人教版高二年级上册数学（选择性必修1）第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（含答案）

人教版高二上学期数学（选择性必修1）《第一章空间向量与

立体几何》单元测试卷含答案

学校:班级：姓名：考号：

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.已知A（l,0,0）,5（0,1,0）,C（0,0,1）,则平面ABC的一个法向量可以是（）

A.（1,1,-1）B.C.（-1,1,1）D.

2.已知正三棱柱ABC-46G，AB=AAl=2,则异面直线叫与。1所成角的余弦值为（）

3.如图所示，在平行六面体ABCD-44G2中，M为4G与与A的交点.若荏=a,AD=b,

鬲=。，则下列向量中与两■相等的向量是（）

O|c

.4D

11,11,

A.——a+—b+cB.—a+—b+c

2222

11,11,

C.——a——b+cD.—a——b+c

2222

4.如图所示，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2,ZBAD^6O°,侧面B4D为等边

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三角形且垂直于底面ABCD,E,尸分别为PD,CD的中点，则异面直线钻与陟所成角的余弦

值为（

5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为工的小正方体堆积

2

成的正方体），其中白点。代表钠原子，黑点•代表氯原子.建立空间直角坐标系O-孙z后，图中最

上层中心的钠原子所在位置的坐标是（）

B.(0,0,1)

6.如图，在四面体Q4BC中，M.N分别在棱。4、3C上，且满足为7=2庇，的=福，点G

是线段的中点，用向量函，OB,反表示向量区应为（）

A.OG=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA——OB+-OC

344344

C.OG^-OA--OB——OCOG^-OA+-OB——OC

344344

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7.如图，点A,8,C分别在空间直角坐标系O-孙z的三条坐标轴上，OC=（0,0,2）,平面A3C的

法向量为"=（2,1,2）,设二面角C-AB—O的大小为。，则cos6=（）

8.点尸是棱长为1的正方体A3cD-44G4的底面ABCD上一点，则西•西的取值范围是（）

A.-1,--B.一一C.［-1,01D.--,0

_4」124」L」2J

9.已知四边形ABCD,AB=BD=DA=2,BC=CD=y/2,现将△ABD沿折起，使二面角

A-BD-C的大小在「当王］内，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）

。,争U［乎,1-72572

守，丁

10.如图，平面。，平面夕，Aea,B&/3,A3与平面a,夕所成的角分别为f和三，过A,

46

3两点分别作两平面交线的垂线，垂足为A',B,若A5=12,则44的长为（）

11.正四棱锥S-ABCD的侧棱长为J5,底面边长为石，E为SA的中点，则异面直线3E与SC

所成的角是（)

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s

A.30°B.45°C.60°D.90°

12.如图，在三棱柱ABC-A4G、中，侧棱垂直于底面，底面边长为2的正三角形，侧棱长为3,

则6名与平面ABCI所成的角为()

二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)

13.已知。=(2,-2,3),6=(-1,4,-2),c=(l,2,2)-若向量，b,c共面，则实数九=.

14.PA,PB,PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角为60,那么直线丛与平面PBC

所成角的余弦值是.

15.已知正方形ABCD的边长为4,CG,平面ABCD,CG=2,E、R分别是AB,AD的中

点，则点C到平面GEF的距离为.

16.如图所示，在正三棱柱ABC—A5]G中，。是AC的中点，AAi-.AB=y/2：l,则异面直线4分

与所成的角为.

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三、解答题(本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)如图，在四棱锥尸—ABCD中，△B4D是等边三角形，AB1BC,AD//BC,AD^IBC.

(1)求证：AD1PC；

(2)若平面上位〃平面ABCD,Z4DC=6O。，求二面角A-PD-C的余弦值.

18.(12分)如图，已知斜三棱柱ABC-的底面是正三角形，侧面ABBIA是菱形,

且幺48=60。，M■是4片的中点，MB±AC.

(1)求证：平面ABC；

(2)求二面角A一班1—C的余弦值.

19.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，ZABC=120°,E,尸是平面ABCD同一侧的两点,

平面ABC。，DF上平面ABCD,BE=2DF,AEYEC.

(1)证明：平面AECL平面APC；

(2)求直线AE与直线CV所成角的余弦值.

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20.(12分)如图，在四棱锥P—A5CD中，PC，底面ABC。，ABCD是直角梯形,

AB±AD,AB//CD,AB^2AD=2CD=2.E是P3的中点.

(1)求证：平面EACL平面PBC；

(2)若二面角尸-AC-E的余弦值为丁，求直线H4与平面EAC所成角的正弦值.

二

0M、

21.(12分)如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—A5CD中，/4BC=60。,

PA.=AC=a,PB=PD=6a,点、E在PD上,且尸E：ED=2:1.

(1)证明：PA,平面ABCD；

(2)求二面角£—AC—。的大小；

(3)棱PC上是否存在一点尸，使朋〃平面AEC?证明你的结论.

22.(12分)如图1,在RtzMBC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,

A5上的点，且DE〃3C,DE=2.将ZW史沿OE折起到△ADE的位置，

使AC，。，如图2.A

(1)求证：4CL平面BCDE；[\

(2)若M是的中点，求CM与平面ABE所

成角的大小;

(3)线段上是否存在点尸，使平面ADP与

平面ABE垂直?说明理由.

参考答案

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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.【答案】D

【解析】VA(l,0,0),B(0,1,0),C(0,0,l),AAB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),

设平面ABC的一个单位法向量为力=(x,y,z),则1AB"一°,

[AC”。[~X+Z=0

易知：(-1,-1,-1)符合题意.故选D.

2.【答案】C

【解析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以例为z轴,

建立空间直角坐标系，

设正三棱柱ABC-A^C；的各条棱长为2,

则4(0,0,0),5/73,1,2),40,0,2),C(0,2,0),鬲=(扃,2),平=(0,2,-2),

设异面直线AB,和4c所成的角的余弦值为6,

AB}-AC|-2|i1

则cose=」「\=三户=」..•.异面直线做和AC所成的角的余弦值大小为：.故选c.

ABj-lAC瓜.瓜44

3.【答案】A

【解析】平行六面体的性质可得：4河=封6=夕”+"，

贝I]丽?=丽+猛+97=—a+c+g(a+/>)=—ga+g》+c,故选A.

4.【答案】B

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【解析】如图，取4）的中点O,连OP,OB,由题意可得POL平面ABCD.在△AC®中，04=1,

AB=2,NQ4B=60。，则由余弦定理得08=J3,所以OBLAD,因此可建立如图所示的空间直角

坐标系。-孙z.

r

JO?

则A（lOO）,E--,3（0,g,0）,F--^-,-^-,0,

；.AE=f--,O,—,帝=[-上,一包o],

l22JI22J

9

cos!AE,BF\=产巴=

\/网明73x7J3L4=-.

3

••・异面直线虫与环所成角的余弦值为Z.故选B.

5.【答案】A

【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为3点，以O3为相对顶点，作出长方体

ABCD-OEFG,如图所示：

自D/

[A*

平面BFGD经过点、B与x轴垂直，

.••点3在x轴上的射影为G点，结合G1g,O,。]得B的横坐标为!

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同理可得，点3在y轴上的射影为E点，结合得3的纵坐标为g；

点3在z轴上的射影为。点，结合。（0,0,1）得3的竖坐标为1,

...点3的坐标为故选A.

6.【答案】A

【解析】OG=_OM+_ON=_*_OA+_*_（O2+OC）,

222322V'

化简得到药=」西+工丽+工诙，故选A.

344

7.【答案】C

【解析】由题意可知，平面ABO的一个法向量为：碇=（0,0,2）,

由空间向量的结论可得：cose=，£「=4=2.本题选择C选项.

|UC|-|n|2-33

8.【答案】D

【解析】以点。为原点，以ZM所在的直线为无轴，以。C所在的直线为y轴，以。Q所在的直线为

z轴，建立空间直角坐标系，

可得点A。,0,0),Q(0,1,1),设点尸的坐标为(x,y,z),则OVxVl,0<y<l,z=l,

••PA=(1—无,—y,—1),PC】=(—x,1—y,0),

PA-PCX=-x（l-x）-y）+0=_*+J_,=+卜

由二次函数的性质可得，当x=y=j时，PA•PG取得最大值为-金,

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当％=0或1时，且当y=0或1时，阳•曾取得最大值为0,

由此上4-PG的取值范围是-卞0,故选D.

9.【答案】A

【解析】•:AB=BD=DA=2.BC=CD=E,：.COLBD,AO1BD,且CO=1,AO=«,

：./AOC是二面角A-BD-C的平面角，

以。为原点，OC为无轴，0。为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,

5(0,-1,0),C(l,0,0),£>(0,1,0),

设二面角A-即—C的平面角为6,则。€［二,史］,

66

连AO、BO,则ZAOC=6,A(75cose,0,6sine),

BA=(J3cosaI,j3sin6),CD=(-1,1,0),

\AB-CD\1-A/3COS6>

设AB、CD的夹角为a,贝Ucosa=1^—.,_L,=「,

ABxCD2A/2

••zi兀57T・q-A/3瓜

•3G—，—，・・cos。w，，

_66j22

]•本题选择选项.

故l-6cosq£0,g,/.cosae[o,A

%

金,

10.【答案】B

【解析】连接AB和A'B，设钻=a,A5与平面a成的角

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在RtABAB'中，AB=­a,A3与平面夕所成的角乙4B'A=巴，在RtZkABA'中，AA'=-a,

262

因此在RtZ\AA3中，AB=—(—a)2=—a=6,故选B.

11.【答案】C

【解析】取AC的中点R,连接石/、BF,则跳〃5。，异面直线3E与SC所成的角为NBE尸，

1J?A/6A/6

因为■=—SC=J,8尸=J,AE=J，又在ASA5中，由余弦定理可得cosNS45=J,

22224

则在△ABE中，可得BE=6,在△BEF中，由余弦定理得cos/BEP=工，所以N3EF=60。,

2

故选C.

12.【答案】A

【解析】记点8到平面AgG的距离为d，8方与平面AgG所成的角为。，连接

,1,Kl-BBjC,=^B-ABjC,>BP-x-\/3x-x2x3=—(Zx—x2x2\^,

则sin=/J=L,所以。=色，故选A.

BB126

二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上)

13.【答案】1

【解析】a,b,c共面，，存在实数％,y,使0=动+*，

2=—x+y

即(2,—2,3)=%(—1,4,—2)+y(1,2,4),<-2=4x+2y,解得X=l.

3=-2x+Ay

14.【答案】"

3

【解析】过点A向平面P8C作垂线AO,垂足为O,连接PO,易知PO为/BPC的角平分线，

过点O向PB作垂线，垂足为6,连接?1B,易知4B_LPB,设AP=2a,

在RtaBlB中，ZAPB=60,PB=a,

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在RtAPBO中，NBPO=30°,

PO

在中,cos/APO=

AP-V

15.【答案】5叵

11

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,则OG=（OQ,2）,由题意得平面GEb的一个

|W-CG|_6N/H

法向量为"=（1,1,3），所以点C到平面GEF的距离为d=lwl11

y

16.【答案】60°

【解析】在平面ABC内，过A作03的平行线AE,过B作BHLAE于H,连接片“，则在

RtA4HBj中，/B1AH为A坊与3。所成的角，设43=1,则441=五,

B、A=,AH=BD=----,cosNB】AH=ZBAH=60°.

2AB^2{

三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【答案】（1）见解析；（2）好.

5

【解析】（1）取AD的中点O,连接PO,CO,

：AB4D为等边三角形，POLAD,'：AD//BC,AD=2BC,：.BC//AOBCAO.

又四边形ABCO为矩形，COLAD,

VCOC\PO=O,，AZ)_L平面POC

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又：PCu平面POC,，AD_LPC,

（2）由（1）知PO_LM）,

:平面AW_L平面ABCD,平面Bwn平面7WCD=M）,POU平面B4D,尸。_L平面ABCD,

以。为坐标原点，以祝，OD,彼所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐

标系O-xyz,

设00=1,贝UCM=BC=1,=ZADC=60°,：.OC=£,

又AD=2,得尸O=百，0,g）,D（O,1,O）,C（A/3,0,0）,

PD=（0,1,-⑹，PC=g,0,-6）,

设平面PCD法向量n,=（x,y,z）,

,fPD-n,=0[y~A/3Z=0,„/\

由｛__,，得l，取z=l,z得叫=r,

PCnx=0yix-^z=Q、'

又知觉是平面R4D的一个法向量，设&=双=（若。0），

.鹏…）（1，扃）（/。，。）』

J1+3+1/3一彳'

二面角A-PD-C的余弦值为岑.

18.【答案】（1）见解析；（2）好.

5

【解析】⑴证明,••侧面ABB】A是菱形，且N44B=60。，

△ABB]为正三角形，：点又为4月的中点，；.MB±A5i-

,/AB/ZA^,：.MB±AB,由己知"BLAC,.，.上出，平面ABC.

（2）如图建立空间直角坐标系，设菱形边长为2,

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得用(0,-1,6)，A(0,2,0),C(V3,l,0),4(0,1,73).

则就=(0,1,6),BA=(0,2,0),函=(0,-1,再)，BC=(V3,l,o).

2%=0

设平面的法向量巧=（再,必,马），由〃]_L丽，a_L西得

%+«Z\=0

令％=1得%=(1,0,0).

设面班1G。的法向量%=（电，％/2）,

由〃2，BB],n2_LBC得

令》2=^3,得〃2=（-1,^,1）.

所以cos</>=广孑I=——-

|闻也|lx{55

又二面角A-班1-c的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为李

19.【答案】（1）见解析；（2）昱.

3

【解析】（1）证明：连结3。，和AC交于。点，连结。E,OF,

•.,5£，平面430）,，5石，45,BE±BC,

•：AB=BC,：.RtAABE=RtACBE,：.AE=CE,

•.•AELEC,.•.△ACE是等腰直角三角形，且。E=』AC,

2

•/AC=AB-+AC--2AB-ACcosl20°=6AB,

：.OE=—AB,­：OB=OD=-AB,：.BE^—AB.：.DF-BE—AB.

22224

第14页共19页

.OBBE

，工aAOBE〜R&DO,；・/OEB=/FOD,

•・访―

；・ZBOE+NFOD=ZBOE+/OEB=90。,：.OE±OF.

又,.,O£，AC,・・.O£_L平面A尸C,・,・平面A£C，平面A尸C.

(2)分别以03,0C所在射线为x轴，y轴，以过点。平行于5£的直线为z轴，建立建立空间

直角坐标系，如图所示.设A3=2a(〃>0),

则40,一百。,0)，£(。,0,血。),C(0,V3a,0),F(-a909----a),

2

AE=(a,6a,yfla-)9,CF—=(~-~aa,,-6a,——2〃a))，,

AE-CF_Q23〃2+〃2_石

cos<AE,CF>-

所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.

20.【答案】(1)见解析；(2)诋.

3

【解析】(1)证明：；PC，平面ABCO,ACu平面ABCD,

.'.AC.LPC,\'AB=2,AD=CD=1,AC=BC=V2,

AC2+BC2=AB2,：.ACLBC.

第15页共19页

又3CnPC=C，平面PBC，

「ACu平面£AC,.,.平面EAC_L平面PBC.

（2）如图，以C为原点，DA.CD.而分别为x轴、y轴、z轴正向,

建立空间直角坐标系，则。（0,。,0）,A（1,1,O）,3（1,—1,0）.

设尸(0,0,。)(。>0),则C4=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=[1,-1

玉+%=0

设平面PAC的法向量为%=（%,乂，4）,则由〃1♦CA=%•C9=0得

az?=0

令再=1，则％=T,4=0,所以平面PAC的法向量为4=（1,—1,0）.

设平面EAC的法向量为%=（工2，%，22），则由»2CA=n2CE=0,

%+,2=0，

得<11a令x=a,贝！ly=-a,z=-2.

~X2--y2+-Z2=0，

所以平面£AC的法向量为“2=(a，-4,-2).

依题意，|cos</，%>1=——~丁=—,

V2xV2a2+43

解得a=2.于是％=(2,-2,-2),PA=(1,1,-2),

设直线PA与平面EAC所成角为0.

n|Jo

,_..IPA-2

则0-n>=7~~；------=——.

sin1cos<PA,?13

H-I«2I

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为T.

21.【答案】（1）见解析；（2）-；（3）当点口为PC中点时，有朋〃平面AEC.

6

【解析】（1）证明：...四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,且P4=AC=a

第16页共19页

AB=AD=a,又PB=PD=G1ci,

PA2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD1,

PA±AB,且尸ALAD.PAL平面ABCD.

(2)连接30,♦.•底面ABCD是菱形,J.ACYBD,设ACnAD=O.

以。为原点，OB,反分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则各点坐标分别为：

彳孚0,0),c|^o,j,oJ,一孚,o,o,尸(0,-川.

X

丁点E在PO上，且PE:ED=2:1.；DP=3DE,即由=3(砺_砺).

(H一

即点E的坐标为

又平面ZMC的一个法向量为%=(0,0,1),

反=g,o)诙=卜孚弋

设平面EAC的一个法向量为%=(%y，z),

,”,oc=oJL

由〈—.'侍彳币aaac可令1=1,得忆2=(1,0,a)，

%•OE=0一一—x--y+-z=0

'1363

71

..cos</i,n>=',-,=»=

12同也|2

所以二面角E—AC—。的大小为F.