分别代入抛物线y=7-1得,
yi=16-1=15,
”=4-1=3,
•\yi>y2,
故选:B.
【点评】考查二次函数的图象和性质,把点的坐标代入计算是常用的方法,有时也可以根据函数的增减
性进行判断.
6.(3分)有一个正〃边形旋转90°后与自身重合,则w的值可能为()
A.6B.9C.12D.15
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360。)后能与原图形重合,那么这个图形就
叫做旋转对称图形.直接利用旋转对称图形的性质,结合正多边形中心角相等进而得出答案.
【解答】解:A.正六边形旋转90。后不能与自身重合,不合题意;
B.正九边形旋转90°后不能与自身重合,不合题意;
C.正十二边形旋转90°后能与自身重合,符合题意;
D.正十五边形旋转90°后不能与自身重合,不合题意;
故选:C.
【点评】此题主要考查了旋转对称图形,正确把握正多边形的性质是解题的关键.
7.(3分)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度〃(单位:7")与小球运动时间r(单位:s)之间的函数
关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40〃?;
②小球运动的时间为6s;
③小球抛出3秒时,速度为0;
④当t=1.5s时,小球的高度/z=30m.
其中正确的是()
JllH
123456
A.①④B.①②C.②③④D.②④
【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案;④可由待定系数法求得函数解析式,再将f=
1.5s代入计算,即可作出判断.
【解答】解:①由图象可知,小球在空中达到的最大高度为40m,则小球在空中经过的路程一定大于40m,
故①错误;
②由图象可知,小球6s时落地,故小球运动的时间为6s,故②正确;
③小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0,故③正确;
④设函数解析式为/z=aG-3)2+40,将(0,0)代入得:
0=。(0-3)2+40,
解得。=-理.,
9
490G-3)2+40,
A
-490(1.5-3)2+40=30,
...④正确.
综上,正确的有②③④.
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数在物体运动中的应用,会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析
是解题的关键.
8.(3分)在中秋活动中,参加活动的同学每两人之间互赠礼物,所有参加活动的同学共赠送了72件礼物,
则参加活动的人数为()
A.8人B.9人C.10人D.11人
【分析】设参加活动的学生人数为x人,则每个学生需送出(x-1)件礼物,根据共送礼物72件,即可
得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设参加活动的学生人数为x人,则每个学生需送出(x-1)件礼物,
依题意得:x(x-1)=72,
整理得:J?-x-72=0,
解得:xi=9,X2=-8(不合题意,舍去).
故选:B.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
9.(3分)将点(1,2)绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是()
A.(-1,-2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(-2,1)
【分析】过点A作ACUx轴,垂足为C,过点2作BOLx轴,垂足为。,根据垂直定义可得
470=90°,从而可得/OAC+/AOC=90°,再利用旋转的性质可得。4=08,ZAOB=90°,然后利
用平角定义可得/AOC+/8OO=90°,从而根据同角的余角相等可得/。4c=/8。£>,进而可证△AOC
丝△02。,最后利用全等三角形的性质可得0c=8。=1,AC=0D=2,即可解答.
【解答】解:如图:过点A作AC,尤轴,垂足为C,过点8作BOLx轴,垂足为
:.ZBDO^ZACO^9Q°,
:.ZOAC+ZAOC=90°,
;点A(1,2),
OC=1,AC=2,
由旋转得:
OA=OB,ZAOB=90°,
ZAOC+ZBOD=18Q0-ZAOB=90°,
:./0AC=NB0D,
.♦.△AOC丝△08。CAAS),
:.OC^BD=1,AC=O£>=2,
.,.点2的坐标为(-2,1),
故选:D.
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转,全等三角形的判定与性质,根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键.
10.(3分)如图是二次函数y=ax2+6x+c的图象,对于下列说法:①ac>0,®2a+b>0,③4acW/A@a+b+c
<0,⑤当x>0时,y随尤的增大而减小,其中正确的是()
A.①②③B.②④C.②③④D.③④⑤
【分析】利用抛物线开口方向得到。>0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0,则可对①进行判断;
利用对称轴的位置得到0<-旦<1,可对对②进行判断;利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意
2a
义对③进行判断;利用x=l时,y<0可对④进行判断;利用二次函数的性质对⑤进行判断.
【解答】解::抛物线开口向上,
:抛物线与y轴的交点在x轴下方,
:.ac<0,所以①错误;
V0<-也<1,
2a
/.-b12a,
:.2a+b>0,所以②正确;
:抛物线与x轴有2个交点,
△=廿-4ac>0,所以③错误;
时,y<0,
:.a+b+c<0,所以④正确;
在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,所以⑤错误.
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=o?+bx+cQWO),二次项系数a决
定抛物线的开口方向和大小.当。>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数
b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当。与》异
号时(即滴<0),对称轴在〉轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c).抛
物线与x轴交点个数由△决定:A=/-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;A=庐-4ac=0时,抛
物线与无轴有1个交点;A=62-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)
11.(3分)一元二次方程x(尤-2)=x-2的一个根为尤=2,另一个根为1.
【分析】方程化为一般式得到f-3x+2=0,设方程的另一个解为f,根据根与系数的关系得到2r=2,然
后求出f即可.
【解答】解:方程整理为7-3x+2=0,
设方程的另一个解为3则2f=2,解得f=l,
即方程的另一个解为1.
故答案为1.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若xi,眼是一元二次方程办2+公+°=0(aNO)的两根时,xi+xi
=-—,X1X2=—.
aa
12.(3分)已知点Pi(a-I,1)和P2(2,b-1)关于原点对称,贝!Ia+b=-1.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a-l=-2,b-l=-1,再解方程即可得到a、b的值,
进而得到答案.
【解答】解:根据题意得:a-\=-2,b-1=-1,
解得:a--1,b—0.
贝!Ja+b--1.
故答案为:-1.
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,关键是掌握两个点关于原点对称时,它们的坐
标符号相反.
13.(3分)抛物线y=7-x-1与丫轴的交点的坐标为(0,-1).
【分析】通过计算自变量为0对应的函数值可得到抛物线y=/-x-1与y轴交点的坐标.
【解答】解:当尤=0时,尸/-尤-1=-1,
所以抛物线y=/-x-1与y轴交点的坐标为(0,-1).
故答案为(0,-1).
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了
二次函数的性质.
14.(3分)已知a,0是方程7+3尤-1=0的两个实数根,则3a3-10B2=-109.
232
【分析】根据方程根的定义得到a+3a-1=0,伊+30-1=0,即可得到a=-3a+a=10a-3,然后根
据根与系数的关系即可求得3a3-10P2的值.
【解答】解:;a,0是方程/+3x-1=0的两个实数根,
a2+3a-1=0,p2+3p-1=0,a+0=-3,
/.a2=-3a+L伊=-30+1,
/.a3=-3a2+a=-3(-3a+l)+a=9a-3+2a=10a-3,
贝!13a3-1。伊=3a。。-3)-io(-3p+l)=30a-9+30P-10=30(a+p)-19=-109,
故答案为:-109.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若xi,豆是一元二次方程办2+bx+c=0(aWO)的两根时,xi+x2
=--,X\X2=—.
aa
15.(3分)如图,在4X4的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,若将△AOC绕点。顺时针旋转90°
得到△8。。,则弧A3的长为L5n.
【分析】根据弧长公式列式计算即可得解.
【解答】解:篇的长=3><gon.=L5n.
180
故答案为:L5it.
【点评】本题考查了旋转的性质,弧长的计算,熟记弧长公式是解题的关键.
三.解答题(共8小题,满分75分)
16.(10分)解方程:
(1)2?-3x=0
(2)x2-4x-1=0
【分析】(1)利用因式分解法求解即可;
(2)利用配方法求解即可.
【解答】解:⑴2?-3x=0,
尤⑵-3)=0,
.".X1=0,%2=—;
2
(2)?-4x-1=0,
f-4x—1,
j?-4x+4=l+4,即(尤-2)2=5,
尤-2=土娓,
/.xi=2+V5,X2=2-yfs.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
17.(9分)已知关于x的方程区2+4x-2=0有实数根,求上的取值范围.
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于左的不等式,解得即
可,同时还应注意二次项系数不能为0.
【解答】解:当人=0时,方程变为一元一次方程4x-2=0,
此时方程有实数根,
当KW0时,
•..关于尤的方程fcc2+4x-2=0有实数根,
/.A=b2-4ac20,
即:16+8420,
解得:上2-2,
;.K的取值范围为4》-2.
【点评】本题考查了根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.
18.(9分)如图,在Rt^ABC中,ZB=90°,AB=3cm,BC=4c",点P从点A出发,以1cm/s的速度沿
运动;同时,点。从点B出发,以2cm/s的速度沿运动.当点0到达点C时,P、。两点同时停
止运动.设运动时间为f(s),四边形APQC的面积为S(cm).
(1)试写出四边形APQC的面积为S(cm)与动点运动时间t之间的函数表达式;
(2)运动时间,为何值时,四边形APQC的面积最小?最小值为多少?
【分析】(1)首先根据题意,表示PB=(3-cm,BQ=2tcm,再根据四边形APQC的面积为S=RtA
的面积-■△P2Q的面积,用f表示四边形的面积;
(2)首先求出自变量的取值范围,根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值.
【解答】解:(1)根据题意,得PB=(3-t)cm,BQ—Item,
S=K福XB「KPBXBQ
=6-t(3-力
=?-3/+6;
(2)S=?-3/+6(0<Z<2),
**a=\,
.•.s=-W=3时,s有最小值,s=生,
224
...当/为微时,四边形APQC的面积最小,最小值为¥^扇.
【点评】本题考查了二次函数的最值,掌握二次函数的性质的应用,根据题意用f表示四边形的面积是
解题关键.
19.(9分)下列三幅图中的网格均由边长为1的小正方形组成,图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制
的“弦图”,它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成,赵爽利用这“弦图”对勾股定理作出了证
明,是中国古代数学的一项重要成就,请根据下列要求解答问题.
(1)图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形(阴影部分)是中心(填“轴”或“中心”)对
称图形;
(2)将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形,通过你所学过的图形变换知识,按下列要求画图:
①在图2中画出RtAABC向右平移4格后得到的△£)跖;
②在图3中画出RtZXABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A8C.
图1图2图3
【分析】(1)直接利用中心对称图形的定义得出答案;
(2)①直接利用平移的性质得出对应点位置,进而得出答案;
②直接利用旋转的性质得出对应点位置,进而得出答案.
【解答】解:(1)图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形(阴影部分)是中心对称图形;
故答案为:中心;
(2)①如图2所示:△。以'即为所求;
②如图3所示:△ABC即为所求.
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及平移变换,正确得出对应点位置是解题关键.
20.(9分)为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召,某公司自主设计了一款可控温杯,每个
生产成本为18元,投放市场进行了试销.经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元/个)之
间的部分数据如下:
销售单价x(元/件)…2。253035…
每月销售量y(万件)…60504030…
(1)试判断y与尤之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)设每月的利润为w(万元),求w与尤之间的函数关系式;
(3)该公司既要获得一定利润,又要符合相关部门规定(产品利润率不得高于50%)请你帮助分析,公
司销售单价定为多少时可获利最大?并求出最大利润.
【分析】(1)根据题意利用待定系数法即可得到结论;
(2)根据利润=销售量X(销售单价-成本),代入代数式求出函数关系式;
(3)根据产品利润率不得高于50%且成本价18元,得出销售单价的取值范围,进而得出最大利润.
【解答】解:(1)设销售量y(万件)与销售单价无(元)之间的函数关系式为:y=kx+b,
把(20,60),(30,40)代入尸fcv+b得,加+此。,
I30k+b=40
解得:(k=~2,
Ib=100
•••每月销售量y(万件)与销售单价X(元)之间的函数关系式为:y=-2X+100;
(2)由题意得,w—y(尤-18)
=(-2x+100)(%-18)
=-27+136x-1800;
(3)...销售利润率不能高于50%,
则xW(1+50%)X18=27,
Vw=-2X2+136X-1800=-2(x-34)2+512,
图象开口向下,对称轴左侧w随x的增大而增大,
...尤=27时,w最大为:414万元.
当销售单价为27元时,公司每月获得的利润最大,最大利润为414万元.
【点评】本题考查了二次函数的应用,解答本题的关键是得出月销售利润的表达式,要求同学们熟练掌
握配方法求二次函数最值的应用.
21.(9分)某校为进一步打造“空中花园”,优化育人环境,增添校园绿色文化,计划到一家花卉种植基地
采购甲、乙两种花卉共50盆,其中甲种花卉的数量不超过30盆,且不少于10盆.据了解,甲、乙两种
花卉的原价分别是80元/盆、56元/盆.种植基地负责人为了支持学校建设,提供以下优惠:购买几盆甲
种花卉,甲种花卉每盆就降几元,乙种花卉按原价购买.设该校购买甲种花卉x盆,请回答以下问题:
(1)若该校采购甲、乙两种花卉共花费2880元,求该校分别购买甲、乙两种花卉各多少盆?
(2)设购买甲、乙两种花卉共花费w元,求w与x的函数关系式;
(3)请预计本次采购该校最少准备多少元,最多准备多少元?
【分析】(1)根据题目中的数据和题意,可以列出相应的方程,然后求解即可;
(2)根据题意和题目中的数据,可以写出w与x的函数关系式;
(3)根据二次函数的性质和x的取值范围,可以得到w的最大值和最小值.
【解答】解:(1)由题意可得,
(80-x)x+56(50-%)=2880,
解得xi=20,X2—4(不符合题意,舍去),
/.50-x=30,
答:该校分别购买甲、乙两种花卉20盆、30盆;
(2)由题意可得,
w—(80-x)x+56(50-x)=-/+24x+2800,
即w与x的函数关系式是w--X2+24X+2800;
(3)由(2)知:w=-x2+24x+2800=-(x-12)2+2944,
...该函数图象开口向下,对称轴为直线x=12,
V10^x<30,
...当x=12时,w取得最大值2944,当x=30时,w取得最小值2620,
答:预计本次采购该校最少准备2620元,最多准备2944元.
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方
程,写出相应的函数解析式,利用二次函数的性质求最值.
22.(10分)在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点8、C在y轴上,且点8与点C关于无轴对称,点。
在线段AB上,点£为该坐标平面内一点.
①如图1,若点E在线段AC上,求证:CD=BE;
②如图2,若点E在线段BC上,且求证:ZACO^2ZOAE.
(2)如图3,已知BO=AE,点£在线段C4的延长线上,F为CD中点,且/。AB=30°,求证:BF
LEF.
【分析】(1)①由对称的性质易证/C8O=/8CE,由SAS证得△CaOgZYBCE,即可得出结论;
②先证/OEB=NCAE,由A4S证得△BED四△CAE,得出8E=AC=A8,则NBEA=NBAE,由对称的
性质易证/5AO=NC4。,贝Ij/JBAE=2NO4E+/EAC,由/DEB=NCAE,推出/Q£A=2N0AE,由/
DEA=ZABC=ZACO,即可得出结论;
(2)延长到点G,使BF=FG,连接CG、EG、BE,先证△ABC是等边三角形,CB=AB,ZBCA
=60°,由SAS证得△B。尸丝△GCR得出NCGF=/DBF,则2D〃CG,得出NGCA
=ZBAC=60°,证明/3CG=NBAE,由SAS证得aBCG0△BAE,得/CBG=/ABE,BG=BE,再
证明AGBE是等边三角形,即可得出结论.
【解答】证明:(1)①:点8和点C关于x轴对称,
:.AB=AC,
:./CBD=/BCE,
在△CBZ)和△BCE中,,
:.△CBD"ABCE(SAS),
CD=BE;
②:ZDEA+ZDEB=ZACB+ZCAE,ZDEA=ZABC=ZACB,
:./DEB=NCAE,
在△BED和△CAE中,,
:.
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