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文档简介

专题5.4三角函数的图象与性质【十大题型】

【人教A版(2019)]

A题型梳理

【题型1五点法画正弦、余弦函数的图象】......................................................4

【题型2正、余弦函数图象的应用】............................................................7

【题型3三角函数的定义域、值域与最值】......................................................10

【题型4由三角函数的值域(最值)求参数】....................................................11

【题型5求三角函数的单调区间】.............................................................14

【题型6根据三角函数的单调性求参数】........................................................16

【题型7三角函数的奇偶性与对称性问题】......................................................18

【题型8三角函数的周期性问题】.............................................................20

【题型9三角函数的零点问题】...............................................................22

【题型10三角函数的图象与性质的综合应用】..................................................25

A举一反三

【知识点1三角函数的图象与性质】

i.正弦函数与余弦函数的图象

(1)正弦函数的图象

①根据三角函数的定义,利用单位圆,我们可以得到函数y=sinx,xd[0,2兀]的图象,如图所示.

77-STT

观察图,在函数y=sinx,尤e[0,2兀]的图象上,以下五个点:(0,0),(了,1),(兀,0),(彳,-1),(2兀,0)在确定图象形

状时起关键作用.描出这五个点,函数产sinx,xe[0,2兀]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,

常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点

(画图)法”.

(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六,我们知道了=cosx=sin(x+与),而函数y=sin(x+的图象可以通过正弦函

数y=sinx,x£R的图象向左平移y个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移y个单位长度,就得

到余弦函数的图象,如图所示.

②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法,从余弦函数产cosx,%£R的图象可以看出,要作出函数产cosx在[0,27]

上的图象,起关键作用的五个点是:(0,1),(彳,0),(%,-1),(笄,0),(2%,1).先描出这五个点,然后把这五个点用

一条光滑的曲线连接起来就得到了函数产cosx在[0,2相上的简图,再通过左右平移(每次移动2兀个单位长

度)即可得到余弦函数产cosx/GR的图象.

(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的''波浪起伏”

的连续光滑曲线.

2.正弦函数与余弦函数的性质

(1)周期函数

①定义:一般地,设函数式x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个xGO都有x+TGD,

且兀叶八寸龙),那么函数近龙)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期:如果在周期函数兀0的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做兀0

的最小正周期.

(2)正弦函数与余弦函数的性质

正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表:

函数y=sinxy=cosx

图象

T土

-1

定义域RR

值域[-1,1][-1,1]

周期性最小正周期:2兀最小正周期:2兀

奇偶性奇函数偶函数

_5+2kii,—+2后TTOeZ)[-71+2ATT,2k7i](keZ)

单增区间

调y+2丘,等+2后兀

(左eZ)[2k7i,71+2k?i](kGZ)

性减区间

■7T

当%=5+2丘(kwZ)时,

当x=2反伏eZ)时,>max=l;

Wax=1;

377"当X=TT+2k7l(k£Z)时,

当%=—+2kli(k£Z)时,

Win=11.

最值>min=­I.

Ax+—,0^(ATGZ)

对称中心:(^,0)eZ)对称中心:

对称轴方程:x=左7+'(左£Z)对称轴方程x=瓦(左£Z)

图象对称性

3.正弦型函数y=Asin(cox+9)及余弦型函数y=Acos(cox+°)的性质

函数y=Asin(cox+9)和y=/cos(cox+9)(/#())的性质

函数y=Asin{cox+夕)y=Acos(ct>x+(p)

定义域RR

值域[-|A|,|A|][-HIM]

当A>0,a>>0时,将cox+(p视为整体,代入y=siwc或产cosx相应的单调

单调性

区间求解;当A<0或。<0时,注意单调区间的变化.

当夕=左乃(左£Z)时为奇函数,当(左£Z)时为偶函数,

奇偶性TTTT

当夕=所士时为偶函数.当夕=反士万(左eZ)时为奇函数.

周期性v=网7=网

|co|1«1

图象将a)x+(p视为整体,代入y=sinx或尸cosx相应的对称轴方程或对称中心

对称性的横坐标满足的方程求解.

4.正切函数的性质与图象

(1)正切函数的图象及性质

定义域卜中5+日内GZ}

由诱导公式tan(x+7r)=tanx,xGR,xRy+无,左wZ可知,正切函数

周期性

是周期函数,周期是孤

由诱导公式tan(-%)=—tanx,x£R,且%W彳可知,正切函

奇偶性

数是奇函数.T

1

图象1

J号r

专0X

r(,

正切函数在每一个区间:f+^,y+丘)伏eZ)上都单调递增

单调性

值域正切函数的值域是实数集R

对称中心(左eZ)

(2)三点两线法作正切曲线的简图

类比于正、余弦函数图象的五点法,我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点

(-?,-1),(0,0),(?』);“两线”是指直线广-。和广。在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区

间(-5,5)上的简图.

【题型1五点法画正弦、余弦函数的图象】

【例1】(23-24高一上.陕西宝鸡.阶段练习)用“五点法”作y=^cosx的图象,首先描出的五个点的横坐标

是()

A.0,一,兀,—92兀

22

B.0,邺,兀

424

C.0,兀,2兀,3兀,4兀

【解题思路】结合“五点法”作图特征,直接求出结论即可.

【解答过程】函数y=2cosx的最小正周期为2m

用"五点法''作y=[cosx的图象,即作函数y=[cosx在上的图象,

所以五个关键点的横坐标为0,pK,2兀

故选:A.

【变式1-1](2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测)当、e[0,2n]时,曲线丫=cos%与y=2sin(2%+§的交点个

数为()

A.2B.3C.4D.6

【解题思路】作出两函数在[0,2句上的图象,结合图象即可得答案.

【解答过程】%=0时,y=2sin]=V3,

令2%+”]得%=拼此时y=2sin(2x2+g)=2,

令2%+g=n,得%=p止匕时y=2sin(2x;+;)=0,

令2久+-=—,得久=—,此时y=2sin(2x—+—2,

326\63/

令2%+g=2m得%=y,止匕时y=2sin(2x曰+§=0,

x=2TT时,y=2sin(2x2ir+=2sin;=V3,

函数y=2sin(2x+§的周期T=y=n,

结合周期,利用五点法作出图象,

由图知,共有4个交点.

故选:C.

【变式1-2](23-24高一・上海•课堂例题)作出下列函数的大致图像:

⑴y=sin(x+。

(2)y=3sin(2x—f.

【解题思路】(1)(2)根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象;

【解答过程】⑴解:因为y=sin(%+3,取值列表:

n715n4TTIlir

X

~63~6T~6~

IT713IT

X+0Tl2IT

62T

y010-10

描点连线,可得函数图象如图示:

(2)因为y=35皿卜乂一小,取值列表:

n5n2IT11K7TT

X

612TIT-6~

711T371

0712IT

2口2T

y030-30

描点连线,可得函数图象如图示:

【变式1-3](23-24高一・上海•课堂例题)作出下列函数的大致图像:

(l)y=2cosx—1,x6[0,211];

(2)y=|cosx|,xER.

【解题思路】(1)根据五点作图法列表、描点、连线,作出函数简图.

(2)根据翻折变换画出函数简图.

【解答过程】(1)y=2cosx—l,xG[0,2K]

列表如下

IT3IT

X0712IT

2T

COSX10-101

y=2cosx—11-1-3-11

作出图象,如图所示.

(2)函数y=cosx的图象如下图所示:

3兀_7t1y=cosx

2-1222

函数y=|cos%|的图象可由函数y=cos%在x轴下方的图象沿%轴翻折得到:

【题型2正、余弦函数图象的应用】

[例2](23-24高二下.云南曲靖.期末)函数f(%)=(ex-e-")sin%在区间[一冗用]上的图象大致为()

【解题思路】先根据判断了(%)为偶函数,排除C,由/(0)=0,排除D,由%c(0m)时,/(x)>0,排除B,

可得.

【解答过程】因为/(一%)=(eT—e%)sin(—%)=/0),所以/(%)为偶函数,排除C,

因为/(0)=0,排除D,因为当%€(0m)时,/(x)>0,所以排除B,

故选:A.

【变式2-1](24-25高三上•安徽•阶段练习)当%e[0,2n]时,曲线y=cos'与y=2cos(2x一三)的交点个数

是()

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】作出函数丫=35%与y=2cos@x—f的图象,结合图象,即可求解.

【解答过程】作出函数,=cos久与y=2cos9x-小的图象,如图所示,

观察在[0,2司上的两个函数的图象,共有5个交点.

故选:C.

【变式2-2](2024.四川遂宁.三模)函数f(x)=(l-言)-cosx的图象大致为()

【解题思路】根据函数奇偶性即可排除CD

【解答过程】/(x)=(1—京)・cosx,则/(%)的定义域为R,

又/(一式)=(1-^7),cos(—X)=(1一-cosx=(-1+岛)•COSX=-/(X),

所以“X)为奇函数,图象关于原点对称,故排除CD,

当X=71:时,f(TT)=(1—COSTT=-1+<0,故排除A.

故选:B.

【变式2-3](23-24高一下.北京•期中)函数/(x)=sinx+喈+等图像可能是()

【解题思路】根据函数图象的对称性排除AC,再结合函数值/(今大小排除B,从而得正确结论.

【解答过程】从四个选项中可以看出,函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项,

但是,(IT—%)=sin(n-x)+,臂"+sin(5;-5x)=sin%+若+喑=因此f(x)的图象关于直线

%=]对称,可排除AC,

.3ir.5n

又用)=5吗+等+等=1一|+)苗<1,排除B,

故选:D.

【题型3三角函数的定义域、值域与最值】

【例3】(23-24高一上.陕西宝鸡・期末)函数/(£)=—3tan(;+3的定义域是()

A.{刀卜片胃B.3卜力]}

C.jx卜H2/CTT+],k€Z}D.{x,4kn+:,kez}

【解题思路】根据正切函数特征,得到不等式,求出定义域.

【解答过程】由正切函数的定义域,令w++即%42kTT+2(keZ),

2422

所以函数f(%)=-312口停+;)的定义域为11%W2/cir+;ezj.

故选:C.

【变式3-1](2024高一•江苏•专题练习)函数f(%)=sin?%+V5cos%-1在%C[0,勺的值域为()

A.[0,V3-l]B.[0,JC.[V3-l,|]D.(-8,口

444

【解题思路】利用三角恒等变换结合换元法,最后利用二次函数的值域求解即可.

【解答过程】函数/(%)=sin2x+V3cosx—1=—cos2x+V3cosx,

令t=cos%,g(t)=—t2+V3t,

因为久£[(),§,所以

2

g(t)=—1+V5t=—(t—空)+1,对称轴为七=当,图象开口向下,

当力=当时,9(。取得最大值,9«)max=£

当t=0时,g(t)取得最小值,g(t)min=0,

所以/(%)在久6[0,总的值域为[0,4.

故选:B.

【变式3-21(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知函数f(久)=sin(3a)x+小(3>0)的最小正周期为g,贝!1/(久)

在卜2W]的最小值为()

A.--B.--C.0D.-

222

【解题思路】先根据f(x)的最小正周期为g,求出3的值,再结合给定范围求最值即可.

【解答过程】因为/(%)=sin(33%+2(3>0)的最小正周期为当

所以f(x)的最小正周期7=善=勺,即得3=1,

333

所以/(%)=sin(3%+(),

3”+同0总,

所以sin(3%+-^G[0,1],

当%=-9时,取/(%)的最小值0,

18

所以"%)在卜看局上的最小值为0.

故选:C.

【变式3-3](23-24高一下•陕西渭南•期末)已知函数/'(x)=|(sinx+cosx)一||sinx-cosx|(xeR),则/(久)

的值域是()

从(3B.[-^)C.D.(―⑶

【解题思路】去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,根据分段函数求出每一段的定义域,由三

角函数的性质分别求值域,从而可得结果.

【解答过程】由函数/'(x)=|(sinx+cosx)—11sinx—cosx|,

可得_]c°sx(sinx>cosx)_[cosx,xG|^2/CIT+-,2/CTT+—]

口侍》~lsinx(sinx<cosx)—[sinx,xe卜面—乎,2kit+j,

当xe[2kit+E,2fcir+乎]时,f(x)e[—1,?].

当xe(2kn-2k?r+3)时,/(x)e(—1,日),

故/(%)值域为卜1,孝],

故选:C.

【题型4由三角函数的值域(最值)求参数】

【例4】(2024•四川成者B•模拟预测)当x6曲小]时,函数/0)=3(3乂+§的值域是[—1,—耳,则根的

取值范围是()

A・麻]B.肾图

C*潦]D.《制

【解题思路】解法一:画出函数的图象,由x的范围求出3x+g的范围,根据/(x)的值域可得答案;

解法二:由"的范围求出3x+W的范围,根据y=cosx的图象性质和/(X)的值域可得答案.

【解答过程】解法一:由题意,画出函数的图象,由可知名33久+3<3巾+~

L6J633

因为/(e)=cos*=一/且/偿)=COSTI=—1,

要使/(%)的值域是卜L—孚,只要得工小4弟

即皿喑,卦

解法二:由题》£住,血],可知称工3%+W工3m+:

L6J633

由y=cos%的图象性质知,要使/(%)的值域是[一1,一?],

则n<3m+3解之得m6[v,fsl,

3oL>loj

故选:D.

【变式4-1](23-24高一下•辽宁辽阳•期末)已知函数丫=号空(3>0)在卜屋]上的最小值为5则3的

值为()

24

A.1B.-C.-D.2

33

【解题思路】根据余弦函数的图象性质判断即可.

【解答过程】因为第w[—黑卜所以a=23%e[-詈号],3>0.

由于函数丫二号经3>0)在上的最小值为%

则y=cosa在[—詈,掾],a>0上的最小值为点又卜学|>殍|

所以—詈=_尊解得3=(.

故选:C.

【变式4-2](2023•四川自贡•一模)函数/O)=a—倔an2x在xeH同的最大值为7,最小值为3,则

〃。为()

A.—B.-C.-D.—

123612

【解题思路】首先根据区间的定义以及f(x)的有界性确定b的范围,然后再利用正切函数的单调性得到

的单调性,再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程,解出a,b即可.

【解答过程】<•*xE卜,b>—,2xG[―

根据函数/(%)在久E[-,可的最大值为7,最小值为3,

所以2b即根据正切函数g(%)=tan%在(一与弓)为单调增函数,

则/(%)=。-Wtan2%,在[一,可上单调减函数,

・••/(-£)=a+3=7=a=4,f(b)=4—V3tan2b=3,

则tan2b=@,•・,2b€(―U,U),・•.2b=U,・•.b=2,

3\32/612

•••ah=4x—=

123

故选:B.

【变式4-3](2024.四川绵阳•模拟预测)已知函数/⑺=4cos(wc—自®>0),/(x)在区间[。,外上的最小

值恰为-3,则所有满足条件的3的积属于区间()

A.(1,4]B.[4,7]C.(7,13)D.[13,+8)

【解题思路】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.

【解答过程】当久e|o,外时3久—*e—总,因为此时/1(%)的最小值为—3<0,

所以巴3—二>巴,即3>Z.

31224

若久―fl2兀,此时/'(久)能取到最小值—4,即-3=-4=>3=4,

代入可得>4一看>兀,满足要求;

若取不到最小值—4,则需满足窕一盘<兀,即3(最

p(3)=4C0S信3-自在3eO上单调递减,所以存在唯一3符合题意;

所以3=4或者3£(;,号),所以所有满足条件的3的积属于区间(7,13),

故选:C.

【知识点2三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ox+0)形式,再求y=Asin(0x+0)的单调区间,

只需把cox+(p看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把。化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数

的单调区间的子集,其次,要确定己知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选

择题,利用特值验证排除法求解更为简捷.

3.三角函数周期的一般求法

(1)公式法;

(2)不能用公式求函数的周期时,可考虑用图象法或定义法求周期.

4.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为/U)=Asin(ox+9)(或/U)=Acos(tyx+9))形式的函数,如果求於)的对称轴,只需令

77

①%+夕=E+E(%£Z)(或令GX+9=E;(Z£Z)),求工即可;如果求«r)的对称中心的横坐标,只需令

、人7T

cox+<p=kn(k^'L)(或令ox+0=,+防Z)),求无即可.

(2)对于可化为/(x)=Atan(cax+9)形式的函数,如果求於)的对称中心的横坐标,只需令a)x+(p=今(左GZ)),

求x即可.

5.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外,还可以借助其图象与性质,在y=Asin@x+9)中代入广0,

若尸0则为奇函数,若y为最大或最小值则为偶函数.

若产Asin(s:+9)为奇函数,则夕=%兀(%£Z);若产Asin(s+9)为偶函数,则+fai(%£Z).

【题型5求三角函数的单调区间】

【例5】(24-25高一上•全国•随堂练习)函数丫=385(%+]的单调递减区间为()

A.[ku,fcn+,kEZB.\2kn,2ku+ir],kE.Z

C.[2/cir——,2.ku+—j,kE.ZD.[fcn—ku+—j,kCZ

【解题思路】利用诱导公式可得y=3cos(%+3=-3sinx,结合正弦函数的单调区间分析求解.

【解答过程】因为y=3cos(%+])=-3sinx,

且y=sinx的单调递增区间为[2/CIT-1,2/CTT+|j,kGZ,

所以函数y=3cos(x+5的单调递减区间为恢冗-p2fcir+1,kEZ.

故选:C.

【变式5-1](23-24高一上•新疆乌鲁木齐•期末)下列关于函数y=sinx,xG[0,2汨的单调性的叙述,正确

的是()

A.在[0,兀]上单调递增,在[兀,2扪上单调递减

B.在[0苧上单调递增,在碎,2网上单调递减

C.在[0,自及尊27Tl上单调递增,在序堂上单调递减

D.在岁受上单调递增,在[0苧及年,2初上单调递减

【解题思路】利用正弦函数的单调性,直接分析求解即可.

【解答过程】解:••・xe[0,2扪,

・•・当xe[0,翔寸,函数y单调递增;当xeg章时,函数y单调递减;当%6尊2兀]时,函数y单调递增.

故只有C正确.

故选:C.

【变式5-2](24-25高一上•河北衡水•期中)函数/(久)=cosg—x)的单调递减区间是()

A.[zfcit+—,2fcTt+—],fcGZB.12kit——,2/CTT+—J,/cGZ

C.[2/CTT+?,2/CTT+等],fc£ZD.[2/cTt,2/cit+TT],keZ

【解题思路】先变形cosg-%)=cos(%-=),再根据余弦函数的单调性即可求解.

【解答过程】已知cos&-X)=COS19,

令2knWx-工W2/rrr+IT,fceZ,^2kn+-<x<2kn+fcGZ,

666

所以函数/O)=cos(=-x)的单调递减区间为[2kir+22/nt+,fcez.

故选:A.

【变式5-3](24-25高三上•广东江门•阶段练习)下列函数中,以IT为周期,且在区间仁田)上单调递增的是

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

【解题思路】先判断各函数的最小正周期,再确定各函数在区间上的单调性,即可选择判断.

【解答过程】对于A:由sin|—m=l,sin|-y|=-1,可知it不是其周期,(也可说明其不是周期函数)

故错误;

对于B:y=cos|%|=P^;°={落'箕:=侬无,其最小正周期为如,故错误;

对于C:y=|tan%|满足|tan(%+7r)|=|tan%],以IT为周期,

当%e&冗)时,y=Itan%|=-tanx,由正切函数的单调性可知y=|tanx|=-tan%在区间(舜)上单调递减,

故错误;

对于D,y=|cosx|满足|cos(%+n)|=|cos%],以IT为周期,

当汽e&冗)时,y=|cosx|=-cos%,由余弦函数的单调性可知,y=-cos%在区间&互)上单调递增,故正

确;

故选:D.

【题型6根据三角函数的单调性求参数】

【例6】(23-24高一下.广东佛山•期中)已知函数丫=sin(3%+0)(0V0<IT)在区间(一拳§上单调,则@

的取值范围为()

A・[喝B.牌]C.图D.6勺

【解题思路】由整体法可得3%+0c(-g+wW+w),即可根据正弦函数的单调性求解.

【解答过程】当%C(—善时,3%+0E(―g+a;+9),

因为0<0V71,所以一空V—空+0<2,-<-+^9<—,

333444

-7TV2冗+

所以一彳一―号n",解得:W9W%即0的取值范围为[?;].

-4+-2

故选:B.

【变式6-1](24-25高三上•河北邢台•阶段练习)若函数/⑴=1-tan(s-力3力0)在(0,1)上单调递增,

则3的取值范围是()

C'(咽D.[一河

【解题思路】根据正切函数的图象与性质,得到-3>0,且即可求解.

42

【解答过程】由函数f(x)=1+tan(-3X+9在(0,1)上单调递增,

根据正切函数的性质,可得-3>0,

当汽6(0,1)时,可得一3汽+U€(2,—3+乌),则一出+^42,解得一P43V0.

4\44/424

故选:D.

【变式6-2](23-24高二下•河南新乡•期末)若函数/。)=cos(nx-=)(neN*)在楂期上单调递减,则满

足条件的九的个数为()

A.4B.3C.2D.1

【解题思路】先对几分不同情况进行讨论,得出当几=1时不满足条件,当几=2或n=3时满足条件,当n24

时不满足条件,即得到所求的全部n为n=2和n=3,从而得到答案.

【解答过程】若n=1,则/Q=cos=<l=fg),故f(x)不满足条件;

若n=2或n=3,则对工WxW列有0W2%-2W匕或工W3万一工W勺<IT.

8842848

所以襁-涎[0河,根据复合函数单调性知〃%)在,期上单调递减,满足条件;

若n=4,则/偿)=_1(一曰=/信),故/(>)不满足条件;

若ri25,则由上二—%>1可知,存在正整数k满足巴<k<辿=.

88488

此时£<华/•TT〈宗,=cos代1一:)=cos/cn=(-1)小,从而/(X)在色冷)上存在极值点,不

可能单调递减,不满足条件.

综上,满足条件的有n=2和71=3.

故选:C.

【变式6-3](24-25高三上•广东广州•阶段练习)已知函数f(x)=sin[MX一§⑷>。),对任意的久eR,

都有且/(©在区间(―?,专)上单调,则3的值为()

A.-B.-C.-D.—

3333

【解题思路】根据题意可知/(x)<|/g)|,继而求得3=l+2k,kGZ,再利用题中条件可得(>会继而求

得0<3<3,即可求解.

【解答过程】因为对任意的%ER,都有/(%)工|/6)|,

所以『0=sin(詈一习=±1,故?一:=]+/nr,kEZ,则3=(+CZ,

又/(%)在区间(一:吟)上单调,贝4>^|+j=p

所以空之自,解得0V3M3,

0)3

故当/C=0时,3=(符合题意,

故选:B.

【题型7三角函数的奇偶性与对称性问题】

【例7】(23-24高一下•北京•阶段练习)下列函数中,是偶函数且其图象关于@,0)对称的是()

A.y=cos(2x+B.y=sin(J.x+

C.y=cos(x+ii)D.y=sin(x+n)

【解题思路】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性,然后代入验证判断对称性即可.

【解答过程】对于A,y=cos(2x+9=—sin2%为奇函数,A错误;

对于B,y=sin(2%+;)=cos2%为偶函数,

因为cos(2x;)=cos;=0,所以y=sin卜%+5的图象关于点&0)对称,B正确;

对于C,y=cos(%+冗)=—cos%为偶函数,

因为一cos;=-芋,所以(;,0)不是y=cos(%+it)的对称中心,C错误;

对于D,y=sin(%+冗)=—sin%为奇函数,D错误.

故选:B.

【变式7-1](23-24高一下•辽宁辽阳•期中)已知函数/⑺=sin(3x+"),若/1+巳)是偶函数,则"》)图

象的对称轴方程可能是()

A.x=-B.x=-C.x——D.x――

4334

【解题思路】首先求函数f1+2)=sin(3尤+;+乡),根据偶函数的性质求0,再代入函数的对称轴方程,

即可求解.

【解答过程】函数/1+自=sin(3x+;+0)是偶函数,

则1+9=5+kmk£Z,得9=—+ku,kWZ,

令3x+0=krn+](kiGZ),解得x=(fc1(kEZ).

因为ki,kez,则氏一k)CZ,经验证只有D选项x=詈满足题意,此时的―k=2.

故选:D.

【变式7-2](23-24高一下.陕西渭南•期中)已知函数/(x)=tan(—x),则下列结论正确的是()

A.界函数/(%)的一个周期B.函数“X)在傅冷)上是增函数

C.函数/(X)的图像关于点(2。24呜0)对称D.函数/(%)是偶函数

【解题思路】先利用诱导公式进行化简,然后结合正切函数的性质检验各选项即可判断.

【解答过程】由题可得:/(%)=tan(-%)=-tan久,根据正切函数得周期性可知,函数的最小正周期为m

故A错误;

根据正切函数的性质可知,/(%)=-tanx在芝)上是减函数,故B错误;

根据正切函数的性质可知,/)="11%的图像关于点管,0)对称(碇2),取k=4048,则函数f(x)的图

像关于点(2024n,0)对称,故C正确;

/(X)=-tanx的图象关于原点对称,为奇函数,故D错误;

故选:C.

【变式7-3](23-24高一下•辽宁大连•阶段练习)已知函数/(x)=cos(sinx),现给出下列四个选项正确的

是()

A./(久)为奇函数

B./(%)的最小正周期为2TT

c.x=:是/(久)的一条对称轴

D./(久)在(一;彳)上单调递增

【解题思路】由函数奇偶性的验证可判断A,根据周期定义及诱导公式判断B,根据函数的对称性可判断C,

根据正弦型函数的单调判断D.

【解答过程】因为/(%)的定义域为R,/(-久)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(%),所以/(%)为

偶函数,A错误;

由/(%+K)=cos[sin(x+Ti)]=cos(—sinx)=cos(sinx)=/(%),可得/(%)的最小正周期为mB错误;

/(;+%)=cos1sinQ+')]=cos(cosx),

/(1-%)=cos[sinQ—%)]=cos(—cos%)=cos(cosx),

因为建+%)=建一4所以x=]是f(x)的一条对称轴,c正确;

当xe(—》0)时,函数y=sinx单调递增,值域为(—1,0),

当》€(-1,0)时,函数y=cosx单调递增,故/'(x)在(―;,0)上单调递增.

当xe(0,5时,函数y=sinx单调递增,值域为(0,1),

当x6(0,1)时,函数y=cosx单调递减,故f(x)在(0,以上单调递减,D错误.

故选:C.

【题型8三角函数的周期性问题】

【例8】(2024高二下•云南•学业考试)函数y=cos(2x+§的最小正周期是()

A.4nB.2nC.TTD/

【解题思路】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解.

【解答过程】由题意可得:函数y=cos(2%+§的最小正周期是7=§=11.

故选:C.

【变式8-1](23-24高一下.上海松江.期末)下列函数中,既是偶函数又是周期为it的函数为()

A.y=cosxB.y=|sinx|C.y=sin2xD.y—tan2x

【解题思路】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.

【解答过程】对A,y=cosx是偶函数,周期为2TT,故A错误;

对B,设/'(%)=|sin久定义域为R,且f(-久)=|sin(-x)|=|sinx|,则其为偶函数,

因为y=sinx周期为2互,贝Uy=|sinx|的周期为n,故B正确;

对C,y=sin2久是奇函数,周期为m故C错误;

对D,y=tan2%是奇函数,周期为5故D错误.

故选:B.

【变式8-2](23-24高三上•天津南开•期末)设函数/(%)=V3sin(6)x-9)(3>0,\(p\<冗).若/(一录=

04管)=遮,且/(%)的最小正周期大于2m则()

A17Tlcl11TI

A.(X)=-,(p=-----.B.o)=-,(p=—

3>123A24

2n2lln

C.o)=-,(p=-----D.o)=-,(p=——

3*123*12

【解题思路】由题意求得%再由周期公式求得3,再由/(g)=焉可得0=-巳―2km结合|w|<m求

得9值,即可得解.

【解答过程】由/(%)的最小正周期大于2m可得;

42

因为外4)=。/管)=后可得"等+”4

则7=3冗,且3>0,所以3=年=|,

即/(%)=V3sin(1%-W),

由/管)=每m(I*曰一9)=后即sin管一9)=L

可得石—W=5+2ku,kEZ,则0=———2kn,k£Z,

且切<71,可得k=0,@=-已

所以3=|,=-A

故选:C.

【变式8-3](23-24高一下•山东济宁・期末)设函数/(%)=i4sin(cox+cp)(/、3、0都是常数,/>0,3>0),

若f(x)在区间[o图上具有单调性,且/•(§=/6)=一/(0),则/⑺的最小正周期为()

A.—B.TTC.-D.-

224

【解题思路】记函数的最小正周期为T,根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.

【解答过程】记函数/(X)的最小正周期为T,则(,一0=%可得TN学

又黑)=屋)=一八°),且合知也

又学=1所以函数f(%)的一个对称中心为6,0),

函数八%)的一条对称轴为%="=普,又普*

Z12123124

;==P解得7。

故选:B.

【题型9三角函数的零点问题】

【例9】(2024•湖北武汉•模拟预测)若函数/(%)=3cos(3%+0)(3V0,<0<])的最小正周期为n,

在区间(一上单调递减,且在区间(o*)上存在零点,则0的取值范围是()

B.ITTTD.

A•(讨)2'3.05

【解题思路】根据给定周期求得3=-2,再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式

组,然后结合已知求出范围.

【解答过程】由函数f(x)的最小正周期为7T,得瑞=m而3<0,解得3=-2

则f(%)=3cos(—2%+0)=3cos(2x—cp),由2/cn<2x—(p<2fcir+6Z,

得2/cn+甲<2x<2/cn+H+eZ,又f(%)在(一2;)上单调递减,

66

因此2Mr+0<—且]<2fcir+n+科忆WZ,解得一g—2Ml<(p<—2ku,kEZ

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