函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学复习专练（原卷版）

热点2-2函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和预计2025年高考仍将重点考查函数的单调性、奇

填空题为主，偶尔也会在解答题中渗透考查，分值偶性、周期性与对称性，尤其是这些性质的综合应

的占比相对稳定，是高考必考且重点考查的内容之用.可能会继续将函数性质与其他数学知识如导

一.常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性数、不等式、数列等结合考查，增加题目的综合性

结合在一起考查，同时还可能与函数图像、函数零和难度.在保持传统考查方式的基础上，可能会进

点、不等式等知识综合命题.虽然考查形式多样且一步创新命题形式，如设计一些新颖的函数模型或

综合性强，但题目多基于对函数基本性质的理解和实际应用背景，考查学生运用函数性质解决实际问

应用，部分题目在命题形式和考查角度上具有一定题的能力.

创新性.

热点题型解读

题型1函数单调性（单调区间）的判定题型6利用单调奇偶比较大小

题型2利用函数的单调性求参数题型7利用单调奇偶解不等式

题型3函数奇偶性的判定题型8函数的周期性及应用

题型4利用函数奇偶性求值求参题型9函数的对称性及应用

题型5"M+N.中值模型的应用题型10函数性质的综合应用

题型1函数的单调性（单调区间）的判定

I-------------------------------'"1"---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------、

\I-0U*i

i判断函数的单调性的4种方法

ii

1,定义法：按照取值、作差变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；

2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单i

调性；

3、直接法：利用己知的结论，直接得出函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均

I

可直接得到

4、导数法：先求导函数，利用导数值的正负确定函数的单调性；

5、性质法：（1）对于有基本初等函数的和、差构成的函数，根据“加减”的性质进行判断；（2）针对一些1

I

简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性.

I

【注意】求函数的单调区间，尤其是复合函数的单调区间，一定要注意原相应函数的定义域.

1.（23-24高三上.江苏南通・月考）函数=的单调递减区间是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[2,+8）D.（-oo,2]

2.（24-25高三上•广东普宁・月考）函数=1|+1的单调减区间为（）

3.（23-24高三上.浙江绍兴.期末）函数y=ln（d—2x）的单调递减区间是（）

A.（-oo,l）B.（l,+oo）C.（-oo,0）D.（2,+oo）

4.（24-25高三上•四川宜宾•一模）下列函数中，既是奇函数，又（。,+。）在是增函数的是（）

A./（x）=ex+e-xB.f（x）=ex-eTxC./（x）=x-3D.f（x）=xln\x\

题型2利用函数的单调性求参数

0O国4

利用单调性求参数的三种情况：

1、直接利用题意条件和单调性代入求参；

2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；

3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题.

1.（24-25高三上•陕西渭南・月考）若函数〃力=1。8。.5（6-召）在区间（-1，。）上单调递增，则。的取值范围

是（）

A.（0,2]B.[—2,0）C.[2,+8）D.（—8,-2]

2.(24-25高三上•山西大同・月考)已知函数小)=在卜2_办+5产区间0，4)单调递减,则〃的取值范围

是()

A.(92]B.(-«,4)C.[2,4)D.[4,”)

、flax-2,x<1,

3.(24-25高三上・甘肃•期末)已知函数/(尤)=,、，满足Vx”X2eR且玉片超，

[ax,x>l

(x2-x1)[/(%1)-/(x2)]<0,则。的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,+s)C.(1,2]D.(0」)5L+<»)

2%+4,%<Q

4.(24-25高三上•江苏南京•期中)已知函数〃x)=,,在R上单调递增，则实数。的取值范围是()

x+l,x>a

A.(-1,3]B.(-8,3]C.[3,+co)D.(-oo,-l]u[3,+<z>)

题型3函数奇偶性的判定

00-4

1、函数奇偶性的判断方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若

函数的定义域是关于原点对称的，再判断/(-X)与±/(x)之一是否相等.

(2)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称.

(3)性质法：同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇.

2、常见的奇函数与偶函数

(1)f(x)=ax+cTx(a>0且a00)为偶函数；

(2)/(x)=-a~x(。>0且。00)为奇函数；

ax-axa2x-1

(3)f(x\=—:---=—r；——(a>0且)为奇函数；

(jx+a'a'+1

b-Y

(4)/(%)=log----(〃〉0且为奇函数；

b+x

2

(5)f(x)=logfl^/x+1±xj(a>0且awO)为奇函数；

(6)/(%)=麻+目+麻一可为偶函数;

(7)/(%)=麻+1一版—1为奇函数.

1.(24-25高三上•天津北辰・期末)下列函数中，图象关于原点对称的是()

A.y=e.x+e~xB.y=ex-e~xC.y=x2-2xD.y=x2cosx

2.(24-25高三上•四川自贡•期中)下列函数是偶函数的是()

A.y=cosx-x2B.y=ex-x2C.y=log?(&+1-x)D.y=sinx+4x

+3x+4

3.(24-25高三上•青海•期中)设函数/(x)=,则下列函数为奇函数的是()

尤~+2x+3

A.f[x+l)+lB.〃x+l)-1

C./(x-l)-lD./(x-l)+l

4.(24-25高三上•河北邢台•月考)已知函数/■(*)的定义域是R,则下列命题中不正确的是()

A.若是偶函数，g(x)为奇函数，则g(〃x))是偶函数

B.若是偶函数，g(x)为奇函数，则/(g(“是偶函数

C.若/(X)是单调递减函数，则/(/(尤))也是单调递减函数

D.若/(x)是单调递增函数，则/(/(X))也是单调递增函数

题型4利用函数奇偶性求值求参

1、由函数的奇偶性求参数：若函数解析式中含参数，贝I根据/(—x)=—/(%)或/(—X)=/(九)，利用待

定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为。求参数.

2、由函数的奇偶性求函数值：若所给的函数具有奇偶性，则直接利用/(-x)=-“X)或/(-尤)=/(力求

解；若所给函数不具有奇偶性，一般利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.

ii

1.(24-25高三上•江苏盐城•月考)已知了⑺是定义在R上的奇函数，当无€(0,+⑹时，=则

3

/(-9)=()

A.2B.3C.-2D.-3

2.(24-25高三上•河南南阳・月考)已知定义在R上的偶函数满足当尤c［0,+oo)时,

小d比——

3.(24-25高三上•湖南・月考)已知/(x)=2皆竺是偶函数，贝巾=()

2—1

A.2B.1C.0D.-1

4.(24-25高三上•安徽•期中)若〃x)=log41匕是奇函数，则°也()

i—X

B.f

D.2

题型5“M+N”中值模型的应用

Cd

若函数/(x)=奇函数+a,则我们把它称为准奇函数，求准奇函数最大值+最小值之和(M+N),我们

把它叫做中值模型.

(1)若了(%)为奇函数,则其最大值与最小值和为0,即/(x)111ax+/(x)min=0;

M+M=0

(2)若/(%)为奇函数,则

/(-/)+/(%)=0；

'M+N=2a

(3)常见考向/0)=奇函数+。=><

)(—七)+/(%)=2〃

1.(24-25高三上•山东枣庄•期中)若函数〃x)=壬苫^+siiu的最大值为/,最小值为N,则M+N=()

A.1B.2C.3D.4

2.(24-25高三上•河南•期中)已知函数“X)=+x+a(。为常数)，若"外在［-2,4］上的最大值

为M,最小值为加，且M+m=6,贝lj〃=()

A.6B.4C.3D.2

3.（23-24高三上.安徽安庆・月考）设函数=，：：：/在区间［一2,2］上的最大值为小,最小值为N,

贝I］（/+N-1严23的值为.

4.（23-24高三下•上海徐汇・月考）若函数/（工）="/+〃10&（工+4?71）+2在（-8,0）上有最小值-5（。、6为

常数），则函数/（》）在（0,+到）上最大值为.

题型6利用单调奇偶比较大小

一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上

的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小.

1.（24-25高三上•甘肃兰州・月考）已知定义在R上的函数〃x）在（-叫2）内为减函数，且〃x+2）为偶函数,

则〃T）J（4）J（T］的大小为（）

A./（-1）＜/（4）＜/［^B./（4）＜/（-1）＜/^

C.＜/（-1）D./（-l）＜/fy］＜f（4）

2.（24-25高三上•山东潍坊・月考）已知函数/（x）满足/（1-劝=/（》+3）,且/（为在（0,2）上是增函数,则了⑴,

的大小顺序是（）

A./(1)</(-)<B.</(1)<

C.</(-)</(1)D.</(-)</(!)

(7>

3.(24-25高三上•河北邯郸•模拟预测)已知〃x)在(1,+8)上单调递增，若〃x+l)为偶函数，a=fe?

I7

b=/(ln|],c=d则()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（24-25高三上•江苏镇江・月考）已知/（x）=;^+x-sinx,g（x）为偶函数，当无20时，g（x）=/（x）,设

a>b>0,贝!|（）

A./(a)+/(-*)>g(Jb)+g(-a)B./(a)+f{-b)>g(Jb)-g(-a)

C.f(.b)+f(-a)>g(a)+g(-b)D.f(6)+f(-a)>g(a)-g(-6)

题型7利用单调奇偶解不等式

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成/（占）>/（々）或/（占）</食2）的形式，

再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列；

出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.

【注意】在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号时，需转化为含符:

号"”的形式.

1.（24-25高三上•天津红桥•期末）已知函数/（x）是定义在上R的偶函数，若对于任意不等实数不赴目0,笆）,

不等式a-引"&）-〃超）]<0恒成立，则不等式〃2x）>〃x-l）的解集为（）

x\x<-l^x>—

X—1<X<—

2.（24-25高三上•河北邢台・期末）已知函数是定义在R上的减函数，且为奇函数，对任意

的ae[-2,3],不等式一。“恒成立，则实数f的取值范围是（）

A.（-<»,3]B.1一双；C.[13,+co）D.1—|，+coj

3.（24-25高三上•山东临沂・月考）已知函数〃x）是定义在R上的奇函数，，（无）在（。,+8）上单调递增，且

/（3）=0,则不等式（x-2）〃x）<0的解集是（）

—,_3)U(2,3)B.(-3,0)U(2,3)

-CO,-3)(3,+co)D.(-3,0)i(3,+«))

4.（24-25高三上•山东德州•期末）已知函数/（x）是定义在R上的偶函数.%,%e[0,”），且玉片尤2,恒有

〃X|)一/⑷

>-l.若"1)=1,则不等式/⑺<2—d的解集为()

xl-

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(Y0,-1)。(1,+00)D.(—1,1)

题型8函数的周期性及应用

-tf

i

i

i

i

i

i

(。是不为0的常数)i

i

(1)若/(X+Q)=/(X),则7=1;(2)若/(X+〃)=/(%-〃)，则T=2a；

i

]

⑶若/(x+a)=—/(%),则T=2a；(4)若〃x+a)=/(x),则T=2a；

若/(x+a)=—y^y,则T=2a；

(5)(6)若/(x+a)=/(X+/?),则T=|a—4(a手b)

若/(x+a)=夕，则T=2a；、l+/(x)

(7)(8)若/(x+a=则T—4a；

l+/(x)1-/U)

i

;则/

1.(24-25高三上•四川华夔・月考)设是定义域为R的奇函数，且"1+无)=/(-尤).若fI

1

AB.——D

-43-1

2.(24-25高三上•黑龙江・月考)已知〃x)是定义在R上的函数，且〃龙+1)-〃尤)=l+〃x+l)〃x),

f(l)=2,则/(2024)=()

A.-2B.-3C.-D.!

32

3.(24-25高三上•甘肃临夏•期末)已知函数的定义域为R,为偶函数，/5+1)为奇函数，且当

xe[0,l]时，f(x)=X+b,则++()

A.—■B.0C.—D.—1

22

4.(24-25高三上•河北・月考)已知定义在R上的函数/'(x),满足/(x-3)+/(5-x)=2,/(2x+2)为偶函

2023

数，，(彳)满足〃2)=2,则Z/a)=

Z=1

u«题型9函数的对称性及应用

laaae

1、关于线对称：若函数y=/(x)满足/(a+x)=/(b-x),则函数y=/(x)关于直线x=土也对称，特别地,

'2

，当a=6=0时，函数y=/(x)关于y轴对称，此时函数y=f(x)是偶函数.

2、关于点对称：若函数y=f(x)满足〃2a—x)=%—"X),则函数y=f(x)关于点(m6)对称，特别地,

；当。=0,6=0时，f(x)=-f(-x),则函数y=/(尤)关于原点对称，此时函数/(无)是奇函数.

2x

1.(24-25高三上•山东枣庄•月考)函数y=—；图象的对称中心的坐标为

x-1

2.(24-25高三上•江苏南通・月考)若函数〃x)满足〃x+2)+/(x)=4(xeR),且的图象关于点(0,2)

对称，贝U()

A./(-1)=-2B./(2)=0C."1)=6D.〃6)=2

3.(24-25高三上•湖南长沙•月考)已知函数〃同=2“+2-”，则下列函数的图象关于直线x=l对称的是()

A./(x-l)+cos^x

兀

C./(x-l)+sin-|^xD./(x+l)+cos—x

/、|l+lnx,x>0,.、x+1

4.(24-25高三上.河北沧州•月考)已知函数/(%)=|_1n(_力尤<0g(%)=一1，曲线y=/(%)与y=g(%)

有两个交点4(久1，%),8(>2，丫2)，贝12a+%2)+(乂+%)=()

A.-2B.-1C.1D.2

题型10函数性质的综合应用

0O既密

1,灵活运用数形结合的思想：根据函数的性质，如奇偶性、周期性等，先画出函数在某个基本区间上

II

的图象，然后利用对称性、周期性等性质，将图象进行平移、翻转或复制，得到函数在整个定义域上•

II

的大致图象；

2、代数推导与运算：根据题目给出的函数性质条件，进行代数推导，得到函数的其他性质或具体表达:

:式，若题目给出了函数的具体表达式，可根据表达式进行代数运算，如求导、因式分解、配方等，以

ii

求解相关问题；

II

I3、分类讨论与转化思想：当题目中的条件或结论存在多种可能性时，需要进行分类讨论；将复杂的问

题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题.

1.(24-25高三上•吉林长春•模拟预测)(多选)已知函数/(X)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称,

若〃X）T（4T）=2_尤,则（）

4

/（4-5x）+/（5x-2）_

A•-----------------------------1B./（2）+/（4）=4

4

C.-1）-2为奇函数D.y=/（2+x）+2x为偶函数

2.(24-25高三上•海南•模拟预测)(多选)已如定义在R上的函数满足〃x)+/(f)=O,"x+2)是

＜xx+xx

偶函数，且对任意的毛，[-2,0],当x产超时，^f(^)+^2f(x2)if(2)2f(i)＞则以下判断

正确的是()

A.若/⑴=-1,则"5)=1B.函数的最小正周期是4

C.函数在[2,6]上单调递增D.直线x=3是/'(x-1)图象的对称轴

3.(24-25高三上•湖北武汉•月考)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，且

/(l-x)+g(x+l)=4,〃x)+g(x—2)=4,则下列结论正确的是()

A.“X)为奇函数B.g(x)为奇函数

99

c.㈤]=36D,E[/㈤+g呵=36

k=lk=\

4.(24-25高三上・辽宁•期末)(多选)已知函数””的定义域为R,的导函数为了'(X),

/（2-x）+/（4+x）=0,/（x-l）=/（5-x）,当xe[-2,0]时,r（x）＞0,则（）

A.为偶函数B.的图象关于点（TO）中心对称

2025

D.笈）=1

k=T

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上・吉林・期末）下列函数中，在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=B.y=2xC.y=l°gpD.y=l+-

2.（24-25高三上•福建泉州•月考）已知y=f（x+D+l为奇函数，贝|/（0）+/（2）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上•江西宜春•期中）定义在R上的偶函数/（无），满足了（2+x）=f（2-x）,在区间［-2,0］上单

调递减，设。=/（-1.5）力=/（应）,C=/（5）,则“，b,c的大小顺序为（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

2x—1<Y<1

4.（24-25高三上•河南周口•期末）函数〃无）==-单调递增，且/（2根+1）>-1）,则实数优的

［3-m,x>\

取值范围为（）

A.（-2,1］B.（-2,1）C.（0,1］D.（0,1）

5.（24-25高三上•广东・月考）已知函数“X）定义域为（0,+“），％,马€（0，小），<0,

且"3）=6,f（a2+2a）>2a2+4a,则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,-2）u（0,+co）B.（-«o,-3）,（1,+co）

C.(—3,1)D.(-3,-2)_(0,1)

6.（24-25高三上•江西抚州・月考）设函数“X）的定义域为R,〃尤+1）为奇函数，〃x+2）为偶函数，当

龙目0』］时，〃力=2尤2+云+。.若〃3）-/（2）=6,则/［亍卜（）

7.（24-25高三上•福建龙岩•月考）已知函数〃x）,g（x）的定义域均为R,/（2x+l）是奇函数，且

/（x）+