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文档简介
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第一章空间向量与
立体几何》单元测试卷含答案
学校:班级:姓名:考号:
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.已知A(l,0,0),5(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量可以是()
A.(1,1,-1)B.C.(-1,1,1)D.
2.已知正三棱柱ABC-46G,AB=AAl=2,则异面直线叫与。1所成角的余弦值为()
3.如图所示,在平行六面体ABCD-44G2中,M为4G与与A的交点.若荏=a,AD=b,
鬲=。,则下列向量中与两■相等的向量是()
O|c
.4D
11,11,
A.——a+—b+cB.—a+—b+c
2222
11,11,
C.——a——b+cD.—a——b+c
2222
4.如图所示,四棱锥尸-ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=2,ZBAD^6O°,侧面B4D为等边
第1页共19页
三角形且垂直于底面ABCD,E,尸分别为PD,CD的中点,则异面直线钻与陟所成角的余弦
值为(
5.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为工的小正方体堆积
2
成的正方体),其中白点。代表钠原子,黑点•代表氯原子.建立空间直角坐标系O-孙z后,图中最
上层中心的钠原子所在位置的坐标是()
B.(0,0,1)
6.如图,在四面体Q4BC中,M.N分别在棱。4、3C上,且满足为7=2庇,的=福,点G
是线段的中点,用向量函,OB,反表示向量区应为()
A.OG=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA——OB+-OC
344344
C.OG^-OA--OB——OCOG^-OA+-OB——OC
344344
第2页共19页
7.如图,点A,8,C分别在空间直角坐标系O-孙z的三条坐标轴上,OC=(0,0,2),平面A3C的
法向量为"=(2,1,2),设二面角C-AB—O的大小为。,则cos6=()
8.点尸是棱长为1的正方体A3cD-44G4的底面ABCD上一点,则西•西的取值范围是()
A.-1,--B.一一C.[-1,01D.--,0
_4」124」L」2J
9.已知四边形ABCD,AB=BD=DA=2,BC=CD=y/2,现将△ABD沿折起,使二面角
A-BD-C的大小在「当王]内,则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是()
。,争U[乎,1-72572
守,丁
10.如图,平面。,平面夕,Aea,B&/3,A3与平面a,夕所成的角分别为f和三,过A,
46
3两点分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B,若A5=12,则44的长为()
11.正四棱锥S-ABCD的侧棱长为J5,底面边长为石,E为SA的中点,则异面直线3E与SC
所成的角是()
第3页共19页
s
A.30°B.45°C.60°D.90°
12.如图,在三棱柱ABC-A4G、中,侧棱垂直于底面,底面边长为2的正三角形,侧棱长为3,
则6名与平面ABCI所成的角为()
二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上)
13.已知。=(2,-2,3),6=(-1,4,-2),c=(l,2,2)-若向量,b,c共面,则实数九=.
14.PA,PB,PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角为60,那么直线丛与平面PBC
所成角的余弦值是.
15.已知正方形ABCD的边长为4,CG,平面ABCD,CG=2,E、R分别是AB,AD的中
点,则点C到平面GEF的距离为.
16.如图所示,在正三棱柱ABC—A5]G中,。是AC的中点,AAi-.AB=y/2:l,则异面直线4分
与所成的角为.
第4页共19页
三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,在四棱锥尸—ABCD中,△B4D是等边三角形,AB1BC,AD//BC,AD^IBC.
(1)求证:AD1PC;
(2)若平面上位〃平面ABCD,Z4DC=6O。,求二面角A-PD-C的余弦值.
18.(12分)如图,已知斜三棱柱ABC-的底面是正三角形,侧面ABBIA是菱形,
且幺48=60。,M■是4片的中点,MB±AC.
(1)求证:平面ABC;
(2)求二面角A一班1—C的余弦值.
19.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,ZABC=120°,E,尸是平面ABCD同一侧的两点,
平面ABC。,DF上平面ABCD,BE=2DF,AEYEC.
(1)证明:平面AECL平面APC;
(2)求直线AE与直线CV所成角的余弦值.
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20.(12分)如图,在四棱锥P—A5CD中,PC,底面ABC。,ABCD是直角梯形,
AB±AD,AB//CD,AB^2AD=2CD=2.E是P3的中点.
(1)求证:平面EACL平面PBC;
(2)若二面角尸-AC-E的余弦值为丁,求直线H4与平面EAC所成角的正弦值.
二
0M、
21.(12分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥P—A5CD中,/4BC=60。,
PA.=AC=a,PB=PD=6a,点、E在PD上,且尸E:ED=2:1.
(1)证明:PA,平面ABCD;
(2)求二面角£—AC—。的大小;
(3)棱PC上是否存在一点尸,使朋〃平面AEC?证明你的结论.
22.(12分)如图1,在RtzMBC中,ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,
A5上的点,且DE〃3C,DE=2.将ZW史沿OE折起到△ADE的位置,
使AC,。,如图2.A
(1)求证:4CL平面BCDE;[\
(2)若M是的中点,求CM与平面ABE所
成角的大小;
(3)线段上是否存在点尸,使平面ADP与
平面ABE垂直?说明理由.
参考答案
第6页共19页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.【答案】D
【解析】VA(l,0,0),B(0,1,0),C(0,0,l),AAB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),
设平面ABC的一个单位法向量为力=(x,y,z),则1AB"一°,
[AC”。[~X+Z=0
易知:(-1,-1,-1)符合题意.故选D.
2.【答案】C
【解析】以A为原点,在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,以例为z轴,
建立空间直角坐标系,
设正三棱柱ABC-A^C;的各条棱长为2,
则4(0,0,0),5/73,1,2),40,0,2),C(0,2,0),鬲=(扃,2),平=(0,2,-2),
设异面直线AB,和4c所成的角的余弦值为6,
AB}-AC|-2|i1
则cose=」「\=三户=」..•.异面直线做和AC所成的角的余弦值大小为:.故选c.
ABj-lAC瓜.瓜44
3.【答案】A
【解析】平行六面体的性质可得:4河=封6=夕”+",
贝I]丽?=丽+猛+97=—a+c+g(a+/>)=—ga+g》+c,故选A.
4.【答案】B
第7页共19页
【解析】如图,取4)的中点O,连OP,OB,由题意可得POL平面ABCD.在△AC®中,04=1,
AB=2,NQ4B=60。,则由余弦定理得08=J3,所以OBLAD,因此可建立如图所示的空间直角
坐标系。-孙z.
r
JO?
则A(lOO),E--,3(0,g,0),F--^-,-^-,0,
;.AE=f--,O,—,帝=[-上,一包o],
l22JI22J
9
cos!AE,BF\=产巴=
\/网明73x7J3L4=-.
3
••・异面直线虫与环所成角的余弦值为Z.故选B.
5.【答案】A
【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为3点,以O3为相对顶点,作出长方体
ABCD-OEFG,如图所示:
自D/
[A*
平面BFGD经过点、B与x轴垂直,
.••点3在x轴上的射影为G点,结合G1g,O,。]得B的横坐标为!
第8页共19页
同理可得,点3在y轴上的射影为E点,结合得3的纵坐标为g;
点3在z轴上的射影为。点,结合。(0,0,1)得3的竖坐标为1,
...点3的坐标为故选A.
6.【答案】A
【解析】OG=_OM+_ON=_*_OA+_*_(O2+OC),
222322V'
化简得到药=」西+工丽+工诙,故选A.
344
7.【答案】C
【解析】由题意可知,平面ABO的一个法向量为:碇=(0,0,2),
由空间向量的结论可得:cose=,£「=4=2.本题选择C选项.
|UC|-|n|2-33
8.【答案】D
【解析】以点。为原点,以ZM所在的直线为无轴,以。C所在的直线为y轴,以。Q所在的直线为
z轴,建立空间直角坐标系,
可得点A。,0,0),Q(0,1,1),设点尸的坐标为(x,y,z),则OVxVl,0<y<l,z=l,
••PA=(1—无,—y,—1),PC】=(—x,1—y,0),
PA-PCX=-x(l-x)-y)+0=_*+J_,=+卜
由二次函数的性质可得,当x=y=j时,PA•PG取得最大值为-金,
第9页共19页
当%=0或1时,且当y=0或1时,阳•曾取得最大值为0,
由此上4-PG的取值范围是-卞0,故选D.
9.【答案】A
【解析】•:AB=BD=DA=2.BC=CD=E,:.COLBD,AO1BD,且CO=1,AO=«,
:./AOC是二面角A-BD-C的平面角,
以。为原点,OC为无轴,0。为y轴,过点O作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
5(0,-1,0),C(l,0,0),£>(0,1,0),
设二面角A-即—C的平面角为6,则。€[二,史],
66
连AO、BO,则ZAOC=6,A(75cose,0,6sine),
BA=(J3cosaI,j3sin6),CD=(-1,1,0),
\AB-CD\1-A/3COS6>
设AB、CD的夹角为a,贝Ucosa=1^—.,_L,=「,
ABxCD2A/2
••zi兀57T・q-A/3瓜
•3G—,—,・・cos。w,,
_66j22
]•本题选择选项.
故l-6cosq£0,g,/.cosae[o,A
%
金,
10.【答案】B
【解析】连接AB和A'B,设钻=a,A5与平面a成的角
第10页共19页
在RtABAB'中,AB=a,A3与平面夕所成的角乙4B'A=巴,在RtZkABA'中,AA'=-a,
262
因此在RtZ\AA3中,AB=—(—a)2=—a=6,故选B.
11.【答案】C
【解析】取AC的中点R,连接石/、BF,则跳〃5。,异面直线3E与SC所成的角为NBE尸,
1J?A/6A/6
因为■=—SC=J,8尸=J,AE=J,又在ASA5中,由余弦定理可得cosNS45=J,
22224
则在△ABE中,可得BE=6,在△BEF中,由余弦定理得cos/BEP=工,所以N3EF=60。,
2
故选C.
12.【答案】A
【解析】记点8到平面AgG的距离为d,8方与平面AgG所成的角为。,连接
,1,Kl-BBjC,=^B-ABjC,>BP-x-\/3x-x2x3=—(Zx—x2x2\^,
则sin=/J=L,所以。=色,故选A.
BB126
二、填空题(本大题有4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上)
13.【答案】1
【解析】a,b,c共面,,存在实数%,y,使0=动+*,
2=—x+y
即(2,—2,3)=%(—1,4,—2)+y(1,2,4),<-2=4x+2y,解得X=l.
3=-2x+Ay
14.【答案】"
3
【解析】过点A向平面P8C作垂线AO,垂足为O,连接PO,易知PO为/BPC的角平分线,
过点O向PB作垂线,垂足为6,连接?1B,易知4B_LPB,设AP=2a,
在RtaBlB中,ZAPB=60,PB=a,
第11页共19页
在RtAPBO中,NBPO=30°,
PO
在中,cos/APO=
AP-V
15.【答案】5叵
11
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,则OG=(OQ,2),由题意得平面GEb的一个
|W-CG|_6N/H
法向量为"=(1,1,3),所以点C到平面GEF的距离为d=lwl11
y
16.【答案】60°
【解析】在平面ABC内,过A作03的平行线AE,过B作BHLAE于H,连接片“,则在
RtA4HBj中,/B1AH为A坊与3。所成的角,设43=1,则441=五,
B、A=,AH=BD=----,cosNB】AH=ZBAH=60°.
2AB^2{
三、解答题(本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.【答案】(1)见解析;(2)好.
5
【解析】(1)取AD的中点O,连接PO,CO,
:AB4D为等边三角形,POLAD,':AD//BC,AD=2BC,:.BC//AOBCAO.
又四边形ABCO为矩形,COLAD,
VCOC\PO=O,,AZ)_L平面POC
第12页共19页
又:PCu平面POC,,AD_LPC,
(2)由(1)知PO_LM),
:平面AW_L平面ABCD,平面Bwn平面7WCD=M),POU平面B4D,尸。_L平面ABCD,
以。为坐标原点,以祝,OD,彼所在方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐
标系O-xyz,
设00=1,贝UCM=BC=1,=ZADC=60°,:.OC=£,
又AD=2,得尸O=百,0,g),D(O,1,O),C(A/3,0,0),
PD=(0,1,-⑹,PC=g,0,-6),
设平面PCD法向量n,=(x,y,z),
,fPD-n,=0[y~A/3Z=0,„/\
由{__,,得l,取z=l,z得叫=r,
PCnx=0yix-^z=Q、'
又知觉是平面R4D的一个法向量,设&=双=(若。0),
.鹏…)(1,扃)(/。,。)』
J1+3+1/3一彳'
二面角A-PD-C的余弦值为岑.
18.【答案】(1)见解析;(2)好.
5
【解析】⑴证明,••侧面ABB】A是菱形,且N44B=60。,
△ABB]为正三角形,:点又为4月的中点,;.MB±A5i-
,/AB/ZA^,:.MB±AB,由己知"BLAC,.,.上出,平面ABC.
(2)如图建立空间直角坐标系,设菱形边长为2,
第13页共19页
得用(0,-1,6),A(0,2,0),C(V3,l,0),4(0,1,73).
则就=(0,1,6),BA=(0,2,0),函=(0,-1,再),BC=(V3,l,o).
2%=0
设平面的法向量巧=(再,必,马),由〃]_L丽,a_L西得
%+«Z\=0
令%=1得%=(1,0,0).
设面班1G。的法向量%=(电,%/2),
由〃2,BB],n2_LBC得
令》2=^3,得〃2=(-1,^,1).
所以cos</>=广孑I=——-
|闻也|lx{55
又二面角A-班1-c的平面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为李
19.【答案】(1)见解析;(2)昱.
3
【解析】(1)证明:连结3。,和AC交于。点,连结。E,OF,
•.,5£,平面430),,5石,45,BE±BC,
•:AB=BC,:.RtAABE=RtACBE,:.AE=CE,
•.•AELEC,.•.△ACE是等腰直角三角形,且。E=』AC,
2
•/AC=AB-+AC--2AB-ACcosl20°=6AB,
:.OE=—AB,:OB=OD=-AB,:.BE^—AB.:.DF-BE—AB.
22224
第14页共19页
.OBBE
,工aAOBE〜R&DO,;・/OEB=/FOD,
•・访―
;・ZBOE+NFOD=ZBOE+/OEB=90。,:.OE±OF.
又,.,O£,AC,・・.O£_L平面A尸C,・,・平面A£C,平面A尸C.
(2)分别以03,0C所在射线为x轴,y轴,以过点。平行于5£的直线为z轴,建立建立空间
直角坐标系,如图所示.设A3=2a(〃>0),
则40,一百。,0),£(。,0,血。),C(0,V3a,0),F(-a909----a),
2
AE=(a,6a,yfla-)9,CF—=(~-~aa,,-6a,——2〃a)),,
AE-CF_Q23〃2+〃2_石
cos<AE,CF>-
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
20.【答案】(1)见解析;(2)诋.
3
【解析】(1)证明:;PC,平面ABCO,ACu平面ABCD,
.'.AC.LPC,\'AB=2,AD=CD=1,AC=BC=V2,
AC2+BC2=AB2,:.ACLBC.
第15页共19页
又3CnPC=C,平面PBC,
「ACu平面£AC,.,.平面EAC_L平面PBC.
(2)如图,以C为原点,DA.CD.而分别为x轴、y轴、z轴正向,
建立空间直角坐标系,则。(0,。,0),A(1,1,O),3(1,—1,0).
设尸(0,0,。)(。>0),则C4=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=[1,-1
玉+%=0
设平面PAC的法向量为%=(%,乂,4),则由〃1♦CA=%•C9=0得
az?=0
令再=1,则%=T,4=0,所以平面PAC的法向量为4=(1,—1,0).
设平面EAC的法向量为%=(工2,%,22),则由»2CA=n2CE=0,
%+,2=0,
得<11a令x=a,贝!ly=-a,z=-2.
~X2--y2+-Z2=0,
所以平面£AC的法向量为“2=(a,-4,-2).
依题意,|cos</,%>1=——~丁=—,
V2xV2a2+43
解得a=2.于是%=(2,-2,-2),PA=(1,1,-2),
设直线PA与平面EAC所成角为0.
n|Jo
,_..IPA-2
则0-n>=7~~;------=——.
sin1cos<PA,?13
H-I«2I
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为T.
21.【答案】(1)见解析;(2)-;(3)当点口为PC中点时,有朋〃平面AEC.
6
【解析】(1)证明:...四边形ABC。是菱形,ZABC=60°,且P4=AC=a
第16页共19页
AB=AD=a,又PB=PD=G1ci,
PA2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD1,
PA±AB,且尸ALAD.PAL平面ABCD.
(2)连接30,♦.•底面ABCD是菱形,J.ACYBD,设ACnAD=O.
以。为原点,OB,反分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则各点坐标分别为:
彳孚0,0),c|^o,j,oJ,一孚,o,o,尸(0,-川.
X
丁点E在PO上,且PE:ED=2:1.;DP=3DE,即由=3(砺_砺).
(H一
即点E的坐标为
又平面ZMC的一个法向量为%=(0,0,1),
反=g,o)诙=卜孚弋
设平面EAC的一个法向量为%=(%y,z),
,”,oc=oJL
由〈—.'侍彳币aaac可令1=1,得忆2=(1,0,a),
%•OE=0一一—x--y+-z=0
'1363
71
..cos</i,n>=',-,=»=
12同也|2
所以二面角E—AC—。的大小为F.
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