2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册二　向量的加法运算

二向量的加法运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,+=()A. B. C. D.【解析】选B.由题意得,+=.2.(5分)(2024·天津高一检测)化简:++=()A. B. C. D.【解析】选C.++=++=+=.3.(5分)设|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.因为|a+e|≤|a|+|e|,|a|=2,e为单位向量,所以|a+e|≤3.当且仅当a,e同向时,取到等号.4.(5分)(2024·榆林高一检测)若向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,则向量a+b表示()A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向正北方向航行(1+3)kmD.向正东方向航行(1+3)km【分析】根据向量的方向,画出图形,利用向量的加法运算,计算结果.【解析】选B.如图,易知tanα=13=3所以α=30°,故a+b的方向是北偏东30°,|a+b|=2.5.(5分)如图,在正六边形ABCDEF中,++等于()A.0 B. C. D.【解析】选D.++=++=+=.6.(5分)(多选)(2024·莆田高一检测)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为()A.4 B.8 C.10 D.12【分析】根据a∥b,可得a,b方向相同或相反,分a,b同向和反向两种情况讨论即可得解.【解析】选AD.因为|a|=2|b|=8,所以|b|=4,因为a∥b,所以a,b方向相同或相反,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=12,当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.7.(5分)(2024·济南高一检测)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,则|+|=__________.

【解析】如图所示,设菱形对角线交点为O,+=+=,因为∠ABC=120°,所以∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形,又AC⊥BD,AB=2,所以OB=1,在Rt△AOB中,||==3,所以|+|=||=2||=23.答案:238.(5分)(2024·绍兴高一检测)向量++++=________.

【解析】++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.答案:9.(5分)某人在静水中游泳的速度为3m/s,河水自西向东的流速为1m/s,此人朝正南方向游去,那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为________.

【解析】如图,表示河水自西向东的流速,表示某人在静水中游泳的速度,则表示他的实际前进方向,由题意可知||=1,||=3,则在Rt△OAC中,tan∠AOC==3,故∠AOC=60°,即他的实际前进方向与水流方向的夹角为60°.答案:60°10.(10分)如图所示各组向量a,b,求作a+b.【解析】如图所示:【综合应用练】11.(5分)(2024·吕梁高一检测)在矩形ABCD中,||=2,设=a,=b,=c,则|a+b+c|的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根据题意,得a+b+c=++=+,延长BC至E,使CE=BC,连接DE,证出四边形ACED是平行四边形,从而+=+=,最后得出|a+b+c|=||=2||=2||,即可得出结果.【解析】选C.a+b+c=++=+,延长BC至E,使CE=BC,连接DE,由于==,所以CE∥AD,CE=AD,所以四边形ACED是平行四边形,所以=,所以+=+=,所以|a+b+c|=||=2||=2||=4.【补偿训练】当a,b满足条件__________时,a+b所在直线平分a,b所在直线的夹角.

【分析】作出图形,根据向量加法的平行四边形法则和三角形中等角对等边可得结论.【解析】如图所示:令=a,=b,=a+b,则四边形ABDC为平行四边形,又因为a+b所在直线平分a,b所在直线的夹角,则AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC,又因为∠BAD=∠ADC,所以∠DAC=∠ADC,所以||=||=||,即|a|=|b|.答案:|a|=|b|12.(5分)(多选)下列结论中不正确的是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同B.在△ABC中,必有++=0C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点D.若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等【解析】选ACD.对于A:当a与b为相反向量时,a+b=0,方向任意,故A错误;对于B:在△ABC中,++=0,故B正确;对于C:当A,B,C三点共线时,满足++=0,但不能构成三角形,故C错误;对于D:若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时等号成立,故D错误.13.(5分)(2024·咸阳高一检测)在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是30km/h;水的流向是正东方向,流速是30km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东__________,大小是__________km/h.

【解析】如图,风速是30km/h,即||=30,水的流速是30km/h,即||=30,则救生艇的速度大小即为||,由题可知:四边形OACB为菱形且∠AOB=60°,所以||=2×30×32=303,且∠AOC=30°,所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东60°,大小为303km/h.答案:60°30314.(10分)三个力F1,F2,F3大小相等,作用于同一点O.要使它们的合力为零,应满足什么条件?【解析】如图所示:利用三角形法则作=F1,=F2,=F3,要使F1+F2+F3=0,则F1+F2+F3=++=0.又++=,所以=0,即点C与点O重合.因此,分别代表力F1,F2,F3的有向线段,,构成了等边△ABC.由图可知,力F1与F3之间、F1与F2之间、F2与F3之间的夹角都恰好是等边△ABC的一个外角,都等于120°,