人教版九年级数学暑期成果评价卷（测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转）（原卷版+解析）

人教版新九年级暑期成果评价卷

测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈。至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是

中心对称图形的是（）

2.（3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）

A.（x+2）2=0B./+3=0C./+2x-17=0D.x2+x+5=0

3.（3分）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=/-5x+6的图象，则a的值（）

A.1B.2C.3D.4

4.（3分）小亮根据取尤的值为：1.1,1.2,1.3,1.4,1.5时，代入/+12x-15求值，估算一元二次方程的

解（）

X1.11.21.31.41.5

X2+12X-15-0.590.842.293.765.25

A.l.l<x<1,2B.1.2<x<1.3C.1.3<x<1.4D.1.4<x<1.5

5.（3分）已知点（-4,ji）,（2,>2）均在抛物线y=/-l上，则yi,”的大小关系为（）

A.y\<yiB.y\>yiC.yiW”D.

6.（3分）有一个正"边形旋转90°后与自身重合，则w的值可能为（）

A.6B.9C.12D.15

7.（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度//（单位：加）与小球运动时间f（单位：s）之间的函数

关系如图所示.下列结论：

①小球在空中经过的路程是40m；

②小球运动的时间为6s；

③小球抛出3秒时，速度为0；

④当t=1.5s时,小球的高度/i=30m.

其中正确的是（）

A.①④B.①②C.②③④D.②④

8.（3分）在中秋活动中，参加活动的同学每两人之间互赠礼物，所有参加活动的同学共赠送了72件礼物，

则参加活动的人数为（）

A.8人B.9AC.10AD.11A

9.（3分）将点（1,2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（）

A.（-1,-2）B.（2,-1）C.（1,2）D.（-2,1）

10.（3分）如图是二次函数>=办2+云+<?的图象，对于下列说法：①ac>0,®2a+b>0,③4acW廿，®a+b+c

<0,⑤当尤>0时，y随尤的增大而减小，其中正确的是（）

A.①②③B.②④C.②③④D.③④⑤

填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）一元二次方程x（x-2）=x-2的一个根为x=2,另一个根为.

12.（3分）已知点Pi（a-1,1）和尸2（2,b-1）关于原点对称，贝!|。+6=.

13.（3分）抛物线y=7-x-1与y轴的交点的坐标为.

14.（3分）已知a,0是方程/+3x-1=0的两个实数根，则3a3-101=.

15.（3分）如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,若将△AOC绕点。顺时针旋转90°

三.解答题(共8小题，满分75分)

16.(10分)解方程：

(1)2?-3x=0(2)x2-4x-1=0

17.(9分)已知关于x的方程区2+4尤-2=0有实数根，求左的取值范围.

18.(9分)如图，在RtZkABC中，ZB=90°,AB=3cm,8C=4c加，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿

运动；同时，点。从点B出发，以2c%/s的速度沿BC运动.当点0到达点C时，P、。两点同时停

止运动.设运动时间为t(s),四边形APQC的面积为S(cm).

(1)试写出四边形APQC的面积为S(cm)与动点运动时间r之间的函数表达式；

(2)运动时间/为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？

19.(9分)下列三幅图中的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制

的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这“弦图”对勾股定理作出了证

明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题.

(1)图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形(阴影部分)是(填"轴”或“中心”)

对称图形；

（2）将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形，通过你所学过的图形变换知识，按下列要求画图:

①在图2中画出RtAABC向右平移4格后得到的△OEG

②在图3中画出Rt^ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A8C.

20.（9分）为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个

生产成本为18元，投放市场进行了试销.经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之

间的部分数据如下：

销售单价x（元/件）…20253035…

每月销售量y（万件）…60504030…

（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）设每月的利润为w（万元），求w与龙之间的函数关系式；

（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不得高于50%）请你帮助分析，公

司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润.

21.（9分）某校为进一步打造“空中花园”，优化育人环境，增添校园绿色文化，计划到一家花卉种植基地

采购甲、乙两种花卉共50盆，其中甲种花卉的数量不超过30盆，且不少于10盆.据了解，甲、乙两种

花卉的原价分别是80元/盆、56元/盆.种植基地负责人为了支持学校建设，提供以下优惠：购买几盆甲

种花卉，甲种花卉每盆就降几元，乙种花卉按原价购买.设该校购买甲种花卉x盆，请回答以下问题：

（1）若该校采购甲、乙两种花卉共花费2880元，求该校分别购买甲、乙两种花卉各多少盆？

(2)设购买甲、乙两种花卉共花费w元，求卬与x的函数关系式;

(3)请预计本次采购该校最少准备多少元，最多准备多少元？

22.(10分)在平面直角坐标系中，点A在无轴上，点8、C在y轴上，且点8与点C关于x轴对称，点。

在线段上，点E为该坐标平面内一点.

%VA

①如图1,若点E在线段AC上，求证：CD=BE；

②如图2,若点E在线段上，且/。EA=NABC,求证：ZACO^2ZOAE.

(2)如图3,已知8£)=AE,点E在线段CA的延长线上，尸为CD中点，且/。48=30°,求证：BF

±EF.

23.(10分)如图，直线y=x+2与抛物线y=/-2MU+H?+相交于A、B两点(A在2的左侧)，与y轴交于

点C,抛物线的顶点为。，抛物线的对称轴与直线A3交于点

(1)当四边形COOM是菱形时，求点。的坐标；

(2)若点尸为直线OO上一动点，求AAPB的面积；'

人教版新九年级暑期成果评价卷

测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈。至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.（3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）

A.（x+2）2=0B./+3=0C./+2x-17=0D.x2+x+5=0

【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其大于零的选项即可得出结论.

【解答】解：A、原方程可变形为/+4x+4=0,

•/A=42-4X1X4=0,

...一元二次方程（龙+2）2=0有两个相等的实数根；

B、VA=O2-4X1X3=-12<0,

...一元二次方程/+3=0没有实数根；

C、VA=22-4X1X（-17）=72>0,

一元二次方程7+2x-17=0有两个不相等的实数根;

D、VA=12-4X1X5=-19<0,

一元二次方程/+x+5=0没有实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△>()时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

3.(3分)将函数y=/+x的图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数y=/-5x+6的图象，则a的值()

A.1B.2C.3D.4

【分析】把两个函数都化为顶点式，按照''左加右减，上加下减”的规律，则可求出a的值.

【解答】解：y=x2+x=(x+—)2-—,

24

顶点的横坐标为：-工；

2

y=7-5x+6=(x--)2--,

24

顶点的横坐标为：区；

2

.,.a=--(--)=3.

22

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数的图形与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的

关键.

4.(3分)小亮根据取x的值为：1.1,1.2,1.3,1.4,1.5时，代入/+12x-15求值，估算一元二次方程的

解()

X1.11.21.31.41.5

X2+12X-15-0.590.842.293.765.25

A.l.l<x<1.2B.1.2<尤<1.3C.1.3<x<1.4D.1.4<x<1.5

【分析】由表格可发现y的值-0.59和0.84最接近0,再看对应的尤的值即可得.

【解答】解：由表可以看出，当无取1.1与1.2之间的某个数时，y=0,即这个数是7+12x-15=0的一

个根.

/+12x-15=0的一个解x的取值范围为1.1<尤<1.2.

故选：A.

【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关

系正确理解的基础上的.

5.（3分）已知点（-4,yi）,（2,y2）均在抛物线y=f-1上，则yi,”的大小关系为（）

A.yi<y2B.yi>y2C.yiWy2D.

【分析】把（-4,yi）,（2,j2）分别代入抛物线y=/-1求出口、”，再比较得出答案.

【解答】解：把（-4,yi）,（2,”）分别代入抛物线y=7-1得，

yi=16-1=15,

”=4-1=3,

•\yi>y2,

故选：B.

【点评】考查二次函数的图象和性质，把点的坐标代入计算是常用的方法，有时也可以根据函数的增减

性进行判断.

6.（3分）有一个正〃边形旋转90°后与自身重合，则w的值可能为（）

A.6B.9C.12D.15

【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360。）后能与原图形重合，那么这个图形就

叫做旋转对称图形.直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案.

【解答】解：A.正六边形旋转90。后不能与自身重合，不合题意；

B.正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；

C.正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；

D.正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键.

7.（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度〃（单位：7"）与小球运动时间r（单位：s）之间的函数

关系如图所示.下列结论：

①小球在空中经过的路程是40〃?；

②小球运动的时间为6s；

③小球抛出3秒时，速度为0；

④当t=1.5s时，小球的高度/z=30m.

其中正确的是（)

JllH

123456

A.①④B.①②C.②③④D.②④

【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案；④可由待定系数法求得函数解析式，再将f=

1.5s代入计算，即可作出判断.

【解答】解:①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m,则小球在空中经过的路程一定大于40m,

故①错误；

②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s,故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0,故③正确；

④设函数解析式为/z=aG-3）2+40,将（0,0）代入得：

0=。（0-3）2+40,

解得。=-理.，

9

490G-3）2+40,

A

-490（1.5-3）2+40=30,

...④正确.

综上，正确的有②③④.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析

是解题的关键.

8.（3分）在中秋活动中，参加活动的同学每两人之间互赠礼物，所有参加活动的同学共赠送了72件礼物，

则参加活动的人数为（）

A.8人B.9人C.10人D.11人

【分析】设参加活动的学生人数为x人，则每个学生需送出（x-1）件礼物，根据共送礼物72件，即可

得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：设参加活动的学生人数为x人，则每个学生需送出（x-1）件礼物，

依题意得：x(x-1)=72,

整理得：J?-x-72=0,

解得：xi=9,X2=-8(不合题意，舍去).

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

9.(3分)将点(1,2)绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是()

A.(-1,-2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(-2,1)

【分析】过点A作ACUx轴，垂足为C,过点2作BOLx轴，垂足为。，根据垂直定义可得

470=90°,从而可得/OAC+/AOC=90°,再利用旋转的性质可得。4=08,ZAOB=90°,然后利

用平角定义可得/AOC+/8OO=90°,从而根据同角的余角相等可得/。4c=/8。£>,进而可证△AOC

丝△02。，最后利用全等三角形的性质可得0c=8。=1,AC=0D=2,即可解答.

【解答】解：如图：过点A作AC,尤轴，垂足为C,过点8作BOLx轴，垂足为

：.ZBDO^ZACO^9Q°,

：.ZOAC+ZAOC=90°,

;点A(1,2),

OC=1,AC=2,

由旋转得：

OA=OB,ZAOB=90°,

ZAOC+ZBOD=18Q0-ZAOB=90°,

：./0AC=NB0D,

.♦.△AOC丝△08。CAAS),

：.OC^BD=1,AC=O£>=2,

.,.点2的坐标为(-2,1),

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

10.（3分）如图是二次函数y=ax2+6x+c的图象，对于下列说法：①ac>0,®2a+b>0,③4acW/A@a+b+c

<0,⑤当x>0时，y随尤的增大而减小，其中正确的是（）

A.①②③B.②④C.②③④D.③④⑤

【分析】利用抛物线开口方向得到。>0,利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0,则可对①进行判断;

利用对称轴的位置得到0<-旦<1,可对对②进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意

2a

义对③进行判断；利用x=l时，y<0可对④进行判断；利用二次函数的性质对⑤进行判断.

【解答】解：：抛物线开口向上，

:抛物线与y轴的交点在x轴下方，

：.ac<0,所以①错误；

V0<-也<1,

2a

/.-b12a,

：.2a+b>0,所以②正确；

:抛物线与x轴有2个交点，

△=廿-4ac>0,所以③错误；

时，y<0,

：.a+b+c<0,所以④正确;

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以⑤错误.

故选:B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=o?+bx+cQWO）,二次项系数a决

定抛物线的开口方向和大小.当。>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数

b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当。与》异

号时（即滴<0）,对称轴在〉轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,c）.抛

物线与x轴交点个数由△决定：A=/-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=庐-4ac=0时，抛

物线与无轴有1个交点；A=62-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）一元二次方程x（尤-2）=x-2的一个根为尤=2,另一个根为1.

【分析】方程化为一般式得到f-3x+2=0,设方程的另一个解为f,根据根与系数的关系得到2r=2,然

后求出f即可.

【解答】解：方程整理为7-3x+2=0,

设方程的另一个解为3则2f=2,解得f=l,

即方程的另一个解为1.

故答案为1.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi,眼是一元二次方程办2+公+°=0（aNO）的两根时，xi+xi

=-—,X1X2=—.

aa

12.（3分）已知点Pi（a-I,1）和P2（2,b-1）关于原点对称，贝!Ia+b=-1.

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a-l=-2,b-l=-1,再解方程即可得到a、b的值，

进而得到答案.

【解答】解：根据题意得：a-\=-2,b-1=-1,

解得：a--1,b—0.

贝！Ja+b--1.

故答案为：-1.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐

标符号相反.

13.（3分）抛物线y=7-x-1与丫轴的交点的坐标为（0,-1）.

【分析】通过计算自变量为0对应的函数值可得到抛物线y=/-x-1与y轴交点的坐标.

【解答】解：当尤=0时，尸/-尤-1=-1,

所以抛物线y=/-x-1与y轴交点的坐标为（0,-1）.

故答案为（0,-1）.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了

二次函数的性质.

14.（3分）已知a,0是方程7+3尤-1=0的两个实数根，则3a3-10B2=-109.

232

【分析】根据方程根的定义得到a+3a-1=0,伊+30-1=0,即可得到a=-3a+a=10a-3,然后根

据根与系数的关系即可求得3a3-10P2的值.

【解答】解：；a,0是方程/+3x-1=0的两个实数根，

a2+3a-1=0,p2+3p-1=0,a+0=-3,

/.a2=-3a+L伊=-30+1,

/.a3=-3a2+a=-3（-3a+l）+a=9a-3+2a=10a-3,

贝！13a3-1。伊=3a。。-3）-io（-3p+l）=30a-9+30P-10=30（a+p）-19=-109,

故答案为：-109.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi,豆是一元二次方程办2+bx+c=0（aWO）的两根时，xi+x2

=--,X\X2=—.

aa

15.（3分）如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,若将△AOC绕点。顺时针旋转90°

得到△8。。，则弧A3的长为L5n.

【分析】根据弧长公式列式计算即可得解.

【解答】解：篇的长=3><gon.=L5n.

180

故答案为：L5it.

【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键.

三.解答题（共8小题，满分75分）

16.（10分）解方程:

（1）2?-3x=0

（2）x2-4x-1=0

【分析】（1）利用因式分解法求解即可；

（2）利用配方法求解即可.

【解答】解：⑴2?-3x=0,

尤⑵-3）=0,

.".X1=0,%2=—;

2

（2）?-4x-1=0,

f-4x—1,

j?-4x+4=l+4,即（尤-2）2=5,

尤-2=土娓,

/.xi=2+V5,X2=2-yfs.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

17.（9分）已知关于x的方程区2+4x-2=0有实数根，求上的取值范围.

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于左的不等式，解得即

可，同时还应注意二次项系数不能为0.

【解答】解：当人=0时，方程变为一元一次方程4x-2=0,

此时方程有实数根，

当KW0时，

•..关于尤的方程fcc2+4x-2=0有实数根，

/.A=b2-4ac20,

即：16+8420,

解得：上2-2,

；.K的取值范围为4》-2.

【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.

18.（9分）如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3cm,BC=4c",点P从点A出发，以1cm/s的速度沿

运动；同时，点。从点B出发，以2cm/s的速度沿运动.当点0到达点C时，P、。两点同时停

止运动.设运动时间为f（s）,四边形APQC的面积为S（cm）.

（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式;

（2）运动时间，为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？

【分析】（1）首先根据题意，表示PB=（3-cm,BQ=2tcm,再根据四边形APQC的面积为S=RtA

的面积-■△P2Q的面积，用f表示四边形的面积；

（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值.

【解答】解：（1）根据题意，得PB=（3-t）cm,BQ—Item,

S=K福XB「KPBXBQ

=6-t（3-力

=？-3/+6；

（2）S=？-3/+6（0<Z<2）,

**a=\,

.•.s=-W=3时，s有最小值，s=生，

224

...当/为微时，四边形APQC的面积最小，最小值为¥^扇.

【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用f表示四边形的面积是

解题关键.

19.（9分）下列三幅图中的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制

的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这“弦图”对勾股定理作出了证

明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题.

（1）图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形（阴影部分）是中心（填“轴”或“中心”）对

称图形；

（2）将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形，通过你所学过的图形变换知识，按下列要求画图：

①在图2中画出RtAABC向右平移4格后得到的△£）跖；

②在图3中画出RtZXABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A8C.

图1图2图3

【分析】（1）直接利用中心对称图形的定义得出答案；

（2）①直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；

②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案.

【解答】解：（1）图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形（阴影部分）是中心对称图形;

故答案为：中心；

（2）①如图2所示：△。以'即为所求;

②如图3所示：△ABC即为所求.

【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.

20.（9分）为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个

生产成本为18元，投放市场进行了试销.经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之

间的部分数据如下：

销售单价x（元/件）…2。253035…

每月销售量y（万件）…60504030…

（1）试判断y与尤之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）设每月的利润为w（万元），求w与尤之间的函数关系式；

（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不得高于50%）请你帮助分析，公

司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润.

【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到结论；

（2）根据利润=销售量X（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式；

（3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润.

【解答】解：（1）设销售量y（万件）与销售单价无（元）之间的函数关系式为：y=kx+b,

把（20,60）,（30,40）代入尸fcv+b得，加+此。，

I30k+b=40

解得:（k=~2,

Ib=100

•••每月销售量y（万件）与销售单价X（元）之间的函数关系式为：y=-2X+100；

（2）由题意得，w—y（尤-18）

=（-2x+100）（%-18）

=-27+136x-1800；

（3）...销售利润率不能高于50%,

则xW（1+50%）X18=27,

Vw=-2X2+136X-1800=-2（x-34）2+512,

图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，

...尤=27时，w最大为：414万元.

当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌

握配方法求二次函数最值的应用.

21.（9分）某校为进一步打造“空中花园”，优化育人环境，增添校园绿色文化，计划到一家花卉种植基地

采购甲、乙两种花卉共50盆，其中甲种花卉的数量不超过30盆，且不少于10盆.据了解，甲、乙两种

花卉的原价分别是80元/盆、56元/盆.种植基地负责人为了支持学校建设，提供以下优惠：购买几盆甲

种花卉，甲种花卉每盆就降几元，乙种花卉按原价购买.设该校购买甲种花卉x盆，请回答以下问题：

（1）若该校采购甲、乙两种花卉共花费2880元，求该校分别购买甲、乙两种花卉各多少盆？

（2）设购买甲、乙两种花卉共花费w元，求w与x的函数关系式；

（3）请预计本次采购该校最少准备多少元，最多准备多少元？

【分析】(1)根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，然后求解即可;

(2)根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数关系式；

(3)根据二次函数的性质和x的取值范围，可以得到w的最大值和最小值.

【解答】解：(1)由题意可得，

(80-x)x+56(50-%)=2880,

解得xi=20,X2—4(不符合题意，舍去)，

/.50-x=30,

答：该校分别购买甲、乙两种花卉20盆、30盆；

(2)由题意可得，

w—(80-x)x+56(50-x)=-/+24x+2800,

即w与x的函数关系式是w--X2+24X+2800；

(3)由(2)知：w=-x2+24x+2800=-(x-12)2+2944,

...该函数图象开口向下，对称轴为直线x=12,

V10^x<30,

...当x=12时，w取得最大值2944,当x=30时，w取得最小值2620,

答：预计本次采购该校最少准备2620元，最多准备2944元.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方

程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值.

22.(10分)在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点8、C在y轴上，且点8与点C关于无轴对称，点。

在线段AB上，点£为该坐标平面内一点.

①如图1,若点E在线段AC上，求证：CD=BE；

②如图2,若点E在线段BC上，且求证：ZACO^2ZOAE.

(2)如图3,已知BO=AE,点£在线段C4的延长线上，F为CD中点，且/。AB=30°,求证：BF

LEF.

【分析】(1)①由对称的性质易证/C8O=/8CE,由SAS证得△CaOgZYBCE,即可得出结论；

②先证/OEB=NCAE,由A4S证得△BED四△CAE,得出8E=AC=A8,则NBEA=NBAE,由对称的

性质易证/5AO=NC4。，贝Ij/JBAE=2NO4E+/EAC,由/DEB=NCAE,推出/Q£A=2N0AE,由/

DEA=ZABC=ZACO,即可得出结论；

(2)延长到点G,使BF=FG,连接CG、EG、BE,先证△ABC是等边三角形，CB=AB,ZBCA

=60°,由SAS证得△B。尸丝△GCR得出NCGF=/DBF,则2D〃CG,得出NGCA

=ZBAC=60°,证明/3CG=NBAE,由SAS证得aBCG0△BAE,得/CBG=/ABE,BG=BE,再

证明AGBE是等边三角形，即可得出结论.

【解答】证明：(1)①：点8和点C关于x轴对称，

：.AB=AC,

:./CBD=/BCE,

在△CBZ)和△BCE中，，

:.△CBD"ABCE(SAS),

CD=BE；

②：ZDEA+ZDEB=ZACB+ZCAE,ZDEA=ZABC=ZACB,

:./DEB=NCAE,

在△BED和△CAE中，，

:.