人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：正态分布（学生版+解析）

第05讲正态分布

.

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解正态分布概念.

1.通过误差模型，了解服从正态分布的随

2.掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问

机变量.

题.

2.通过具体实例，借助频率直方图的几何

3.了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准

直观，了解正态分布的特征.

正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概

3.了解正态分布的均值、方差及其含义.

率.

02思维导图

正态密度函数

正态曲线正态密度曲线的性质

求指定区间上的概率

正态分布求特定区间上的概率

根据正态曲线的对称性求参数

标准正态分布

标准正态分布问题

正态分布的实际应用

3。原则的应用

'P

03知识清单

知识点01正态曲线

，其中:,即X的均值;矩(X)

即X的标准差.一般地，0(x)对应的图像称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，0(x)也常常

记^90“，》(x)).

2.性质

(1)正态曲线关于平对称(即〃决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；

(2)正态曲线与x轴所围成的图形的面积为1；

(3)。决定正态曲线的“胖瘦”：。越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；

c越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

【解读】(1)正态曲线位于无轴上方，与X轴不相交；

(2)曲线在卒时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，其图像“中间高，两边低”；

(3)当。一定时，曲线随着〃的变化而沿无轴平移；

(4)正态曲线完全由变量〃和。确定，参数〃是反映随机变量的平均水平的特征数，所以用样本的均值

去估计；◎是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

【即学即练1】

1(LI,

(1)若於)而2,xGR,则於)()

A.有最大值，也有最小值

B.有最大值，但无最小值

C.无最大值，也无最小值

D.有最小值，但无最大值

(2)正态分布密度函数为外”Xd(-8,+8),则总体的均值和标准差分别是()

A.0和8B.0和4

C.0和2D.0和陋

知识点02正态分布

1.定义及表示：一般地，如果随机变量X落在区间团，切内的概率，总是等于外,。(乃对应的正态曲线

与x轴在区间口，川内围成的面积,则称X服从参数为〃和c的正态分布，记作X~N〃，d),此时夕“，。

⑴称为X的概率密度函数.更进一步的研究表明，此时〃是X的均值,而。是X的标准差，缁是x的左

差.

【解读】参数〃是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；(7是衡量随机变

量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2.正态分布的几个常用数据：如果X~Na,。2),那么

尸(XW〃)P(X2〃)70%,

尸(区一川Wo)尸(/z—+er)P68.3%,

P(|X—〃|W2Gp也~2crWXW〃+2(T)%95.4%,

尸(|X—川W3QP(JM-3(7WXW〃+3(7)P99.7%.

【解读】式子中X的取值是否包括端点不影响概率的值.一般考试时会给出相关数据，做题目时以题

目给出的数据为准.

3.3c原则

的尸(区一〃忘3(7)尸@一3(7・乂・〃+3<7)P99.7%可知，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范

围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常

称为正态分布的“30原则”.

【解读】对小概率事件的理解：

(1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；

(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能.

【即学即练2】关于正态分布N〃，/),下列说法正确的是.(填序号)

①随机变量落在区间长度为3。的区间之外是一个小概率事件；

②随机变量落在区间长度为6f7的区间之外是一个小概率事件；

③随机变量落在［—3°,3。］之外是一个小概率事件；

④随机变量落在山-30,〃+3可之外是一个小概率事件.

知识点03标准正态分布

1.定义且耳的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果y〜

NW，。2),那么令/,则可以证明X〜N(0,1),即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.

2.标准正态分布下的概率分布：如果X〜N(0,1),那么对于任意a,通常记。(a)尸(X<a),也就是说。(a)

表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(一8,°)内的面积，如图所示：

3.性质：根据正态曲线的对称性，可以知道。3)具有性质。(一a)+O(a)l.

【即学即练3】若随机变量X〜N(0,1),则P(x<0).

04题型精讲

———

题型01正态密度函数

函数小)士

【典例1】2,(其中〃<。)的图象可能为()

则〃，b分别是()

A.0和4B.0和2C.0和8D.0和拉

【变式2】设随机变量X~N（O,1）,则X的密度函数为（）

彳i

A./(xfeB."b2

1GT)2

C.仆）.二

D.0

【变式3】设随机变量X~N3b2）,X的正态密度函数为〃元）=占屋万，则必=

\J2TT

题型02正态密度曲线的性质

【典例2］（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别

服从正态分布N（4，bJ,N（生,1），N（4，q）,其正态分布的密度曲线如图所示，则（）

A.氏="2>以3B.〃I="2<43

C.从>"2=4D.M<〃2=〃3

（ij）2

【变式1】已知三个正态密度函数=2蜡（工£氏，，=1,2,3）的图像如图所示，则（）

B."1<以2=M，巧<%<%

C."\="3>M，D.M<〃2=〃3，

【变式2】设x~N（从,出），y~N（4，E）,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）

B.尸(XVb2)4P(X4b。

c.对任意正数t,p（x<0>p（r<0D.对任意正数f,P（X>O>P（y>r）

【变式3】如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是

A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B.尸（一1V坛V0）〈尸（OWx丙V2）

C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好

题型03求指定区间上的概率

【典例3］（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N（4,〃），尸（X>5）=0.3,

则P（3<X<4）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【变式1】（23-24高二下,江苏南通•阶段练习）已知随机变量X~N（2,〃），P（X<4）=0.8,那么尸（XW0）的

值为（）

A.0.2B.0.32

C.0.4D.0.8

［变式3］（24-25高二上・广东东莞•阶段练习圮知随机变量X服从正态分布N（3,l），且P（24X44）=0.6827,

则P（X>4）=.（精确到小数点后第五位）

题型04求特定区间上的概率

【典例4］（23-24高二下•山东聊城,期中）商场出售的袋装大米，每袋净重X（单位：kg）服从正态分布

N（10,0.052）.随机抽取工袋，其净重在9.95kg与10.10kg之间的概率为（）

（注：若X-N.,/）,P（|X-〃|V（T）=0.683,P（|X-//|<2cr）=0.954,P（|X-“<3b）=0.997）

A.0.8185B.0.84C.0.954D.0.9755

【变式1】（23-24高二下•山西长治•期末）已知X~N（1,4）,则P（X4-3）+P（X23）=.

附：若X〜则网X-“<b）=0.6827,P（|X-”<2cr）=0.9545.

【变式2］（23-24高二下•河南安阳•期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩X

服从正态分布N（100,b2）,已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的］,则此次考试中数学

成绩不低于130分的学生人数约为（）

A.2400B.1200C.1000D.800

【变式3］（23-24高二下•福建三明・期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个

物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做〃次测量，测量结果的误要

控制|x|2g的概率不大于0.0027,至少要测量的次数为（）

（参考数据：P（〃-3bWXW〃+3b）=0.9973）

A.288B.188C.72D.12

【变式4］（23-24高二下•广东江门•期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布

N（95,82）,将考试成绩从高到低，按照16%,34%,34%,16%的比例分为A,B,C,D四个等级.若小明

的数学成绩为105分，则属于等级（）

（附：P（jU-（y<X<//+cr）«0.68,P（//-2cr<X<//+2cr）«0.95,,P（//-3CT<X<//+3CT）«0.99）

A.AB.BC.CD.D

题型05根据正态曲线的对称性求参数

【典例5］（23-24高二下•湖南湘西•期末）（多选）已知随机变量X服从正态分布N（14,b2）,且

P（X<a）=P（X>a+4）=0.1,贝0（）

A.a=12B.a=11

C.*124X414）=0.3D.P（124X414）=0.4

【变式1］（23-24高二下•辽宁大连•期末）已知随机变量X服从正态分布若

尸（XV2m）=P（X>5-m）,贝ljm=.

【变式2】（24-25高三上•江苏镇江•开学考试）随机变量X服从N（〃，〃），若尸（X21）=P（X<3）,

则下列选项一定正确的是（）

A.KX>3）=1B.（7=1

C.尸2D.PCX>3)+HXV1)=1

【变式3］（23-24高二下•广东珠海•阶段练习）已知随机变量X~,若p（x<2）=0.2,P（X<3）=0.5,

则P（X<4）的值为.

题型06标准正态分布问题

【典例6】（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目

进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照

正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%,35%,35%,18%,2%,选考科目成绩计入考生总成

绩时，将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换原则，分别转换到［86,100］,［71,85］,［56,70］、［41,55］、

［30,40］五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩

X〜N（50,256）,若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为分.（分数保留整数）

附：①若¥=3^，则¥〜N（0,l）；②当V〜N（0,l）时，P（y<1.3）«0.9.

【变式1］（23-24高二下•江苏淮安•期末）随机变量r~N（0,l）,（p（x）=P^<x）,若0（-1.53）=0.063,则

P（用<1.53）=.

【变式2】随机变量§服从正态分布N（l,4,随机变量77服从标准正态分布N（0,1），若尸（〃<1）=尸偌<4）=°,

则尸（1<€<1+。）=.（用字母。表示）

【变式3】（2024•江苏宿迁•一模）（多选）设随机变量X~N（0,l）,〃x）=P（X4x）,其中无>0,下列说法

正确的是（）

A.变量X的方差为1,均值为。B.P（|X|<x）=l-2/（x）

C.函数〃尤）在（0,+e）上是单调增函数D.f（-x）=l-f（x）

题型07正态分布的实际应用

【典例7］（23-24高二下•内蒙古通辽•阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然

在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收

O4.55.56.57.58.59.510.5版万元)

⑴求这2000户农户家庭年收入的样本平均数元和样本方差52（同一组的数据用该组区间的中点值代表）;

⑵由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布N（〃,吟,其中〃近似为样本平均数%,4近似为样

本方差52.

①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）

②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取

4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为乙求尸（J43）.（结果精确到0.001）

附：0VT14«1.46；②若X~N（",b2）,则bVXW〃+b）g0.6827,P（〃—2bWXW〃+2b）-0.9545

（3）0.841354»0.501.

【变式1】（23-24高二下•安徽蚌埠•期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许

多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高

一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得

到样本的频率分布直方图如图所示.

频率

“羸

0.075............

0.0625....................

°8121620每周阅读时间（小时）

由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间X服从正态分布其中〃可以近似为100

名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），4=3.82.

⑴试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）；

⑵若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生

人数为匕求随机变量丫的分布列，数学期望与方差.

参考数据：若随机变量J服从正态分布则尸（〃—b,〃+b）y0.6827,P（〃—2b,〃+2b）a0.9545,

P（/j-3a,〃+3cr）«0.9973.

【变式2】（23-24高三下•山东荷泽•阶段练习）襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游

消费支出费用（单位：千元），寒假期间对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据

整理成如下表所示的频数分布表：

组别

[0,2)[2,4)[4，可[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]

（支出费用）

频数34811412085

⑴从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于10000元的概率;

(2)若襄阳市民的旅游支出费用X近似服从正态分布4),〃近似为样本平均数烈同一组中的数据用该

组区间的中间值代表)，b近似为样本标准差s,并已求得利用所得正态分布模型解决以下问题：

(i)假定襄阳市常住人口为500万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；

(ii)若在襄阳市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为3求随机变量J的分布列和

均值.

附：若XEINJQ?),贝！］尸(〃一bVXV〃+b)g0.6827,P(〃-2bWXV〃+2<r)々0.9545,

尸(〃-3b4X4〃+3cr卜0.9973.

【变式3】某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考.根据经验，该省及各市

本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布

⑴已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人.甲市学生A的成绩为76分，试估计学

生A在甲市的大致名次；

(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成绩在(〃-3b,〃+3b)之

外的人数，求尸(X21)的概率及X的数学期望.

参考数据：O.997440«0.9011

参考公式：若X~N(〃Q2),有尸(〃-b<XVx/+b)=0.6826,

尸(〃一2。<X4〃+2b)=0.9544,尸(〃一3<r<X4〃+3b)=0.9974.

题型083。原则的应用

【典例8】某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生

产周期中的100件产品的关键指标(单位：cm),经统计得到下面的频率分布直方图：

⑴由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数元和方差s'.(用每组的中点代表该组的均值)

⑵已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布用直方图的平均数估计值天作为

M的估计值〃，用直方图的标准差估计值$作为。估计值a.

(i)为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现

了(〃-3b,〃+3b)之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是某个生产

周期中抽测的10个零件的关键指标：

0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83

利用〃和b判断该生产周期是否需停止生产并检查设备.

（0）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在（〃-3b,〃+3b）之外的零件

个数，求尸（XN1）及X的数学期望.

参考数据：若随机变量X服从正态分布则尸（M-3bWXW〃+3b）yQ9973,

Vo.Oll®0.105,Vo.012«0.110,0.99739~0.9760,0.997310~0.9733

【变式1】假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N（500,5Z）（单位:

g）,该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515g.

⑴求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515g的概率为多少；

⑵检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明

理由.

【变式2】某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关，

规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失

败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.

⑴若甲第一关通过的概率为:，第二关通过的概率为：，求甲可以进入第三关的概率；

36

⑵已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为470分，现要根据得分给共2700名参加者中得分前

400名发放奖励.

①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，

请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙："这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人"，请

结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量Z~N（〃,b2）,贝U尸（，-b<X<〃+cr）=0.6827；尸（〃-2b<X<〃+2（T）Q0.9545；

尸（〃一VXW必+3cr）a0.9973.

【变式3】（23-24高二下•重庆•期末）国家对化学元素钱（Ga）相关物项实施出口管制.钱在高端半导体领

域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某钱合金研制单位为了让钱合金中的钱元素含量百分比稳定

在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测钱元素在钱合金材料中的含量百分比.设%（/=1,2,…,17）

117

表示一天的17次检测得到的镁含量（单位：%）的监测数据，并记监测数据的平均数方=行2>，，标准差

2

s=厂可•设X表示钱合金中钱含量（单位：％）,且X~N3b2）,当左为正整数时，令

Pk=PWk<7〈X〈畔附，根据表中的P&和pj值解答:

k1234

Pk0.68270.95450.99730.9999

p'J0.00150.45310.95510.9983

(1)记Z表示一天中抽取17次的镂含量Xe(〃-3b,〃+3b)的次数，求尸(Z>0)及Z的数学期望；

⑵当一天中至少1次监测保含量xe(〃-3b,〃+3b),就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已

知某天监测数据的最小值为17,最大值为21,经计算得了=20,s=0.82.若用该天监测数据得的元和S分别估

计为〃和。且X~N6,吟,利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？

⑶若去掉一天中的监测结果占，设余下的数据标准差为〃，请用数据月s,%表示

j!H强化训练

一、单选题

L(23-24高二下•山东威海•期末)已知随机变量X~N(2,4),设随机变量丫=岂/,贝I]()

A.y~N(0,l)B.Y~N(2,1)

C.y~N(2,fD.Y~N(0,4)

2.(23-24高二下•辽宁沈阳•期中)若随机变量X服从正态分布N(3,〃)，且P(X26)=0.4,则尸(X>0)=

()

A.0.6B.0.45C.0.5D.0.8

3.(23-24高二下•山东聊城・期末)设随机变量X~N(4,百)，Y~N@,贡)，这两个正态分布密度曲线

如图所示，则()

4

o

A.B.巧<%

C.P(X(4)>P(Y*2)D.p(x<^2)>Jp(y<A)

4.(23-24高二下•河南濮阳•期末)已知随机变量X〜N(90,l()2),则P(X..8O)。()

参考数据：若随机变量J服从正态分布N(〃,4),则

尸（〃一遍无〃+b）《0.6827,P（〃一2源无〃+2o■卜0.9545,尸（〃一3曲无〃+3b）《0.9973.

A.0.97725B.0.84135C.0.7786D.0.34135

5.（23-24高二下•广西•期中）若X~N（〃,〃），且尸（X<16）=尸（X>4）,则（）

A.〃=10B.〃=20C.（T=A/10D.0=2回

6.（23-24高二下•云南保山•阶段练习）某工厂5月份生产7000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小

时）服从正态分布N（1000Q2）,已知P（X>1200）=0.1,则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的

个数约为（）

A.4400B.4700C.4800D.4900

7.（23-24高二下,吉林长春,阶段练习）某校高二年级男生的身高X（单位:cm）近似服从正态分布N172,：1,

若X的值在（160,176）内的概率约为0.84,则〃的值约为（）

参考数据：①P（〃-b<XW〃+cr）=0.6827；②尸（〃-2cr<X4〃+2cr）=0.9545；③

尸（〃-3b<XV〃+3b）=0.9973

A.3B.4C.5D.6

8.（23-24高二下•重庆•期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X服从正态分布"（96,144）.已知参

加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽

测的名次大约是（）

附：若X~N（〃,CT2）,贝|尸（〃一cr<X<〃+b）=0.6827,尸（〃一2cr<X<〃+2cr）=0.9545

A.第228名B.第455名C.第1587名D.第3173名

二、多选题

9.（23-24高二下•山西大同•期中）"70米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三

男生的"70米跑”测试成绩J（单位:秒）服从正态分布N（9,/），且尸<V8）=0」.从该地区高三男生的“70米跑”

测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在（8,10）内的个数记X,则下列说法正确的有（）

A.P（8<J<10）=0.8B.尸（9<4<曰）<0.2

C.E（X）=4D.尸（X21）>0.95

10.（23-24高二下•贵州安顺•期末）已知随机变量X服从正态分布N（0,2）,定义函数/（x）为X取值不超过

x的概率，即/（x）=P（XVx）,则下列说法正确的有（）

A./（0）=1B.Z（l）+/（-D=l

C./Q）在（-哂E）上是增函数D.玉eR,使得f（2x）=2f（x）

11.（23-24高二下•陕西咸阳・期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N3，b；）、N®，b；），

其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数%=1.99

三、填空题

12.（23-24高二下•浙江宁波•期中）已知随机变量X服从二项分布且随机变量丫服从正态分

布N（2,b?）.若尸（y»E（x））=0.2,贝I尸（丫20）=.

13.（23-24高二下•河北承德,阶段练习）设随机变量X服从正态分布，即X〜N。,/），若

P（X>2a-l）=P（X<a）,贝l|a=.

14.（23-24高二下•广东佛山•期末）某厂家生产的产品质量指标服从正态分布质量指标介于162

至180之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%,则需调整生产工艺，使得b至多为.

（若X~N3b°）,则网X-”<3cr）=0.9973）

四、解答题

15.（23-24高二下•山西长治•期中）某种香梨的重量机（单位：kg）服从正态分布N（0.4,OOI?）,将该种香

梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为叫，叫，砥，明.已知州武。-39,0.41）,售价最高，为

10元/kg；[0.38,0.39）U[0.41,0.42）,售价为8元/kg；“w[0.37,0.38）U[042,0.43）,售价为6元/kg；

其余的为加4，售价为5元/kg.

⑴任选1个香梨，求其重量大于0.41kg的概率；

⑵以X表示香梨的售价（单位：元），写出X的分布列，并估计该种香梨售价的平均值.

附：若则尸（〃—crVXV〃+cr）=0.6827,尸（〃—2cr<XV〃+2cr）=0.9545,

P（//—3cr<X<〃+3b）«0.9973.

16.（23-24高二下•青海海东•阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽

测了120个零件的长度（单位:分米），按数据分成[L2,L3],（1.3,1.4],（1.4,1.5],（1.5,1.6],（1.6,1.7],（1.7,1.8]

这6组，得到如下的频数分布表：

分组[1.2,1.3](1.3,1.4](1.4,1.5](1.5,1.6](1.6,1.7](1.7,1.8]

频数5154040155

以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.

⑴若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在(1.4,1.6]中的个数，求X的分布列和数学期

望；

(2)若变量S满足|尸(〃一0<S4〃+0)-0.6827]<0.05,且怛(〃一2b<SW〃+2(r)-0.9545|<0.05,则称变量

s满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y(单位：分米)满足近似于正态分布

N(L5,0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零

件能否被签收？

17.(23-24高二下•陕西西安•期末)某新能源汽车制造企业为了了解产品质量，对现有的一条新能源零部件

产品生产线进行抽样调查.该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000

件.检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为[25,35),

[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].

频率

0.03...................1~~I

O2

oO.16

.O

SO1

OO8

O.OO6

.O

2535455565758595质量指标值

⑴从质量指标值在[55,75)内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽

取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率.

(2)若该项质量指标值X近似服从正态分布〃近似为样本平均数元(同一组中的数据用该组区间

的中间值代表)，近似为样本标准差s,并已求得SB15.5,利用所得正态分布模型解决以下问题：

①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件

不合格；

②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于，的零部件个数为匕求随机变量

y的分布列与数学期望.

参考数据：P(〃-b4XW〃+b)=0.6827,P(〃-2cr4X4〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr4X4〃+3cr)=0.9974.

18.(2024・陕西商洛•模拟预测)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11

月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如

下：

脐橙数量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

购物群数量/个1218m3218

⑴求实数加的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；

⑵假设所有购物群销售脐橙的数量其中以为（1）中的平均数，4=14400.若该脐橙基地

参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在［256,616）（单位:盒）内的群为"A级群"，销售数量小于

2580盒的购物群为“3级群”，销售数量不小于616盒的购物群为"特级群"，该脐橙基地对每个"特级群"奖励

800元，每个"A级群”奖励100,对"8级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按

四舍五入取整数）

附：若则P（〃-crWX<〃+cr）e0.683,P（/J-2cr<X<pi+2cr）®0,954,

P（〃-3bVX<〃+3cr）”0.997.

19.材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度.所

有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“3+3”的考试科目.前一个"3"为必考科目，

为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省

级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个"3"为高中学业水平考试（简称"学考"）选考科目，由各

省级行政区域自主命题.材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8

省市发布高考综合改革实施方案,方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革.考

生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考

试科目成绩组成，满分为770分.即通常所说的“3+1+2”模式，所谓“3+1+2〃，即"3"是三门主科，分别是

语文、数学、外语，这三门科目是必选的."1"指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩."2"

指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门.但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等

级赋分.等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A、3、C、D,E五个等级，五个等级

分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数.

（1）若按照"3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有"语文，数学，外语，物理，化学”的概率.

（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学

生2700名参加语数外的网络测试，满分470分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从

正态分布，且满分为470分；

①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况："此次测试平均成绩为171分，351分以上

共有57人"，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；

②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙："这次测试平均成绩为201分，351分以上共

有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.

附：尸（〃一crwxWM+CT）=0.6828；P（/z-2cr<X<//+2cr）=0.9544；尸（〃一3crWXW〃+3b）=0.9974.

第05讲正态分布

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解正态分布概念.

1.通过误差模型，了解服从正态分布的随

2.掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问

机变量.

题.

2.通过具体实例，借助频率直方图的几何

3.了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准

直观，了解正态分布的特征.

正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概

3.了解正态分布的均值、方差及其含义.

率.

02思维导图

正态密度函数

正态密度曲线的性质

求指定区间上的概率

求特定区间上的概率

根据正态曲线的对称性求参数

标准正态分布问题

正态分布的实际应用

3。原则的应用

知识清单

知识点01正态曲线

_(1一,

1.定义：函数”的解析式中含有〃和。两个参数，其中:〃E(X),即X的均值;

<TV27r

即X的标准差.一般地，0(x)对应的图像称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，0(x)也常常

记^99“，°(x)).

2.性质

(1)正态曲线关于斗对称(即〃决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；

(2)正态曲线与x轴所围成的图形的面积为1；

(3州决定正态曲线的“胖瘦”：c越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；

。越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

【解读】(1)正态曲线位于无轴上方，与X轴不相交；

(2)曲线在卒时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，其图像“中间高，两边低”；

(3)当。一定时，曲线随着〃的变化而沿x轴平移；

(4)正态曲线完全由变量〃和。确定，参数〃是反映随机变量的平均水平的特征数，所以用样本的均值

去估计；◎是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

【即学即练1】

1(LI,

(1)若式交瓦2,xGR,则於)()

A.有最大值，也有最小值

B.有最大值，但无最小值

C.无最大值，也无最小值

D.有最小值，但无最大值

【答案】C

【解析】当尤1时，大x)有最大值.无最小值.

52兀

(2)正态分布密度函数为你”(X)焉xe(—8,+8),则总体的均值和标准差分别是()

A.0和8B.0和4

C.0和2D.0和噌

【答案】D

【解析】由条件可知〃0,(72.

知识点02正态分布

1.定义及表示：一般地，如果随机变量X落在区间［小切内的概率，总是等于外,。任)对应的正态曲线

与X轴在区间3，加内围成的面积,则称X服从参数为〃和＜7的正态分布，记作X〜叫，。2),止匕时夕“，°

(x)称为X的概率密度函数.更进一步的研究表明，此时〃是X的均值,而c是X的标准差，。2是X的方

差.

【解读】参数〃是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；。是衡量随机变

量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2.正态分布的几个常用数据：如果X〜N〃，。2),那么

尸(XW〃)P(X2