排列组合与二项式定理（14 题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（解析版）

热点14排列组合与二项式定理

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第11题，考察二项展开式第左项二项式定理问题是天津高考的热门考点，主要考查二

2023年，第11题，考察指定项系数项展开式的通项，二项式系数，常数项，及各项系数

2024年，第11题，考察指定项系数和等问题，常以小题形式出现，同时排列组合问题也

是考察重点

热点题型解读

题型1加法计数原理和乘法计数原理综合

1、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；

2、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计

II

算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

i三「7近天关海褥三港5•药而僦苗三干大蔡普提茁而耍花荃■良祠费，访尊苕;鬟季济笄蔑崔年福薪■组i

织同学从推荐的课外读物中进行选读.活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两

人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】B

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】根据题意，首先选取1种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

首先选取1种相同课外读物的选法有C；=5种，

再选取另外两种课外读物需不同，则共有C；C；=12种，

所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5x12=60种.

故选：B.

2.（2023•天津•一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知:

（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝。，E,F；

（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝8,D,H；

（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝/,C,E,则下列结论正确的是（）

A.最高处的树枝定是GB.最低处的树枝一定是尸

C.九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D.九根树枝从高到低不同的顺序共有32种

【答案】C

【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的计数问题

【分析】

由题判断出部分树枝由高到低的顺序为G4BCEE,还剩下。，H,I,且树枝/比C高，树枝。在树枝3,

E之间，树枝H比。低，根据/的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.

【详解】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为CMBC班',

还剩下O,H,I,且树枝/比C高，树枝。在树枝8,E之间，树枝//比。低，

最高可能为G或1,最低为尸或H,故A、B错误；

先看树枝/,有4种可能，若/在B,C之间，

则有3种可能：

①Z）在B,/之间，H有5种可能；

②。在/,C之间，H有4种可能；

③。在C,E之间，H有3种可能，

此时树枝的高低顺序有5+4+3=12（种）.

若/不在B,C之间，则/有3种可能，。有2种可能，

若。在8,C之间，则以有4种可能，

若。在C,E之间，则H有3种可能，

此时树枝的高低顺序有3X（4+3）=21（种）可能，

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有12+21=33种，故C项正确.

故选：C.

3.（23-24高二下•天津北辰・期中）从0,2,4中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字

的三位数.其中奇数的个数为（）

A.48B.30C.24D.6

【答案】B

【知识点】排列组合综合、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题

【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分

类加法计数原理计算即得.

【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：

①元素。被选中，则应放在十位，从1,3,5中选两个数字排在个位与百位，共有A；=6种方法；

②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1,3,5中选两个数字排在余下的两个数位，有C；A；=12种

方法；

③元素4被选中，与②情况相同，有C；A；=12种方法.

由分类加法计数原理可得，奇数的个数为6+12x2=30个.

故选：B.

4.（2024・重庆•模拟预测）2024年12月7日西南大学附属中学校迎来了办学110周年庆典，为此某班设计

了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品A、B,乙同学喜欢作品8、C、D,丙同学除了不喜

欢E作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了

自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（）

A.50种B.48种C.45种D.40种

【答案】D

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】分甲选A和甲选8两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得.

【详解】若甲选A,则乙有C；种选法，丙有C；种选法，故共有k（4'仁=24种选法；

若甲选则乙有C；种选法，丙有C；种选法，故共有lxC；xC；=16种选法；

综上可得一共有24+16=40种不同的选法.

故选：D

5.（2024•广东佛山•一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、

乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是一

（用数字作答）.

【答案】134

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,对A、B、C取到的个数分四种情况讨论，按照

分类、分步计数原理计算可得.

【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C,

若A、3、C都没有取到，则有A：=24种不同的取法；

若A、8、C取到一个，则有C；A；A；=72种不同的取法；

若A、8、C取到两个，则有©；。次：+，）=36种不同的取法；

若A、B、C取到三个，则有C；=2种不同的取法；

综上可得一共有24+72+36+2=134种不同的取法.

故答案为：134

题型2排队问题

|00目百

ii

1、解有“相邻元素”的排列问题的方法

ii

对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，

II

再考虑这个整体内部各元素间的顺序。

II

ii

2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法

ii

对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，

ii

ii

然后将不相邻的元素进行插空二

II

ii

3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法

解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元

ii

素为主或以位置为主。

II

ii

1.（2024•四川内江•模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列

方式共有（）

A.72种B.144种C.288种D.576种

【答案】C

【知识点】元素（位置）有限制的排列问题

【分析】首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，按照分步乘法计数原

理计算可得.

【详解】首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，

故不同排列方式共有A：A：=288（种）.

故选：C

2.（2024•江西新余•二模）两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同

的站法有（）种.

A.240B.360C.420D.480

【答案】D

【知识点】不相邻排列问题

【分析】由题意可得两个大人不相邻，不相邻问题用插空法即可得.

【详解】若两个大人之间至少有1个小孩，即两个大人不相邻，

故共有A；A；=24x20=480种.

故选：D.

3.（23-24高三上•天津河东•阶段练习）甲，乙等5人站成一排，则甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为.

【答案】成0.2

【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、计算古典概型问题的概

率

【分析】先求出甲，乙等5人站成一排共有的情况数，再计算出甲，乙相邻，且甲在乙左侧的情况数，从

而计算出概率.

【详解】甲，乙等5人站成一排，共有A；=120种情况，

若甲，乙相邻，将两人捆绑后看为一个整体，两人可以交换位置，

和剩余的3人进行全排列，共有A；A：=48种情况，

故甲，乙相邻，且甲在乙左侧的情况有48+2=24种情况，

所以甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为急=1.

故答案为：—

4.（23-24高三上•天津和平•开学考试）将字母。、b、c、d、e、/排成一排，其中。必须在6的左边,

则不同的安排方法有.（用数字作答）

【答案】360

【知识点】元素(位置)有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题

【分析】先安排。力，然后排其它字母，由此计算出不同的安排方法.

【详解】先安排。力，方法数有C；种方法，

再安排其它字母，方法数有A：种，

故不同的安排方法有C；A：=360种.

故答案为：360

5.(2024・陕西商洛•模拟预测)3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同

的排法种数为.

【答案】360

【知识点】排列数的计算、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、组合数的计算

【分析】由捆绑法、插空法即可求解.

【详解】当恰好2名女生相邻时,有A；A；C；C；=216种排法，

当3名女生都不相邻时，有A；A：=144种排法，

则共有216+144=360种排法.

故答案为：360.

题型3涂色问题

\0口@0

(1)涂色问题涉及到颜色种类数；

(2)相邻区域不能同色；

(3)常采用分类讨论法，从选定两个不相邻区域开始，讨论这两块区域同色和不同色。

n五面ii餐甬:丽布的了窠在黄讦切茬卷示成芮笳窗蒜葡二银至施希亶君奔丁曩泰湘菊1藏希亶

的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有()

A.360种B.420种C.480种D.540种

【答案】D

【知识点】涂色问题

【分析】利用要求根据区域依次讨论计算即可.

【详解】如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的布置

方案，

再在区域。布置花卉，有3种不同的布置方案.

若区域2与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案；

若区域2与区域E布置不同的花卉，则区域8有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案.

故不同的布置方案有5*4*3*（3+2*3）=540种.

2.（2022•天津北辰•模拟预测）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，

则有种不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率

为.

【答案】64—

16

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、计算古典概型问题的概率

【分析】用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子都有2种染色方法，根据乘法计数

原理即可求出不同的染色方法种数；再利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总

有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件个数，从而根据古典概率模型的概率计算公式即可求解.

【详解】解：用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有26=64种不

同的染色方法；

出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，

包含的基本事件有：全染黑色，有1种方法；

第一个格子染黑色，另外五个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有C；=5种方法；

第一个格子染黑色，另外五个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有C；+C：=9种方法；

第一个格子染黑色，另外五个格子中有3个格染白色，剩余的都染黑色，列举法可知有5种方法；

所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，

包含的基本事件有：1+5+9+5=20种，

所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为：P=^20=25.

6416

故答案为：64；.

3.（23-24高二下•天津•期中）如图，用4种颜色标注6个地图的区域，相邻省颜色不同，不同的涂色方式

共有一种

【知识点】涂色问题

【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，利用穷举法，

结合排列数公式，即可求解.

【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，

则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，

共有：｛"四川和湖南"且"贵州和湖北"｝、｛"四川和湖南"且“贵州和陕西“｝、

｛"四川和湖北"且"贵州和陕西"、｛"四川和湖北”且“湖南和陕西"、

｛"贵州和湖北”且"湖南和陕西"，共有5种情况，

所以不同的涂色共有5xA：=120种.

故答案为：120.

4.（2024•全国•模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种

屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体EF-ABCD.现装修工人准备用四种不同

形状的风铃装饰五脊殿砂-ABCD的六个顶点，要求E,尸处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶

点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有种.

图1图2

【答案】72

【知识点】实际问题中的计数问题、涂色问题

【分析】对于本题共4种不同形状的风铃，要求是E-b使用同一种风铃，其余各棱的两个顶点挂不同形状

的风铃，可以理解相邻顶点挂不同形状的风铃，通过分析使用3种或4种风铃满足条件.

【详解】①使用3种形状风铃，只能跖同，AC同，8。同.此时共有：C：A；=24种挂法，

②使用4种形状风铃，此时有两种情况；

1)AC同，5。不同：直接将4种风铃挂到ABDE四个点上，

全排列有：A：=24种，

2)AC不同，8。同：此时与1)相同，共有A：=24种，

综上，共有24+24+24=72种，

故答案为：72

【点睛】涂色问题解决问题的关键是在判定使用颜色数量，合理分类，合理分步，熟练分类加法及分步乘

法原则.

5.(2023・重庆・模拟预测)某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环

区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植.要求相邻区域不能

用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有种.

【答案】30

【知识点】涂色问题

【分析】依颜色为出发点，分析可得必用3种颜色的鲜花，先安排1,2位置，再讨论第三种颜色的可能位

置，分析运算即可.

【详解】若只用两种颜色的鲜花，则L3位置的颜色相同，2,4位置的颜色相同，

即可得1,4位置的颜色不同，则5位置无颜色可选，不合题意；

故必用3种颜色的鲜花，则1,2的栽植方案有A；=6种，己用两种颜色，第三种颜色可能在3,4,5,可

得：

(i)若第三种颜色在3或5,有如下两种可能：

①3,5的颜色相同，则4的颜色有两种可能，栽植方案有C；=2种；

②3,5的颜色不相同，则4的颜色必和1的颜色相同，栽植方案有C；=2种；

栽植方案共有2+2=4种；

(ii)若第三种颜色在4,则3的颜色必和1的颜色相同，5的颜色必和2的颜色相同，栽植方案共有1种；

综上所述：总的栽植方案有6x(4+l)=30种.

故答案为：30.

题型4分组分配问题

（1）先分组，后分配；

（2）分组包含①平均分②部分平均分③不平均分

（3）分组后再分配

1.（23-24高二下•天津南开•期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最

伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埃作畦""移苗定植""挑水浇园”“插架〃四项劳动技能比赛项目.某宿

舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人

中至多有1人参加“打埃作畦”的不同参加方法数为（）

A.2730B.10080C.20160D.40320

【答案】B

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、组合数的计算、分组分配问题

【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可.

【详解】若没有人参加“打埃作畦"，则有・A；=1680种不同的方法,

若有一人参加“打填作畦"，则有C；七=8400种不同的方法,

\A2A?）

所以这8个人中至多有1人参加“打填作畦”的不同参加方法数为1680+8400=10080.

故选：B.

2.（23-24高二下•天津•期中）若将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至

少分一本书，则不同的分法的数量为（）

A.540B.90C.10D.450

【答案】A

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题

【分析】先将书分成三组，再将学生排列好，将每组的书分别发放给学生.

【详解】根据题意，每位同学至少分一本书，

则分成（2,2,2）,（1,2,3）,（1,1,4）三组，

若分成（2,2,2）三组，有y=15种分组方法，

A3

若分成（1,2,3）三组，有C&C；=60种分组方法,

若分成（1,1,4）三组，有美严=15种分组方法，

从而分组方法有15+60+15=90种；

将分好的三组全排列，对应3名学生，有A；=6种情况.

根据分步乘法计数原理，故共有90x6=540种不同的分法.

故选：A.

3.（2022•天津和平•二模）某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若

每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案

总数为.（用数字作答）

【答案】36

【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题

【分析】根据甲、乙两人组成一组和甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组二种情况分类讨论求解即可.

【详解】当甲、乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：CjA：=3x3x2xl=18；

当甲、乙两人与其他三人中选一人组成一组时，

不同的专家派遣方案总数为：C>A；=3x3x2x1=18,

所以专家甲、乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：18+18=36,

故答案为：36

4.（23-24高二下•天津•期中）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织"义诊下乡行”活动，

某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到A志愿队的

方法有种.（用数字作答）

【答案】50

【知识点】分组分配问题

【分析】先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解.

【详解】第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1,3或2,2的分组，再分配到另2个志

（c2A

愿团队，有C〔+/A；=14种方法，

IA27

第二种情况，A志愿队有甲医生外，还有1人，剩下的3人为1,2的分组，再分配到另2个志愿团队，有

C：xC；xA；=24种方法，

第三种情况，A志愿队有甲医生外，还有2人，剩下的1人为1,1的分组，再分配到另2个志愿团队，有

C：xA：=12种方法，

所以共有14+24+12=50种方法.

故答案为：50

5.（23-24高二下•天津南开•期中）南开园中有很多地方沉淀着历史的印记，值得同学们在三年的时光里驻

足留意.小南、小艾等6位即将毕业的同学在伯苓楼、范孙楼、瑞廷礼堂、翔宇楼4座标志性建筑中各选

择一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一座建筑拍照，且小南、小艾不在

同一座建筑拍照，则不同的拍照方式共有种，（用数字作答）

【答案】1320

【知识点】排列组合综合、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6人分为4组，要求小南、小艾不在同一组，②将四组安排在

4座标志性建筑中拍照，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行分析：

①将6人分为4组，要求小南、小艾不在同一组，

若分为3、1、1、1的四组，有或-C；=16种分组方法，

若分为2、2、1、1的四组，有卑警-卑4=39种分组方法，

则有16+39=55种分组方法；

②将四组安排在4座标志性建筑中拍照，有A：=24种情况，

故有55x24=1320种排法.

故答案为：1320.

题型5二项展开式第左项

0O日雹

rnrr

对于m+力"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+i=Cna-b

1.（2024•四川成都•三模）（2x-

的展开式中，第5项为常数项，则正整数〃等于（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【知识点】求二项展开式的第k项

【分析】利用二项式定理求出展开式通项，由条件列方程求〃.

【详解】二项式的展开式的第r+1为

4

所以T=C（2x）"=（2：2'7尤-6,

由已知7=6,

故选：C.

2.（2024・河北廊坊•模拟预测））的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的

常数项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值

【分析】根据二项式系数的性质得力=6,再根据通项公式可求出结果.

【详解】因为卜-

N*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大,

则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则〃=6,

贝展开式的通项为却|=C）6T.l=（-2）＜）6-2，,

展开式中常数项，必有6-2厂=0,即r=3,

所以展开式中常数项为£=（-2）«=-8x20=-160.

故选：A

3.（2024・山东•二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，〃=

【答案】10

【知识点】根据二项式的第k项求值

【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得.

【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等,

所以C：=C：,由组合数的性质可得〃=10.

故答案为：10.

4.的展开式中第5项为常数项，展开式中含有尤2顶的

系数为.

【答案】-4

【知识点】求指定项的系数、根据二项式的第k项求值

【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.

【详解】［狐-5］的展开式中第5项为C：（也厂］-4］

第5项为常数项，故殍一襄0,则〃=8,

当警若=2时，k=l,故第2项为:

故答案为：—4

2—负的展开式的第4项的系数:

5.（23-24高三上•广东珠海•开学考试）写出（用数字表示）

【答案】-160

【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数

【分析】利用二项式定理得到通项公式，求出第4项系数.

（-工）33

【详解】QI=C：（2X）3--=-160^.

故答案为：-160

题型6求指定项的二项式系数

©0幅

nrr

对于（a+力"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=C；a-b

1.（2024•北京•三模）在展开式中，常数项的二项式系数为（）

第

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【知识点】求指定项的二项式系数

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，再求出常数项即得.

【详解】二项式（x-［）4展开式的通项加=C，T（一1），=（_iyc，Y，,reN,r44,

由4—4厂=0,得厂=1,则（尤-《）4展开式的常数项是第2项，

所以常数项的二项式系数为C；=4.

故选：A

2.（23-24高三上•天津北辰•阶段练习）若卜-彳）展开式的二项式系数和为64,则展开式中第三项的二项

式系数为.

【答案】15

【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和

【分析】根据二项式系数和得到〃=6,再计算第三项的二项式系数即可.

【详解】卜-：］展开式的二项式系数和为2R=64,故”=6,

展开式中第三项的二项式系数为废=15.

故答案为：15.

3.（2024•辽宁・模拟预测）二项式卜+展开式的第3项的二项式系数是.

【答案】28

【知识点】求指定项的二项式系数

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得令r=2即可求解.

【详解】由题意知，［+£［展开式的通项公式为q/L

令r=2,得C；=28,即二项式、+展开式的第3项的二项式系数是28.

故答案为：28

4.（2024•辽宁沈阳•一模）的展开式中常数项的二项式系数为.

【答案】20

【知识点】求指定项的二项式系数

【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为0,求得答案.

【详解】此二项式展开式的通项公式为7^=晨（26）6-（；1=26-«针,，

（「=0,123,4,5,6）,则当厂=3时，对应的为常数项，

故常数项的二项式系数为C：=20,

故答案为：20.

5.（2023•山东青岛•三模）若+6］展开式的所有项的二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项

的二项式系数为.（用数字作答）

【答案】28

【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、求系数最大（小）的项

【分析】

根据二项式系数之和可得"=8,结合二项展开式的通项公式求系数最大项，进而可求其二项式系数.

【详解】因为展开式的所有项的二项式系数和为2,=256,解得〃=8,

则+«］展开式为乙=(2；［(］(«)'=M%",r=0,l,2,…,8,

r

可得第r+1项的系数为%+i=若c,r=0,1,2,…,8,

f~^r「r+1

J〉J

48—r-o7-r

。用叫+2

令、，即Bn＜「解得r=6,

所以展开式中第7项系数最大，其二项式系数为C；=28.

故答案为：28

题型7二项式系数和

:0屯e0

(1)(。+力”展开式的各二项式系数和：

d+C；+…+&+…+Q=2"(〃eN*)；

(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等:

C；+C；+..Y+C；+…=2"T(〃eN*)

1.(2024•天津北辰・三模)若［2V+%J展开式的二项式系数和为128,则展开式中/的系数为.

【答案】280

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】根据二项式系数和可得〃=7,再结合二项展开式的通项分析求解即可.

【详解】由题意可知：二项式系数和为2"=128,解得〃=7,

则2丁+展开式的通项为雹+1=C；(2d广［；］=27T.J,『匕’,r=0,1,…,7,

7

令21-于=7,解得r=4，

所以展开式中尤7的系数为23.C；=280.

故答案为：280.

2.(2023•天津滨海新•三模)若卜的展开式的奇数项的二项式系数和为16,则展开式中Y的系数

为.

【答案】-10

【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和

【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得〃=5,则卜-展开式中第厂+1项为卜2）'q•产2,,

令5-2r=3可得答案.

【详解】因卜;二）的展开式的奇数项的二项式系数和为16,则2"T=16n/=5.

则\二［=卜一2）展开式中第用项为q「.曰|=（一2yq.1.

令5-2厂=3可得r=l,则d的系数为—2・C；=-10.

故答案为：-10

3.（2023•四川达州•二模）若,-彳］展开式的二项式系数和为64,则展开式中/系数为.

【答案】-12

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】根据二项式系数和求得力，根据二项式展开式的通项公式求得/的系数.

【详解】依题意的展开式的二项式系数和为64,所以2，=64,即〃=6.

二项式|J展开式的通项公式为C/xJ.（一2/）'=（-2）’•C；•产

46-2r=4,r=l,所以展开式中含公的系数为（_2*或=-12.

故答案为：-12

4.（2022•天津滨海新•模拟预测）已知（V-的展开式的二项式系数之和为64,则展开式第三项的系数

是.

【答案】60

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】根据二项式系数的和的性质，求得〃=6,结合二项展开式的通项，即可求解.

【详解】由（V-2）”的展开式的二项式系数之和为64,可得2,=64,解得〃=6,即（V-2）6

XX

0

则展开式第三项为C；（Y）4（一二）2=（-2）2C"=60尤6,

所以展开式第三项的系数是60.

故答案为：60.

5.（24-25高三上,贵州贵阳•阶段练习）若（«-与"的展开式的二项式系数和为32,且一的系数为80,则

X

实数a的值为.

【答案】-2

【知识点】二项式的系数和、由项的系数确定参数

【分析】由二项式系数和先求"，再利用通项=G（-a）”芋得到无「2的指数确定「值，由无一2的系数为80,

建立关于。的方程求解可得.

【详解】因为（石-色厂的展开式的二项式系数和为32,

X

所以C：+C；+C：+...+C：=2"=32,解得w=5.

5—3r

所以二项式展开式的通项公式为心=C久五尸（-3=G（-a），x亍，

X

由言=一2,解得r=3,

所以一的系数为C；（-4=-10。3=go,解得。=_2.

故答案为：-2.

题型8求指定项的系数

\'运'}

IaaaeI

nrr

:对于（a+6）”,涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+l=C'na-b

ii

7万五痂:建菽福而…薮二方的三质蔗异女爵莪场三素薮前靛■「春…

（X_1）”=旬+4（彳+1）+d（彳+1）2+...+a“（x+l）”,贝qq等于.

【答案】448

【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数

【分析】根据二项式系数和公式求出〃，再利用展开式求q.

【详解】•・•（X-1）''的二项展开式的奇数项二项式系数和为64,

T-'=64,即"=7,

贝i］（x-l）7=［（X+1）-2］7的通项公式为（=C：（x+l尸（一2匕

令7—左=1,贝IJ左=6,

所以4=C；X（-2）6=448.

故答案为：448.

5

2.（2024•天津南开•二模）在的展开式中，尸的系数为

【答案】+45/22.5

【知识点】求指定项的系数

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

即，X」的系数为145.

45

故答案为：y

（•天津和平•三模）在（丁+）（尤-工）的展开式中，常数项为

3.202326（请用数字作答）.

【答案】-46

【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题

【分析】求出（X-L）6展开式的通项公式，再分析计算得解.

X

6rrr62r

［详解】二项式。一工）6展开式的通项公式为：Tr+l=q%-（--）=（-l）C'6x-,reN,r<6,

XX

由6-2r=0或6-2-=-4,得r=3或r=5,

所以展开式的常数项为2x（-1）3C^+（-1）5仁=-46.

故答案为：-46

4.（24-25高三上•天津和平・期末）二项式（2工-9］的展开式中，/项的系数为.

【答案】80

【知识点】求指定项的系数

【分析】利用二项式定理计算得到答案.

【详解】［2苫-七］的展开式的通项为：

Tr+l=C>(2x广卜=C：--(-1/-,

令5=2,解得厂=2,

所以V项的系数为c；.23.（-1）2=80.

故答案为：80.

5.（2024・上海长宁•一模）［-J］的二项展开式中的常数项是.

【答案】-20

【知识点】求指定项的系数

【分析】由题可得展开式的第厂+1项，令x指数为0,可得常数项对应「，即可得答案.

【详解】由题卜一Jj的二项展开式的第厂+1项为©）6-，.（_1）［/：=（_1?«尤6-2，.

令6—2r=0=r=3,则常数项为（-犷•或=-20.

故答案为：-20.

题型9有理项问题

0。

rr

对于（a+力"，涉及到具体项，通常使用通项公式：Tr+1=C［a"-b

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）1+缶"展开式的7项中，系数为有理数的项共有（）项

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知识点】求有理项或其系数

【分析】利用二项式的展开式4+］=（3；（仓）。3/=0,1,2,...,6，可得结论・

1J_r

【详解】（1+缶3）6的展开式为—=晨（缶I=晨（0?・//=0,1,2,…,6，

当，=0,2,4,6时，二项式展开式的各项的系数分别为1,30,60,8均为有理数，

故系数为有理数的项共有共有4项.

故选：D.

2.（2024•河南•模拟预测）已知-声］（其中。＞0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项

共有（）

A.6项B.5项C.4项D.3项

【答案】D

【知识点】二项展开式的应用、求有理项或其系数、由项的系数确定参数

【分析】运用二项展开式的通项公式可得打、。的值，结合有理项的定义赋值求解即可.

【详解】展开式的第7项为7；=

由题意，得2〃—14=0,(―a)6C：=7,(a>0),所以〃=7,a=1

则展开式的通项为%=（-1）七"4"=(—3,左=0,1,2,…,7,

42-7k

令eZ,则左=0,3,6,所以展开式中的有理项共有3项.

故选：D.

3.（2024•青海西宁•模拟预测）（8-4工『展开式中系数为有理数的项共有（）

A.2项B.3项C.4项D.5项

【答案】D

【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数

【分析】根据二项式展开式的通项公式直接得出结果.

【详解】（8-缶），展开式的通项公式为中5M-缶丫=（-"）飞吠犷（（KrM9,reZ）,

所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项.

故选：D

的展开式中，所有有理项的系数之和为（）

XX\Jx

C.127D.128

【答案】D

【知识点】求有理项或其系数

【分析】由题意得（1+尚+3+」户）：=（1+3）8,结合展开式的通项公式即可求解.

xxy/x

【详解】由题意矢口（1+-^=+°+—L）3=（1H■-7=）8,

yJX