空间中的平行与垂直（八大考点）学生版-2024年高考数学一轮复习巩固卷

考点巩固卷17空间中的平行与垂直（八大考点）

口考点预览

考点3判断平行，全江的有关命题

考点02平行的判定定理

考总包J卜全平"的条件

考点04平行的性质定理

考点05垂直的判定定理

考点（）6补全垂直的条件

考点旧垂直的性质定理

考点”8平行，垂直的综合应用

士考点训编

考点01判断平行，垂直的有关命题

1.已知/，加是两条不重合的直线，名"是两个不重合的平面，下列结论正确的是（）

A.若lua,mudILm,则tzJL#B.若/ua,小u£,a_L夕，贝［|/_1_优

C.若aPl尸=/,a_L夕,mua,m_L/,则机_L/7D.若/ua,加u〃6，贝！J/〃加

2.直线a,6互相平行的一个充分条件是（）

A.a,6都平行于同一个平面B.a,6与同一个平面所成角相等

C.a,b都垂直于同一个平面D.a平行于6所在平面

3.已知平面生力,直线/,凡6,若an?=/,aua,6u/且则“力石”是”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知是两条不同的直线，a,/是两个不重合的平面，则有下列命题

①机//a,〃//£,a//£0机//〃；

@a±p,mua,nu00mIn；

③miln,mLaf〃u/?na_L〃；

@aL/3,mlanmu0.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.设机，〃是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若加〃〃/〃a,则加//aB.若加〃a,〃〃a,则加〃几

C.若加〃凡加〃a,〃〃/7,则。〃/D.若加_La/_LAa_L〃，则加_L〃

6.若直线加不平行于平面。，且加2。，则下列结论成立的是（）

A.口内不存在与％异面的直线B.a内存在与加平行的直线

C.a内存在唯一一条直线与机相交D.a内存在与加垂直的直线

考点02平行的判定定理

7.下列正方体中，A,2为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点，则能满足AB//平面MAP

的是（）

A____________,

二

B

8.如图，在直三棱柱Z5C-z4G中，D,方分别是/民4月的中点.

(1)若E为CD的中点，O为侧面8CC4的中心，证明：0E〃平面N/G；

(2)若4G，AC“4D=2,/C=3,侧面43耳同为菱形，求三棱锥4-4C/的体积.

9.在直三棱柱/3C-44G中，/。=3,8。=4,44=/8=5,。是/2的中点.

⑴求证：平面CO左；

(2)求三棱锥。-BCBj的体积;

10.如图，在直三棱柱4SC-44cl中，AABC=90°,AAl=AB=4,BC=3.

G-C

⑴求三棱柱44。的侧面积；

(2)设。为ZC的中点，求证：“耳〃平面3CQ.

11.如图，在几何体N8CDE尸中，已知四边形/BCD是正方形，ED//FC,AD=ED=2FC=4,M,NQ分

别为/£),CD,防的中点，尸为ED上靠近点。的四等分点.

⑴证明：尸。〃平面/8CD；

(2)证明：平面巴亚〃平面£3尸.

12.如图：在正方体/BCD-48GA中，〃为。2的中点.

(1)试判断直线3。与平面/MC的位置关系，并说明理由;

(2)若N为C。的中点，求证：平面〃平面团\©「

考点03补全平行的条件

13.如图，在四棱锥尸-/BCD中，为＞，底面N8C。，底面N8CD是矩形，PD=AB=3AD=3.

(1)求点A到平面PBC的距离.

(2)若£是力的中点，尸是尸B上靠近点尸的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG〃平面。£/？证明你

的结论并求8G的长.

14.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/BCD为矩形，AD=PD=2,CD=1,PC=加，HE为线段PC上

的点，且BCLDE.

(1)证明：尸平面A8CD；

(2)若4分=炉，且在线段3。上存在一点。，使得尸/〃平面。£。.请确定点。的位置.并证明你的结论.

15.如图尸2_L平面23CD,N2CZ)是矩形，PA=AB=\,40=2,点尸是尸B的中点，点£是8c边上的

任意一点.当E是8C的中点时，线段48上是否存在点G,使得平面防G〃平面E4C,若存在指出点G

位置并证明，若不存在说明理由.

16.如图：在正方体23CD-481GA中，〃■为的中点.

⑴求证：BD、“平面AMC；

(2)在线段cq上是否存在一点N,使得平面/MC〃平面册口,说明理由.

17.如图，N8CZ)为直角梯形，ZC=ZCDA=90°,AD=2BC=2CD,P为平面N8CO外一点，且必，

BD.

(1)求证：PA_LBD；

⑵若PC与。。不垂直，求证：P毋PD；

(3)若直线/过点P,且直线/〃直线BC,试在直线/上找一点E,使得直线尸C〃平面E8D

18.如图1,已知菱形NECD的对角线NC,DE交于点F,四边形DE8C是平行四边形.将三角形/DE沿线

段DE折起到PDE的位置，如图2所示.

图2

(1)求证：DE1PC；

(2)在线段PD,8C上是否分别存在点N,使得平面CFM〃平面尸EN?若存在，请指出点N的位置,

并证明；若不存在，请说明理由.

考点04平行的性质定理

19.设以”是两条直线，名"是两个平面，若a/1/3,mua,nu/3,则下列说法一定正确的是()

A.mllnB.ml//3

C.巩〃是两条异面直线D.mLn

20.如图，£是棱长为1正方体/BCD-4与G。「的棱G2上的一点，且8"〃平面4CE,则OE与3"的

位置关系为;线段虚的长度为.

21.如图，空间几何体A8CDE中，四边形4BCD是矩形，OE上平面48CD,平面平面COE=/.

A

(2)求证：AB//1.

22.在四棱锥尸-48CD中，PD工平面4BCD,BC〃AD,BC=2AD,AD上CD,点、E,F,M分别为PB,BC,PD

的中点.

(1)求证：平面4EF；

⑵过点4旦”的平面交尸C于点N,求券PN的值・

23.在平面四边形/BCD中(如图1),AB//CD,CDVDE,BE=2CD,E是48中点，现将△/DE沿

DE翻折得到四棱锥/-BCDE(如图2),

(2)图2中，若尸是E3中点，试探究在平面/ED内是否存在无数多个点尸，都有直线CP〃平面4DF,若

存在，请证明.

24.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面N8CD为平行四边形，〃•为尸/的中点，£是尸C靠近C的一个三

等分点.

⑴若N是尸。上的点，MN/I平面ABCD,判断"N与2c的位置关系，并加以证明.

(2)在尸8上是否存在一点Q,使40〃平面5DE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由.

考点05垂直的判定定理

25.如图，在直三棱柱NBC-44G中，ZABC=90°,AA,=AB,分别是明，4c的中点.

B

⑴求证：。£//平面/3。；

(2)求证：ABt14C.

26.如图，AASC中，AC=BC=—AB,Z3ED是正方形，平面4BEDJL平面4SC,若G、尸分别是EC、

2

8。的中点.

(1)求证：GF〃平面/3C;

(2)求证：平面3CE1平面/CD.

27.如图，长方体45GA的底面/3CD是正方形，点£在棱/4上，BELEQ.

(1)证明：BE_L平面班Ci；

⑵若44=6,AB=3,求四棱锥的体积.

28.如图，端BC中，…口,四边形/由是正方形，平面板打平面小，若G,尸分别是

EC,AD的中点.

(1)求证：6尸//平面/3。；

(2)求证：平面2CDJ_平面NCD.

29.如图，/BC。-44aA是棱长为4的正方体，£是的中点.

(1)证明：AC±DE;

⑵求三棱锥/-CE4的体积.

30.如图，在四棱锥S-/BCD中，底面48CD是正方形，底面/BCD,"=4。，点/是SD的中点,

/N_LSC且交SC于点N.

⑴求证：S3〃平面/CM；

(2)求证：ANIBDt

(3)求证：平面"C_L平面NMN.

考点06补全垂直的条件

31.已知平面a,4和直线机，给出以下条件：@m//a；②mla；③sua；④,要想得到加_L/,

则所需要的条件是.(填序号)

32.在四棱锥尸-48CD中，AP4D是等边三角形，且平面尸40,平面48CD,AD=2AB=2BC,

ZBAD=ZABC=90°.

B'---------C

(1).在4D上是否存在一点使得平面平面43CZ),若存在，请证明；若不存在，请说明理由;

(2).若APC£＞的面积为8疗，求三棱锥尸-N8C的体积.

33.如图，在正方体/BCD-48cA中，E,尸分别是棱BC,0c的中点.

/N

~E

(1)求证：D、E±ABX-

(2)若点M,N分别在QD，/尸上，且AW厂.求证：MNIID.E.

(3)棱C。上是否存在点尸，使平面平面么尸产？若存在，确定点尸的位置，若不存在，说明理由.

34.如图所示，正四棱锥尸-/BCD中，。为底面正方形的中心，已知侧面上4。与底面N8CD所成的二面角

的大小为60。，E是尸3的中点.

(1)请在棱与8c上各找一点W和N,使平面石〃平面P/C,作出图形并说明理由；

(2)求异面直线PD与AE所成角的正切值；

(3)问在棱4。上是否存在一点尸，使EF工侧面&C,若存在，试确定点厂的位置；若不存在，说明理由.

35.如图，已知四棱锥尸-230的底面42CD为等腰梯形，AB//DC,/C，与50相交于点

且顶点P在底面上的射影恰为。点.又B0=2,P0=C,PB1PD.

(1)求异面直线尸口与3C所成角的余弦值；

(2)求二面角P—48—C的大小；

PM

(3)设点〃在棱尸。上，且=问几为何值时，尸平面5Mo.

36.如图，在四棱锥/-8CDE中，四边形3CDE为菱形，AB=AD=3,AD=2石，AE=AC,点G是棱

AB上靠近点3的三等分点，点尸是/C的中点.

(1)证明：Z)尸〃平面CEG.

(2)点〃为线段2。上一点，设丽=/丽，若平面CEG,试确定f的值.

考点07垂直的性质定理

37.如图，四边形/BCD是边长为2的正方形，PDmABCD,PD//AQ,且PD=为尸C的中点.

(1)求证：PD1QM.

(2)设平面尸8。fl平面ABCD=/,/与直线。河所成的角为内求tan。.

38.如图，E4和。C都垂直于平面4BC,且E/=2DC,尸是血的中点

(1)证明：直线。尸〃平面/3C；

(2)若平面E48_L平面EC3,证明：直线。5_L平面区43.

39.如图，在六面体Z3CD-&耳GA中，44//CG，平面菱形/BCD证明:

(1)2,耳，口，。四点共面;

(2)BDYDDX.

40.如图，已知在三棱锥尸-N8C中，P4=PC,点分别为棱BC./C的中点，且平面P4C，平面

ABC.

⑴求证：48〃平面尸入四；

(2)求证：BC1PN.

41.如图，在三棱柱/3C-4月G中，M,N分别为棱5C,BC的中点.

(1)求证：4W〃平面4CW；

(2)若平面/5C/平面幺4稣8,AB=AC,=幺m，点E满足丽=4而，且4后，86，求实数4的值.

42.如图，四棱锥尸-/BCQ的底面为梯形，BC//AD,AD=4BC,尸/，底面/3。。，平面尸ZCL平面

PCD,点E在棱尸D上，且尸£>=4尸E.

(1)证明：CE〃平面尸43；

(2)证明：ACLCD.

考点08平行，垂直的综合应用

43.下列命题正确的是()

(1)已知平面a和直线加，"，若7"IIa,wca,则〃?〃“；

(2)已知平面£，尸和直线力,n,且加，〃为异面直线，加_La,nL(3.若直线/满足/_L加，/1w,

laa,5,则a与1相交，且交线平行于/；

(3)己知平面4和直线加，n,若加ua,nca,m\\/3,n\\/3,则a〃分；

(4)在三棱锥尸-4BC中，PA±PB,PB1PC,PC1PA,垂足都为尸，则P在底面上的射影是三角

形48c的垂心

A.(2)(4)B.(2)(3)(4)C.(3)(4)D.(1)(2)

44.(多选)在正方体Z8CD-4耳GA中，点E为棱的中点，点厂是正方形内一动点(含边

界)，则下列说法中不正确的是()

A.BQ±AC

B.存在点尸使得。///平面8。也

C.存在点尸使得。尸工平