2025年中考数学一轮知识梳理难点与易错点08二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性（5大热考题型）（解析版）

难点与易错点08二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性（5大热考题型）题型一：等腰三角形的存在性问题题型二：直角三角形的存在性问题题型三：相似三角形的存在性问题题型四：平行四边形的存在性问题题型五：特殊平行四边形存在性问题题型一：等腰三角形的存在性问题顶点确定法1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形（1）如图①,若AB为腰,分别以点A,B为圆心,以AB长为半径画圆,与直线l的交点即为所求;（2）如图②,若AB为底,作线段A8的垂直平分线与直线l的交点、即为所求2.求点坐标的常用方法(1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标:(2)几何法作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系【中考母题学方法】【典例1】易错点等腰三角形的边不确定,则需分情况讨论（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点或或或或【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出点，再分类求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，则，则抛物线的表达式为：；（2）解：由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，则，∵，故有最大值，此时，则，即点；（3）解：存在，理由：设直线的表达式为，由点的坐标得，，解得：，∴直线的表达式为：，令，，故，过点作轴交轴于点，则，，则，即直线和关于直线对称，故，设直线的表达式为，代入，，得，解得：，则直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：(舍去)或5，即点；设点，由的坐标得，，当时，则，解得：，即点或；当或时，同理可得：或，解得：或，即点或或；综上，点或或或或．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式1-1】（2024·内蒙古通辽·模拟预测）综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接，，，．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．(2)当四边形的面积有最大值时，求出m的值．(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，，(2)当四边形的面积最大时，m的值为2(3)存在，或或或【分析】（1）分别令和即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；（2）过D作x轴的垂线交于P，设，则，根据题意表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）首先根据勾股定理求出，设，表示出，根据求出或；然后根据时得到，过D作于E，证明出，得到，然后代数求解；然后当时，利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）令，得，解得或，∴A−2,0，B令，得，∴C0,6设直线的解析式为，把B4,0，C0,6代入得解得，∴直线的解析式为；（2）如图，过D作x轴的垂线交于P，设，则，∴四边形的面积，∵，∴当时，四边形的面积最大，∴当四边形的面积最大时，m的值为2；（3）∵，∴，∴，设，∴，当，∴，解得或，∴或；当时，则点M在的垂直平分线上，作的垂直平分线交x轴于M，交于H，则，过D作于E，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；当时，∵∴∴点M的横坐标为∴点M的坐标为综上所述，或或或．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交DB所在直线于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标；(3)在（2）的条件下，连接，将沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标．【答案】(1)(2)或(3)的对称点坐标为【分析】（1）把代入即可得到结论；（2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论；（3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可．【详解】（1）解：把代入得，，，∴抛物线的解析式为；（2）解：设，在中，当时，，∴，∵，∴轴，∵，∴，∴，或，∵为等腰直角三角形，且，∴，或，解得：（不合题意，舍去），或，∴或；（3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于，由（2）知，此时，，，，，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，，解得：，∴，在中，，即，解得：，故点的纵坐标为，横坐标为，；②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于，由（2）知，此时，，，，，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，，解得：，∴，在中，，即，解得：，故点的纵坐标为，横坐标为，∴，综上所述，的对称点坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式1-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形．(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．【答案】(1)(2)的最大值为，此时点(3)点的坐标为，或或，见解析【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）先求出直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，则，可得，设点，则点，由即可求解；（3）求出平移后的抛物线的表达式为：，则点，，设点，然后分、两种情况，列出等式，即可求解．【详解】（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）令，则或3，则点，由点、知，直线的表达式为：，过点作轴的平行线交于点，则，则，则，则，设点，则点，则，即的最大值为：，此时点；（3）平移后的抛物线的表达式为：，则点，，设点，则，，，当时，则，解得：，则点的坐标为；当时，则，解得：或，则点的坐标为：或；综上，点的坐标为：或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．【中考模拟即学即练】1．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点B0,3，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）．备用图(1)求抛物线的解析式；(2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标．【答案】(1)；(2)最大值为，；(3)或或．【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可．（1）把点，的坐标代入函数解析式，即可；（2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点H，求出，根据，即可；（3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：，根据点为点的对应点，求出点的坐标，平移后的抛物线与轴交于点，求出点的坐标，根据两点间的距离公式，求出，，，分类讨论等腰三角形的形状，即可．【详解】（1）∵抛物线经过，B0,3，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）设直线的解析式为，∵直线经过，0,3∴，解得：，∴直线的解析式为，过点作轴的垂线交于点，设，∴，∴，∵面积，∴，∴当时，面积最大值为，此时．（3）抛物线整理得：，∴平移后的抛物线表达式为：，∵点为点的对应点，，∴点，∵平移后的抛物线与轴交于点，∴当时，，∴点，设点，∴，，，当时，则，解得：，∴点的坐标为：；当时，则，解得：，∴点的坐标为：，检验得点，点，点三点不共线．综上所述，点的坐标为：或或．2．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点A−4,0，，交轴于点C0,6，在轴上有一点，连接．(1)求二次函数的表达式；(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为(2)面积的最大值为，此时D点坐标为(3)存在，点P的坐标为【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．（1）直接用待定系数法求解即可；（2）可求得直线的表达式为过点D作轴于点G，交于点F，设则所以，则，即可求得面积的最大值是；（3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，，解得∴二次函数的表达式为．（2）解：设直线的表达式为则解得∴直线的表达式为如图1，过点D作轴于点G，交于点F，设则，，，∴当时，，此时，，面积的最大值是，此时D点坐标为；（3）解：存在，理由如下：，∴抛物线的对称轴为直线，设，为等腰三角形，且以为底边，，，A−4,0，解得，．题型二：直角三角形的存在性问题顶点确定法1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形如图①,分别过线段端点A,B作AB的垂线,与直线l的交点即为所求;(2)如图②,以AB为直径画圆,与直线l的交点即为所求.2.求点坐标的常用方法(1)代数法分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²;②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可;(2)几何法过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型【中考母题学方法】【典例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，点在抛物线上(3)存在，点的坐标为：或【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可；（2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上；（3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：．（2）解：由题意得：，当时，，故点在抛物线上．（3）解：存在，理由如下：①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴点，当时，，即点在抛物线上，∴点即为点；②当为直角时，如图2，同理可得：，∴，，∴点，当时，，∴点在抛物线上，∴点即为点；③当为直角时，如图3，设点Ex,y同理可得：，∴且，解得：且，∴点，当时，，即点不在抛物线上；综上，点的坐标为：或．【变式2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧，∴点的坐标为，将，代入．，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形．理由如下：由得抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，∴当时，，∴点的坐标为，则，∴当时，则，过点作于点，如图．则是等腰直角三角形，∴，设点的坐标为，∴，解得：，（舍），当时，，点的坐标为；设直线的函数表达式为，将点，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，则，可设直线的函数表达式为，将代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．∴，解得：或．∴点的坐标为或．综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．【变式2-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，求抛物线的解析式；(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值；(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝上下滑动，点Q，A，C构成，是否存在某一时刻，使为直角三角形．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)最大面积为(3)点的坐标为，，或【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可；（2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值；（3）根据题意，设，分三种情况讨论，分别以为直角顶点，根据勾股定理即可求解【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，设抛物线解析式为，将代入得：解得抛物线解析式为即（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，，则直线的解析式为设，则当时，最大，最大值为（3）解：存在，理由如下：，抛物线的对称轴为设，则，①如图，当时，，解得②如图，当时，，解得③如图，当时，，∴，解得综上所述，点的坐标为，，或；【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，勾股定理，一元二次方程的解法，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式2-3】难点已知边为斜边的直角三角形存在性问题,可构造相似三角形求解（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于(1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集．(2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标．(3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值．【答案】(1)，(2)当的坐标为、、或时三角形为直角三角形(3)【分析】（1）将、、代入即可求解；由图象可知当时，；据此即可求解；（2由题意得其对称轴，设，分别求出直线、直线、直线的解析式，分类讨论、、三种情况即可求解；（3）在上做一点，使，可证，推出，即可求解；【详解】（1）解：抛物线过、、可得方程组解得由图象可知：当时，；∴的解集为（2）解：∵抛物线的对称轴为直线设，∵、∴，，当时，，即：解得；当时，有,即：解得；当时，有;即：解得、；当的坐标为、、或时三角形为直角三角形（3）解：在上做一点，使，连TC，TM，MB在与中，，，，，，的最小值为，的最小值为即【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数与不等式的关系、待定系数法、二次函数与特殊三角形综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关函数性质是解题关键.【中考模拟即学即练】1．（2024·广东·模拟预测）综合运用如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A．C(点A在点C的右侧)．与y轴交于点B．直线经过点A，B．(1)求A，B，C三点的坐标及直线的表达式．(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点Q，设点P的横坐标为．的长为L．①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围；②若与交于点D，求m的值．(3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①②(3)存在，或或或【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；（2）①求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可；②证明，得到，进行求解即可；（3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴当时，，当时，，解得：，∴，∵直线经过点A，B∴，解得：，∴；（2）①∵点P的横坐标为，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，∴；∴；②∵轴，与交于点D，∴，，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或，∴；（3）存在，设点，∵，∴，∵，∴；①当点为直角顶点时：，解得：，∴；②当点为直角顶点时，，解得：，∴；③当点为直角顶点时：，解得：或，∴或；综上：或或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．2．（2024·广东·模拟预测）综合探究如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，．(1)求的长．(2)求a的值．(3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长．【答案】(1)1(2)1(3)或【分析】（1）由菱形可得，根据二次函数对称性可得，再根据求解即可；（2）设则代入计算即可；（3）过点C作于点N，设直线交射线与点M，连接，根据菱形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，，∵轴，∴，∵二次函数对称轴为轴，B，C，D在二次函数的图象上，，；（2）解：由（1）可得，，，设则代入得，解得，∴；（3）解：如图2，过点C作于点N，设直线交射线与点M，连接，在菱形中，，，，，，∴在中，，，∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，则绕点F逆时针旋转得到，，∵，，，由是直角三角形，可知需分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，如图，∵，∴点落在的延长线上，且与点M重合，∵，∴，∴点F与点N重合，∴，∴；②当以为直角顶点时，如图，，∴点落在的延长线上，且与点M重合，，，，在中，，，；③当以A为直角顶点时，如图，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，，，，，，，，，，，化简得，，无解，不存在此种情况，不符合题意，综上所述，当是直角三角形时，的长为或．【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键．3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的表达式．(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为(2)点的坐标为(3)存在，满足条件的点的坐标为或或或【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；（3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为；（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：由（1）知抛物线的表达式为，抛物线与轴交于点C0,−3，设直线，将、C0,−3代入得，解得，直线，点是抛物线上位于线段下方的一个动点，设，则，，，抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为；（3）解：存在，当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示：设，、C0,−3，当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，；当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，；当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或，、；综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．题型三：相似三角形的存在性问题相似三角形问题的解题步骤第一步：找关键点根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等第二步：找等角找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角第三步：求点坐标根据相似三角形对应边成比例列关系式【中考母题学方法】【典例3】易错点相似三角形的对应边不确定,需分情况讨论（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．【详解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函数的解析式为，设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，当时，，∴；（2）解：①设，则，∴，∴当时，有最大值为；②∵，，∴，又，∴，又轴，∴轴，∴，当时，如图，∴，∴轴，∴P的纵坐标为3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐标为；当时，如图，过B作于F，则，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐标为综上，当P的坐标为或时，与相似．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．【变式3-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线上点的坐标分别为0,2，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点．(1)求抛物线的解析式及点的坐标．(2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．(3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标．【答案】(1)，(2)存在，(3)或【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；然后令，求得x的值，即可确定点B的坐标；（2）如图：取的中点，可确定；如图：过点作的平行线，与抛物线的交点即为点．然后运用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，然后将直线的表达式与抛物线联立即可解得；（3）先说明，即点与点不是对应点．然后分和两种情况分别运用相似三角形的性质及正切函数即可解答．【详解】（1）解：抛物线过点，，，解得,抛物线的解析式为．令，得，解得，，．（2）解：如图：取的中点，则，．如图：过点作的平行线，与抛物线的交点即为点．设直线的表达式为，将代入，得．将代入，得，解得：，直线的表达式为．设直线的表达式为，将代入，得．直线的表达式为．由，得．（3）解：，以点为顶点的三角形与相似，以点为顶点的三角形也是直角三角形．轴，直线交直线于点，，即点与点不是对应点．①如图：当时，点与点重合，则点的坐标即点的坐标，点的坐标为．②如图：当时，，，．设点的横坐标为，则，，．解得，（舍去），点的坐标为．综上，点的坐标是或．【变式3-2】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标；(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标．【答案】(1)，顶点坐标为(2)(3)点E的横坐标为2或【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标；（2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到；（3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴抛物线解析式为，∵，∴顶点坐标为；（2）解：抛物线与轴交于点，，设在上的高为，在上的高为，∵与的面积相等，∴，，点的纵坐标为，当时，即，解得（舍去），，；（3）解：设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，设，则，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，当时，则，，解得或，且，，当时，则，，解得或不合题意舍去，点的横坐标为或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．【变式3-3】（2024·重庆·模拟预测）如图，二次函数顶点D1,4，与x轴交A，B两点，交y轴于点C，点，

(1)求二次函数的解析式；(2)如图，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作直线分别交y轴于点E，x轴于点F，求的最大值以及此时点P的坐标(3)连接，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线的顶点为H，过点H作轴于点N，连接，在新抛物线对称轴右侧平面内是否存在点Q，使得与相似，若存在，请直接写出所有符合题意点Q的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)的最大值为，此时点P的坐标为2,3(3)存在；或或或【分析】（1）求出点B的坐标，可得抛物线解析式为，再把D1,4代入，求出a的值，即可求解；（2）过点C作轴交于点G，证明是等腰直角三角形，可得到是等腰直角三角形，从而得到，进而得到当点P与点G重合时，最大，最大值为的长，然后求出直线的解析式，即可求解；（3）分四种情况讨论，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】（1）解：是顶点，是抛物线与轴的交点设抛物线为：是抛物线与轴的交点，将D1,4代入得：解得：二次函数的解析式（2）解：如图，过点C作轴交于点G，

由（1）得：点，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴当点P与点G重合时，最大，最大值为的长，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，∵轴，点，抛物线的对称轴为直线，∴点P的坐标为2,3，把2,3代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，∴点，∴，∴，综上所述，的最大值为，此时点P的坐标为2,3；（3）解：∵点D1,4，，∴，∵将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，∴将抛物线沿x轴向右平移4个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线，∴新抛物的顶点坐标为，对称轴为直线，∵轴，∴，∴，∵，D1,4，∴，∴，∴，设点Q的坐标为，如图，若，，即，分别过点D，Q作轴，轴，垂足分别为M，K，则，，此时，∴，

∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴点Q的坐标为；如图，若，，即分别过点D，Q作轴，轴，垂足分别为M，K，则，，此时，

∴，∴，∴，∴，，同理点Q的坐标为；如图，若，，即过点D作直线轴于点M，过点Q作于点L，此时，，

同理，∴，∴，解得：，∴点Q的坐标为；如图，若，，即过点Q作直线轴于点K，过点D作于点P，此时，，

同理，∴，∴，解得：，∴点Q的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．【中考模拟即学即练】1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；(3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可；（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，证明，，说明当取最小值时，的值最小，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即取得最小值，求出直线的解析式是：，求出，得出平移的距离是，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点，∴，解得：，∴这个二次函数的表达式为；（2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在或为直角，当时，如图所示：∵，∴，∴，把代入得：，∴，∴点F的纵坐标为2，把代入得：，解得：，，∴的横坐标为，此时；当时，过点F作轴于点G，如图所示：∵，∴，∴，∴，∴，设，则，解得：或（舍去），此时；综上，或；（3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：由平移的性质可知，，，∴四边形为平行四边形，∴，同理得：，∴当取最小值时，的值最小，显然点在直线上运动，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，∵两点之间线段最短，∴此时最小，即取得最小值，∵点B关于直线对称的对称的点是点，B4,0，∴，设直线的解析式是：，将点，代入得，解得，∴直线的解析式是：，令，解得：，∴，∴平移的距离是，∴，根据平移可知：，，∴四边形为平行四边形，∵N是对角线与的交点，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．2．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E．(1)求点A，B，C的坐标．(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标．(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为；(2)或(3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为；（2）根据A−2,0，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解；（3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标．【详解】（1）令，则，解得，．点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标为．令，得．点的坐标为；（2），，，设点的坐标为，．，．当时，，当时，，点的坐标为或；（3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下：，，．，是等腰直角三角形．抛物线的对称轴为直线．设直线的表达式为．将，代入，得解得．直线的表达式为．将代入，得．．点在射线上，点的横坐标为3．设，．分三种情况：①当，时，，如图2．则轴，点与点的纵坐标相同，为，，解得（不合题意，舍去），．点的坐标为．②当，时，，如图3，过点作于点．由①得点的坐标为，，．，，．点的坐标为．③当，时，，如图4．则轴，点与点的纵坐标相同，为，，解得，（不合题意，舍去），，，点的坐标为，综上，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．3．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，连结，，求的面积的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可；（2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可．（3）根据点，点，得到，继而得到，分和两种情况解答，设，则列出比例式计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，∴，解得，∴抛物线解析式为．（2）解：过点P作轴，交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：，解得，∴直线的解析式为：．设，则，则，∴，∴当，的面积最大，且最大值为．故当，的面积取得最大值，且最大值为．（3）点、、为顶点的三角形与相似，且或．理由如下：当时，得，∴，∵点，，∴点是抛物线上的一对对称点，设，则，解得，此时；当时，∵点，点，∴，∴，∵∴，∴，设，则，∴，∴，解得（舍去），或（舍去），（舍去），此时；综上所述，点、、为顶点的三角形与相似，且或．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造二次函数，配方法求最值；两点间距离公式；三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值，准确解方程是解题的关键．4．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．(1)如图1，求的值及直线的解析式；(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，直线的解析式为(2)点坐标为或(3)存在，理由见解析【分析】（1）由待定系数法求解即可得到答案；（2）证明，得到，即可求解；（3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解．【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，把代入得，即抛物线的解析式为；抛物线与轴交于点（点在点左侧），，当时，，解得或，直线过、，设直线，将、代入得：，解得：，直线的解析式为；（2）解：分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，如图所示：设点，，则，当时，，，，，，，，则，，解得，，点坐标为或；（3）解：存在，理由如下：由题意得，点；由点、、的坐标得，，，∴则，则，，，当点在轴时，如图所示：以、、为顶点的三角形与相似，当时，则，得，则点；当时，此时，点、重合且符合题意，故点；当点在轴上时，只有，则，则点，综上，点的坐标为或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、三角形相似的判定与性质、解直角三角形、面积的计算等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法，尤其注意分类求解是解题的关键．题型四：平行四边形的存在性问题顶点确定法1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点:如图①,分别过A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点;(2)两定顶点、两动顶点:①如图②,若AB为平行四边形的边,平移AB,确定另外两点位置:②)如图③,若AB为平行四边形的对角线,取AB中点,作过中点的直线确定另外两点的位置.2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法:如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点,同理);(2)平行四边形顶点坐标公式法设平行四边形ABCD的顶点坐标分别为则【中考母题学方法】【典例4】（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．【答案】(1)；(2)最大值为，C的坐标为；(3)点G的坐标为，，．【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；（2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案；（3）根据题意求出，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案．【详解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为．（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M．∴轴，∴，∴，设的解析式为，把，代入解析式得，解得：，∴．设，则，∴，∵，，∴当时，最大，最大值为．∴的最大值为，此时点C的坐标为．（3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点，∴，∴（舍），，∴．∵抛物线F：的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的对称轴为直线．如图2，当为对角线时，由题知，∴，∴．如图3，当为边时，由题知，∴，∴．如图4，由题知，∴，∴，综上：点G的坐标为，，．【变式4-1】（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；(3)如图点F1,0，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式；（2）令，可得B4,0，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可；（3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为−2,3或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案．【详解】（1）解：把点代入，得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：令，则，解得：，，点的坐标为，当时，，点的坐标为，，，，根据题意得，点的坐标为，则，把代入，得：，点的坐标为，设直线的解析式为y=kx+bk≠0，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为：，当时，，点的坐标为，，，又轴，∴轴，，，，，又，，解得：，（不合题意，故舍去），∴的值为；（3）解：存在，点的坐标为或或或，理由如下：设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，的解析式为：，当时，，点的坐标为，又点是轴上方抛物线上的一点，当时，，解得：，，点的坐标为−2,3或，分情况讨论：当点的坐标为−2,3时，，点的坐标为或；当点的坐标为时，，点的坐标为或；综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．【变式4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)点P的坐标为或或(3)是定值，定值为【分析】（1）根据题意可得点B的坐标为，进而得抛物线的表达式为：，即可求解；（2）设点P的坐标为：，点，分类讨论当或或为对角线三种情况即可求解；（3）设直线的表达式为：，点G、H的坐标分别为，；联立和可得；由点G、D的坐标得，直线的表达式为：，据此即可求解；【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线点B的横坐标为点B的坐标为，抛物线的表达式为：，即∴，则抛物线的表达式为：；（2）解：由题意得：设点P的坐标为：，点，当或为对角线时，由中点坐标公式得解得（舍去）或2，则点；当为对角线时，同理可得：解得：则点P的坐标为：或综上所述，点P的坐标为或或（3）解：是定值，理由：直线过点，故设直线的表达式为：设点G、H的坐标分别为，联立和并整理得：则由点G、D的坐标得，直线的表达式为：令，则，即点，则,同理可得，则【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与一次函数综合问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键．【变式4-3】难点平行四边形的顶点顺序不确定,需分情况讨论（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标；(3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在；或或或【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标；（3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可；【详解】（1）解：在中，令，得，，令，得，，

把两点的坐标代入中得，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P，垂直平分，，，为定值，当A、、P三点共线时，有最小值为．点B为的中点，在中，令，得（舍），，，的最小值为，设直线解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，，，，，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为，直线与直线的交点P的坐标满足方程组：，解得，点P的坐标为．（3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，，相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，∴平移后新抛物线为设点M的坐标为，，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，点N的坐标为；此时若点N在抛物线上，则，解得，，②当为对角线时，点N的坐标为，此时若点N在抛物线上，则，解得，，③当为对角线时，点N的坐标为；此时若点N在抛物线上，则，解得，当时，得到，当时，得到综上，点M的坐标为或或或．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．【中考模拟即学即练】1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P．(1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________；(2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标；(3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围．【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3)或或【分析】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，平移的性质，分类讨论思是解题的关键.（1）根据中点坐标公式解答即可；把代入解析式变形解答即可.（2）根据，，是等腰直角三角形，得到，，，得到,，结合点为中点，得到，代入解析式，结合计算即可得到函数解析式，根据，得到的解析式为；根据点点为中点，得到，设，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，分点向左平移1的单位和向右平移1个单位，计算即可.（3）分抛物线经过原点，抛物线的顶点在M处和抛物线在中点的右侧和得左侧或上面求解即可.【详解】（1）∵，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点分别是线段的中点，∴，∴，解得，故答案为：；.（2）∵，，是等腰直角三角形，∴，，，∴,，∵点为中点，∴，代入解析式得，∵，解得，故抛物线的解析式为.设的解析式为；把代入解析式为，得，解得，故的解析式为；∵点为中点，，，∴，∵，，点F在线段上，设，当点R向左平移1个单位长度得到M时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形；∵点E在抛物线上，∴，解得(舍去),故点；当点M向右平移1个单位长度得到R时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形；∵点E在抛物线上，∴，解得(舍去),故点；综上所述，符合条件的点E的坐标为或.（3）当经过原点时，，∵，∴，此时顶点为原点，也在抛物线上，符合题意；故；∵，∴抛物线的顶点，当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的，此时即；∵，，∴它们的中点，∵点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点，∴抛物线的对称轴，∴，解得；综上所述，符合题意的m取值为或或.2．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接．(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标．(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．(3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，点C的坐标为(2)1(3)点M的坐标为或或或【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，令，可得点C的坐标．（2）过点P作x轴的垂线，交于点E．利用待定系数求出直线的函数表达式，设点P的坐标为，则点E的坐标为，用含m的式子表示出，再根据点的坐标计算出，即可求解．（3）分两种情况：①当为边时，点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，同样点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，由此列方程组；当为对角线时，由中点公式列方程组．【详解】（1）解：抛物线经过两点，解得抛物线的函数表达式为令，则．点C的坐标为．（2）解：如图，过点P作x轴的垂线，交于点E．设直线的函数表达式为，将代入，得，解得，直线的函数表达式为．设点P的坐标为，则点E的坐标为，．，．的面积等于的面积的，，解得或（舍去），的值为1．（3）解：存在，点M的坐标为或或或．当时，点，设点，点①当为边时，点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，同样点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，故或，解得或或或，故点M的坐标为或或或．当为对角线时，由中点公式得，方程无解．综上所述，点M的坐标为或或或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像中的面积问题，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合与及分类讨论思想是解题的关键．3．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，．(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式．(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)点的坐标为或；(3)，或，或，．【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可；（2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标；（3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标．【详解】（1）解：抛物线过点，因此可设抛物线的解析式为将代入得，即抛物线的解析式为；（2）解：，对称轴为直线，如图2，当时，，则，当时，，，∴，，，∴，因此点的坐标为或；（3）解：存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．如图3，当平行四边形是平行四边形时，此时，的横坐标为，∴，∴，，当平行四边形是平行四边形时，同理，，如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则，点在抛物线上，此时，，综上所述，，或，或，．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想．题型五：特殊平行四边形的存在性问题顶点确定法1.确定矩形的顶点位置A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形(1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB确定点C,再利用矩形对边平行的性质确定点D(2)若AB为矩形的对角线,如图②,以AB为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作BC,AC的平行线确定点D.2.确定菱形的顶点位置A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形(1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点A,C作BC,AB的平行线交于点D;如图②,以点A为圆心,AB长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D;(2)若AB为菱形的对角线,如图③,作AB的垂直平分线交直线l于点C,交AB于点0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D.3.确定正方形的顶点位置已知两个定点A,B,在平面内找点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形.(1)若AB为正方形的边,如图①,过点A.B分别作垂直于AB的直线,再利用正方形的边长相等,确定另两点的位置:(2)若AB为正方形的对角线,如图②.可作AB的垂直平分线,再利用正方形的对角线相等且互相垂直平分,确定另两点的位置。【中考母题学方法】【典例5】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当时，y的取值范围是，求t的值；(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，∴，解得：，∴；（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，∵时，，①当时，则：当时，函数有最大值，即：，解得：或，均不符合题意，舍去；②当时，则：当时，函数有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；当时，解得：，当时，，∴，B0,3，设直线的解析式为，把代入，得：，∴，设，则：，∴，，，当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：①当为边时，则：，即，解得：（舍去）或，此时菱形的边长为；②当为对角线时，则：，即：，解得：或（舍去）此时菱形的边长为：；综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．【变式5-1】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)时，；时，；时，(3)存在，或或或或或【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；（3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．【详解】（1）解：把，B2,1代入得：，解得：，∴这个二次函数的表达式为；（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，∴，，∴，当时，即时，；当时，即时，；当时，即时，；（3）解：设直线的函数解析式为，把，B2,1代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，当为正方形的边时，①∵B2,1∴，过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，∵轴，∴，∴，则，设，则，∴，∴点N的纵坐标为，即，∵以，，，为顶点的四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如图：构造，和①同理可得：，，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如图：构造，和①同理可得：，，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如图：构造，和①同理可得：，，设，则，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；当为正方形对角线时，⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，易得，∴，设，则，和①同理可得：，∴，∴四边形为正方形，∴，∴，则，∴，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如图：构造，同理可得：，设，则，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；综上：或或或或或．【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）．(1)求线段的长；(2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小；(3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围；(4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或(4)不存在，理由见解析【分析】本题考查二次函数的综合应用：（1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出的横坐标，进而求出线段的长即可；（2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间的关系，进而求出，比较大小即可；（3）根据增减性，得到点距离对称轴近，列出不等式进行求解即可；（4）根据菱形的性质，求出的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分为矩形的边和矩形的对角线两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，∴，，∴；（2）设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，∵，，∴，∴，∴抛物线的解析式为：，∵点在抛物线上，点在抛物线上，∴，，∵两条抛物线的开口向上，∴，∴；（3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵点，在抛物线上，且满足，∴点距离对称轴近，∴，∴，∴，∴，∴，当时，解得：或，∵抛物线的开口向下，∴当时，或；∴当或时，；（4）不存在，理由如下：∵，∴，∵四边形为菱形，∴，∵，，∴，∴，由图象可知：，∴，∴，，把，，分别代入和，得：，∴抛物线的解析式为，抛物线的解析式为当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况：①当为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；②当为对角线时，则的中点也是的中点，∵，设的中点为，则：，以为圆心，的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：都在圆上，且也为圆的直径，如图：

由图可知，不存在点分别在两条抛物线上且为圆的直径，故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【中考模拟即学即练】1．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点C0,−3．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．【答案】(1)(2)，(3)存在点或或或【分析】（1）把和C0,−3代入求解即可．（2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答．（3）分情况讨论，当为矩形一边时