立体几何小题：截面与动点-2025年高考数学一轮复习知识清单（解析版）

专题18立体几何小题：截面与动点

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目录

题型一：截面基础................................................................................1

题型二：截面圆锥型轨迹..........................................................................3

题型三：动点：阿波罗尼斯圆......................................................................6

题型四：平行线法做截面.........................................................................10

题型五：相交线法做截面.........................................................................16

题型六：截面计算：求面积.......................................................................20

题型七：截面计算：求周长.......................................................................24

题型八：动点：恒垂直求截面.....................................................................27

题型九：动点：恒平行求截面.....................................................................31

题型十：截面分体积比..........................................................................34

题型十一：截面最值范围：面积型.................................................................38

题型十二：截面最值范围：周长型.................................................................41

题型十三：动点：两线动点最值...................................................................44

题型十四：动点：表面上动点距离最值.............................................................46

题型十五：动点：折线和最值.....................................................................50

题型十六：动点：折线型“将军饮马”最值.........................................................53

结束..........................................................................

更突围・檐淮蝗分

题型一：截面基础

指I点I迷I津

在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正

方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为

横截、竖截、斜截。。

1?-（^23-24禽三示至薇簧山确蓑蒙为5-如囱丁茬前1茁的山遥籥矗而为S5至i7帝二褥而「丽i藏面

图形为椭圆，将圆柱侧面沿母线48展开，该椭圆曲线在展开图中恰好为函数y=2sin且X一个周期的图象,

则该截面椭圆的离心率为（）

]_

B.

2

【答案】B

【分析】根据题意，结合正弦函数的性质得到AB=4,7=46兀，进而得到r=2g,结合图形，利用勾股

定理，可求出a=4,b=2若，即可求解.

【详解】由题知椭圆曲线在展开图中恰好为函数y=2sin/x的一个周期，

7=?=4扃

可得AB=4,且B,

T

设底面半径为r,贝U271r=4耳，得到r=26

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则有4/=4/+|期2=4x12+16,得到『=16,

又2b=2r=4也,得到所以椭圆的离心率为e=£=J1-4=L

aVa2V162

故选：B.

2.（24-25高一下•全国•随堂练习）圆锥的截面形状不可能为（）

A.等腰三角形B.平行四边形

C.圆D.椭圆

【答案】B

【分析】根据圆锥的特征逐项判断可得答案.

【详解】对于A,用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，符合题意；

对于B,圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，不符合题意；

对于C,用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，符合题意；

对于D,用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，符合题意.

故选：B.

3.（22-23高二上•北京•阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面

圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.

【详解】当截面ABCD如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；

D

当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状;

故选：D

4.（2020高二・浙江•专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（）

【答案】D

【分析】依次分析各个选项中截面出现的情况即可.

【详解】对于A,当截面平行于正方体的一个侧面时，可得A中截面;

对于B,当截面不平行于任何侧面，也不经过正方体的体对角线时，可得B中截面；

对于C,当截面过正方体的体对角线时，可得C中截面；

对于D,截面中的四边形为正方形，且四个顶点均在球的表面；过球心的截面不可能作出D中截面.

故选：D.

5.（20-21高二下,贵州黔东南•阶段练习）用一个平面截一个正方体，截面图形可以是（）

A.三角形B.等腰梯形

C.五边形D.正六边形

【答案】ABCD

【分析】可由平面与正方体具体有几个面相交，结合图像即可判断.

【详解】如图所示：

三角形等腰梯形五边形正六边形

故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形,

故选：ABCD.

题型二：截面圆锥型轨迹

H旨I点I迷I津

；立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些

:证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹（定义），要么通过计算（建系）求出具体的

轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二

：次曲线型，球型.

三心6百春受「•崔丽湎、前二^矗置了面旃葡而乖而全截圆露K日商残■，砺后囱锥侧商的芟至厂

是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角。不同时,可以得到不同的截口曲线，

它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.记圆锥轴

截面半顶角为a,截口曲线形状与。，。有如下关系：当。时，截口曲线为椭圆；当6=a时，截口曲线

为抛物线：当，<a时，截口曲线为双曲线.其中6,现有一定线段人以其与平面夕所成角。（如

图），2为斜足，夕上一动点P满足/BAP=7,设P点在£的运动轨迹是：T,则（）

A.当夕=：,7=5时，：T是椭圆B.当。=g,7=m时，「是双曲线

4636

C.当9=7，7=9时，r是抛物线D.当9=弓，7=2时，r是圆

4434

［答案］AC

【舞析】P在以A8为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可.

【详解】为定线段，/BAP=r为定值，SP在以A2为轴的圆锥上运动，

其中圆锥的轴截面半顶角为夕与圆锥轴A8的夹角为e，

对于A,（P>Y,回平面£截圆锥得椭圆，故A正确；

对于B,<P>Y,平面夕截圆锥得椭圆，故B错误；

对于c,（P=y,平面/截圆锥得抛物线，故C正确；

对于D,（P>7,平面月截圆锥得椭圆，故D不正确.

故选：AC.

2.（2023,安徽安庆,一模）.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆

的模型（称为"Dandelin双球"）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，

设图中球。一球。2的半径分别为4和1,球心距截面分别与球球。2切于点E,F,（£,F

是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（）

［答案］A

析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.

【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体,

得圆锥的轴截面及球。|,球。2的截面大圆，如图，

点A,8分别为圆。,。2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，

椭圆长轴长2a=\MN\=\MF\+\FN\=\MF\+\ME\=\MB\+\MA\=\AB\,

过。2作人QA于。，连O/,显然四边形ABO2。为矩形，

又|020=1,|0/|=4,IQ。?|=6,

22

则2a=|AB|=|O2D|=JiaoJ-iqoF=76-3=34,

过02作O2C±O.E交O.E延长线于C,显然四边形CEFO2为矩形,

22

椭圆焦距2c=|EF\=\O2C|=J|On12ToeF=V6-5=,

所以椭圆的离心率e=至=4

2a3V3

3.（21-22高二上•山西太原•期中）如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已

知两个圆锥的母线长均为2虎，底面直径均为4.记过两个圆锥轴的截面为a,平面。与两个圆锥的交线为

AC,80.已知平面△平行于平面a,平面夕与两个圆锥侧面的交线为双曲线E的一部分，且E的两条渐近线

分别平行于AC,80,若双曲线E的两顶点恰为其所在母线的中点，则建立恰当的坐标系后，双曲线E的方

程可以为（）

【分析】确定E为等轴双曲线，排除AB选项，双曲线E两顶点间的距离为2,得到。=1,排除D,得到答

案.

【详解】圆锥的母线长均为2a,底面直径均为4,（2A/2）2+（2A/2）2=42,故AC5Z）,

所以双曲线E的两条渐近线互相垂直，E为等轴双曲线，排除AB选项.

易知两圆锥的高均为2,双曲线E两顶点间的距离为2,即实轴长2“=2M=1,排除D.

故选：C.

4.（21-22高二上•河北石家庄•期中）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为6（0°＜。＜90。）的

当〃为30。时，这个椭圆的离心率为（）

1D.B

C.一

2233

【答案】A

【分析】根据几何关系用圆柱的地面半径表示椭圆的长轴和短轴，再计算椭圆的离心率即可.

【详解】设椭圆的长半轴为a,短半轴为b，半焦距为c

27?4也R

根据题意可知，2b=2R,2a=

cos3003

2

c=yja—b~=------K

3

c1

所以椭圆的离心率e=—=%，选项A正确

a2

故选：A.

5.（2023•江苏南通•模拟预测）如图，已知圆锥尸O的轴尸。与母线所成的角为。，过A的平面与圆锥的轴所

成的角为小（力〉a），该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A4,短轴为片与，长半轴长为a,

短半轴长为6,椭圆的中心为N,再以用与为弦且垂直于尸。的圆截面，记该圆与直线PA交于G，与直线时

（）

sin(4+a)sin(4一a)

A.当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.\NC\-\NC\^a2

12cos2a

ccqhsinex,

c.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率0=竺2D.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e=i=

C0S6Zsinp

【答案】BC

【分析】由截口曲线的含义可判断A；过N作NGLPG于点G,求出而|£N|=asin（a+l）

COS。

|GN|=asm（£a）,即可判断B；根据图形的几何性质求得椭圆的之间的关系式，即可求得离心率,

cosa

可判断C,D.

【详解】由截口曲线知，当月＜口时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A错.

对于B,过N作NG_LPG于点G,而NGAN=a+川附J=a,所以|NG|=asin（a+£）,而

aSm（a+

AC.NG=a,CtN|=^,同理过N向PC?作垂线，可得|c?N|=竺巴叱二④，

cosacosa

a2sin(/?+a)sin(，-a)

,B正确;

cos2a

对于C,D,设圆锥上部球。|与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆。I，半径为厂,

球01与A4的切点为椭圆左焦点F,

设/o1AlF=e,/OAF=（p,；.e=2^①，（p="—（：+））j4尸|=〃一°=__L_

22tancp

ra+ctan。1+e„口tan^?-tan6>sin（。-6）=

IA^F\=a+c前''二"做"匚？解得'"荷不嬴"诉丽'而,

八兀

0+，=--6Z

sin（g一/）

故6=—工一故C正确'D错误,故选：BC

sin（］-a）

题型三：动点：阿波罗尼斯圆

;指I点I迷I津

阿氏圆的定义与应用

定义：已知平面上两点A,3,则所有满足髭wl的动点P的轨迹是一个以定比为阴：〃内分和

外分定线段A3的两个分点的连线为直径的圆，圆的半径为|4—NABI，圆心为（彳一•|AB|,0）.

X—1Z—1

PA

1.（2023・四川成都•模拟预测）已知平面上两定点AB,则所有满足万方二〃九>0且％W1）的点尸的轨迹是

一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿

氏圆.已知棱长为6的正方体A3C。-A4G2表面上的动点尸满足|网=2|依|,则点尸的轨迹长度为（）

A.包+返B.47t+百兀

323

C.巴+石兀D.例+逅

332

【答案】C

【分析】以B为原点建立平面直角坐标系xBy,结合题意可得点尸在空间内的轨迹为以。（2,0）为球心，半径

为4的球.再根据球的性质求解即可.

【详解】在图1中，以3为原点建立平面直角坐标系x为如图2所示，设阿氏圆圆心为。（。,0）,半径为

因为1PAi=2|尸卸，所以舄=2,所以厂=|311ABi=g6=4.

MA

设圆。与AB交于点M.由阿氏圆性质，知其）=2=2.

MB

X\MB\^4-\BO\=4-a,所以|阿=2|Affi|=8—2a.又+=6,所以8—2。+4—。=6,解得a=2,所

以。（2,0）,所以点P在空间内的轨迹为以。为球心，半径为4的球.

①当点尸在面A244内部时，如图2所示，截面圆与A8,8片分别交于点所以点P在面48瓦4内的

ITTT/I<rr

轨迹为MR•因为在以△回。中,|R0|=4,忸。|=2,所以=所以九伏=丁4=可,所以点尸在面

ABBiA内部的轨迹长为羊47r.

②同理，点户在面48。内部的轨迹长为三.

③当点尸在面BCG片内部时，如图3所示，因为03,平面BCC4,所以平面BCG瓦截球所得小圆是以8

2

为圆心，以BP长为半径的圆，截面圆与B片,BC分别交于点R,。，且BPAOP-OB?=4^^=26，

所以点尸在面BCG片内的轨迹为RQ,且农Q=’6=氐.

故选：C

2.(23-24高二上•山西•模拟)在四棱锥P-ABCD中，底面ABC£>,底面ABCD为正方形，PA=AB=3,

点”为正方形ABC。内部的一点，且ME»=2M4,则直线PM与所成角的余弦值的取值范围为

【答案】D

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，在平面A2CD上，由MD=2"4计算/的轨迹方程，可知”的

轨迹是以(0，-1,0)为圆心，以2为半径的圆，在正方形筋CD中的部分；根据平行找直线与AD所成角

的平面角，根据M的轨迹判定临界值，从而确定直线尸河与AD所成角的余弦值的取值范围.

【详解】由题意，以A为坐标原点，分别以AB,AD,"为％，》z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则有A(0,0,0),5(3,0,0),£>(0,3,0),尸(0,0,3),

设M(x,y,0),由地)=2M4,贝U歹U方程有Jf+(y-3)2=2小/+9

化简得Y+(y+l)2=4,即点M的轨迹是以(0,-1,。)为圆心，以2为半径的圆，在正方形ABCD中的部分;

过M作肱V1AB垂足为N,连接尸M/W,则有ACV〃AD

则直线PM与AD所成角的平面角为ZPMN,

MN

贝ICGS/PMN=--

PM

根据点M的轨迹是以(0，-1,0)为圆心，以2为半径的圆，在正方形ABC。中的部分，

则点M轨迹与正方形ABC。的AO边交于一点(0,1,0),记为"i

与正方形ABCD的A3边交于一点(6,。，0),记为加2

MN

当点M从此运动到加2位置时，脑V逐渐减小，尸河逐渐增大，则cosNPMN="的取值逐渐减小，

PM

计算COSNPMN=ML=」=典，COSZPM2N=-^--=0

PM1屈10PM2

则直线PM与AD所成角的余弦值的取值范围是0,

故选：D

【点睛】本题考查异面直线所成角，考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.

3.（2023•四川凉山•二模）如图所示，正方体ABCD-AAGR棱长为2,点尸为正方形BCC中内（不含边

界）一动点，—3PC角平分线交BC于点。，点尸在运动过程中始终满足*=2.

Q

①直线BG与点p的轨迹无公共点；②存在点尸使得尸BLPC；③三棱锥P-3C。体积最大值为§；

...47r

④点尸运动轨迹长为1.上述说法中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

［答案］C

【彳析】根据题意，由正弦定理结合轨迹方程即可判断①②，然后根据三棱锥体积公式以及点尸的运动轨

迹，即可判断③④.

【详解】产U:f“cx

因为尸。为的角平分线，在VKPQ中，由正弦定理可知，设/BPQ=e,则NCPQ=e,所以

BQ_BP_BQ_BP

sinZBPQ~sinZPQBHn3~sinZPQB"

CQPCPCPC

在△0℃中’由正弦定理可知‘sin/CPQ-sinNPQC-sin（兀一/PQB）-sinNPQB'

因为意=2,所以箸=2,且3c=2,设P（x,y）,（0<x<2,0<y<2）,

所以8（0,0）,C（2,0）,8P=Jx2+y2,CP=J（x—2）2+y2,所以BP=2PCn尤?+/=4[尤2-4X+4+/],

3x2+3y2-16x+16=0,

所以\一|）+y2=£,点尸的轨迹是以为圆心，g为半径的圆在正方形BCG瓦内部的弧，且

8

4c：y=尤，点［|，。］到该直线的距离为丁：3一。=4回4,

'1一五一3、3

所以BG与圆无公共点，①正确；

4

若PBLBC,设3P=2尸C=2a,BP2+CP2=BC2^5a2=4,所以"=1，

2216

%+>=~5

所以8尸2=4/=辛，即无？+/=¥，联立解得尤=g,y=。

55।0।71655

\~3J+y=~9

所以点尸If,满足条件，所以②正确；

若Vp_BCD最大,则尸到距离最大，即P到CG与圆的交点处，但P不在正方形BCG耳边界上，所以最大

值取不到，故③错误；

令X=2,得到点［2,|若］，又因为厂「,0）,所以怪尸|=g,所以一EFG为等边三角形，所以/或法=60。，

144

因为所为点尸的运动轨迹，所以EF=2x2nx彳=人兀，

故④正确；故选:C

4.（23-24高二上•黑龙江齐齐哈尔）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点A3距离之比为常数

〃力>0且4*1）的点的轨迹是一个圆心在直线A8上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息解决下面的问题:

在长方体ABCD-A^C^中,42=2AD=2A41=6,点E在棱AB上,3E=2AE,动点P满足BP=CPE,F为

棱GA的中点,M为CP的中点.以A为原点,AB,AD,招所在的直线为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系.下列说法正确的是（）

阿波罗尼奥斯

A.若点尸只在平面ABCD内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为30

B.若点尸只在平面ABCD内运动，则团尸BC的面积最小值为9-36

C.类比阿氏圆定义，点尸在长方体内部运动时，尸的轨迹为球面的一部分

D.若点尸在平面ADRA内运动，则点M到平面歹C片的距离最小值为必

2

【答案】BC

【分析】当点尸只在平面ABCD内运动时，可简化为平面直角坐标系内的距离问题，通过两点间的距离公式化

简运算即可判断A,B项；当点尸在长方体内部运动时，通过空间直角坐标系得相关点的坐标，借助空间中两点

的距离公式，化简整理可得点P的轨迹方程，即可判断C项；当点尸在平面ADRA内运动时,可借助C项中点

P的轨迹方程得此时的轨迹方程，再根据空间中点到平面的距离运算即可判断D项.

【详解】在W平面内,8（6,0）,£（2,0）,设点P（x,y）,

22

由BP=QPE,得（x-6y+>2=3］（无一2丫+/］,即x+y=12,

所以若点尸只在平面ABCD内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为2G.

且当点PQ"0）时,回PBC的面积最小为gxBCx（6-2⑹=9-3g.故A错误,B正确;

当点尸在长方体内部运动时，设尸（x,y,z）,3（6,0,0）,矶2,0,0）,

222

由=下PE,得（X-6『+y+z=31（X-2『+>2+z?］,即/+y+=12,

尸的轨迹为球面的一部分，故c正确；

当点尸在平面相》AA内运动时，设尸（0,7〃,〃），

由8P=ViPE,得（。-6『+疗+"2=3［（0-2『+疗+叫即机2+“2=12.

m+3n0，—，—]，FC=（3,0,-3）,C4=（0,-3,3）,

4（6,0,3）,F（3,3,3）,C（6,3,0）,r.M[3,,MF=

2'5

及.FC—3a——0

设平面尸。用的法向量为九二仅力©,则‘令〃=1,则8===

小。4=-3b+3c=0,

所以点M到平面砥羽的距离为悴n」9由病+”2=12,得"2+w<2F+Z=2屈,

\n\2V3V2

所以点Af到面FCBt的距离最小值为Ml二述.故D错误,故选：BC.

2

【点睛】本题考查空间动点轨迹问题，考查了转化思想，计算能力,属于中档题.

5.圆心在直线42上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体

ABCO-ABCQ中，AB=2AD=2A4,=6,点E在棱上，BE=2AE,动点尸满足8尸=6尸石.若点尸

在平面ABC。内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为.若点尸在长方体A3C。-A与GQ内部

运动，尸为棱GR的中点，M为CP的中点，则点M到平面与C尸的距离的最小值为

【答案】2百昱

2

【分析】①建立空间直角坐标系，设尸(羽y,z),求出点尸的轨迹为％2+y2=12,即得解；

②先求出点P的轨迹为Y+y2+z2=12,P到平面BQ的距离为〃JX+一见,再求出场的最小值即得

解.

【详解】①以为X轴，4D为'轴，AA为Z轴，建立如图所示的空间坐标系，

z40rG

小Z2—

则8(6,0,0),£(2,0,0),设P(x,y,z),由阙=阴尸同得(龙-6)2+/=3Kx-2)2+浊，

//。L六一N--

!/：

B

所以尤2+y=12,所以若点尸在平面ABC。内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为2石.

②设点P(尤,y,z),由\BF\=sf3\PE\得(无一6)2+/+?=3[(x-2)2+y2+z2],

所以f+/+z2=12,由题得尸(3,3,3,)用(6,0,3),C(6,3,0),所以尸耳=(3,-3,0),BQ=(0,3,-3),设平面4c歹的法

n•FB,=3%-3yo=0

向量为元=(xo，yo，z0),所以,令毛=1,则”=(1,1/)由题得CP=(x-6,y-3,z),

"•B]C=3yo—3z0=0

所以点尸到平面瓦c歹的距离为力=①义="+,

\n\y/3

因为(/+y2+z2)(12+[2+]2)>(%+y+z)2,「.一6Wx+y+Z«6,

所以幻in=笆整=6,所以点M到平面用C歹的最小距离为立.故答案为：2后；也.

22

题型四：平行线法做截面

指I点I迷I津

基础模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意

等分点。做出过三E,F,Ci点的截面

特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上,

如C1,注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。最

后处有解释。

平行线法。

本题用平行线法，并不太快捷，不过也成立。

平行线法特征：有两点连线在表面：EF,在前侧面

方法如下：

1、寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的）

2、在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。

3、注意！注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了）

4、注意这任面的相交棱，

5、下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图

6、分别连FK与EL,交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。

1.（2023•全国•模拟预测）在棱长为3的正方体ABCO-ABIGA中，。为AC与8。的交点，尸为耳目上一

点，且AP=2PR,则过A,P,。三点的平面截正方体所得截面的周长为（）

A.4>/13B.672

G

C.2A/13+2A/2D.2A/13+4V2

【答案】D

【5析】根据正方体的性质结合条件作出过A,P,。三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.

1uuum1uuurn

【详解】因为AP=2P。，即。尸取连接/w,ac，4G，则HP//AG，

又AC//AG，所以/7P//AC,

所以A,O,C,H,尸共面，即过A,P,。三点的正方体的截面为ACHP,

由题可知AP=CH=存二中=厉，PH=拒，AG=372,

所以过A,P,。三点的平面截正方体所得截面的周长为4a+2而.

故选：D.

2.（21-22高二下•四川成都•期中）在棱长为1的正方体A/B/G。/—A8CD中，M为底面A8C。的中心，Q

是棱49上一点，且9Q=/IAA，2W[0，。N为线段A。的中点，给出下列命题:

①CN与QM共面；

。三棱锥A—OMN的体积跟力的取值无关；

③当2=1时，AMSQM；

④当几=；时，过A,Q,加三点的平面截正方体所得截面的周长为逑±2巫.

33

其中正确的是（）

5G

A.6②③B,①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】对于①可得MN//CQ,可判断；对于②N到平面ABC。的距离为定值;，且的面积为定

值可判断；③分别求出AM，QM，AQ的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;对于④先将过A,Q,M的

截面分析做出，再求周长可判断.

【详解】解：在qACQ中，因为N为AC,A。的中点，

所以MN//CQ,所以CN与QM共面，所以①正确;

由^A-DMN=VN—ADM，

因为N到平面ABCD的距离为定值;,且△ADM的面积为定值:,

所以三棱锥A-NVW的体积跟2的取值无关，所以②正确；

当2时，AQ=g,可得A"=1,AQ2=W+AQ2=1+2=|1,

4421616

取AD,A2的中点分别为N,E,连接EN,EM,则EM2=MN?+EN?='+1

4

在直角三角形腔Q中,QM2=ME2+EQ2+2]+12

贝IJAM2+QM2>AQ2,所以AM，加不成立，所以&不正确.

Iuuun1uuum

当2时，取,连接"C,则HQ//A.Q，又AC//AC所以HQ//AC

所以AM,C",Q共面，即过A,Q,Af三点的正方体的截面为ACM。，

由AQ=C"=^1+|=手，则ACHQ是等腰梯形，且。〃=gAC=*

所以平面截正方体所得截面的周长为'尤+等+2><61=拽了1,所以④正确;

所以正确的命题是①②④，故选：B.

3.（22-23高三•湖南长沙•）如图，已知正方体的棱长为2,E,尸分别为A。，AB的中点,

G在线段AG上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）

A.三棱锥C-EFG的体积与G点位置无关

3

B.若G为AG中点，三棱锥C-EFG的体积为5

C.若G为AG中点，则过点E,F,G作正方体的截面，所得截面的面积是:

D.若G与C1重合，则过点£,F,G作正方体的截面，截面为五边形

【答案】ACD

【分析】根据锥体的体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】由于三角形CEF的面积固定，G到平面CEF的距离固定，

所以三棱锥C-EFG的体积与G点位置无关，A选项正确.

113

S「pF=2x2—x1x1—x1x2x2=—.

-CEF222

13一

所以％.EfG=匕;-CEF=§乂5、2=1,B选项错误.

对于C选项，当G为4C中点时，连接耳自，则G是BQ的中点，连接RE,

由于E,尸分别是A£>,AB的中点，所以EF//BD,

由于80〃用〃，则E尸〃耳2，

即过点E,F,G作正方体的截面是等腰梯形班42,

延长EF交CB的延长线于G,连接GG,交BB]于H,连接m，

延长FE交C。的延长线于/,连接G/,交。2于J，连接E/，

则五边形/HCJ是过点石，F,G作正方体的截面.所以D选项正确.

故选：ACD

4.（23-24高三上•浙江宁波,期末）在棱长为2的正方体中，。为线段4c的中点，尸为线

段CG上的动点（含端点），则下列结论正确的有

A.P为中点时，口尸|+|尸。的值最小

B.不存在点P,使得平面小。〃平面

C.P与端点C重合时，三棱锥D-PG。的外接球半径为1

D.P为中点时，过。，P,Q三点的平面截正方体ABCD-a4GR所得的截面的周长为3立+2指

【答案】BCD

【分析】对于A,利用侧面展开图可以确定点P的位置；对于B,存在点尸,利用条件可得DQ//A与，显然不

成立；对C,构造长方体即可；对于D,画出截面，求周长即可.

对于A,由侧面展开图，当。。与CCj交于点尸时，|DP|+|PQ|的值最小，

此时然_=盥=4,故尸不为中点，故A错误；

对于B,若存在点尸，使得平面DPQ//平面MC,

由平面ABCQI平面ABC=A瓦，平面A瓦GOD平面。PQ=。。，可知。显然不成立,

若点P与C1重合，则平面。尸。平面AB。=A当，显然也不成立，故B错误;

对于D,P与端点C重合时，三棱锥D-PC.Q即是三棱锥D-CC.Q,

三棱锥的外接球即是以G2GC,。为长、宽、高的长方体的外接球，

此时外接球半径为1炉工万=],故C正确；

22

对于D,连接与c,

由三角形中位线性质和正方体的性质知,

=所以过。，P，。三点的截面为梯形AQP。，

4。=。2=6,75。=0，4。=2应,故周长为30+26',故D正确，故选：BCD.

5.（22-23高三上•安徽六安•阶段练习）棱长为1的正方体A与GR—A3C。中，M为底面ABC。的中心，Q

是棱4A上一点，且AQ=ZQA，Xe[°，l]，N为线段AQ的中点，下列命题中正确的是（）

A.三棱锥A-DMV的体积与4的取值无关

B.当彳=；时，点Q到直线AC的距离是乎

C.当力=；时，AM-QM=Q

D.当2=:时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为逑士马叵

33

【答案】ABD

【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确

答案.

【详解】对选项A：由匕一加'=%”》材，因为N到平面ABC。的距离为定值

2

且△皿的面积为定值所以三棱锥4-即的体积跟4的取值无关,所以A正确;

对选项B：当2时,

cos/QAC=44=凉,所以/QAC为锐角，所以sin/Q4C=

2x^—Xy/2

2

所以点。到直线AC的距离是AQ*sin/QAC=至*，==逆,所以B正确.

'-2V104

对选项