2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册四十六　事件的关系和运算

四十六事件的关系和运算(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则A∩B包含的样本点数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含4个样本点:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),事件B包含2个样本点:(1,3),(2,4),所以事件A∩B包含1个样本点:(2,4).2.(5分)抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“向上的点数是奇数”,事件B表示“向上的点数不超过3”,则A∪B表示()A.向上的点数为奇数B.向上的点数不超过3C.向上的点数为1,3D.向上的点数为1,2,3,5【解析】选D.A包含向上的点数是1,3,5的情况,B包含向上的点数是1,2,3的情况,所以A∪B包含了向上的点数是1,2,3,5的情况.3.(5分)(2024·永州高一检测)从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球,下列情况是互斥而不对立的两个事件的是()A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少一个红球;都是白球D.至多一个红球;都是红球【解析】选B.A中至少有一个红球包含两种情形:一红一白,两个红,至少有一个白球包含:一红一白,两个白,这两个事件不互斥,C,D中的两个事件互斥且对立.4.(5分)(多选)若从1,2,3,…,9中任取两个数,则下列各组中是对立事件的是()A.恰有一个偶数和恰有一个奇数B.至多有一个奇数和两个都是奇数C.至少有一个奇数和两个都是偶数D.至少有一个奇数和至少有一个偶数【解析】选BC.从1,2,3,…,9中任取两数,有以下三种情况:①两个均为奇数;②两个均为偶数;③一个奇数和一个偶数.5.(5分)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两弹都击中飞机},B={两弹都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列说法正确的是()A.A⊆D B.B∩D=⌀C.A∪C=D D.A∪C=B∪D【解析】选ABC.由于至少有一弹击中飞机包括两种情况:两弹都击中飞机,只有一弹击中飞机,故有A⊆D,故A正确;由于事件B,D是互斥事件,故B∩D=⌀,故B正确;再由A∪C=D成立可得C正确;A∪C=D={至少有一弹击中飞机},不是必然事件,而B∪D为必然事件,故D不正确.6.(5分)在随机抛掷一枚骰子的试验中,事件A=“出现不大于4的偶数点”,事件B=“出现小于6的点数”,则事件A∪B的含义为____________,事件A∩B的含义为________________.

【解析】易知B=“出现6点”,则A∪B=“出现2,4,6点”,A∩B=“出现2,4点”.答案:出现2,4,6点出现2,4点7.(5分)现有语文,数学,英语,物理和化学5本书,从中任取1本,记取到语文,数学,英语,物理,化学书分别为事件A,B,C,D,E,则事件取出的书不是语文和英语可记为__________________.

答案:B∪D∪E(或A∪C)8.(5分)从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中随机选取一张,给出如下三组事件:①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”;②“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”;③“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A,K,Q,J之一”.其中互为对立事件的是________(写出所有正确的序号).

【解析】从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中随机选取一张,①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件,但不是对立事件;②“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件,故更不会是对立事件;③“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A,K,Q,J之一”是互斥事件,也是对立事件.答案:③9.(10分)甲、乙、丙三人独立破译密码,用事件的运算关系表示:(1)只有甲破译;(2)恰有一人破译;(3)至多有一人破译;(4)密码被破译;(5)密码未被破译.【解析】用A,B,C分别表示甲、乙、丙破译密码,则(1)A∩B∩C;(2)(A∩B∩C)+(A∩B∩C)+(A∩B∩C);(3)(A∩B∩C)+(A∩B∩C)+(A∩B∩C)+(A∩B∩C);(4)A∪B∪C;(5)A∩B∩C.10.(10分)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件.如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件;(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件,由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件;(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件;(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件;(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.【综合应用练】11.(5分)(多选)下列命题中为真命题的是()A.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B为互斥事件B.若事件A与事件B为互斥事件,则事件A与事件B互为对立事件C.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件D.若事件A∪B为必然事件,则事件A与事件B为互斥事件【解析】选AC.对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题;对于B,互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,事件M=“两次出现正面”与事件N=“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B为假命题;对于C,事件A,B为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个发生,故C为真命题;对于D,事件A∪B表示事件A,B至少有一个要发生,A,B不一定互斥,如抛掷一枚骰子,事件A=“掷出点数为奇数”,事件B=“掷出点数大于等于2”,则A∪B为必然事件,但A与B不互斥,故D为假命题.12.(5分)(多选)(2024·亳州高一期末)中国四大名楼是一种泛称,特指山西永济鹳雀楼,江西南昌滕王阁,湖北武汉黄鹤楼,湖南岳阳岳阳楼.记事件E=“只去黄鹤楼”,事件F=“至少去两个名楼”,事件G=“只去一个名楼”,事件H=“一个名楼也不去”,事件I=“至多去一个名楼”,则下列命题正确的是()A.E与H是互斥事件B.F与I是互斥事件,且是对立事件C.I=G∪HD.E=G∩I【解析】选ABC.对于A,事件E,H不可能同时发生,是互斥事件,故A正确;对于B,事件F与I不可能同时发生,且发生的概率之和为1,是互斥事件,且为对立事件,故B正确;事件I=“至多去一个名楼”刚好包含事件G=“只去一个名楼”与事件H=“一个名楼也不去”,所以I=G∪H,G=G∩I,故C正确,D错误.13.(5分)打靶3次,事件Ai表示“击中i次”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示____________.

【解析】A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1次、2次或3次.答案:至少有一次击中14.(10分)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每组事件是不是互斥事件.如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”;(2)“至少有1件次品”和“全是次品”;(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”.【解析】依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知:(1)中“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件;(2)同理可以判断这两个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件;(3)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件.15.(10分)(2024·大理高一检测)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B,C,D;(3)事件B与事件C有什么关系?事件A和B的交事件与事件D有什么关系?并说明理由.【解析】(1)用数组(a,b,c)表示可能的结果,a,b,c分别表示三个圆所涂的颜色,则试验的样本空间Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)};(