2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十九　复数的加、减运算及其几何意义

十九复数的加、减运算及其几何意义(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)已知复数z1=12-3i,z2=-9+i,则z1+z2的实部与虚部分别为()A.3,-2 B.3,-2iC.2,-3 D.2,-3i【解析】选A.因为z1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其实部与虚部分别为3,-2.2.(5分)已知复数z1=1+ai,z2=2a-3i(a∈R).若复数z1-z2是纯虚数,则实数a的值为()A.-3 B.12 C.13 D【解析】选B.由题意,知z1-z2=(1+ai)-(2a-3i)=1-2a+(a+3)i.若复数z1-z2是纯虚数,则1-2a=0,且a+3≠0,解得a=123.(5分)(2024·郑州高一检测)复数6+5i与-3+4i分别表示向量与,则表示向量的复数为()A.3+9i B.2+8iC.-9-i D.9+i【解析】选D.复数6+5i与-3+4i分别表示向量与,因为=-,所以表示向量的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i.4.(5分)(多选)若复数z满足z+(3-4i)=1,则()A.z的实部是-2 B.z的虚部是4C.|z|=2 D.z=-2-4i【解析】选ABD.z=1-(3-4i)=-2+4i,则z的实部是-2,虚部是4,|z|=25,z=-2-4i.5.(5分)已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是()【解析】选A.由题图可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1).6.(5分)(2024·无锡高一检测)i是虚数单位,若复数z满足|z-3i|=2,则|z|的取值范围是()A.[1,5] B.[3-2,3+2]C.[0,5] D.[0,3+2]【解析】选A.在复平面内,若复数z满足|z-3i|=2,则复数z对应的点Z的轨迹是以(0,3)为圆心,半径为2的圆,|z|的几何意义是点Z到原点的距离,所以3-2≤|z|≤3+2,所以|z|的取值范围是[1,5].7.(5分)若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是__________.

【解析】因为z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虚部是4.答案:48.(5分)已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1-z2=0,则m的值为__________.

【解析】由题意可得z1-z2=0,即m2-3m+m2i=4+(5m+6)i,根据两个复数相等的充要条件可得m2解得m=-1.答案:-19.(5分)(2024·北京高一检测)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=__________.

【解析】依题意可得=(2,1),=(-1,1),所以z1=2+i,z2=-1+i,所以z1+z2=(2+i)+(-1+i)=1+2i,所以|z1+z2|=12+2答案:510.(10分)计算:(1)2-12i+12-2i;(2)(3+2i)+(3-2)i;(3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|;(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).【解析】(1)原式=2+12-12+2i=52-52i.(2)原式=3+(2+3-2)i=3+3i.(3)原式=1+2i+i-1+5=5+3i.(4)原式=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i.【综合应用练】11.(5分)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=()A.2+8i B.-2+10iC.1-10i D.-1+10i【解析】选D.因为z1=x+2i,z2=3-yi,且z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以x+3=5,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.12.(5分)(多选)已知i为虚数单位,下列说法正确的是()A.若复数z满足|z-i|=5,则复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,5为半径的圆上B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8iC.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模D.非零复数z1对应的向量为,非零复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥【解析】选CD.对于A项,满足|z-i|=5的复数z在复平面内对应的点在以(0,1)为圆心,5为半径的圆上,故A错误;对于B项,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=a2由z+|z|=2+8i可得,a+a2+b根据复数相等的条件可得a+解得a=-15对于C项,由复数的模的定义知C正确;对于D项,由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,故D正确.【补偿训练】(多选)设复数z的共轭复数为z,i为虚数单位,则下列命题为真命题的是()A.z+z∈RB.z-z是纯虚数C.若z=cosπ5+isin3π5,则|D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2【解析】选AD.因为复数z与其共轭复数z的实部相等,虚部互为相反数,所以z+z∈R,A为真命题;当z为实数时,z也为实数,则z-z是实数,B为假命题;若z=cosπ5+isin3π则|z|=cos|z-i|=1表示以点(0,1)为圆心,1为半径的圆,结合图形(图略)知,|z|的最大值为圆心到原点的距离与半径之和,即为1+1=2,D为真命题.13.(5分)如果一个复数与它的模的和为5+3i,那么这个复数是__________.

【解析】设这个复数为a+bi(a,b∈R),则|a+bi|=a2+b2.由题意知a+bi+即a+a2+b2+所以a+a2+b2=5,b所以所求复数为115+3i答案:115+314.(10分)已知复数z1=a+(7-a)i,z2=5+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).(1)若z2的实部与z1的模相等,求实数a的值;(2)若复数z1+z2在复平面内对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.【解析】(1)依题意,|z1|=a2+(7-a)2=2a2-14a+49,因为z2的实部与z(2)因为z1+z2=(a+5)+(2a+8)i,且z1+z2在复平面内对应的点在第四象限,所以a+5>0,2a+8<0,15.(10分)(2024·福州高一检测)已知在复平面内,平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.(1)求点B所对应的复数z0;(2)若复数z满足|z-z0|=1,则复数z在复平面内所对应的点的集合是什么图形?【解析】(1)由已知得=(3,2),=(-2,4),所以=+=(1,6),所以点B对应的复数z0=1+6i.(2)设复数z在复平面内所对应的点为Z.因为|z-z0|=1,所以点Z到点B(1,6)的距离为1,所以满足|z-z0|=1的点Z的集合是以B(1,6)为圆心,1为半径的圆.【补偿训练】已知z0=2+2i,|z-z0|=2.(1)复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形?(2)求|z|的最小值和最大值.【解析】(1)设z0在