高考数学复习专题六概率与随机变量及其分布第1讲概率的基本问题

第1讲概率基本问题1/36高考定位对于排列组合、二项式定理、古典概型、互斥事件及对立事件概率考查也会以选择或填空形式命题，属于中等以下题目.2/36真题感悟1.(·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓能够选择最短路径条数为(

)A.24 B.18 C.12 D.93/36解析从E点到F点最短路径有6种，从F点到G点最短路径有3种，所以从E点到G点最短路径为6×3＝18种，故选B.答案

B4/362.(·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色花中任选2种花种在一个花坛中，余下2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色花不在同一花坛概率是(

)5/36答案

C6/363.(·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动儿童需转动如图所表示转盘两次，每次转动后，待转盘停顿转动时，统计指针所指区域中数.设两次统计数分别为x，y.奖励规则以下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮取得玩具概率；(2)请比较小亮取得水杯与取得饮料概率大小，并说明理由.7/36解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后统计数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.因为S中元素个数是4×4＝16.所以基本事件总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，8/369/36考

点

整

合1.计数原理10/362.概率11/363.事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)概率，等于事件A，B分别发生概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B).4.在一次试验中，对立事件A和

不会同时发生，但一定有一个发生，所以有P(

)＝1－P(A).12/36热点一排列、组合与二项式定理[微题型1]排列、组合问题【例1－1】(1)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不一样班级，每个班最少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不一样分法种数为(

)A.18 B.24C.30 D.3613/36(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目标演出次序，则同类节目不相邻排法种数是(

)A.72 B.120C.144 D.16814/36答案(1)C

(2)B15/36探究提升

解排列、组合应用题，通常有以下路径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素要求，再考虑其它元素.(2)以位置为主体，即先满足特殊位置要求，再考虑其它位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求排列或组合数.16/36[微题型2]考查二项式定理【例1－2】(1)(·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5展开式中，x5y2系数为(

)A.10 B.20C.30 D.60(2)若(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－1)13，则a1＋a2＋…＋a13＝________.17/36答案(1)C

(2)218/36探究提升

(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②对二项式(a－b)n展开式通项公式要尤其注意符号问题；③(x＋y)n展开式中每一项相当于从n个因式(x＋y)中每个因式选择x或y组成.(2)在二项式定理应用中，“赋值思想”是一个主要方法，是处理组合数问题、系数问题经典方法.要依据二项展开式结构特征灵活赋值.19/36【训练1】(1)(a＋x)(1＋x)4展开式中x奇数次幂项系数之和为32，则a＝____________.(2)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x奇数次幂系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，20/36答案(1)3

(2)1021/36热点二古典概型与互斥、对立事件概率[微题型1]对于古典概型考查【例2－1】(1)(·深圳一调)4名同学参加3项不一样课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动最少有一名同学参加概率为(

)22/36(2)从1，2，3，…，20这20个数中任取2个不一样数，则这两个数之和是3倍数概率为(

)23/36答案

(1)A

(2)C24/36探究提升

解答相关古典概型概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含基本事件数，这惯用到计数原理与排列、组合相关知识.25/36[微题型2]考查互斥事件与对立事件概率【例2－2】

某超市为了解用户购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机搜集了在该超市购物100位用户相关数据，以下表所表示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上用户数(人)x3025y10结算时间(分种/人)11.522.5326/36已知这100位用户中一次购物量超出8件用户占55%.(1)确定x，y值，并求用户一次购物结算时间X分布列与数学期望；(2)若某用户抵达收银台时前面恰有2位用户需结算，且各用户结算相互独立，求该用户结算前等候时间不超出2.5分钟概率.(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部用户一次购物结算时间组成一个总体，所搜集100位用户一次购物结算时间可视为总体一个容量为100简单随机样本，将频率视为概率得27/3628/3629/36探究提升

解这类题关键是了解频率与概率间关系，互斥事件是指不可能同时发生事件，要考虑全方面，预防遗漏.30/36【训练2】

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地抵达火车站人进行调查，调查结果以下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1人数612181212选择L2人数041616431/36(1)试预计40分钟内不能赶到火车站概率；(2)分别求经过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许时间内赶到火车站，试经过计算说明，他们应怎样选择各自路径.32/36解

(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站有12＋12＋16＋4＝44人.∴用频率预计对应概率为0.44.(2)选择L1有60人，选择L2有40人，故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1频率0.10.20.30.20.2L2频率00.10.40.40.133/36(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.34/361.求解排列、组合问题惯用解题方法(1)元素相邻排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间排列问题——“插空法”；(3)元素有次序限制排列问题——“除序法”；