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文档简介
2025届高三摸底测试
数学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求的.
1.已知1幅加-1啕"=1,则()
A.mn=2B.m-n=2
C.2m=nD.m=2n
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意,logm-log«=log—=1,所以一=2,加=2〃.
999nn
故选:D
2.已知椭圆E:!+(=l的右焦点为r,则E上满足|「石=百的P点有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】求出点尸的坐标,由|尸耳=追求出尸点的轨迹方程,与椭圆方程联立求解判断即可.
【详解】椭圆£:;+[=1的右焦点为尸(1,0),设尸(xj),由|「制=6,得(x—1)2+/=3,
\X-1)2+/=3
由《322消去了得,炉―8x+4=0,而—2WxW2,解得x=4—26,
Z(xT)+v=3
当x=4-26时,对应的y值有2个,所以E上满足|「石=道的9点有2个.
故选:B
3.(2-*)5展开式中/项的系数是()
A.-40B.40C.-80D.80
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【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项求解即可.
【详解】(2—*)5的通项是刀+1=C;25-r(-x)r=(-l)r25-C",
令厂=3,则展开式中/项的系数为-40.
故选:A.
4.已知集合/={(x,y)ly=x2-l},S={(x,y)|x=my+l,meRj,Ar^£=C,若C为单元素集合时,
则()
A.m=—B.m=2
2
C.掰=0或加=—D.机=0或加=2
2
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解,再结合方程的性质以及判别式求解即可;
【详解】因为集合/={(x,y)|J=X2-1},S={(X,J)|x=my+l,m&R],A^B=C,若C为单元素集
合,
y=x2—1
则方程组只有唯一解,
x=my+1
所以y=(加y+l)2—i,整理可得加2y2+(2加一1))=0,
当加=0时,方程变为-y=0Dy=0,止匕时x=l,符合题意;
当加w0时,D=(2m-1)--4m2'0=0D阳=g,
所以用=0或加=,,
2
故选:C.
5.算术基本定理也称素因数分解定理,它是这样描述的:任何一个大于1的自然数N,可以唯一分解成有
限个素数的乘积,如果不考虑这些素数在乘积中的顺序,那么这个乘积形式是唯一的.记
N=•慰,……或(其中R是素数,01<02<一<加。壮曰,1<,<%,%是正整数),这样的分解
称为自然数N的标准素数分解式,则60的标准素数分解式是()
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A.2x5x6B.22X15C.2X3X10D.22X3X5
【答案】D
【解析】
【分析】由算术基本定理直接分解即可.
【详解】60=4X15=22X3X5
故选:D
6.已知正四棱锥所有的棱长均为2,该正四棱锥的内接正四棱柱的下底面在正四棱锥的底面上,且上底面
的四个顶点分别在正四棱锥的四条侧棱上,则该正四棱柱体积的最大值为()
A472R16V2n8V3
27272727
【答案】B
【解析】
【分析】设正四棱柱的底面边长为x(0<x<2),高为〃,由相似可得力=血-注x,代入正四棱柱的体
2
积公式得厂=f.%=缶2,利用导数求出最大值即可.
2
【详解】设正四棱柱的底面边长为x(0<x<2),高为“,
则正四棱柱的底面正方形对角线长为岳,
正四棱锥所有的棱长均为2,则正四棱锥底面对角线的一半为行,
则正四棱锥的高为可=也,
行—也x
则由相似得72J,
V2-V2
解得/z=V2--^-x,
2
所以正四棱柱的体积「=/./2=》2(、6—学外=后》2—学》3,
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/=2岳—竽X2=V2x(2-Ix),
当xe(o,g)时,r>0,
4
当xe(§,2)时,r<0,
44
」.忆在(0,1)上单调递增,在(§,2)上单调递减,
416^/2
...当x=一时,F
3n27
7.如图所示,将函数f(x)=3sinox(ty>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(&x—0)(0<(p<兀)的图象,
其中尸和4分别是/(x)图象上相邻的最高点和最低点,点民/分别是f(x),g(>)图象的一个对称中心,若
一c.(兀5兀)
C.3sin-x----
166)
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移关系可得以用=",进而根据面积公式可得MH=g=5,利用勾股定理以及周期关系
CD(D
即可求解7=女=16,进而可求解.
CO
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【详解】将函数/(X)=3sinox(。〉0)的图象向右平移?个单位得g(x)=3sin(ox-。)(0<。<兀)的图
CO
象,
由于民4分别是/(x),g(x)图象的一个对称中心,结合图象可知:以同=纥
CD
S“pp=3,同><3x2=15,故|/4=乡=5,
12(D
由于AP_LAPX,所以BP】—BP—AB-5,
进而可得工7=JAP?—32=4,故7=幺=16,解得。=百,<^=5®=—,
4co88
故选:D
8.已知平面向量或B,己满足同=1方石=1方1=-2,r5=0,则归+W的最小值为()
A.1B.72C.2D.3
【答案】D
【解析】
【分析】在平面直角坐标系xQy中,设2=(1,0),b=(xl,yl),1=(/,%),根据平面向量数量积的坐
标运算可得出为,%的值,以及必必的值,再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得R+W的最
小值.
【详解】在平面直角坐标系X0V中,设2=(1,0),办=(占,%),c=(x2,y2),
因为=a-c=x2=-2,b-c=x1x2+y{y2=y1y2-2=0,
所以卜+W=J(1一2>+。1+%)2=J+(%+%f=-\^+Jl2+J22+^1^2-1+4。必=3'
当且仅当必=%=±行时,等号成立,
因此,归+T的最小值为3.
故选:D.
二、多项选择题:共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知虚数4/2是方程z3-8二=0的两个不同的根,则下列说法正确的有()
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A,z;+2Z]+4=0B.z;=z2
C.Z]22=4D.|zj=2
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项,利用立方差公式得到Z”Z2为z2+2z+4=0的两个根,故A正确;B选项,计算出
z2+2z+4=0的两个根,计算出B错误;C选项,由韦达定理得到C正确;D选项,利用模长计算出D
正确.
【详解】A选项,Z3-8=(Z-2)(Z2+2Z+4),
令Z2+2Z+4=0,其中A=4—16=—12<0,
由于4,Z2为虚数,故z「Z2为z2+2z+4=0的两个根,
则z:+24+4=0,A正确;
B选项,z2+2z+4=0的两根为一2'——1土百i,
2
若Z]=-1+Gi,z2=-I-A/3i,
则2;=(-1+A/3i)=1—2y/3i+3i2=—2—2yf3iwz2,B错误;
C选项,由韦达定理得2逐2=4,C正确;
D选项,由B选项,4=—1+Gi或—1—百i,均有团="b=2,D正确;
故选:ACD
10.四叶草又称“幸运草”,有一种说法是:第一片叶子代表希望、第二片叶子表示信心、第三片叶子表示爱情
、第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中,“四叶草形”曲线r的方程为(必+/y=4a2x2y\a>0),则
下列关于曲线「的描述正确的有()
A.其图象是中心对称图形
B.其图象只有2条对称轴
C.其图象绕坐标原点旋转90°可以重合
D.其图象上任意两点的距离的最大值为4a
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【答案】AC
【解析】
【分析】根据曲线「的方程,结合点关于原点、y=x、y=-x的对称点,及旋转90。后的点的坐标逐一
分析即可判断A,B,C,曲线r上任意两点的距离的最大值即为曲线「的外接圆的直径,结合基本不等式可
得即曲线「在圆/+/=4/的内部,即可判断D.
【详解】在方程■2+/)3=4///伍>0)中,以一X替换X,以T替换了,方程不变,
所以其图象是中心对称图形,故A正确;
在方程(必+/7=4a2x2y2(a〉o)中,以x替换了,以了替换x,方程不变,
所以其图象关于直线V=x对称,
同理,以-V替换x,以-x替换了,方程不变,所以其图象关于直线V=-x对称,
所以其图象有4条对称轴,故B错误;
在方程■2+/)3=4///伍〉0)中,以一替换x,以x替换了,方程不变,
设尸(x,y)为曲线「上任意一点,
则点P绕坐标原点旋转90。得到的点为。(-y,X)或Q'(y,-x),
将点0或0'的坐标代入曲线「的方程,方程不变,
所以图象绕坐标原点旋转90°可以重合,故C正确;
曲线r上任意两点的距离的最大值即为曲线r的外接圆的直径,
■,.(x2+j;2)3=4«2xy<«2(x2+y2)2,
x2+v2<a2,
所以曲线「在圆/+/=4/的内部,
所以曲线「上任意两点的距离的最大值小于4a,故D错误.
故选:AC.
11.PO是正四棱锥P-45。。的高,E是线段PO上一点(不含端点),过点£任作一个平面a,平面a
与该四棱锥表面交线所围成的封闭图形记为。,下列4个命题中,正确的是()
A.。可以是三、四、五边形
B.当尸/〃平面戊时,存在一点E,使得。是正五边形
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C.当尸/与平面&相交时,平面a与平面尸40和平面尸48的交线分别为加,〃,则叫〃,尸/三条直线相交
于一点
D.-PA//平面a”是“平面PAC±平面a”的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】分类可得截面图形判断A;当尸N〃平面a时,可得截面五边形有一组边平行,可判断B;利用
线共点的方法可证结论判断C;“PA〃平面a”得不出“平面PNC,平面a”可判断D.
【详解】对于A:截面a过P。时的截面为三角形,截面。过E与平面48CD平行时为四边形,
截面a不平行于底面N8CD且不过P0时可能为五边形(如图所示),故A正确;
对于B:如图所示,当尸/〃平面a时,截面五边形为MAP”,
由24//截面a,根据线面平行的性质易得PAUMN,PAI/QH,驰MNI/QH,
又正五边形不存在平行的边,故不存在这样的正五边形,故B错误;
对于C:设平面a与平面尸40的交线为。笈,与PAB的交线为MN,
当PN与平面a相交时,可得上W与”不平行,
反证法:若MN//QH,因为。夕<2平面PZ8,〃乂<=平面尸28,
所以08//平面048,”<=平面尸40,平面。4Oc平面P48=P4,
所以24//”,又因为Q/fua,PAEa,所以PZ//a,
这与PZ与平面。相交时矛盾,故假设不成立,故〃乂与"不平行,
所以“乂与相交,没MNCQH=K,则Ke平面P48,Ke平面尸40,
又平面P48C平面尸40=02,所以KfPA,
所以24,上交于一点,即见〃,尸Z三条直线相交于一点,故C正确;
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对于D:因为四边形N8CD是正方形,所以又POJ_平面N8CD,
ADu平面45C。,所以尸OLBD,
因为尸0nze=0,尸0,ZCu平面PNC,所以/平面R4C,
由B可知当尸/〃平面g时,MNI/QH,而"丫=丝不:一定成立,
PAPA
所以有可能不平行于AD,则不一定垂直于平面R4C,得不出平面PNC,平面a,
从而“尸/〃平面不是“平面平面a”的充分条件,故D错误.
故选:AC.
【点睛】关键点点睛:掌握空间中线线,线面,面面的位置关系是解决本题的关键,根据直线尸”与平面a
的位置关系判断截面图形是否能为正五边形是本题的难点.
三、填空题:共3个小题,每小题5分,共15分.
12.已知奇函数y=/(x)的定义域为(2a,l-a),则实数a=.
【答案】-1
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得。的值.
【详解】由于/(x)是奇函数,所以2a+(l—a)=a+l=0,a=-1.
故答案为:-1
13.庆“七一”,教育局组织党史知识竞赛,经过激烈角逐,最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制(无平
局).若甲队在每局比赛中获胜的概率均为2,且每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛
3
进行了三局的概率为.
2
【答案】y##0.4
【解析】
【分析】利用条件概率求解即可
【详解】设事件“甲获得冠军”为事件A,比赛进行了三局为事件
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e八/2212221220八/1222128
则尸(Z)=-x—+_x_x_+_x_x—=—,P(AB)=—x—x—+—x—x—=——
「3333333327,733333327
8
(1)-尸⑷一20一5,
27
故答案为:一.
5
14.已知函数/(x)=(2-a)liw-2a(x-2)——,若存在x〉0,使得/(x)》/,则实数。的取值范围
X
是
【答案】(-叫2]
【解析】
【分析】先由条件判断需求/(x)在(0,+8)上的最大值,利用导数研究函数/(x),根据参数。分类讨论,
当。>0时,/(x)有最大值/(1)=(a—2)lna+3a—2,故要解不等式(a—2)lna+3a—2之/,分解因
a
式成(a—2)[lna—(a—1)]之0,设g(a)=Ina—(a—1),利用导数证明g(a)<0在(0,+⑹上恒成立即得参
数。的范围.
【详解】因存在x〉0,使得/(X”/,即需求函数/(x)在(0,+8)上的最大值.
由/(x)=(2-a)lnx-2a(x-2)——求导得,
X
,/\2-«.12ax2+(a-2)x-l(2x+l)(tzx-1)
J⑺=2a+==------------2=----------2'
xxxx
因x〉0,若a<0,则f&)>0在(0,+℃)上恒成立,
即函数/(x)在(0,+⑹上是增函数,故此时/(x)无最大值,且x.+s时,/(x)f+8,符合题意;
若a>0,由/'(x)=0解得x=L则当0<x<,时,f'(x)>0,当x>工时,f'(x)<0,
aaa
即函数/(x)在(0」)上递增,在(L+功上递减,
aa
则函数/(力在%=工时取得最大值,即/(初皿=/(-)=(«-2)lna+3a-2,
aa
依题意,需使(a—2)lna+3a—整理得,伍―2)[lna—(a—l)]N0(*).
11—a
令g(a)=Ina-(。一1),。〉0,则g'(a)=——1=-----则当0<a<1时,g'(a)>0,当a>1时,g'(a)<0,
aa
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即函数g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+s)上单调递减,故。=1时,即。)取最大值g(l)=0,
即g(a)=Ina-(a-1)V0在(0,+oo)上恒成立,
由(*)可得a—2〈0,即a«2,所以0<a«2;
综上可得,实数。的取值范围是(-8,2].
故答案为:(一叫2].
四、解答题:共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15.如图,圆锥PO的轴截面尸48是边长为4的等边三角形,。是08的中点,。是底面圆周上一点,
(1)求。C的值;
(2)求异面直线P4与。C所成角的余弦值.
【答案】(1)J7
⑵立
7
【解析】
【分析】(1)根据余弦定理,即可求解;
(2)以点。为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线所成的角.
【小问1详解】
△OCD中,OD=2,OC=1,ZDOC=—,
3
根据余弦定理,DC=^OD2+OC2-2ODOCcos^=V7.
【小问2详解】
如图,以点。为原点,。5,。U为了轴和2轴,过点。作Ox_L05为x轴,建立空间直角坐标系,
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P(0,0,273),/(O,—2,0),C(O,1,O),£>(V3,-1,O),
PA=(0,-2,-2V3),DC=(-73,2,0),
设异面直线PA与DC所成角为。,
।__..PADC
则cos0=cosPA,DC\=f
11R4DC
所以异面直线PA与DC所成角的余弦值为—.
7
16.某校举行知识竞赛,每个班各派5名同学参赛,若某班5名同学失分(均为整数)都不超过5分,则
该班级为“优秀班级”.
(1)若/班5名同学失分分别为1,1,3,3,4,从这5个失分中随机抽两个分数记这两个分数差的绝对值为
随机变量X,求随机变量X的分布列和期望.
(2)若2班中5名同学失分的平均数为2,方差为2,问2班是否为优秀班级?说明理由.
Q
【答案】(1)分布列见解析,期望为W
(2)8班为优秀班级,理由见解析
【解析】
【分析】(1)求出X的可能取值及对应的概率,得到分布列,计算出数学期望;
(2)计算出5名同学的总失分,假设有1名同学失分为6分,由于(6—2)>2,从而推出矛盾,故假设
5
不成立,得到结论.
【小问1详解】
X的可能取值为0』,2,3,
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r11
当选到两个分数为1,1或3,3时,X=0,故尸(万=0)=不|=三,
dCl1
当选到两个分数为3,4时,x=l,故尸(X=l)=M=^,
2
当选到两个分数为1,3时,X=2,故P(X=2)=—
dCl1
当选到两个分数为1,4时,X=3,故尸(万=2)=宙=三,
故分布列为
X0123
]_2]_
P
5555
11212
数学期望为EX=Ox—+lx—+2x—+3x—=?
55555
【小问2详解】
8班中5名同学的总失分为2x5=10,
假设有1名同学失分为6分,由于(6—2)〉2,故不满足要求,
5
故假设不成立,即5名同学均失分不超过5分,故2班为优秀班级.
17.已知函数/(x)=aeZ.
(1)当。=1时,曲线y=/(x)上尸点处的切线过坐标原点,求该切线方程和点P的坐标;
(2)若/(x"Ji(x+2)恒成立,求实数。的取值范围.
【答案】(1)y=Cex;P(巧,e)
(2)ae[e2^T,+oo)
【解析】
【分析】(1)设切点,函数求导得切线斜率,由切线方程经过原点求出参数的值,即可得到切线方程和切
点坐标;
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(2)将不等式恒等变形后,利用同构思想,将60(*+2)设为/,从而将不等式化成嚓2?恒成立,即需
求函数g(7)=邛的最大值.通过求导,判断单调性即可求得g«)的最大值,则得参数。的范围.
【小问1详解】
设点尸(加,〃),则e以=〃,由/(x)=e缶求导得,/'(x)=J^e缶,
故该曲线在点P(m,e®')处的切线方程为:j-e""=6e&(x-tn),
依题意切线过原点,则有,一卢'一国战”,解得,加=学,
故切线方程为:y=yflex,切点为尸(究-,e);
【小问2详解】
V2(x+2)1V^(x+2)
由/(x)2亚(x+2)可得,ae^>V2(x+2),即热Nlne^m),即得之之也向仲,
eee
设/=/(,+2),贝卜>0,依题,因白2里」恒成立.
e1
令g«)=乎,则g")=1:',当0</<e时,g'(/)〉0,当,〉e时,g\t)<0,
即函数g(7)=乎在(0,e)上单调递增;在(e,+8)递减,
故函数g«)=则在f=e时取得极大值也是最大值为g(e)=-,
te
则由低之平恒成立可得5r2:,解得a之e?0T,即ae[e^^+oo).
22
18.已知双曲线E:=-4=1(。〉0)>0)的焦距为4,过右焦点厂且垂直x轴的直线交曲线E的右支于
ab
B,D两点(B在x轴上方),BD=272-过右焦点厂的动直线交E的左支于点A,交£的右支于点C,
直线48和CD的交点为M.
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(1)求双曲线E的标准方程;
(2)证明点M在定直线上,并求出该定直线的方程.
22
【答案】(1)土—工=1
22
(2)证明见解析;x=1
【解析】
【分析】(1)由焦距与通径长转化为的方程组求解可得;
(2)设动直线方程>=左(》-2),与双曲线方程联立,利用韦达定理得根看,声与系数上的关系,再用
X1,乙,%,%求解直线48,。。的方程,联立解M的坐标,代入韦达定理表达式证明M横坐标为常数即可.
【小问1详解】
由双曲线焦距为4可得,c=2,即片+/=4①.
故右焦点为尸(2,0),由£:二—与=1伍〉0,6〉0),
ab
Z-2Q
令x=。,得y=±——,贝!J忸。|=---=2A/2②,
aa
联立①②解得,a=b=桓.
故双曲线E的标准方程为工-£=1;
22
【小问2详解】
由题意知,过右焦点的动直线若与左、右两支都相交,故直线斜率存在,
可设方程为>=左(》-2),
联立1,消〉得(1—左2)—+4左2]—2(2左2+1)=0,
(x2)
则由题意,左2W1且A=(4左2丫+80—左2)(2左2+1)=8(1+左2)〉0,
设/(再,%),。。2,%),
第15页/共19页
4k2
X,+X.=------------7
12l-k2
由韦达定理知,<
-2(2F+1)
X,X,=-----5~-
121-k2
由直线与左、右两支都相交,则再马<0,得左2<1.
又5(2,何,£»(2,—收),
直线AB的方程为y-41="(x-2)③,
X12
直线CD的方程为y+41=%7(x-2)④,
%2-2
④一③得,2亚=(x-2)卜2+®_弘一亚,
、/_2玉_2,
由「2+行_y「也_k(x22)+后_-(X]2)一行_61+1
%2-2再_2%2_2X]—2—2玉一2,
=V2.石+7-4=&-------占产-4—
(马—2)(玉_2)_2(再+%)+4
4k2
-4
2
=V2•1-k
-2(2^2+l)(4k②'
-2+4
1—公1-吃
_W.4-
1-k21-k2
故2行=—2亚(x—2),解得x=l,
当左e(-1,1)时,不论左取何值,点M横坐标为常数1,
即直线AB和CD的交点为M在定直线x=1上.
【点睛】关键点点睛:运算化简是解决题目关键环节,以下两方面的化简要注意:一是应用直线方程
九二^=行[‘?+’?]的变形;二是
%=左(%—2),%=k(x「2)化简消去必,y2如:
x?-2Xi—2-2Xj-2J
转化变形式子,应用韦达定理化简点M的坐标,如
第16页/共19页
11%+—4X]+—4
x?—2X]—2(工2—2)(再一2)再入2—2(再+9)+4
19.已知等比数列{4}的前〃项和为S0=2-击.
(1)求%;
(2)设数列也}的前〃项和为纥,4=%,且当“22时,”=%或一。“,纥的所有可能的值按从小到大排
列组成新的数列{4}.
(i)当〃=3时,求{4}的所有项;
(ii)对于任意给定的正整数〃,求{cj的所有项的和.
【答案】(1)%=/■
1357
(2)(i)Cj=—;c=—;c=—;c=—;(ii)F=2"T
4243444
【解析】
【分析】(1)降次作差再验
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