2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册四十五　有限样本空间与随机事件

四十五有限样本空间与随机事件(时间:45分钟分值:85分)【基础全面练】1.(5分)(多选)(2024·大理高二期末)下列是随机事件的是()A.小明在上学路上通过的5个路口都碰到绿灯B.地球每天都在自转C.太阳从西边升起D.明天会下雨【解析】选AD.对于A,小明在上学路上通过的5个路口都碰到绿灯,这件事可能发生,也可能不会发生,是随机事件,故A符合题意;对于B,地球每天都在自转从而使得昼夜更替,这是必然事件,故B不符合题意;对于C,客观事实是太阳从东边升起,所以太阳从西边升起是不可能事件,故C不符合题意;对于D,明天有可能会下雨,也可能不会下雨,所以明天会下雨是随机事件,故D符合题意.2.(5分)从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出2人,观察选出的2人,设事件M为“甲被选中”,则事件M含有的样本点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.由题意,M={甲乙,甲丙,甲丁},所以事件M含有3个样本点.3.(5分)一个家庭有两个小孩,记录两个小孩的性别,则该随机事件的样本空间Ω是()A.{(男,女),(男,男),(女,女)}B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}【解析】选C.两个小孩是不同的个体,所以(男,女)与(女,男)是不同的样本点,样本空间Ω应有4个样本点.4.(5分)投掷两枚骰子,所得向上点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.一枚是3点,一枚是1点B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点C.两枚都是4点D.两枚都是2点【解析】选B.投掷两枚骰子,所得向上点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是“一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点”.5.(5分)先后抛掷2枚质地均匀的一角、五角的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3个样本点的是()A.“至少一枚硬币正面向上”B.“只有一枚硬币正面向上”C.“两枚硬币都是正面向上”D.“两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上”【解析】选A.“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上,五角硬币正面向下”“一角硬币正面向下,五角硬币正面向上”,共3个样本点.6.(5分)(2024·太原高一检测)现有一项关于运动与降低血压之间关联性的试验研究,试验将志愿者分为人数相等且为偶数的两组,第一组每天静坐1小时,第二组每天快走1小时,每组一半人服用降压药,另一半服用安慰剂.用a,b,c,d分别表示静坐的、快走的、服用降压药的、服用安慰剂的志愿者.若从这些人中随机抽取1人,则该试验的样本空间为______________.

【解析】由题意可知,该试验的样本空间为{ac,ad,bc,bd}.答案:{ac,ad,bc,bd}7.(5分)笼子中有4只鸡和3只兔,依次取出一只,直到3只兔全部取出,记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=____________.

【解析】最少需要取3次,最多需要取7次,那么剩余鸡的只数最多4只,最少0只,所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.答案:{0,2,4,6,8}8.(5分)连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面朝上的情况.事件A=“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有________个样本点.

【解析】用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则A={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},即事件A含有4个样本点.答案:49.(10分)先后两次掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上面的点数.(1)写出对应的样本空间;(2)用集合表示事件A:点数之和为3,事件B:点数之和不超过4.【解析】(1)用(1,2)表示第一次掷出1点,第二次掷出2点,其他的样本点用类似的方法表示,则可知所有样本点均可表示成(i,j)的形式,其中i,j都是1,2,3,4,5,6中的数.因此,样本空间Ω={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i∈N,j∈N};(2)A={(1,2),(2,1)},B={(1,3),(2,2),(3,1),(1,2),(2,1),(1,1)}.【综合应用练】10.(5分)从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.任取2个数:(1)不取4,应为2+3>4.(2)取4时,1+4>4,2+4>4,3+4>4.综上,共包含4个样本点.11.(5分)(多选)(2024·汉中高一期末)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件产品,其中是随机事件的是()A.5件都是正品 B.至少有1件次品C.有3件次品 D.至少有3件正品【解析】选AB.在25件同类产品中,有2件次品,从中任取5件产品,“5件都是正品”“至少有1件次品”,都是随机事件,A,B符合题意;在25件同类产品中,有2件次品,所以不可能取出3件次品,则“有3件次品”不是随机事件,是不可能事件,C不符合题意;在25件同类产品中,有2件次品,从中取5件,则“至少有3件正品”为必然事件,不是随机事件,D不符合题意.12.(5分)某个部件由三个元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,用x1,x2,x3分别表示元件1,元件2,元件3,则样本点表示为(x1,x2,x3),且“1”表示元件正常工作,“0”表示元件不能正常工作,则部件能正常工作的基本事件有__________________.

【解析】试验的样本空间可记为Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)},其中部件正常工作的基本事件有(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1).答案:(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)13.(10分)从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间;(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”,写出集合A;(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,其余条件不变,请继续回答上述两个问题.【解析】(1)样本空间为Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)};(2)A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)};(3)若改为取出后放回,则样本空间为Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.14.(10分)汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示,三个汉字可以看成轴对称图形.土口木小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.(1)写出该试验的样本空间Ω;(2)设小敏获胜为事件A,试用样本点表示A.【解析】(1)每次游戏时,所有可能出现的结果如表所示:项目土口木土(土,土)(土,口)(土,木