空间向量与立体几何（八大题型+方法归纳+模拟训练）原卷版-2025年新高考数学一轮复习

空间向量与立体几何

（八大题型+方法归纳+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01空间向量的线性运算

♦题型02空间向量的数量积

♦题型03空间向量的基本定理

♦题型04空间向量的坐标表示

♦题型05利用空间向量判断位置关系

♦题型06利用空间向量求角度

♦题型07利用空间向量求距离

♦题型08空间向量与立体几何解答题

♦题型01空间向量的线性运算

1.（2024高三・全国•专题练习）如图，在空间四边形N3CD中，E,尸分别是3C,CD的中点，则

-'BC+-'BD+JA=（）

22

C

A.BAB.AFC.ABD.EF

2.（23-24高二下•江苏常州•期中）如图，在正三棱柱ZBC-44G中，AB=AAX=\,尸为与。的中点，则

ACXBP=()

531

A.—B.1C.—D.—

422

3.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）下列命题正确的是（）

A.若4瓦。,。是空间任意四点，则有益+而+前+次=6

B.若表示向量，石的有向线段所在的直线为异面直线，则向量,石一定不共面

c.若扇B共线，则表示向量@与B的有向线段所在直线平行

D.对空间任意一点。与不共线的三点A、B、C,若赤=+y砺+z3（其中x、八zeR）,

则尸、A、B、C四点共面

4.（23-24高一下•安徽合肥・期末）如图，三棱柱4G中，E尸分别为4G中点，过4旦尸作三

棱柱的截面交8£于〃，且丽'=2祐，则彳的值为（）

D.1

♦题型02空间向量的数量积

5.（23-24高二下•湖北•期末）空间向量。=（1,（M）在b=（O,U）上的投影向量为（）

A.1^4B.C.D.

6.（23-24高二下•福建龙岩•期中）如图，在斜三棱柱/BC-44G中，AC=BC=CCi=4,

ZBCCt=ZACQ=j,NACE.,则砥甲+而）=（）

A.48B.32C.32+80D.32-8c

7.（23-24高二下•福建漳州•期末）正方体NBC。-44GA的棱长为1,ACV是正方体外接球的直径，P为

正方体表面上的动点，则两.丽的取值范围是（）

11rii「31「3一

A.--50B.0,-C.-,1D.1,-

ZJ[_/」[_4」

8.（2024•河南新乡•二模）已知圆锥V。的底面半径为G，高为1,其中。为底面圆心，是底面圆的一

条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则刀.丽的最小值为（）

93

A.—B.—C.—2D.—1

42

♦题型03空间向量的基本定理

____►]—►►1—►—►3—*

9.（24-25高二上•上海•课后作业）如图，在四面体。18C中，BM=-BC,MN=—NO,4P=—AN,若

224

OQ=WB,且尸。II平面/5C,则实数几=（）

10.（22・23高二上•江西南昌•期末）已知点。在确定的平面内，。是平面/3C外任意一点，实数

满足方5=xE+2y砺-3工，则7+丁的最小值为（）

4B.平

A.-C.1D.2

5

11.（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）以等腰直角三角形斜边3c上高/。为折痕，把和ANC。折

成120。的二面角.若/3=2,DP=xDA+yDB+（1-x-y）DC,则口斗最小值为（）

AV2RV6rVionV6

2356

♦题型04空间向量的坐标表示

12.（2023•河南•模拟预测）已知空间向量Z=（l,2,0）3=（0,T,l）,"=（2,3,M，若以共面，则实数%=

（）

A.1B.2C.3D.4

13.（23-24高二下•福建莆田•期末）在三棱锥尸-N8C中，PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=2.

若M为该三棱锥外接球上的一点，则砺.荻的最大值为（）

A.2B.4C.2+26D.4+2百

14.（23-24高二下•福建•期中）在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，若点尸是棱上一点（含顶点），则

满足万•画=-1的点尸的个数为（）

A.8B.12C.18D.24

♦题型05利用空间向量判断位置关系

15.（23-24高二下•甘肃•期中）已知平面。外的直线/的方向向量为3=（1,0,2）,平面a的一个法向量为

3=（6,1,-3）,则（）

A./与a斜交B.IlaC.IllaD.vIIn

16.（23-24高三下•湖南衡阳•阶段练习）空间四边形/BCD中瓦£G,〃分别为的点（不含

端点）.四边形EFGH为平面四边形且其法向量为k下列论述错误项为（）

A.丽・力=0,则龙）〃平面EFG

B.EF=HG，则/C〃平面EFG

C.EFHG=0jEF//HG）则四边形EMS"为矩形.

D.BDAC=O,EF=HG,则四边形EFG〃为矩形.

17.（23-24高二下・江苏扬州•阶段练习）正方体/BCD-44G。的棱长为1,动点河在线段CG上，动点尸

在平面44。。上，且4尸二平面八四口，线段2尸长度的取值范围是（）

18.（2024•宁夏吴忠・模拟预测）在正方体/BCD-44GA中，点P为线段3。上的动点，直线机为平面4分

与平面瓦。尸的交线，现有如下说法

①不存在点P,使得BB.II平面A}DP

②存在点P,使得用平面ZQP

③当点尸不是8口的中点时，都有加〃平面/4CD

④当点P不是8。的中点时，都有比，平面/BQ

其中正确的说法有（）

A.①③B.③④C.②③D.①④

♦题型06利用空间向量求角度

JT

19.（23-24高二下•福建厦门・期末）在四面体Z5CQ中，BClBDfAABC=AABD=-,BA=BD=2,

BC=3,则4。与BC所成角的余弦值为（）

A・-2B-T

20.（2024•陕西•模拟预测）在平行六面体NBC。-中，己知42=/。=441=1，

RAAB=NAiAD=NBAD=60。,则下列选项中错误的一项是（）

A.直线4c与8。所成的角为90。

B.线段4c的长度为④

C.直线4c与84所成的角为90。

D.直线4c与平面/3CD所成角的正弦值为四

3

21.（23-24高二下•江苏徐州•期中）如图，四边形/3。。,/5=3。=。4=4,8。=。。=2后，现将△43。

TTTT

沿班折起，当二面角/-8O-C的大小在时，直线45和CD所成角为a,则cosa的最大值为（

2V2-V6口近「272+V6口V6

AA.------------D.U.--------------L）.

168168

♦题型07利用空间向量求距离

22.（23-24高一下•黑龙江齐齐哈尔•期末）平行六面体/BCD-44GA中，

AAt=AD=AB=1,AAXAD=N&AB=ABAD=60。，点M为片口的中点，则点。到直线MC的距离为

23.（23-24高二下•安徽•期末）在棱长为2的正方体力BCD-4AGA中，E,尸分别为正方形/8C。和正方

形CDD£的中心，则点A到平面4EF的距离为.

24.（23-24高二下•江苏淮安•阶段练习）将边长为2的正方形/BCD沿对角线NC折叠使得垂直于底

面N2C,则异面直线/。与的距离为.

25.（24-25高二上・上海・单元测试）如图，在直三棱柱/8C-4AG中，^ABC=9Q°,BC=2,CC1=4,

点。为cq的中点，则5Q与平面NAD的位置是.

26.（19-20高二•全国•课后作业）正方体/BCD-//氏G。/的棱长为4,M,N,E,尸分别为小。/,AB，

CQ”8/G的中点，则平面/九W与平面EE8O的距离为.

♦题型08空间向量与立体几何解答题

27.（24-25高三上•湖南•开学考试）如图，在直三棱柱/BC-44G中，。是侧棱CG的中点,

ZACB=nO°,AAl=^AC=43BC.

（1）证明：平面工瓦G，平面49；

（2）求锐二面角B-A,D-用的余弦值.

28.（23-24高二下•上海•期末）如图，在四棱锥尸-48C。中，底面/BCD为正方形，阳，底面48CD,M

为线段尸。的中点，尸。=4D=1,N为线段3c上的动点.

p

M

AB

(1)证明：MDLPN；

(2)当N为线段8c的中点时，求点A到面跖V。的距离.

29.(2024•重庆•模拟预测)如图，在四棱锥中，£。，平面加。。,42〃。。44。为等边三角形,

0c=2/8=2,C8=CE,点尸为棱BE上的动点.

(1)证明：DC,平面BCE；

(2)当二面角尸-/C-8的大小为45。时，求线段CF的长度.

30.(2024・吉林•模拟预测)如图所示，半圆柱。4与四棱锥/-BCDE拼接而成的组合体中，尸是半圆弧3C

上(不含瓦C)的动点，人?为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，

OB=2OOl=2,AB=AC=242.

(1)求证：CGLBF；

(2)若DF11平面ABE,求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值;

(3)求点G到直线OD距离的最大值.

02模拟精练

一、单选题

1.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知直三棱柱4G中，443c=120。，AB=CQ=2,BC=\,则异

面直线皿与8G所成角的余弦值为（）

'上RV15rViong

2543

2.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）设》,yeR,a=（1,1?1）,6=（l,y,z）9c=（x,-4,2）,且〃如贝中1+可=

（）

A.2A/2B.0C.3D.3亚

3.（2024•山西三模）正方体/3C。-451GA的棱长为2,瓦尸分别为/4净片的中点，O为底面/BCD的

中心，则三棱锥。-斯C的体积是（）

A.匣B.-C.-D.2

6642

4.（2024•青海•模拟预测）如图，在三棱锥P/BC中，NAPB=9Q°,ZCPA=ZCPB=60°,

PA=PB=PC=2,氤D,E,尸满足历=丽，诙=2被，AF=FC，则直线CE与。下所成的角为（）

C.60°D.90°

5.（2024•山东日照•二模）已知棱长为1的正方体/BCD-44G2，以正方体中心为球心的球。与正方体

的各条棱相切，若点尸在球。的正方体外部（含正方体表面）运动，则万・丽的最大值为（）

731

A.2B.-C.-D.

444

TT

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知菱形/BCD,ZDAB=~,将AD4c沿对角线/C折起，使以4瓦。,。

四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线N3与。所成角的余弦值为（）

7.（2024•河南•三模）在四面体/BCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，。是△BCD内一点，四面体

/BCD的体积为26，则对Vx,”R,07。8-必。|的最小值是（）

?/7

A.2屈B.—C.V6D.6

3

8.（2024・辽宁•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体/BCD-中，已知N,P分别是棱

G2,AAltBC的中点，。为平面PMN上的动点，且直线。片与直线。片的夹角为30。，则点。的轨迹长度

二、多选题

9.（2024•河北承德・二模）如图，在正四棱柱N5CO-44GA中，=2/8=2,£是棱的中点，P为

线段39上的点（异于端点），且ED=PD,则下列说法正确的是（）

A.而1是平面EDC的一个法向量

—►3——►

B.BP=-BD,

41

C.点P到平面ECR的距离为亚

18

D.二面角尸—EC—。的正弦值为迪1

14

10.（2024•山东滨州•二模）图，在边长为4的正方形/EFC中，B为所的中点，H为3c的中点.若分别

沿4B,3c把这个正方形折成一个四面体，使£、尸两点重合，重合后的点记为尸，则在四面体尸-23C

中，下列结论正确的是（）

A.PBVAC

B.H到直线P4的距离为逐

C.三棱锥P-N8C外接球的半径为运

3

D.直线P4与8c所成角的余弦值为平

11.（2024•江西宜春•三模）如图，正方体/BCD-4耳。9的棱长为2,设P是棱CG的中点，。是线段G尸

上的动点（含端点），M是正方形SCG片内（含边界）的动点，且/平面D/P,则下列结论正确的是

A.存在满足条件的点M,使4"，

B.当点。在线段G尸上移动时，必存在点使

C.三棱锥C.-A.PM的体积存在最大值和最小值

D.直线AM与平面BCQBi所成角的余弦值的取值范围是4，；］

三、填空题

12.（2024•山东济南•一模）在三棱柱48C-431G中，AM^2MB>AlN=mAxCl,且3N//平面4c”,

则m的值为.

13.（2024•河南•一模）三棱锥P-/8C中，PB=2,ZPAB=ZABC=30°,PB工AB,AC±AB,点M,N

分别在线段"，8c上运动.若二面角P——C的大小为60。，则的最小值为.

14.（2024•山东青岛•一模）已知球。的表面积为12兀，正四面体/BCD的顶点8,C,。均在球。的表面

上，球心。为△3。的外心，棱与球面交于点P.若Ze平面平面4,Ce平面里,Oe平面

%，/〃4+1（，=1，2,3）且％与%+］品=1,2,3）之间的距离为同一定值，棱NC,4D分别与%交于点0,