2025年中考数学一轮知识梳理难点07 圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）（原卷版）

试卷第=page8686页，共=sectionpages8787页难点07圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）题型一：圆的基本和最值问题题型二：垂径定理及其应用题型三：圆心角、弦、弧之间的关系题型四：圆周角定理题型五：圆周角定理的推论和应用题型六：圆内接四边形题型一：圆的基本和最值问题【中考母题学方法】【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（

）

A． B． C．2 D．1【典例2】（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为________．

(2)深入探究小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．探究二：连接，取的中点，连接，如图③．求线段长度的最大值和最小值．

【变式1-1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（

）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线【变式1-2】（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【中考模拟即学即练】1．（2024·安徽合肥·三模）如图，P为线段上一动点（点P不与点A，B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，交点为Q．若，点H是线段的中点，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．22．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，点B关于的对称点为，连接．若的最大值与最小值之比为2，则的长为．3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为．4．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）．（1）若，则相邻两人间的圆弧长是．（结果保留）（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则．5．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是．6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，是平面内一动点，且，则线段的最大值为．

7．（2023·四川乐山·模拟预测）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点，m为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．8．（2024·湖南·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．A，B两点均为格点，请仅用无刻度直尺找出经过A，B两点的圆的圆心O，并保留作图痕迹．9．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．题型二：垂径定理及其应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（

）A．4 B． C．5 D．【变式2-1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为．【变式2-4】（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．【中考模拟即学即练】1．（2023·广东东莞·一模）如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为．2．（2025·安徽·模拟预测）已知的半径为5，是的弦，P是弦的延长线的一点，若，，则圆心O到弦的距离为（

）A． B．6 C． D．43．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦AB长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦AB所在直线的距离是（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（2024·云南怒江·一模）如图，是的弦，半径，垂足为D，设，，则的半径长为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为()A．8 B．12 C．16 D．206．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别是以为直径的两个半圆，其中是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若，，且，则的长为（

）A． B． C． D．7．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是．

8．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦CD与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么．

9．（2024·湖南·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，且，，则m．10．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，．(1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求出（1）中所作圆的半径．11．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高．同学们讨论出两种设计方案：方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接．方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求方案一中圆的半径；(2)求方案二中抛物线的函数表达式；(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形）题型三：圆心角、弦、弧之间的关系【中考母题学方法】【典例1】（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是(

)

A． B． C． D．a，b大小无法比较【变式3-1】（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【变式3-2】（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为．

【变式3-3】（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（）A． B．32 C．3 D．【中考模拟即学即练】1．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（

）A． B． C． D．2．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是的直径，．若，则的度数是（

）A． B． C． D．3．（2023·福建莆田·模拟预测）如图，中的度数为，是的直径，那么等于（

）A． B． C． D．4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．5．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（

）A． B．C． D．与的大小关系无法比较6．（2023·云南大理·一模）如图，在中，AB是的直径，，、为弧AB的三等分点，是AB上一动点，的最小值是．

7．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D为上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为．8．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为的的直径，是的中点，连接CD交AB于点，连接．(1)求证：．(2)若，求AD的长．(3)如图，作于点，交AD于点，射线CB交AD的延长线于点，若，求的长．题型四：圆周角定理【中考母题学方法】【典例1】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．四边形为菱形【变式4-1】（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

【变式4-3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是的直径，，则（

）A． B． C． D．【变式4-4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（）A． B． C． D．【变式4-5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（

）A． B． C． D．【变式4-6】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则．

【中考模拟即学即练】1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，AB是的直径，弦于点，，的半径为，则弦CD的长为(

)

A．3 B． C． D．92．（2024·浙江温州·三模）如图，，是的直径，弦，连结，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2025·安徽·模拟预测）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；(2)若，，，求的长．4．（2024·贵州·模拟预测）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点，重合），连接，，，AB与相交于点，过点作交的延长线于点．(1)写出图中一对相似三角形：_________；(2)求证：；(3)若，，求四边形的面积．5．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)若，，求的值．题型五：圆周角定理的推论和应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（

）A．2 B． C． D．4【变式5-1】（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接．若，则的度数是（

）

A．30° B． C． D．【变式5-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则．【变式5-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式5-4】（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（

）A． B． C． D．【变式5-5】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，AD是直径，若，则．【变式5-6】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．(1)在图中作出弧的中点D．(2)连结，作出的角平分线．(3)在上作出点P，使得．【变式5-7】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；(2)在边上找一点，使得．【变式5-8】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．(1)如图1，若，，求的半径；(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）【中考模拟即学即练】1．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角内接于，过点作交于点，若，则的半径为（

）A． B． C．6 D．83．（2024·甘肃·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则．4．（2024·江苏徐州·三模）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则°．5．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为．题型六：圆内接四边形【中考母题学方法】【典例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【变式6-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式6-3】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（

）A． B． C． D．【变式6-4】（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式6-5】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．(1)求证：；(2)求的度数．【变式6-6