2025年陕西西安中学高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页陕西省西安中学高2025届高三第二次模拟考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．在矩形ABCD中，，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．若在区间上是增函数，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．4．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（

）A． B． C． D．5．若（a，b为有理数），则a=（

）A．-25 B．25 C．40 D．416．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（

）A．8 B．12 C．16 D．207．已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．8．设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（

）．A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的面积为 D．四边形的周长为10．若曲线（e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．111．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（

）A． B．

C． D．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则.13．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离是到平面的距离的倍．14．把1､2､3､4､5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．某同学用“五点法”画函数（ω＞0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0πx020－20(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；(2)当时，求使成立的x的取值集合．16．已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．17．已知函数．(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)若是函数的极值点，求证：．18．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段PB上（不含端点）．(1)证明：；(2)若直线PC与AB所成角的余弦值为．（i）当直线PB与平面所成角为60°时，求PF；（ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围．19．材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限：根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量.(1)证明：；(2)求随机变量的数学期望；(3)求随机变量的方差.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】根据复数的四则运算法则，复数模的计算，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】因为，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A2．A【分析】由题意可得，根据勾股定理求出，利用椭圆的定义即可求离心率.【详解】由题知：，则，因为点C在椭圆上，所以由椭圆的定义知：，即，所以.故选：A.3．A【分析】易知，由时，，根据在区间上是增函数，由求解.【详解】解：，当时，，因为在区间上是增函数，所以，则，所以，则的最大值是，故选：A4．B【分析】两圆方程作差即可.【详解】由圆，圆，两式作差得，，即，所以两圆的公共弦所在直线方程是.故选：B.5．D【解析】先求得二项式的展开式的通项公式，然后令求解.【详解】二项式的展开式的通项公式为：，则，故选：D6．C【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解.【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，，剔除两对数据后的平均数分别为，，因为，所以，，则，所以，又因为，所以，解得.故选：C.7．A【分析】根据题意，由偶函数的性质可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得在上为增函数，据此分析可得答案．【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数，又，，，又，所以，由函数的图象关于直线对称，知，又，所以，故，故选：A．8．C【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论．【详解】，，，即且，，且，两边都除以，得，可得．对于A，由，可得，故A项不正确；对于B，由于，所以不成立，故B不正确；对于C，因为，所以，可得．结合，可得，故C正确；对于D，根据且，当，时，，此时不成立，故D不正确．故选：C．9．BC【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长.【详解】A选项，过点作⊥轴于点，因为等腰梯形中，，所以，又，所以，A错误；B选项，由斜二测法可知，B正确；C选项，作出原图形，可知，，，⊥，故四边形的面积为，C正确；D选项，过点作⊥于点，则，由勾股定理得，四边形的周长为，D错误.故选：BC10．AD【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项.【详解】设切点为，，所以切线的斜率，则此曲线在P处的切线方程为，又此切线过坐标原点，所以，由此推出有两个不等的实根，所以，解得或，故选：AD．11．ABD【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B项，运用条件概率公式，分别算出和代入公式计算即得；对于C项，运用独立事件的概率乘法公式计算即得；对于D项，运用相容事件的并的概率公式计算即得.【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白．对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率，故A项正确；对于B项，，，，故，故B项正确；对于C项，因事件与相互独立，则，，故C项错误；对于D项，，故D项正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：对所求事件所包含的情况的判断，求若干事件的并的概率，需要判断互斥还是相容，对于条件概率题，要么用样本空间中基本事件数计算，要么用概率公式计算，对于积事件的概率应先判断两事件的独立性，再用公式求.12．【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解.【详解】因为点在双曲线右支上，且，则，又，在中，由余弦定理可得，，所以.故答案为：.

13．2【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求得点到平面的距离与点到平面的距离，即可求解.【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则，则，取，则，所以，，，所以点到平面的距离为，点到平面的距离为,所以，故点到平面的距离是到平面的距离的2倍.故答案为：2.14．14【分析】根据题意，5为递增和递减的分界点，分情况求出总数即可．【详解】该数列为先增后减，则5一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当5前面只有一个数时，有4种情况，当5前面只有2个数时，有种情况，当5前面有3个数时，有4种情况，故一共有．故答案为：14.15．(1)表中数据见解析，；(2)【分析】（1）根据表示数据可得函数的最值、周期和取得最值时的的值，然后可得答案；（2）由条件可得，然后解出即可.【详解】（1）表中数据补充完整为：0πx020－20（2）由可得所以，解得所以使成立的x的取值集合为16．(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）直接法得到，分和两种情况，进行化简，舍去不合要求的方程，求出曲线的方程为；（2）设，求导，得到过点的切线斜率为，结合两点间斜率公式得到方程，求出，，轴，要使，只需，设直线的方程，联立，求出两根之和，两根之积，计算出，证毕.【详解】（1）由题意得，当时，，平方化简得，当时，，平方化简得，由可知，不合题意，舍去，综上，曲线的方程为；（2）设，因为，所以，故过点的切线斜率为，又直线的斜率为，故，解得，故，又，所以轴，要使，只需，当直线斜率不存在时，与抛物线只有1个交点，不合要求，设直线的方程为，联立得，，解得或，设，则，则，故，此时直线的斜率取值范围是.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由参数分离整理不等式，并构造函数，利用导数求得新函数的最值，可得答案；（2）根据极值点与导数的关系，可得极值点的取值范围以及等量关系，整理所证的不等式，可得答案.【详解】（1）由，则可得不等式，由，则，令，求导可得，令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由题意可得.（2）由，则，令，求导可得在上恒成立，则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，由是函数的极值点，则，即，由，则，所以.18．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取中点为，由题意可得，再结合线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；（2）（i）设，则，由，可得，即两两互相垂直，以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，结合题意利用线面角的向量求法即可求解.（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，继而即可求解.【详解】（1）证明：取中点为，连接，因为，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）（i）因为为等腰三角形，，所以，因为为等边三角形，所以，设，所以，，，所以，，所以或，又因为，所以，所以两两互相垂直，以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，，则，设，所以，所以，设平面的法向量为，则，取，得，所以，解得或0（不符合题意，舍去），所以，即.（ii）设平面的法向量为，，则，取，得，所以，令，则，所以，因为时，，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面角、二面角的向量求法，关键是需要建立空间直角坐标系，由（1）知平面，所以需证明，设，以为基底来表示与，