江西省南昌市2024-2025学年高三年级上册开学摸底测试数学试题（解析版）

2025届高三摸底测试

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的.

1.已知1幅加-1啕"=1,则()

A.mn=2B.m-n=2

C.2m=nD.m=2n

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数运算求得正确答案.

【详解】依题意，logm-log«=log—=1,所以一=2,加=2〃.

999nn

故选：D

2.已知椭圆E：!+(=l的右焦点为r，则E上满足|「石=百的P点有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】求出点尸的坐标，由|尸耳=追求出尸点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可.

【详解】椭圆£：；+[=1的右焦点为尸(1,0),设尸(xj),由|「制=6，得(x—1)2+/=3,

\X-1)2+/=3

由《322消去了得，炉―8x+4=0，而—2WxW2,解得x=4—26，

Z(xT)+v=3

当x=4-26时，对应的y值有2个，所以E上满足|「石=道的9点有2个.

故选：B

3.(2-*)5展开式中/项的系数是()

A.-40B.40C.-80D.80

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【答案】A

【解析】

【分析】利用二项式展开式的通项求解即可.

【详解】（2—*）5的通项是刀+1=C；25-r（-x）r=（-l）r25-C",

令厂=3,则展开式中/项的系数为-40.

故选：A.

4.已知集合/=｛（x,y）ly=x2-l｝,S=｛（x,y）|x=my+l,meRj,Ar^£=C,若C为单元素集合时，

则（）

A.m=—B.m=2

2

C.掰=0或加=—D.机=0或加=2

2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；

【详解】因为集合/=｛（x,y）|J=X2-1｝,S=｛（X,J）|x=my+l,m&R],A^B=C,若C为单元素集

合，

y=x2—1

则方程组只有唯一解，

x=my+1

所以y=（加y+l）2—i,整理可得加2y2+（2加一1））=0,

当加=0时，方程变为-y=0Dy=0,止匕时x=l,符合题意；

当加w0时，D=（2m-1）--4m2'0=0D阳=g,

所以用=0或加=,，

2

故选：C.

5.算术基本定理也称素因数分解定理，它是这样描述的：任何一个大于1的自然数N,可以唯一分解成有

限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一的.记

N=•慰,……或（其中R是素数，01＜02＜一＜加。壮曰，1＜，＜%,％是正整数），这样的分解

称为自然数N的标准素数分解式，则60的标准素数分解式是（）

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A.2x5x6B.22X15C.2X3X10D.22X3X5

【答案】D

【解析】

【分析】由算术基本定理直接分解即可.

【详解】60=4X15=22X3X5

故选:D

6.已知正四棱锥所有的棱长均为2,该正四棱锥的内接正四棱柱的下底面在正四棱锥的底面上，且上底面

的四个顶点分别在正四棱锥的四条侧棱上，则该正四棱柱体积的最大值为()

A472R16V2n8V3

27272727

【答案】B

【解析】

【分析】设正四棱柱的底面边长为x(0<x<2),高为〃，由相似可得力=血-注x，代入正四棱柱的体

2

积公式得厂=f.%=缶2,利用导数求出最大值即可.

2

【详解】设正四棱柱的底面边长为x(0<x<2),高为“，

则正四棱柱的底面正方形对角线长为岳，

正四棱锥所有的棱长均为2,则正四棱锥底面对角线的一半为行,

则正四棱锥的高为可=也,

行—也x

则由相似得72J,

V2-V2

解得/z=V2--^-x，

2

所以正四棱柱的体积「=/./2=》2(、6—学外=后》2—学》3,

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/=2岳—竽X2=V2x(2-Ix)，

当xe(o,g)时，r>0,

4

当xe(§,2)时，r<0,

44

」.忆在(0,1)上单调递增，在(§,2)上单调递减,

416^/2

...当x=一时，F

3n27

7.如图所示，将函数f(x)=3sinox(ty>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(&x—0)(0<(p<兀)的图象,

其中尸和4分别是/(x)图象上相邻的最高点和最低点，点民/分别是f(x),g(>)图象的一个对称中心，若

一c.(兀5兀)

C.3sin-x----

166)

【答案】D

【解析】

【分析】根据平移关系可得以用=",进而根据面积公式可得MH=g=5,利用勾股定理以及周期关系

CD(D

即可求解7=女=16,进而可求解.

CO

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【详解】将函数/(X)=3sinox(。〉0)的图象向右平移？个单位得g(x)=3sin(ox-。)(0<。<兀)的图

CO

象，

由于民4分别是/(x),g(x)图象的一个对称中心,结合图象可知：以同=纥

CD

S“pp=3,同><3x2=15,故|/4=乡=5,

12(D

由于AP_LAPX,所以BP】—BP—AB-5,

进而可得工7=JAP?—32=4,故7=幺=16,解得。=百，<^=5®=—,

4co88

故选：D

8.已知平面向量或B,己满足同=1方石=1方1=-2,r5=0,则归+W的最小值为()

A.1B.72C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】在平面直角坐标系xQy中，设2=(1,0),b=(xl,yl),1=(/,%)，根据平面向量数量积的坐

标运算可得出为，%的值，以及必必的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得R+W的最

小值.

【详解】在平面直角坐标系X0V中，设2=(1,0),办=(占,％),c=(x2,y2),

因为=a-c=x2=-2,b-c=x1x2+y{y2=y1y2-2=0,

所以卜+W=J(1一2>+。1+%)2=J+(%+%f=-\^+Jl2+J22+^1^2-1+4。必=3'

当且仅当必=%=±行时，等号成立，

因此，归+T的最小值为3.

故选：D.

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知虚数4/2是方程z3-8二=0的两个不同的根，则下列说法正确的有()

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A,z；+2Z]+4=0B.z；=z2

C.Z]22=4D.|zj=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，利用立方差公式得到Z”Z2为z2+2z+4=0的两个根，故A正确；B选项，计算出

z2+2z+4=0的两个根，计算出B错误；C选项，由韦达定理得到C正确；D选项，利用模长计算出D

正确.

【详解】A选项，Z3-8=(Z-2)(Z2+2Z+4),

令Z2+2Z+4=0，其中A=4—16=—12<0,

由于4,Z2为虚数，故z「Z2为z2+2z+4=0的两个根，

则z：+24+4=0,A正确；

B选项，z2+2z+4=0的两根为一2'——1土百i，

2

若Z]=-1+Gi,z2=-I-A/3i,

则2；=(-1+A/3i)=1—2y/3i+3i2=—2—2yf3iwz2，B错误；

C选项，由韦达定理得2逐2=4,C正确；

D选项，由B选项，4=—1+Gi或—1—百i,均有团="b=2,D正确；

故选：ACD

10.四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望、第二片叶子表示信心、第三片叶子表示爱情

、第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线r的方程为(必+/y=4a2x2y\a>0),则

下列关于曲线「的描述正确的有()

A.其图象是中心对称图形

B.其图象只有2条对称轴

C.其图象绕坐标原点旋转90°可以重合

D.其图象上任意两点的距离的最大值为4a

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【答案】AC

【解析】

【分析】根据曲线「的方程，结合点关于原点、y=x、y=-x的对称点，及旋转90。后的点的坐标逐一

分析即可判断A,B,C,曲线r上任意两点的距离的最大值即为曲线「的外接圆的直径，结合基本不等式可

得即曲线「在圆/+/=4/的内部，即可判断D.

【详解】在方程■2+/）3=4///伍>0）中，以一X替换X,以T替换了,方程不变，

所以其图象是中心对称图形，故A正确；

在方程（必+/7=4a2x2y2（a〉o）中，以x替换了，以了替换x,方程不变，

所以其图象关于直线V=x对称，

同理，以-V替换x,以-x替换了，方程不变，所以其图象关于直线V=-x对称，

所以其图象有4条对称轴，故B错误；

在方程■2+/）3=4///伍〉0）中，以一替换x,以x替换了,方程不变，

设尸（x,y）为曲线「上任意一点，

则点P绕坐标原点旋转90。得到的点为。（-y,X）或Q'（y,-x）,

将点0或0'的坐标代入曲线「的方程，方程不变，

所以图象绕坐标原点旋转90°可以重合，故C正确；

曲线r上任意两点的距离的最大值即为曲线r的外接圆的直径，

■,.（x2+j；2）3=4«2xy<«2（x2+y2）2,

x2+v2<a2,

所以曲线「在圆/+/=4/的内部，

所以曲线「上任意两点的距离的最大值小于4a,故D错误.

故选：AC.

11.PO是正四棱锥P-45。。的高，E是线段PO上一点（不含端点），过点£任作一个平面a,平面a

与该四棱锥表面交线所围成的封闭图形记为。，下列4个命题中，正确的是（）

A.。可以是三、四、五边形

B.当尸/〃平面戊时，存在一点E,使得。是正五边形

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C.当尸/与平面&相交时，平面a与平面尸40和平面尸48的交线分别为加，〃，则叫〃，尸/三条直线相交

于一点

D.-PA//平面a”是“平面PAC±平面a”的充分不必要条件

【答案】AC

【解析】

【分析】分类可得截面图形判断A；当尸N〃平面a时，可得截面五边形有一组边平行，可判断B；利用

线共点的方法可证结论判断C；“PA〃平面a”得不出“平面PNC,平面a”可判断D.

【详解】对于A：截面a过P。时的截面为三角形，截面。过E与平面48CD平行时为四边形，

截面a不平行于底面N8CD且不过P0时可能为五边形（如图所示），故A正确；

对于B：如图所示，当尸/〃平面a时，截面五边形为MAP”,

由24//截面a,根据线面平行的性质易得PAUMN,PAI/QH,驰MNI/QH,

又正五边形不存在平行的边，故不存在这样的正五边形，故B错误；

对于C：设平面a与平面尸40的交线为。笈，与PAB的交线为MN,

当PN与平面a相交时，可得上W与”不平行，

反证法：若MN//QH,因为。夕＜2平面PZ8,〃乂＜=平面尸28,

所以08//平面048,”＜=平面尸40,平面。4Oc平面P48=P4，

所以24//”，又因为Q/fua,PAEa,所以PZ//a,

这与PZ与平面。相交时矛盾，故假设不成立，故〃乂与"不平行，

所以“乂与相交，没MNCQH=K,则Ke平面P48,Ke平面尸40，

又平面P48C平面尸40=02,所以KfPA,

所以24,上交于一点，即见〃，尸Z三条直线相交于一点，故C正确；

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对于D：因为四边形N8CD是正方形，所以又POJ_平面N8CD,

ADu平面45C。，所以尸OLBD,

因为尸0nze=0,尸0,ZCu平面PNC,所以/平面R4C,

由B可知当尸/〃平面g时，MNI/QH,而"丫=丝不:一定成立，

PAPA

所以有可能不平行于AD,则不一定垂直于平面R4C,得不出平面PNC,平面a,

从而“尸/〃平面不是“平面平面a”的充分条件，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：掌握空间中线线，线面，面面的位置关系是解决本题的关键，根据直线尸”与平面a

的位置关系判断截面图形是否能为正五边形是本题的难点.

三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分.

12.已知奇函数y=/(x)的定义域为(2a,l-a),则实数a=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得。的值.

【详解】由于/(x)是奇函数，所以2a+(l—a)=a+l=0,a=-1.

故答案为：-1

13.庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制(无平

局).若甲队在每局比赛中获胜的概率均为2,且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛

3

进行了三局的概率为.

2

【答案】y##0.4

【解析】

【分析】利用条件概率求解即可

【详解】设事件“甲获得冠军”为事件A,比赛进行了三局为事件

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e八/2212221220八/1222128

则尸(Z)=-x—+_x_x_+_x_x—=—,P(AB)=—x—x—+—x—x—=——

「3333333327,733333327

8

(1)-尸⑷一20一5，

27

故答案为：一.

5

14.已知函数/(x)=(2-a)liw-2a(x-2)——,若存在x〉0,使得/(x)》/,则实数。的取值范围

X

是

【答案】(-叫2]

【解析】

【分析】先由条件判断需求/(x)在(0,+8)上的最大值，利用导数研究函数/(x),根据参数。分类讨论,

当。>0时，/(x)有最大值/(1)=(a—2)lna+3a—2,故要解不等式(a—2)lna+3a—2之/,分解因

a

式成(a—2)[lna—(a—1)]之0,设g(a)=Ina—(a—1),利用导数证明g(a)<0在(0,+⑹上恒成立即得参

数。的范围.

【详解】因存在x〉0,使得/(X”/,即需求函数/(x)在(0,+8)上的最大值.

由/(x)=(2-a)lnx-2a(x-2)——求导得，

X

,/\2-«.12ax2+(a-2)x-l(2x+l)(tzx-1)

J⑺=2a+==------------2=----------2'

xxxx

因x〉0,若a<0,则f&)>0在(0,+℃)上恒成立，

即函数/(x)在(0,+⑹上是增函数，故此时/(x)无最大值，且x.+s时，/(x)f+8,符合题意;

若a>0,由/'(x)=0解得x=L则当0<x<，时，f'(x)>0,当x>工时，f'(x)<0,

aaa

即函数/(x)在(0」)上递增，在(L+功上递减，

aa

则函数/(力在%=工时取得最大值，即/(初皿=/(-)=(«-2)lna+3a-2,

aa

依题意，需使(a—2)lna+3a—整理得，伍―2)[lna—(a—l)]N0(*).

11—a

令g(a)=Ina-(。一1),。〉0,则g'(a)=——1=-----则当0<a<1时，g'(a)>0,当a>1时,g'(a)<0,

aa

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即函数g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+s)上单调递减，故。=1时，即。)取最大值g(l)=0,

即g(a)=Ina-(a-1)V0在(0,+oo)上恒成立，

由(*)可得a—2〈0,即a«2,所以0<a«2；

综上可得，实数。的取值范围是(-8,2].

故答案为：(一叫2].

四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

15.如图，圆锥PO的轴截面尸48是边长为4的等边三角形，。是08的中点，。是底面圆周上一点,

(1)求。C的值；

(2)求异面直线P4与。C所成角的余弦值.

【答案】(1)J7

⑵立

7

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理，即可求解；

(2)以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.

【小问1详解】

△OCD中，OD=2,OC=1,ZDOC=—,

3

根据余弦定理，DC=^OD2+OC2-2ODOCcos^=V7.

【小问2详解】

如图，以点。为原点，。5,。U为了轴和2轴，过点。作Ox_L05为x轴，建立空间直角坐标系,

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P(0,0,273),/(O,—2,0),C(O,1,O),£>(V3,-1,O),

PA=(0,-2,-2V3),DC=(-73,2,0),

设异面直线PA与DC所成角为。，

।__..PADC

则cos0=cosPA,DC\=f

11R4DC

所以异面直线PA与DC所成角的余弦值为—.

7

16.某校举行知识竞赛，每个班各派5名同学参赛，若某班5名同学失分（均为整数）都不超过5分，则

该班级为“优秀班级”.

（1）若/班5名同学失分分别为1,1,3,3,4,从这5个失分中随机抽两个分数记这两个分数差的绝对值为

随机变量X，求随机变量X的分布列和期望.

（2）若2班中5名同学失分的平均数为2,方差为2,问2班是否为优秀班级？说明理由.

Q

【答案】（1）分布列见解析，期望为W

（2）8班为优秀班级，理由见解析

【解析】

【分析】（1）求出X的可能取值及对应的概率，得到分布列，计算出数学期望；

（2）计算出5名同学的总失分，假设有1名同学失分为6分，由于（6—2）＞2,从而推出矛盾，故假设

5

不成立，得到结论.

【小问1详解】

X的可能取值为0』,2,3,

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r11

当选到两个分数为1,1或3,3时，X=0,故尸（万=0）=不|=三,

dCl1

当选到两个分数为3,4时，x=l,故尸（X=l）=M=^，

2

当选到两个分数为1,3时，X=2,故P（X=2）=—

dCl1

当选到两个分数为1,4时，X=3,故尸（万=2）=宙=三，

故分布列为

X0123

]_2]_

P

5555

11212

数学期望为EX=Ox—+lx—+2x—+3x—=?

55555

【小问2详解】

8班中5名同学的总失分为2x5=10,

假设有1名同学失分为6分，由于（6—2）〉2,故不满足要求，

5

故假设不成立，即5名同学均失分不超过5分，故2班为优秀班级.

17.已知函数/（x）=aeZ.

（1）当。=1时，曲线y=/（x）上尸点处的切线过坐标原点，求该切线方程和点P的坐标；

（2）若/（x"Ji（x+2）恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）y=Cex；P（巧,e）

（2）ae[e2^T,+oo）

【解析】

【分析】（1）设切点，函数求导得切线斜率，由切线方程经过原点求出参数的值，即可得到切线方程和切

点坐标；

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(2)将不等式恒等变形后，利用同构思想，将60(*+2)设为/,从而将不等式化成嚓2?恒成立，即需

求函数g(7)=邛的最大值.通过求导，判断单调性即可求得g«)的最大值，则得参数。的范围.

【小问1详解】

设点尸(加,〃)，则e以=〃，由/(x)=e缶求导得，/'(x)=J^e缶，

故该曲线在点P(m,e®')处的切线方程为：j-e""=6e&(x-tn)，

依题意切线过原点，则有，一卢'一国战”,解得，加=学，

故切线方程为：y=yflex，切点为尸(究-,e)；

【小问2详解】

V2(x+2)1V^(x+2)

由/(x)2亚(x+2)可得，ae^>V2(x+2),即热Nlne^m),即得之之也向仲,

eee

设/=/(，+2),贝卜>0,依题，因白2里」恒成立.

e1

令g«)=乎，则g")=1：'，当0</<e时，g'(/)〉0,当，〉e时，g\t)<0,

即函数g(7)=乎在(0,e)上单调递增；在(e,+8)递减，

故函数g«)=则在f=e时取得极大值也是最大值为g(e)=-,

te

则由低之平恒成立可得5r2：，解得a之e?0T,即ae[e^^+oo).

22

18.已知双曲线E:=-4=1(。〉0)>0)的焦距为4,过右焦点厂且垂直x轴的直线交曲线E的右支于

ab

B,D两点(B在x轴上方)，BD=272-过右焦点厂的动直线交E的左支于点A,交£的右支于点C,

直线48和CD的交点为M.

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（1）求双曲线E的标准方程；

（2）证明点M在定直线上，并求出该定直线的方程.

22

【答案】（1）土—工=1

22

（2）证明见解析；x=1

【解析】

【分析】（1）由焦距与通径长转化为的方程组求解可得；

（2）设动直线方程>=左（》-2）,与双曲线方程联立，利用韦达定理得根看,声与系数上的关系，再用

X1,乙,%,%求解直线48,。。的方程，联立解M的坐标，代入韦达定理表达式证明M横坐标为常数即可.

【小问1详解】

由双曲线焦距为4可得，c=2,即片+/=4①.

故右焦点为尸（2,0）,由£：二—与=1伍〉0,6〉0）,

ab

Z-2Q

令x=。，得y=±——，贝!J忸。|=---=2A/2②，

aa

联立①②解得，a=b=桓.

故双曲线E的标准方程为工-£=1；

22

【小问2详解】

由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在，

可设方程为>=左（》-2）,

联立1,消〉得（1—左2）—+4左2]—2（2左2+1）=0,

（x2）

则由题意，左2W1且A=（4左2丫+80—左2）（2左2+1）=8（1+左2）〉0,

设/（再,％）,。。2，%）,

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4k2

X,+X.=------------7

12l-k2

由韦达定理知，＜

-2（2F+1）

X,X,=-----5~-

121-k2

由直线与左、右两支都相交，则再马＜0,得左2＜1.

又5（2,何,£»（2,—收），

直线AB的方程为y-41="（x-2）③，

X12

直线CD的方程为y+41=%7（x-2）④，

%2-2

④一③得，2亚=（x-2）卜2+®_弘一亚,

、/_2玉_2,

由「2+行_y「也_k（x22）+后_-（X]2）一行_61+1

%2-2再_2%2_2X]—2—2玉一2,

=V2.石+7-4=&-------占产-4—

（马—2）（玉_2）_2（再+%）+4

4k2

-4

2

=V2•1-k

-2（2^2+l）(4k②'

-2+4

1—公1-吃

_W.4-

1-k21-k2

故2行=—2亚（x—2）,解得x=l,

当左e(-1,1)时，不论左取何值，点M横坐标为常数1,

即直线AB和CD的交点为M在定直线x=1上.

【点睛】关键点点睛：运算化简是解决题目关键环节，以下两方面的化简要注意：一是应用直线方程

九二^=行[‘？+’?]的变形；二是

%=左(%—2),%=k(x「2)化简消去必,y2如：

x?-2Xi—2-2Xj-2J

转化变形式子，应用韦达定理化简点M的坐标，如

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11%+—4X]+—4

x?—2X]—2（工2—2）（再一2）再入2—2（再+9）+4

19.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S0=2-击.

（1）求％;

（2）设数列也｝的前〃项和为纥,4=%,且当“22时，”=%或一。“，纥的所有可能的值按从小到大排

列组成新的数列｛4｝.

（i）当〃=3时，求｛4｝的所有项；

（ii）对于任意给定的正整数〃，求｛cj的所有项的和.

【答案】（1）%=/■

1357

（2）（i）Cj=—；c=—；c=—；c=—；（ii）F=2"T

4243444

【解析】

【分析】（1）降次作差再验