2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册二十六　平面

二十六平面(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作()A.Q∈b∈β B.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂β D.Q⊂b∈β【解析】选B.因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b⊂β,所以Q∈b⊂β.2.(5分)(2024·宜春高二期末)能确定一个平面的条件是()A.空间的三点 B.一个点和一条直线C.两条相交直线 D.无数点【解析】选C.对于A,当这三个点共线时,经过这三点的平面有无数个,故A不正确;对于B,当此点刚好在已知直线上时,有无数个平面经过这条直线和这个点,故B不正确;对于C,根据基本事实的推论可知,两条相交直线可唯一确定一个平面,故C正确;对于D,给出的无数个点不一定在同一个平面内,故D不正确.3.(5分)如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则()A.l⊂α B.l⊄αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】选A.因为M∈a,a⊂α,所以M∈α,又因为N∈b,b⊂α,所以N∈α,又M,N∈l,所以l⊂α.4.(5分)在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH与EF交于一点P,则()A.P一定在直线BD上B.P一定在直线AC上C.P在直线AC或BD上D.P既不在直线BD上,也不在AC上【解析】选B.由题意知GH⊂平面ADC,GH与EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上.5.(5分)(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合【解析】选ABD.选项C中,α与β有公共点A,则它们有过点A的一条交线,而不是点A,故C错,其他选项均正确.6.(5分)(多选)下列说法正确的是()A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面【解析】选AD.在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,A正确;在B中,如图①,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,B不正确;如图②,选项C显然不正确;在D中,过直线与直线外一点可确定一个平面,设为α,因此这三条直线都在平面α内,即三条直线共面,D正确.7.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)AC∩BD=__________;

(2)平面AB1∩平面A1C1=__________;

(3)A1B1∩B1B∩B1C1=__________.

【解析】(1)AC,BD同在平面ABCD中,交于点O.(2)平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.(3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于一点B1.答案:(1)O(2)A1B1(3)B18.(5分)已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是________.

【解析】其中三个点可确定唯一的平面,当第四个点在此平面内时,可确定1个平面,当第四个点不在此平面内时,则可确定4个平面.答案:1或49.(5分)若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.

【解析】如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.因为l∩α=O,所以O∈α.又O∈AB⊂β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线10.(10分)已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,如图.求证:直线AD,BD,CD共面.【证明】因为D∉l,所以直线l与点D可以确定平面α,所以只需证明AD,BD,CD都在平面α内.因为A∈l,所以A∈α.又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.【综合应用练】11.(5分)(多选)在空间中,下列结论正确的是()A.三角形确定一个平面B.四边形确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面【解析】选AC.三角形的三个顶点不共线,不共线的三点确定的平面有且只有一个,故A正确.四边形假设为空间四边形,确定的平面可能有四个,故B错误.由于梯形有两条对边平行,所以确定的平面有且只有一个,故另两条边也在该平面上,故C正确.当圆心和圆上的两点在同一条线上时,不能确定一个平面,故D错误.12.(5分)如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过()A.点A B.点BC.点C,但不过点D D.点C和点D【解析】选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.13.(5分)空间中三个平面最少把空间分成________部分;最多把空间分成________部分.

【解析】当三个平面两两平行时,可以把空间分成4部分;当三个平面两两相交且存在一个公共点时,把空间分成8部分.答案:4814.(10分)如图,已知D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.(1)作直线AB与平面α的交点P;(2)求证:D,E,P三点共线.【解析】(1)延长AB交平面α于点P,如图所示.(2)因为平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又因为P∈α,所以P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE,所以D,E,P三点共线.15.(10分)已知四面体D-ABC(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC,CH=13(1)E,F,G,H四点共面;(2)直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF12BD,因为G,H分别是BC,CD上的点,且CG=13BC,CH=所以GH13BD,所以EF∥GH,