人教版高考数学专项复习：三角函数的图象与性质【十大题型】

专题5.4三角函数的图象与性质【十大题型】

【人教A版（2019）］

A题型梳理

【题型1五点法画正弦、余弦函数的图象】......................................................4

【题型2正、余弦函数图象的应用】............................................................7

【题型3三角函数的定义域、值域与最值】......................................................10

【题型4由三角函数的值域（最值）求参数】....................................................11

【题型5求三角函数的单调区间】.............................................................14

【题型6根据三角函数的单调性求参数】........................................................16

【题型7三角函数的奇偶性与对称性问题】......................................................18

【题型8三角函数的周期性问题】.............................................................20

【题型9三角函数的零点问题】...............................................................22

【题型10三角函数的图象与性质的综合应用】..................................................25

A举一反三

【知识点1三角函数的图象与性质】

i.正弦函数与余弦函数的图象

（1）正弦函数的图象

①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,xd［0,2兀］的图象，如图所示.

77-STT

观察图，在函数y=sinx,尤e［0,2兀］的图象上，以下五个点：（0,0）,（了,1）,（兀,0）,（彳,-1）,（2兀,0）在确定图象形

状时起关键作用.描出这五个点，函数产sinx,xe［0,2兀］的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时,

常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点

（画图）法”.

（2）余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道了=cosx=sin（x+与），而函数y=sin（x+的图象可以通过正弦函

数y=sinx,x£R的图象向左平移y个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移y个单位长度，就得

到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数产cosx,%£R的图象可以看出，要作出函数产cosx在［0,27］

上的图象，起关键作用的五个点是：（0,1）,（彳,0）,（%,-1）,（笄,0）,（2%,1）.先描出这五个点，然后把这五个点用

一条光滑的曲线连接起来就得到了函数产cosx在［0,2相上的简图，再通过左右平移（每次移动2兀个单位长

度）即可得到余弦函数产cosx/GR的图象.

（3）正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的''波浪起伏”

的连续光滑曲线.

2.正弦函数与余弦函数的性质

（1）周期函数

①定义：一般地，设函数式x）的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个xGO都有x+TGD,

且兀叶八寸龙），那么函数近龙）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数兀0的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做兀0

的最小正周期.

（2）正弦函数与余弦函数的性质

正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：

函数y=sinxy=cosx

图象

T土

-1

定义域RR

值域[-1,1][-1,1]

周期性最小正周期：2兀最小正周期：2兀

奇偶性奇函数偶函数

_5+2kii,—+2后TTOeZ)[-71+2ATT,2k7i](keZ)

单增区间

调y+2丘，等+2后兀

(左eZ)[2k7i,71+2k?i](kGZ)

性减区间

■7T

当％=5+2丘(kwZ)时，

当x=2反伏eZ)时，>max=l；

Wax=1；

377"当X=TT+2k7l(k£Z)时，

当％=—+2kli(k£Z)时，

Win=11.

最值>min=­I.

Ax+—,0^(ATGZ)

对称中心：(^,0)eZ)对称中心：

对称轴方程：x=左7+'(左£Z)对称轴方程x=瓦(左£Z)

图象对称性

3.正弦型函数y=Asin(cox+9)及余弦型函数y=Acos(cox+°)的性质

函数y=Asin(cox+9)和y=/cos(cox+9)(/#())的性质

函数y=Asin{cox+夕)y=Acos(ct>x+(p)

定义域RR

值域[-|A|,|A|][-HIM]

当A>0,a>>0时,将cox+(p视为整体，代入y=siwc或产cosx相应的单调

单调性

区间求解；当A<0或。<0时，注意单调区间的变化.

当夕=左乃(左£Z)时为奇函数，当(左£Z)时为偶函数，

奇偶性TTTT

当夕=所士时为偶函数.当夕=反士万(左eZ)时为奇函数.

周期性v=网7=网

|co|1«1

图象将a)x+(p视为整体，代入y=sinx或尸cosx相应的对称轴方程或对称中心

对称性的横坐标满足的方程求解.

4.正切函数的性质与图象

(1)正切函数的图象及性质

定义域卜中5+日内GZ}

由诱导公式tan（x+7r）=tanx,xGR,xRy+无，左wZ可知，正切函数

周期性

是周期函数，周期是孤

由诱导公式tan（-%）=—tanx,x£R,且％W彳可知，正切函

奇偶性

数是奇函数.T

1

图象1

J号r

专0X

r（，

正切函数在每一个区间:f+^,y+丘）伏eZ）上都单调递增

单调性

值域正切函数的值域是实数集R

对称中心（左eZ）

（2）三点两线法作正切曲线的简图

类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点

（-?,-1）,（0,0）,（?』）;“两线”是指直线广-。和广。在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区

间（-5，5）上的简图.

【题型1五点法画正弦、余弦函数的图象】

【例1】（23-24高一上.陕西宝鸡.阶段练习）用“五点法”作y=^cosx的图象，首先描出的五个点的横坐标

是（）

A.0,一，兀,—92兀

22

B.0,邺，兀

424

C.0,兀,2兀,3兀,4兀

【解题思路】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.

【解答过程】函数y=2cosx的最小正周期为2m

用"五点法''作y=[cosx的图象，即作函数y=[cosx在上的图象，

所以五个关键点的横坐标为0,pK,2兀

故选：A.

【变式1-1]（2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测）当、e[0,2n]时，曲线丫=cos%与y=2sin（2%+§的交点个

数为（）

A.2B.3C.4D.6

【解题思路】作出两函数在[0,2句上的图象，结合图象即可得答案.

【解答过程】%=0时，y=2sin]=V3,

令2%+”]得％=拼此时y=2sin（2x2+g）=2,

令2%+g=n,得％=p止匕时y=2sin（2x；+；）=0,

令2久+-=—,得久=—,此时y=2sin（2x—+—2,

326\63/

令2%+g=2m得％=y,止匕时y=2sin（2x曰+§=0,

x=2TT时,y=2sin（2x2ir+=2sin；=V3,

函数y=2sin（2x+§的周期T=y=n,

结合周期，利用五点法作出图象，

由图知，共有4个交点.

故选：C.

【变式1-2](23-24高一・上海•课堂例题)作出下列函数的大致图像：

⑴y=sin(x+。

(2)y=3sin(2x—f.

【解题思路】(1)(2)根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象;

【解答过程】⑴解：因为y=sin(%+3,取值列表：

n715n4TTIlir

X

~63~6T~6~

IT713IT

X+0Tl2IT

62T

y010-10

描点连线，可得函数图象如图示:

(2)因为y=35皿卜乂一小，取值列表:

n5n2IT11K7TT

X

612TIT-6~

711T371

0712IT

2口2T

y030-30

描点连线，可得函数图象如图示:

【变式1-3](23-24高一・上海•课堂例题)作出下列函数的大致图像:

(l)y=2cosx—1,x6[0,211]；

(2)y=|cosx|,xER.

【解题思路】(1)根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图.

(2)根据翻折变换画出函数简图.

【解答过程】(1)y=2cosx—l,xG[0,2K]

列表如下

IT3IT

X0712IT

2T

COSX10-101

y=2cosx—11-1-3-11

作出图象，如图所示.

(2)函数y=cosx的图象如下图所示:

3兀_7t1y=cosx

2-1222

函数y=|cos%|的图象可由函数y=cos%在x轴下方的图象沿%轴翻折得到:

【题型2正、余弦函数图象的应用】

［例2］(23-24高二下.云南曲靖.期末)函数f(%)=(ex-e-")sin%在区间［一冗用］上的图象大致为()

【解题思路】先根据判断了(%)为偶函数，排除C,由/(0)=0,排除D,由％c(0m)时，/(x)>0,排除B,

可得.

【解答过程】因为/(一%)=(eT—e%)sin(—%)=/0),所以/(%)为偶函数，排除C,

因为/(0)=0,排除D,因为当％€(0m)时，/(x)>0,所以排除B,

故选：A.

【变式2-1](24-25高三上•安徽•阶段练习)当％e[0,2n]时,曲线y=cos'与y=2cos(2x一三)的交点个数

是()

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】作出函数丫=35%与y=2cos@x—f的图象，结合图象，即可求解.

【解答过程】作出函数，=cos久与y=2cos9x-小的图象，如图所示，

观察在[0,2司上的两个函数的图象，共有5个交点.

故选：C.

【变式2-2](2024.四川遂宁.三模)函数f(x)=(l-言)-cosx的图象大致为()

【解题思路】根据函数奇偶性即可排除CD

【解答过程】/（x）=（1—京）・cosx,则/（%）的定义域为R,

又/（一式）=（1-^7）,cos（—X）=（1一-cosx=（-1+岛）•COSX=-/（X）,

所以“X）为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD,

当X=71:时，f（TT）=（1—COSTT=-1+<0,故排除A.

故选：B.

【变式2-3]（23-24高一下.北京•期中）函数/（x）=sinx+喈+等图像可能是（）

【解题思路】根据函数图象的对称性排除AC,再结合函数值/（今大小排除B,从而得正确结论.

【解答过程】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，

但是,（IT—%）=sin（n-x）+,臂"+sin（5；-5x）=sin%+若+喑=因此f（x）的图象关于直线

%=]对称，可排除AC,

.3ir.5n

又用）=5吗+等+等=1一|+）苗<1,排除B,

故选：D.

【题型3三角函数的定义域、值域与最值】

【例3】（23-24高一上.陕西宝鸡・期末）函数/（£）=—3tan（；+3的定义域是（）

A.{刀卜片胃B.3卜力]}

C.jx卜H2/CTT+],k€Z}D.{x,4kn+：,kez}

【解题思路】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域.

【解答过程】由正切函数的定义域，令w++即％42kTT+2（keZ）,

2422

所以函数f（%）=-312口停+；）的定义域为11%W2/cir+；ezj.

故选：C.

【变式3-1]（2024高一•江苏•专题练习）函数f（%）=sin?%+V5cos%-1在％C[0,勺的值域为（）

A.[0,V3-l]B.[0,JC.[V3-l,|]D.（-8,口

444

【解题思路】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可.

【解答过程】函数/（%）=sin2x+V3cosx—1=—cos2x+V3cosx,

令t=cos%,g（t）=—t2+V3t,

因为久£[（）,§,所以

2

g（t）=—1+V5t=—（t—空）+1，对称轴为七=当,图象开口向下，

当力=当时，9（。取得最大值，9«）max=£

当t=0时，g（t）取得最小值，g（t）min=0，

所以/（%）在久6[0,总的值域为[0,4.

故选：B.

【变式3-21（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知函数f（久）=sin（3a）x+小（3>0）的最小正周期为g,贝！1/（久）

在卜2W]的最小值为（）

A.--B.--C.0D.-

222

【解题思路】先根据f（x）的最小正周期为g,求出3的值，再结合给定范围求最值即可.

【解答过程】因为/（%）=sin（33%+2（3>0）的最小正周期为当

所以f(x)的最小正周期7=善=勺，即得3=1,

333

所以/(%)=sin(3%+(),

3”+同0总，

所以sin(3%+-^G[0,1],

当％=-9时，取/(%)的最小值0,

18

所以"%)在卜看局上的最小值为0.

故选：C.

【变式3-3](23-24高一下•陕西渭南•期末)已知函数/'(x)=|(sinx+cosx)一||sinx-cosx|(xeR),则/(久)

的值域是()

从(3B.[-^)C.D.(―⑶

【解题思路】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，根据分段函数求出每一段的定义域，由三

角函数的性质分别求值域，从而可得结果.

【解答过程】由函数/'(x)=|(sinx+cosx)—11sinx—cosx|,

可得_]c°sx(sinx>cosx)_[cosx,xG|^2/CIT+-,2/CTT+—]

口侍》~lsinx(sinx<cosx)—[sinx,xe卜面—乎,2kit+j，

当xe[2kit+E,2fcir+乎]时，f(x)e[—1,?].

当xe(2kn-2k?r+3)时，/(x)e(—1,日)，

故/(%)值域为卜1,孝],

故选：C.

【题型4由三角函数的值域(最值)求参数】

【例4】(2024•四川成者B•模拟预测)当x6曲小]时，函数/0)=3(3乂+§的值域是[—1,—耳，则根的

取值范围是()

A・麻]B.肾图

C*潦]D.《制

【解题思路】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+g的范围，根据/（x）的值域可得答案;

解法二：由"的范围求出3x+W的范围，根据y=cosx的图象性质和/（X）的值域可得答案.

【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由可知名33久+3<3巾+~

L6J633

因为/（e）=cos*=一/且/偿）=COSTI=—1,

要使/（%）的值域是卜L—孚，只要得工小4弟

即皿喑，卦

解法二：由题》£住,血］,可知称工3%+W工3m+：

L6J633

由y=cos%的图象性质知，要使/（%）的值域是［一1,一?］,

则n<3m+3解之得m6［v,fsl,

3oL>loj

故选：D.

【变式4-1］（23-24高一下•辽宁辽阳•期末）已知函数丫=号空（3>0）在卜屋］上的最小值为5则3的

值为（）

24

A.1B.-C.-D.2

33

【解题思路】根据余弦函数的图象性质判断即可.

【解答过程】因为第w［—黑卜所以a=23%e［-詈号］,3>0.

由于函数丫二号经3>0）在上的最小值为%

则y=cosa在［—詈，掾］,a>0上的最小值为点又卜学|>殍|

所以—詈=_尊解得3=(.

故选：C.

【变式4-2](2023•四川自贡•一模)函数/O)=a—倔an2x在xeH同的最大值为7,最小值为3,则

〃。为()

A.—B.-C.-D.—

123612

【解题思路】首先根据区间的定义以及f(x)的有界性确定b的范围，然后再利用正切函数的单调性得到

的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出a,b即可.

【解答过程】<•*xE卜,b>—,2xG[―

根据函数/(%)在久E[-，可的最大值为7,最小值为3,

所以2b即根据正切函数g(%)=tan%在(一与弓)为单调增函数，

则/(%)=。-Wtan2%,在[一,可上单调减函数，

・••/(-£)=a+3=7=a=4,f(b)=4—V3tan2b=3,

则tan2b=@，•・,2b€(―U,U),・•.2b=U,・•.b=2，

3\32/612

•••ah=4x—=

123

故选：B.

【变式4-3](2024.四川绵阳•模拟预测)已知函数/⑺=4cos(wc—自®>0),/(x)在区间[。,外上的最小

值恰为-3,则所有满足条件的3的积属于区间()

A.(1,4]B.[4,7]C.(7,13)D.[13,+8)

【解题思路】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.

【解答过程】当久e|o,外时3久—*e—总，因为此时/1(%)的最小值为—3<0,

所以巴3—二>巴，即3>Z.

31224

若久―fl2兀，此时/'(久)能取到最小值—4,即-3=-4=>3=4,

代入可得>4一看>兀，满足要求；

若取不到最小值—4,则需满足窕一盘<兀，即3(最

p(3)=4C0S信3-自在3eO上单调递减，所以存在唯一3符合题意；

所以3=4或者3£(；,号)，所以所有满足条件的3的积属于区间(7,13),

故选：C.

【知识点2三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ox+0)形式，再求y=Asin(0x+0)的单调区间，

只需把cox+(p看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把。化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数

的单调区间的子集，其次，要确定己知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选

择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

3.三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

4.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为/U)=Asin(ox+9)(或/U)=Acos(tyx+9))形式的函数，如果求於)的对称轴，只需令

77

①%+夕=E+E(%£Z)(或令GX+9=E;(Z£Z)),求工即可；如果求«r)的对称中心的横坐标，只需令

、人7T

cox+<p=kn(k^'L)(或令ox+0=,+防Z)),求无即可.

(2)对于可化为/(x)=Atan(cax+9)形式的函数，如果求於)的对称中心的横坐标，只需令a)x+(p=今(左GZ)),

求x即可.

5.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin@x+9)中代入广0,

若尸0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若产Asin(s:+9)为奇函数，则夕=%兀(％£Z)；若产Asin(s+9)为偶函数，则+fai(%£Z).

【题型5求三角函数的单调区间】

【例5】(24-25高一上•全国•随堂练习)函数丫=385(%+]的单调递减区间为()

A.[ku,fcn+,kEZB.\2kn,2ku+ir],kE.Z

C.[2/cir——,2.ku+—j,kE.ZD.[fcn—ku+—j,kCZ

【解题思路】利用诱导公式可得y=3cos(%+3=-3sinx,结合正弦函数的单调区间分析求解.

【解答过程】因为y=3cos(%+])=-3sinx,

且y=sinx的单调递增区间为［2/CIT-1,2/CTT+|j,kGZ,

所以函数y=3cos（x+5的单调递减区间为恢冗-p2fcir+1，kEZ.

故选：C.

【变式5-1］（23-24高一上•新疆乌鲁木齐•期末）下列关于函数y=sinx,xG［0,2汨的单调性的叙述，正确

的是（）

A.在［0,兀］上单调递增，在［兀,2扪上单调递减

B.在［0苧上单调递增，在碎,2网上单调递减

C.在［0,自及尊27Tl上单调递增，在序堂上单调递减

D.在岁受上单调递增，在［0苧及年,2初上单调递减

【解题思路】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.

【解答过程】解：••・xe［0,2扪，

・•・当xe［0,翔寸，函数y单调递增；当xeg章时，函数y单调递减；当％6尊2兀］时，函数y单调递增.

故只有C正确.

故选：C.

【变式5-2］（24-25高一上•河北衡水•期中）函数/（久）=cosg—x）的单调递减区间是（）

A.［zfcit+—,2fcTt+—］,fcGZB.12kit——,2/CTT+—J,/cGZ

C.［2/CTT+?,2/CTT+等］,fc£ZD.［2/cTt,2/cit+TT］,keZ

【解题思路】先变形cosg-%）=cos（%-=）,再根据余弦函数的单调性即可求解.

【解答过程】已知cos&-X）=COS19,

令2knWx-工W2/rrr+IT,fceZ,^2kn+-<x<2kn+fcGZ,

666

所以函数/O）=cos（=-x）的单调递减区间为［2kir+22/nt+,fcez.

故选：A.

【变式5-3］（24-25高三上•广东江门•阶段练习）下列函数中，以IT为周期，且在区间仁田）上单调递增的是

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

【解题思路】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断.

【解答过程】对于A：由sin|—m=l,sin|-y|=-1,可知it不是其周期，（也可说明其不是周期函数）

故错误；

对于B：y=cos|%|=P^；°=｛落'箕：=侬无，其最小正周期为如，故错误；

对于C：y=|tan%|满足|tan（%+7r）|=|tan%],以IT为周期，

当％e&冗）时，y=Itan%|=-tanx,由正切函数的单调性可知y=|tanx|=-tan%在区间（舜）上单调递减,

故错误；

对于D,y=|cosx|满足|cos（%+n）|=|cos%],以IT为周期，

当汽e&冗）时，y=|cosx|=-cos%,由余弦函数的单调性可知，y=-cos%在区间&互）上单调递增，故正

确；

故选:D.

【题型6根据三角函数的单调性求参数】

【例6】（23-24高一下.广东佛山•期中）已知函数丫=sin（3%+0）（0V0<IT）在区间（一拳§上单调，则@

的取值范围为（）

A・[喝B.牌]C.图D.6勺

【解题思路】由整体法可得3%+0c（-g+wW+w），即可根据正弦函数的单调性求解.

【解答过程】当％C（—善时，3%+0E（―g+a；+9）,

因为0<0V71,所以一空V—空+0<2,-<-+^9<—,

333444

-7TV2冗+

所以一彳一―号n",解得:W9W%即0的取值范围为［?；］.

-4+-2

故选:B.

【变式6-1]（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）若函数/⑴=1-tan（s-力3力0）在（0,1）上单调递增,

则3的取值范围是（）

C'（咽D.[一河

【解题思路】根据正切函数的图象与性质，得到-3＞0,且即可求解.

42

【解答过程】由函数f（x）=1+tan（-3X+9在（0,1）上单调递增，

根据正切函数的性质，可得-3＞0,

当汽6（0,1）时，可得一3汽+U€（2,—3+乌），则一出+^42,解得一P43V0.

4\44/424

故选：D.

【变式6-2]（23-24高二下•河南新乡•期末）若函数/。）=cos（nx-=）（neN*）在楂期上单调递减，则满

足条件的九的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【解题思路】先对几分不同情况进行讨论，得出当几=1时不满足条件，当几=2或n=3时满足条件，当n24

时不满足条件，即得到所求的全部n为n=2和n=3,从而得到答案.

【解答过程】若n=1,则/Q=cos=＜l=fg）,故f（x）不满足条件；

若n=2或n=3,则对工WxW列有0W2%-2W匕或工W3万一工W勺＜IT.

8842848

所以襁-涎[0河，根据复合函数单调性知〃%）在，期上单调递减，满足条件；

若n=4,则/偿）=_1（一曰=/信），故/（＞）不满足条件；

若ri25,则由上二—%＞1可知，存在正整数k满足巴＜k＜辿=.

88488

此时£＜华/•TT〈宗，=cos代1一：）=cos/cn=（-1）小，从而/（X）在色冷）上存在极值点，不

可能单调递减，不满足条件.

综上，满足条件的有n=2和71=3.

故选：C.

【变式6-3]（24-25高三上•广东广州•阶段练习）已知函数f（x）=sin[MX一§⑷＞。），对任意的久eR,

都有且/（©在区间（―?，专）上单调，则3的值为（）

A.-B.-C.-D.—

3333

【解题思路】根据题意可知/（x）<|/g）|,继而求得3=l+2k,kGZ,再利用题中条件可得（>会继而求

得0<3<3,即可求解.

【解答过程】因为对任意的％ER,都有/（%）工|/6）|，

所以『0=sin（詈一习=±1,故?一:=]+/nr,kEZ,则3=（+CZ,

又/（%）在区间（一：吟）上单调,贝4>^|+j=p

所以空之自，解得0V3M3,

0）3

故当/C=0时，3=（符合题意，

故选：B.

【题型7三角函数的奇偶性与对称性问题】

【例7】（23-24高一下•北京•阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于@,0）对称的是（）

A.y=cos（2x+B.y=sin（J.x+

C.y=cos（x+ii）D.y=sin（x+n）

【解题思路】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可.

【解答过程】对于A,y=cos（2x+9=—sin2%为奇函数，A错误；

对于B,y=sin（2%+；）=cos2%为偶函数，

因为cos（2x；）=cos；=0,所以y=sin卜％+5的图象关于点&0）对称，B正确；

对于C,y=cos（%+冗）=—cos%为偶函数，

因为一cos；=-芋，所以（；,0）不是y=cos（%+it）的对称中心，C错误；

对于D,y=sin（%+冗）=—sin%为奇函数，D错误.

故选：B.

【变式7-1]（23-24高一下•辽宁辽阳•期中）已知函数/⑺=sin（3x+"）,若/1+巳）是偶函数，则"》）图

象的对称轴方程可能是（）

A.x=-B.x=-C.x——D.x――

4334

【解题思路】首先求函数f1+2）=sin（3尤+；+乡），根据偶函数的性质求0,再代入函数的对称轴方程,

即可求解.

【解答过程】函数/1+自=sin(3x+；+0)是偶函数，

则1+9=5+kmk£Z,得9=—+ku,kWZ,

令3x+0=krn+](kiGZ),解得x=(fc1(kEZ).

因为ki,kez,则氏一k)CZ,经验证只有D选项x=詈满足题意，此时的―k=2.

故选：D.

【变式7-2](23-24高一下.陕西渭南•期中)已知函数/(x)=tan(—x),则下列结论正确的是()

A.界函数/(%)的一个周期B.函数“X)在傅冷)上是增函数

C.函数/(X)的图像关于点(2。24呜0)对称D.函数/(%)是偶函数

【解题思路】先利用诱导公式进行化简，然后结合正切函数的性质检验各选项即可判断.

【解答过程】由题可得：/(%)=tan(-%)=-tan久，根据正切函数得周期性可知，函数的最小正周期为m

故A错误；

根据正切函数的性质可知，/(%)=-tanx在芝)上是减函数，故B错误；

根据正切函数的性质可知，/)="11%的图像关于点管,0)对称(碇2),取k=4048,则函数f(x)的图

像关于点(2024n,0)对称，故C正确；

/(X)=-tanx的图象关于原点对称，为奇函数，故D错误；

故选：C.

【变式7-3](23-24高一下•辽宁大连•阶段练习)已知函数/(x)=cos(sinx),现给出下列四个选项正确的

是()

A./(久)为奇函数

B./(%)的最小正周期为2TT

c.x=:是/(久)的一条对称轴

D./(久)在(一；彳)上单调递增

【解题思路】由函数奇偶性的验证可判断A,根据周期定义及诱导公式判断B,根据函数的对称性可判断C,

根据正弦型函数的单调判断D.

【解答过程】因为/(%)的定义域为R,/(-久)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(%),所以/(%)为

偶函数，A错误；

由/(%+K)=cos[sin(x+Ti)]=cos(—sinx)=cos(sinx)=/(%),可得/(%)的最小正周期为mB错误;

/(；+%)=cos1sinQ+')]=cos(cosx),

/(1-%)=cos[sinQ—%)]=cos(—cos%)=cos(cosx),

因为建+%)=建一4所以x=]是f(x)的一条对称轴，c正确；

当xe(—》0)时，函数y=sinx单调递增，值域为(—1,0),

当》€(-1,0)时，函数y=cosx单调递增，故/'(x)在(―；,0)上单调递增.

当xe(0,5时，函数y=sinx单调递增，值域为(0,1),

当x6(0,1)时，函数y=cosx单调递减，故f(x)在(0,以上单调递减，D错误.

故选：C.

【题型8三角函数的周期性问题】

【例8】(2024高二下•云南•学业考试)函数y=cos(2x+§的最小正周期是()

A.4nB.2nC.TTD/

【解题思路】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解.

【解答过程】由题意可得：函数y=cos(2%+§的最小正周期是7=§=11.

故选：C.

【变式8-1](23-24高一下.上海松江.期末)下列函数中，既是偶函数又是周期为it的函数为()

A.y=cosxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y—tan2x

【解题思路】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.

【解答过程】对A,y=cosx是偶函数，周期为2TT,故A错误；

对B,设/'(%)=|sin久定义域为R,且f(-久)=|sin(-x)|=|sinx|,则其为偶函数，

因为y=sinx周期为2互，贝Uy=|sinx|的周期为n,故B正确；

对C,y=sin2久是奇函数，周期为m故C错误；

对D,y=tan2%是奇函数，周期为5故D错误.

故选:B.

【变式8-2](23-24高三上•天津南开•期末)设函数/(%)=V3sin(6)x-9)(3>0,\(p\<冗).若/(一录=

04管)=遮，且/(%)的最小正周期大于2m则()

A17Tlcl11TI

A.(X)=-,(p=-----.B.o)=-,(p=—

3>123A24

2n2lln

C.o)=-,(p=-----D.o)=-,(p=——

3*123*12

【解题思路】由题意求得%再由周期公式求得3,再由/(g)=焉可得0=-巳―2km结合|w|<m求

得9值，即可得解.

【解答过程】由/(%)的最小正周期大于2m可得；

42

因为外4)=。/管)=后可得"等+”4

则7=3冗,且3>0,所以3=年=|，

即/(%)=V3sin(1%-W)，

由/管)=每m(I*曰一9)=后即sin管一9)=L

可得石—W=5+2ku,kEZ,则0=———2kn,k£Z,

且切<71,可得k=0,@=-已

所以3=|,=-A

故选：C.

【变式8-3](23-24高一下•山东济宁・期末)设函数/(%)=i4sin(cox+cp)(/、3、0都是常数,/>0,3>0),

若f(x)在区间[o图上具有单调性，且/•(§=/6)=一/(0),则/⑺的最小正周期为()

A.—B.TTC.-D.-

224

【解题思路】记函数的最小正周期为T,根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.

【解答过程】记函数/(X)的最小正周期为T,则(，一0=%可得TN学

又黑)=屋)=一八°)，且合知也

又学=1所以函数f(%)的一个对称中心为6,0),

函数八%)的一条对称轴为％="=普，又普*

Z12123124

；==P解得7。

故选:B.

【题型9三角函数的零点问题】

【例9】(2024•湖北武汉•模拟预测)若函数/(%)=3cos(3%+0)(3V0,<0<］)的最小正周期为n,

在区间(一上单调递减，且在区间(o*)上存在零点，则0的取值范围是()

B.ITTTD.

A•(讨)2'3.05

【解题思路】根据给定周期求得3=-2,再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式

组，然后结合已知求出范围.

【解答过程】由函数f(x)的最小正周期为7T,得瑞=m而3<0,解得3=-2

则f(%)=3cos(—2%+0)=3cos(2x—cp),由2/cn<2x—(p<2fcir+6Z,

得2/cn+甲<2x<2/cn+H+eZ,又f(%)在(一2；)上单调递减,

66

因此2Mr+0<—且］<2fcir+n+科忆WZ,解得一g—2Ml<(p<—2ku,kEZ