2025年中考数学一轮知识梳理难点与易错点02 方程与不等式的实际应用（5大题型）解析版

难点与易错点02方程与不等式的实际应用（5大题型）题型一：一元一次方程的实际应用题型二：二元一次方程组的实际应用题型三：分式方程的实际应用题型四：一元二次方程的实际应用题型五：一元一次不等式的实际应用题型一：一元一次方程的实际应用一元一次方程解应用题的一元一次方程解应用题的常见类型有：1.购买、销售问题常见的等量关系:售价=标价x折扣,利润=售价-进价,销售额=商品售价x销售数量,总费用=A商品单价x数量+B商品单价x数量2.工程问题工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.3.行程问题路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。配套问题解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；【中考母题学方法】【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表车次A站B站C站发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D10018：009：309：5010：50G10028：25途经B站，不停车10：30请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；(2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．①______；②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．【答案】(1)90，60(2)①；②或125【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．（1）直接根据表中数据解答即可；（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；②先求出，A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车．G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，故答案为：90，60；（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，G1002次列车从A站到C站共需分钟，∴，∴，故答案为：；②（千米/分钟），，（千米/分钟）．，A与B站之间的路程为360．，当时，G1002次列车经过B站．由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．ⅰ．当时，，，，（分钟）；ⅱ．当时，，，，（分钟），不合题意，舍去；ⅲ．当时，，，，（分钟），不合题意，舍去；ⅳ．当时，，，，（分钟）．综上所述，当或125时，．【变式1-1】购买、销售问题（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，依题意得，解得，，答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元．【变式1-2】工程问题（难点工作总量未知将其看作“1”解决）（2024·陕西咸阳·二模）咸阳某食品加工厂生产一批食品，原计划8天完成.在完成一半时，由于两台机器出现故障，导致每天生产的食品比原计划每天少100千克，最后实际生产完这批食品共用了10天，求该食品加工厂生产的这批食品一共有多少千克？【答案】该食品加工厂生产的这批食品一共有2400千克．【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这批食品一共有千克，根据“每天生产的食品比原计划每天少100千克”列方程求解即可，理解题意，找准等量关系列出方程是解答本题的关键．【详解】设这批食品一共有千克，根据题意，得，解得，答：该食品加工厂生产的这批食品一共有2400千克．【变式1-3】行程问题(难点一元一次方程解决环形运动问题)（2021·广西百色·中考真题）据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；……请问：（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）【答案】（1）第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米；（2）小王的速度为，老师的速度为．【知识点】圆的周长和面积问题、行程问题(一元一次方程的应用)【分析】（1）根据题意，计算第三圈与第一圈的路程差即可解第一问，根据题中路程公式，可解得第八圈的路程；（2）分析两人在左边的直道上相遇，且两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差，小王的速度为，则老师的速度为，列关于的一元一次方程，解方程即可解题．【详解】解：（1）根据题意得，第三圈弯道比第一圈弯道长：（米）；第八圈长：（米）答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米．（2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，那么两人一定在左边的直道上相遇，两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：（米）设小王的速度为，则老师的速度为答：小王的速度为，老师的速度为．【点睛】本题考查圆的计算、一元一次方程的应用等知识，理解相关路程公式的计算是解题关键．【变式1-4】配套问题（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母．(1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？(2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母(2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．（1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案．（2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可．【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．解得答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．（2）设安排y小时生产螺柱．解得．．根据实际意义取13090．根据实际意义螺柱取，则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套．【中考模拟即学即练】1．（2024·江苏无锡·一模）地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（

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A．2024年12月10日 B．2025年1月20日 C．2025年2月10日 D．2025年3月20日【答案】B【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查一元一次方程的应用，一年按365天计算，地球绕太阳运行一圈每天旋转度，火星绕太阳运行一圈每天旋转度，下次火星冲日时，地球比火星多旋转一圈，即多旋转360度，由此列一元一次方程，即可求解．【详解】解：设自2022年12月8日起，x天后火星再次冲日，由题意得：，，在2年天后，即2025年1月22日左右，火星再次冲日，B选项中的2025年1月20日最为接近，故选B．2．（2024·贵州黔东南·二模）小芳早上出门赶到距家的学校上学．已知小芳的速度是，她刚出门，妈妈想起昨晚班主任在家长群发通知，今天学生在家上网课，网课开始，于是妈妈立即以的速度跑出门去追小芳，并且在途中追上了她，小芳立即和妈妈以的速度走回家(1)妈妈追上小芳用了多长时间？(2)小芳是否能赶在网课开始前进入网课直播间上课？【答案】(1)(2)小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设妈妈追上小芳用了，利用路程速度时间，结合妈妈追上小芳时两人的路程相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）利用路程速度时间，可求出妈妈追上小芳时离家的距离，利用时间路程速度，可求出小芳返回家所用时间，将各时间段相加，再与比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设妈妈追上小芳用了，根据题意得：，解得：．答：妈妈追上小芳用了；（2）解：妈妈追上小芳时离家的距离为，小芳返回家所用时间为，，，，小芳能赶在网课开始前进入网课直播间上课．3．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或2000个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？【答案】应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设安排x名工人生产甲型零件，根据每天生产的两种型号的零件刚好配套，列出方程，解方程，即可求解．【详解】解：设应安排生产甲型零件的工人名；生产乙型零件的工人名，由题意得：，解得：，，应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名．题型二：二元一次方程组的实际应用二二元一次方程组解应用题的常见类型有：1.购买、销售问题分析题意,找出两个等量关系,列二元一次方程组求解,题中一般会给出两个等量关系,如购买A和B的总数量与购买A和B的总花费,结合总数量=A的数量+B的数量,总花费=A的数量xA的售价+B的数量xB的售价可列方程组.2.分配问题解决分配问题的关键是找不变的量和变化的量,根据不同分配方式下两者的关系列二元一次方程组。【中考母题学方法】【典例2】（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元(2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．（1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可；（2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可．【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，解得答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，解得，，，随的增大而增大，当时，取得最小值，此时（万元），答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．【变式2-1】购买、销售问题（难点销售方式变化,需结合公式表示出变化后的价格）（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？【答案】(1)该店销售扎染3件，刺绣2件(2)【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、根据概率公式计算概率【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；（2）直接由概率公式求解即可．【详解】（1）解：设销售扎染件，刺绣件．根据题意得，．∴．∵均为非负整数．∴当时，（舍去）；当时，（舍去）；当时，；当时，（舍去）．答：该店销售扎染3件，刺绣2件．（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形（记为事件）的结果有3种，所以，．答：该顾客获得纪念品的概率是．【变式2-2】分配问题（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．根据以上信息，解答下列问题：(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生(2)至少种植甲作物5亩【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据题意，得，解得，答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；（2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据题意，得：，解得，答：至少种植甲作物5亩．【中考模拟即学即练】1．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，由题意可得，，解得，答：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．2．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．(1)求两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；(2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解；（）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，由题意可得，，解得，答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；（2）解：设种客房每间定价为元，则，∵，∴当时，取最大值，元，答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元(2)共有3种购买方案(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，（1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；（2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：，解得：，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；（2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个．由题意得：，解得：，和均为正整数，，62，64，，7，4，共有3种购买方案．（3）设商家获得总利润为y元，，，，随x的增大而减小，当时，，答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．4．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元；(2)购进A商品的件数最多为20件【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可；（2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可．【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，由题意得，，解得，答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元；（2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，由题意得，，解得，∵m为整数，∴m的最大值为20，答：购进A商品的件数最多为20件．5．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？【答案】(1)A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元(2)至少应购买B款纪念品30个【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，由题意得，，解得，答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，由题意得，，解得，，答：至少应购买B款纪念品30个．6．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元(2)最多能购买100件A种湘绣作品【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题；（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．根据题意，得，解得答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．根据题意，得，解得．答：最多能购买100件A种湘绣作品．题型三：分式方程的实际应用1.1.购买、销售问题解决购买销售问题的关键是找到题中的等量关系,若题中已知A,B的花费金额和单价关系,则分别表示出A,B的数量列方程;若题中已知A,B的花费金额和数量关系,则分别表示出A,B的单价列方程.2.工程问题题中一般已知工作总量,若未知,则把工作总量看作1,然后用工作效率表示时间或者用工作时间表示效率,再根据完成工程的时间关系或者效率倍数关系列方程.3.行程问题题中一般已知总路程,若未知,则把总路程看作1,然后用速度表示行驶时间或者用行驶时间表示速度,再根据提前到、晚到的时间关系或者速度倍数关系列方程。【中考母题学方法】【典例3】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．(2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，∴，解得：，∴，答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；∴，解得：，经检验：是原方程的根且符合题意，答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．【变式3-1】购买、销售问题（难点分析转化题中隐含的等量关系）（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．(1)求航空和航海模型的单价；(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，由题意得，，解得，检验，当时，，∴是原方程的解，且符合题意，∴，答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，由题意得，，解得，，∵，∴y随m增大而增大，∴当时，y有最小值，最小值为，此时有，答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．【变式3-2】工程问题（难点结合工程由两队合作完成列方程）（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．【答案】小峰打扫了．【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，由题意，得：，解得：，答：小峰打扫了．【中考模拟即学即练】1．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是【知识点】分式方程的实际应用【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，，∵与的比是，∴，解得：，经检验是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是．2．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．（1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米，根据题意得：，解得：，经检验是分式方程的解，且符合题意，∴，则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；（2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天），根据题意得：，解得：，∴不等式的最大整数解为8，则该公司原计划最多应安排8名工人施工．3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价元/度【知识点】分式方程的实际应用【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解．【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，，解得：，经检验是原方程的解，答：该市谷时电价元/度．4．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？【答案】甲组有名工人，乙组有名工人【知识点】分式方程的实际应用【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解．【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得：，解答：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：甲组有名工人，乙组有名工人．5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；(2)15天的工期，两队最多能修复公路千米．【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，由题意得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；（2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，由题意得，，解得，∵，∴随的增加而减少，∴当时，有最大值，最大值为，答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．6．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习【知识点】已知字母的值，求代数式的值、分式方程的实际应用【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；（1）把，代入，再解方程即可；（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．【详解】（1）解：把，代入得，解得．经检验符合题意；∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．（2）解：第一次漂洗：把，代入，∴，第二次漂洗：把，代入，∴，而，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．题型四：一元二次方程的实际应用1.增长率1.增长率问题增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．利润问题常见的情况有提价减销量和降价增销量两种,甬道问题甬道问题常利用平行移动,将复杂的甬道结构转化为矩形,其面积大小不变,再结合甬道面积和总面积的关系列一元二次方程求解.4.篱笆问题解决篱笆问题的核心是用篱笆总长度和围成矩形的长表示宽(或宽表示长),若围栏有门,则需要加上门的宽度,再结合矩形面积列一元二次方程求解.5.循环问题循环问题分为单循环类型和双循环类型.单循环类型:以比赛为例,即每两队之间比赛一次,胜者晋级、败者淘汰,则共有场比赛双循环类型:指所有参加比赛的队伍均能相遇两次,最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次,则共有n(n-1)场比赛解决此类问题的关键是判断循环类型,如握手、多边形对角线条数等均为单循环类型:互送卡片、互赠礼物等均为双循环类型.【中考母题学方法】【典例4】（2024·内蒙古包头·模拟预测）某电子厂生产一款成本为50元的无线领夹麦克风，如图1，投放市场进行销售，其销售单价不低于成本且不高于95元．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图2所示．(1)求出与的函数解析式；(2)当销售单价应定为多少元时，该公司每天可获得2400元的销售利润；(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)与的函数关系式为：(2)当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润(3)销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)【分析】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点．（1）由待定系数法可得函数的解析式；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，根据二次函数的性质可求得答案．【详解】（1）解：设一次函数为，将点，代入得：，解得，，∴与的函数关系式为：；（2）解：由题意得：，化简得：，解得：，，（不符合题意，舍去）．答：当销售单价为70元时每天获得2400元的销售利润；（3）解：设每天获得的利润为元，由题意得，，．∵，，∴当时，有最大值，．答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．【变式4-1】增长率问题（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．(1)求该商场投入资金的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率(2)预计该商场七月份投入资金将达到万元【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴该商场投入资金的月平均增长率；（2）解：（万元），∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．【变式4-2】利润问题（易错点题中常增加限制条件,如要让利于顾客）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．【答案】(1)售价应定为每个元．(2)这两周的平均增长率为．【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可；（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可．【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则，整理得：，解得：，；∵更大优惠让利消费者，∴不符合题意，∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），设这两周的平均增长率为，则，解得：，（不符合题意舍去），∴这两周的平均增长率为．【变式4-3】利润问题（易错点处理计算结果不符合实际意义的情况）（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价/元日销售量/件(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，将，代入得，解得，与之间的函数表达式为；（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，整理得，∴，∴该商品日销售额不能达到元．【变式4-4】甬道问题（2024·山西·模拟预测）为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽．【答案】2【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设小路的宽为x米，由题意得：，解得：（不合题意，舍去)，答：小路的宽为2米．【变式4-5】篱笆问题（难点围栏增加隔栏和门,改变长和宽的表示）（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________．(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽．(3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？【答案】(1)(2)此时花圃的长为9米，宽为5米(3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到．【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、配方法的应用【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式：（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可；（3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案．【详解】（1）解：设花圃的宽为x米，则米，故答案为：；（2）解：由题意可得：，∴解得：，，当时，，不符合题意，故舍去；当时，，符合题意；答：此时花圃的长为9米，宽为5米；（3）解：当时，则，∴，∴此时原方程无解，∴这个花圃的面积不能达到，∵，∴，∴这个花圃面积最大可以做到．【变式4-6】篱笆问题（难点围成区域两面靠墙,改变长和宽的表示）（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长．【答案】边长为．【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设，根据长方形的面积公式列出关于x的一元二次方程，再求解舍去不合题意的数，即可得出答案．【详解】解：设，则，依题意，得，即，解得，．∵，即，解得，∴不合舍去，则．答：边长为．【变式4-7】循环问题（1）（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为．【答案】【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可．【详解】解：根据题意得，，故答案为：．（2）（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为．【答案】6【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设有个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设有个队参赛，根据题意，可列方程为：，解得：或（舍去），答：参赛的球队数为6．故答案为：6．【中考模拟即学即练】1．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：一个人每节课手把手教会了6名同学．2．（2024·陕西西安·模拟预测）有一块矩形铁皮如图所示，长为，宽为，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为，宽为，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为，请计算裁出的每个小矩形的周长．【答案】裁出的每个小矩形的周长为．【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由每个小矩形的长为，宽为列出方程，然后求解即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．【详解】解：由每个小矩形的长为，宽为，∴，整理得：，解得：，（舍去），∴裁出的每个小矩形的周长为，答：裁出的每个小矩形的周长为．3．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？【答案】(1)平均每次降价的百分率为(2)每件应降价元【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用)【分析】此题主要考查了一元二次方程应用，（1）设每次降价的百分率为x，根据“售价40元/件进行了两次降价后的售价为32.4元/件”列出方程求解即可．（2）设每天要想获得504元的利润，每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为，，解得：，（舍去），答：平均每次降价的百分率为．（2）解：设每天要想获得元的利润，，则每件商品应降价y元，由题意，得，解得：，，又∵商场为尽快减少该商品的库存，∴，答：每件应降价元．4．（2024·广东湛江·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：．(1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？(2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)销售单价为元；(2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用)【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：根据题意得：整理得：解得：(不合题意，舍去)，答：销售单价为元；（2）解：根据题意得：，∴当时，随的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为：，∴关于的函数关系式为：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．题型五：一元一次不等式的实际应用1.最多可以购买多少1.最多可以购买多少问题找到题中的不等关系,常考的有:数量不超过(≤),利润不少于(≥),预算不超过(≤)等题中已知A,8的总数量及A的数量不多于B的数量,则直接用数量表示不等关系1.题中已知A.B的总数量、单价及花费不超过多少钱,则用数量和单价表示总花费,再列2.不等式求解.注:计算结果需要符合实际意义,如个数不能为分数2.方案问题一般是先将实际问题中的不等关系抽离出来,联系实际背景,转化为求不等式的非负整数解问题,利用不等式的非负整数解的个数去确定方案的个数,进而去设计方案【中考母题学方法】【典例5】（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．应用如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．【答案】(1)过4秒或6秒(2)3【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、行程问题(一元一次方程的应用)、不等式的性质【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：（1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；（2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据题意，得，解得或6，答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为，当时，，∵，∴，即，当时，，∵，∴，即，当时，，∵，∴，即，综上，，∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．【变式5-1】最多可以购买多少问题（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：A型劳动用品（件）B型劳动用品（件）合计金额（元）第一次20251150第二次1020800(1)求两种型号劳动用品的单价；(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元(2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，，解得：，答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意可得：，设购买这40件劳动用品需要W元，，∵，∴W随a的增大而减小，∴当时，W取最小值，，∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．【变式5-2】方案问题（难点确定最优方案问题）（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元(2)有3种方案，详见解析(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解．（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；（3）根据（2）中三种方案分别求解即可；【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，则，解得：，故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，则，解得：，∵为正整数，∴，故该商店有三种进货方案，分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：根据题意得，解得：；当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：根据题意得，解得：（是小数，不符合要求）；当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：根据题意得，解得：（不符合要求）；故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．【中考模拟即学即练】1．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】(1)50元、30元(2)400棵【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据题意，得，解得，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；（2）解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵，根据题意，得，解得，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．2．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示．(1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；清蒸鱼块（每100克）滑炒鸡丁（每100克）蛋白质（克）1615脂肪（克）814(2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？【答案】(1)每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克(2)110克【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出相应的方程及不等式是解题关键．（1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设每份素炒时蔬中西兰花有克，根据题意列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，根据题意，得解，得答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克．（2）设每份素炒时蔬中西兰花有克，根据题意，得．解，得．所以，的最小值为110．答：每份素炒时荒中西兰花最少有110克．3．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）型号35a型号42若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求、的值；(2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．【答案】(1)(2)【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题；（2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值．【详解】（1）解：由题知，，解得；（2）解：购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，，解得，种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍．，解得，即，由题知，，整理得，随的增大而减小，当时，的最大值为．4．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元．(1)求，两种花卉的单价．(2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】(1)种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株(2)当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不