求椭圆双曲线离心率题型归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题9-3椭圆双曲线离心率题型归类

目录

【题型一】................................................................2

【题型二】................................................................2

【题型三】................................................................3

【题型四】................................................................4

【题型五】................................................................5

【题型六】................................................................6

【题型七】................................................................7

【题型八】................................................................8

【题型九】................................................................9

【题型十】................................................................9

真题再现.................................................................12

模拟检测.................................................................13

综述

1.离心率是双曲线最重要的几何性质，求的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法:

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合。2=c2一层转化为a,c的齐次式，

然后等式（不等式）两边分别除以。或层转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得

e（e的取值范围）.

e越大，椭圆越扁；e越小,

椭圆越圆

1

3.双曲线离心率：e=^=y1+为e£（l,co）

热点题型归纳

【题型一】定义与几何性质求离心率

【典例分析】

设椭圆，+/=1的左右焦点分别为玛，B，焦距为2c,点3在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点,

且归国+|尸。|<5］耳同恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（）

【提分秘籍】

基本规律

L椭圆第一定义：IP片|+|P6|=2a

双曲线第一定义：||P£|—|「乙||=2a

2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。

|P£|=2a士|尸鸟|（椭圆是减，双曲线是结合左右两支判断加减）

【变式演练】

1.

若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的离心率等于（）

A."B.叵4C.白或立D.旦或反1

222222

22

2.已知双曲线C:下方=1（〃>0*>0）的左焦点为F虚轴的上端点为B,尸为双曲线右支上的一个动点，若

△P3尸周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为（）_

A.行B.72C.巫D.巫

25

3.过双曲线的一个焦点尸2作垂直于实轴的直线，交双曲线于尸，。，月是另一焦点，若/尸£。=5,则双曲线的离

心率e等于（）

A.72-1B.石C.y/2+1D.72+2

【题型二】利用点差法求离心率

【典例分析】

22

已知椭圆二+当=l（a>6>0）,P（0,2）,2（0-2）,过点P的直线4与椭圆交于A,B,过点Q的直线4

ab

与椭圆交于C,D,且满足〃〃2,设AB和c。的中点分别为"，N,若四边形PMQN为矩形，且面积

为4百，则该椭圆的离心率为().

A.-B.-C.也

333

【变式演练】

1.已知直线y=—x+1与椭圆「+马=1(。>6〉0)相交于A,3两点，且线段A6的中点在直线

ab

%-2y=0上，则此椭圆的离心率为

,v21

2.已知双曲线E：1-与=l(a>0,b>0)斜率为-g的直线与E的左右两支分别交于A,8两点，尸点的坐

abo

标为(-1,2),直线转交E于另一点C,直线BP交E于另一点、D,如图L若直线CO的斜率为-"，则E的

A.力B.孝C.D.*

22

3.已知月，B分别为双曲线※-方=1(。>0力>0)的左、右焦点，以用工为直径的圆与双曲线在第一象限

和第三象限的交点分别为"，N,设四边形耳蟆加的周长为。，面积为S,且满足325=/,则该双曲

线的离心率为.

【题型三】焦点三角形与离心率

【典例分析】

22

已知椭圆C:'+方=l(a>b>0)的左，右焦点分别为月，F2,以坐标原点。为圆心，线段月工为直径的

圆与椭圆C在第一象限相交于点A.若|4村〈2恒6|,则椭圆C的离心率的取值范围为.

【提分秘籍】

基本规律

焦点三角形

(1)焦点三角形面积：

椭圆：S"FF=b?tan/RPF2S=-------

△厂|F「2C双曲线：，f2tan幺匕

2

2.顶角

椭圆顶角在短轴顶点处最大。

3.与正余弦定理结合

X2y2

设椭圆=+彳=1（a>0,b>0）的两个焦点为F1、屋,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFiFz

ab

sinac

中，记/4NP4£=/,/片入尸=7,则有[-----：—=—=e.

sin/+sin，a

x2y2

设双曲线J=1（a>0,b>0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

ab

sinac

在△PF1F2中，记/耳2鸟=。，APFF=（3,AFFP=Y，则有------------二—=e

X2X2Isin/-sin0a

【变式演练】

22

1.已知椭圆C:=+4=l（a>6>0）的左右焦点分别为片，鸟，直线丫=履（4>。）与C相交于M,N两点（其

ab

中M在第一象限），若M,耳，N,工四点共圆，且直线NF2倾斜角不小于则椭圆C的离心率e的取

O

值范围是（）

A.惇1]B.与，6-1C.[73-1,1）D.（0,^-1]

22

2.已知月，尸2分别是双曲线5-当=1（。>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上有一点M,满足

ab

\MFi\^A\MF2\^<A<^）,且//鸣=60。，则该双曲线离心率的取值范围是一

22

3.已知月，瑞是双曲线C：宗-3=1（。>0功>0）的左，右焦点，过点月倾斜角为30。的直线与双曲线的

左，右两支分别交于点A,B.若|钻|=|理则双曲线C的离心率为（）

A.aB.石C.2D.y/5

【题型四】第三定义与离心率

【典例分析】

22

已知双曲线2-方=1（“>0,6>0）的两个顶点分别为A,B,点尸为双曲线上除A,8外任意一点，且点尸

与点A,8连线的斜率为尤，k2,若尤.履=8,则双曲线的离心率为（）

A.V2B.若C.2D.3

【提分秘籍】

基本规律

第三定义：

l.A,B是椭圆C:++方=1（a>0,8>0）上两点，M为A.B中点，则KAB*KOM=--

a~（可用点差法快速证明）

结论拓展

22

已知直线/：丁=丘+机/工0,加工0）与椭圆二+当=1相交于A,8两点，M为A3的中点，。为坐

ab

h2

标原点，则k-k=--.

OMa

2

x2v2b

2AB是双曲线C:益一方=1（心0,6>0）上两点，M为A,B中点，则KAB・KOM=­■

a（可用点差法快速证明）

结论拓展

22

已知直线/：丁二"+机（后w°，加。°）与双曲线"=1相交于A,5两点，M为45的中点，O为坐

ab

一h2

标原点，贝1，k=F

【变式演练】

22

1.已知平行四边形A3C。的四个顶点均在双曲线C:j-4=1（。>04〉0）上，。为坐标原点，E,F为

ab

线段A昆AD的中点且OEQF的斜率之积为3,则双曲线。的离心率为.

2

2.若A,B分别是椭圆E:/+匕=1,（根>1）短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，若

m

4

直线AP与BP的斜率之积为—一,则椭圆的禺心率为.

m

22

3..已知A,B是不过原点。的直线/与椭圆C：+方=1（。>6>0）的两个交点，E为A,B中点，设直线

AB,。£的斜率分别为且软B、kOE，若3B•心E=-J，则该椭圆的离心率为.

【题型五】第二定义与离心率

【典例分析】

22

已知椭圆C：工+与=1（°>6>0）的左，右焦点4,匕过原点的直线/与椭圆C相交于M,N两点.其中

ab

M在第一象限.四时=由玛，尚之理，则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.(0,B.(0,^-2]

c.(O,V3-1]D.(^-,73-1]

【提分秘籍】

基本规律

_〃2C

椭圆双曲线第二定义：动点（％y）到定点9°）的距离与它到直线”一三的距离的比为常数]（即离心

率）.

【变式演练】

1.已知A,歹分别是椭圆=+与=l（a>b>0）的左顶点和右焦点，尸是椭圆上一点，直线"与直线/:丈=幺

a'b~c

相交于点。.且△APQ是顶角为120。的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）

A.-B.1C.|D.-

3234

22尸2为其左右焦点，若黑的最小值为114,

2.已知P为双曲线三-斗=1（°>0,6>0）左支上一点，月，

ab

则双曲线的离心率为（）

A9-屈口9+733„9土屈

A.-----D.--------------C.-----

222

22

3.若点尸为双曲线C:]=1（.*>0）上任意一点，则尸满足性质：点尸到右焦点的距离与它到直线

22

元=幺的距离之比为离心率e,若C的右支上存在点。，使得。到左焦点的距离等于它到直线x=幺的距

CC

离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是.

【题型六】焦点弦余弦定理与离心率

【典例分析】

已知椭圆瓦的左焦点片和右焦点工，上顶点为A,的中垂线交椭圆于点3,若左焦点可在线段A3

上，则椭圆离心率为.

【提分秘籍】

基本规律

焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图:

可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率

【变式演练】

22

1.已知椭圆三+与=1的右焦点为F,椭圆上的A,8两点关于原点对称，照|=2日8|,且E4-EB

4

<-a2,则该椭圆离心率的取值范围是（

2.已知双曲线C：W-1=l（a>0,"0）的左、右焦点分别为用工，分别过耳，耳，作斜率为2的直线交C在x

ab

轴上半平面部分于P,。两点.记。尸耳,0Q工面积分别为力邑，若邑=3工，则双曲线C的离心率为

22

3.已知月，居分别是双曲线=1（。>0,10）的左、右焦点，点尸在双曲线右支上且不与顶点重合，过尸2

ab

作/耳尸耳的角平分线的垂线，垂足为A.若|耳H=屉，则该双曲线离心率的取值范围为（）

A.(1,72)

【题型七】定比分点与离心率

【典例分析】

22

椭圆C:3+当=1（。>6>0）的左右焦点分别为月，F,过点月的直线/交椭圆C于A,B两点，己知

廿日国-Y3。口\!工下I店用\刀力，1，12>AX

ab

（A&+G&）-Aa=0,AFX=^F,B,则椭圆C的离心率为（

B-Tc-T

【提分秘籍】

基本规律

过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为

0,且人尸二九人民（注意方向）贝！Jecos6=|----1（e为离心率）

【变式演练】

22

1.在平面直角坐标系xOy中，点尸是椭圆。:一+当■=l（Q>b>0）的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A

作垂直于A尸的直线分别与冗轴正半轴和椭圆交于点M,N,若AM=3MN,则椭圆。的离心率£的值为

22

2.已知点P为双曲线二-斗=1（。>0,/>0）的左焦点，过原点。的直线与双曲线交于A、B两点（点B

ab

在双曲线左支上），连接2尸并延长交双曲线于点C,且忸。=3忸同，AF±BC,则该双曲线的离心率为（）

AVioR而「MnVio

2335

22

3.设/为双曲线C:鼻-当=1（。>0,6>0）的右焦点，过/且斜率为f的直线/与双曲线C的两条渐

abb

近线分别交于A,2两点，且,可=2出耳，则双曲线C的离心率为.

【题型八】三角形四心与离心率

【典例分析】

fv2

已知椭圆宗+方=1（。>6>0）的左右焦点为乃、尸2,点尸为椭圆上一点，心的重心、内心分别为G、

UU

I,若/G=2（1,0）,（4/0）,则椭圆的离心率e等于（）

A.|B.亚C.-D.

2242

【变式演练】

22

1.已知椭圆2+1=1（。>6>0）的左、右焦点分别为月、F2,经过月的直线交椭圆于A,B,.A8鸟的内

切圆的圆心为/,若3/3+4Z4+5怎=0,则该椭圆的离心率是（）

A.亚B.-C.且D.J

2.已知双曲线=1（。>0/>0）的左、右顶点分别是A,B,点点P在过点。且垂直于x轴

的直线/上，当AAB尸的外接圆面积达到最小时，点尸恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.也_B.空C.V3D."

32

22

3.已知双曲线5-与=1（“>0,6>。）的左、右焦点分别为片，耳，尸为双曲线上的一点，/为△刊诏的内心,

ab

且4+2低=2P/,则C的离心率为（）

A.-B,-C.—D,2

353

【题型九】切线与离心率

【典例分析】

已知椭圆G：£+M=1（。>6>0）与圆C,:/+V=也，若在椭圆G上不存在点P,使得由点P所作的圆

ab5

G的两条切线互相垂直，则椭圆&的离心率的取值范围是（

【提分秘籍】

基本规律

圆的切线：

（x-a'）2+（y—b'）2=i2外一点尸（xo，州）做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：（尤0—°）（无一a）+

（yo-b^-b^r2.

同理，椭圆双曲线的切线与切点弦统一方程为：警土邛=1（./>0）

a2b2v'

【变式演练】

1.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的

钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点8分别向内层椭圆

2

引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-则椭圆的离心率为（）

y

图1图2

A.-B,-C.走D.亚

3334

2

2.在直角平面坐标系心中，片,与分别是双曲线Y年=1①>0）的左、右焦点，过点片作圆V+y2=l的

切线，与双曲线左、右两支分别交于点A,8,若I工8|=|A8|,则b的值是.

22

3.已知双曲线E:二-2=l（a>0,6>0）的左，右焦点分别为月，招，过尸?作圆。：/+22="的切线，切

ab

点为T,延长gr交双曲线E的左支于点P.若|尸6|>2|*|,则双曲线E的离心率的取值范围是（）

A.（2,«）B.（右,+qC.（2,+oo）D.（V2,A/5）

【题型十】共焦点椭圆与双曲线离心率

【典例分析】

2222

设片，尸?分别为椭圆5+方=1（卬>4>0）与双曲线。2：，方=1（%浊>。）的公共焦点，它们在

第一象限内交于点/切鸣=9。。，若椭圆的离心率qe1，半，则双曲线。2的离心率4的取值范

围为.

【提分秘籍】

基本规律

.椭圆与双曲线共焦点及、B，它们的交点尸对两公共焦点及、尸2的张角为/［尸工=26,椭圆与双

曲线的离心率分别为/、e2,则空2+与2=1

,14

【变式演练】

1.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知耳,8是一对相关曲线的

焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当N耳尸工=60。时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为

A.立B.昱C.立D.1

3222

2222

2.设耳，B分别为椭圆G：｝=1（°>6>0）与双曲线C?：1一乐=1（4>4>0）的公共焦点，它们

在第一象限内交于点M,一F"E=9>,若椭圆的离心率ee=，毕，则双曲线G的离心率/的取值

143

范围为

「2而3近

A--------

3.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为用B，且两条曲线在第一象限的交点为

P,△尸片耳是以尸片为底边的等腰三角形，若|尸耳|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为G，则e「4+l的

取值范围是

A.(l,+oo)B.p+00

c.(|z10

D.§,+co

【题型十一】双曲线渐近线与离心率

【典例分析】

22

已知双曲线1-4=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为瓦，工，点A是双曲线渐近线上一点，且AK，A。

ab

（其中。为坐标原点），M交双曲线于点B,且|AB|=|做则双曲线的离心率为（）

A.叵B.典C.72D.73

44

【变式演练】

1.己知双曲线c：1-1=im>o,b>o）的左、右焦点分别为£、F2,过大作一条渐近线的垂线，垂足为点A,

ab

与另一渐近线交于点B,若耳8=3筋，则C的离心率为（）

A.76B.如C.73D.2

2

22

2.已知双曲线C:=-R=l,（a>0/>0）过C的右焦点尸作垂直于渐近线的直线,交两渐近线于A、B两

ab

AF1

点、两点分别在一、四象限，若隹=彳，则双曲线的离心率为（）

A8BF2C

A.空B.2C.6D.75

3

22

3.已知产为双曲线C：三-斗=1（。>人>0）的一个焦点，过歹作C的一条渐近线的垂线/,垂足为点A,

〃b

/与C的另一条渐近线交于点2,若|45|=品，则C的离心率为（）

A.2B."C.毡D.姮

233

【题型十二】“小题大做”计算离心率（韦达定理型）

【典例分析】

22

.耳，心分别是椭圆=+3=l（a>b>0）的左右焦点，B是椭圆的上顶点，过点耳作的垂线交椭圆C

ab

于P，Q两点，若3尸凡=7EQ,则椭圆的离心率是（）

A.显或显B,还或旦C.叵或过-

335577D甜半

【提分秘籍】

基本规律

韦达定理型解题思维：

（1）设直线方程，设交点坐标为a，%），仁，％）;

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为王+尤2、再%（或%+%、/%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

【变式演练】

2

1.点大，居是曲线c：r]-y2=i的左右焦点，过及作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A,8和c,D-,

线段AB,CD的中点分别为M,N,直线即与无轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有

公共点，则圆面积的最小值为（）

2.已知。为坐标原点，双曲线二-2■fa>。,“。）上有A,8两点满足。4_LO3,且点。到直线AB的距

ab

离为C,则双曲线的离心率为.

畋晨真题再现

22

1.（2022.全国.高考真题（理））椭圆U0r+Av=l（〃>b>O）的左顶点为A,点尸，。均在。上，且关于y

ab

轴对称.若直线AP,4。的斜率之积为I，则C的离心率为（）

4

A.立B."C.1D.-

2223

22

2.（山东.高考真题）己知月是双曲线5-2=1（。〉0,&>0）的左焦点，点P在双曲线上，直线尸耳与

ab

尤轴垂直，且|尸制=〃，那么双曲线的离心率是（）

A.6B.6C.2D.3

丫22

3.（2021.天津•高考真题）已知双曲线r-K=l（“>°，6>°）的右焦点与抛物线丁2=2/（。>。）的焦点重合，

ab

抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C、。两点，若|CD|=a|A8|.则双曲线的离心

率为（）

A.y/2B.73C.2D.3

22/

4.（2021.北京.高考真题）若双曲线C：3-1=1离心率为2,过点（衣司，则该双曲线的方程为（）

A.2x2-y2=1B.X?-工=1C.5%2-3y2=lD.--^=1

-326

22

5.（2021.全国.高考真题（理））设B是椭圆C:j+A=l（〃>b>0）的上顶点，若C上的任意一点尸都满足

ab

|P3|W2A,则C的离心率的取值范围是（）

6.（2021.全国•高考真题（理））已知片，B是双曲线C的两个焦点,P为C上一点，且N耳尸耳=60。,|「耳|=3|尸E],

则C的离心率为（）

A.也B.巫C.用D.V13

22

7.（2022.浙江・高考真题）已知双曲线吞的左焦点为E过尸且斜率为乡的直线交双曲

a2b-4a

线于点4（占,%）,交双曲线的渐近线于点力）且再<。<3.若|EB|=3|E4|,则双曲线的离心率是

22

8.（2020.山东.高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点尸与双曲线a-方=1（°>0,"0）的左焦点

重合，若两曲线相交于Af,N两点，且线段MN的中点是点/，则该双曲线的离心率等于.

9.（2020•全国•高考真题（理））已知产为双曲线C:「-《=l（a>0,10）的右焦点，A为C的右顶点，B为

C上的点，且8尸垂直于无轴.若A8的斜率为3,则C的离心率为.

10.（浙江・高考真题（文））椭圆J+（a>6>0）的右焦点尸（c,0）关于直线y。的对称点。在

椭圆上，则椭圆的离心率是.

H.（重庆・高考真题（理））已知双曲线4-4=1（〃>0,8>0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）,同（c,0）,若双曲

ab

线上存在一点尸使吧与器=3,则该双曲线的离心率的取值范围是_________.

sinZ,PF2FXC

r22

12.（2019•全国•高考真题（理））已知双曲线C：1-与=1（“>08>0）的左、右焦点分别为B,F?,过B

ab

的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点.若耳A=AB,=贝UC的离心率为.

模招检测

22

1.已知耳，F?分别为椭圆E：1r+方=i（a>6>0）的左、右焦点，E上存在两点A,B使得梯形的

高为c（其中c为半焦距），且A4=33耳，则E的离心率为（）

A.立B.逅C.BD.-

3323

22

2.如图，已知双曲线M：三-方=l（a>0,6>0）的左，右焦点分别为百,工，正六边形A38的一

边AM的中点恰好在双曲线M上，则双曲线"的离心率是（）

AW+lRV13+1-713-1n2屈-2

2323

22

3.已知椭圆C京+2=1（。>6>0）,月，居分别为椭圆的左