海南省某校2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试题

海南省创新中学协作校2024-2025学年高二上学期12月月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.双曲线的渐近线方程是()

A.y=土旦XB.y=士瓜

2

,1y=±2x

rC.y=±—xnD.

2

2.下列四条直线中，倾斜角最大的是()

A.y=yfjB,x-y=O

c-s/3x+y=oD-x+y=o

3.已知直线4：ax+y-\=0,直线4:x+ay-2=0,则"a=1"是"/J//?”的()条

件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.VN8C的三个顶点的坐标分别为/皆.0Q,2(3,0)，C(3,4)，则VABC的外接圆方程是

()

A-(x-2)2+(>>-2)2=20B-(x+2)2+(y+2)2=20

C(X-2)2+(J；-2)2=5D-(X+2)2+(J+2)2=5

5.如图，空间四边形O4BC中，左一，OR-h<73-，点河为BC中点，点N在侧

(JA=aUD-o(jc=c

试卷第11页，共33页

棱。/上，旦ON=2NA,则加=（）

与一匕一匕

A.一与+匕+二B.

322322

1r2[1r

C.D.——a——b+—c

222232

6.已知圆0：/+,2=],点z（_],0）,点50,0）.点P是圆。上异于A,5的动点.过点尸

作x轴的垂线，垂足为。，点〃满足2苑=_两7，则点”的轨迹方程为（）

A,「『=1（"±1）B.9x2+y2=l（x^±l）

C.*/=1（"±1）D.X2+9/=1（"±1）

7.点/（2,1,1）是直线/上一点，"=（i,o,o）是直线/的一个方向向量，则点尸（1,2,0）到直线

/的距离是（）

A.1B.^2

C2D.26

8.已知椭圆氏£+1=1（。＞方＞0）的右焦点为尸⑶①，过点"的直线交椭圆£于八，B

a2b2

试卷第21页，共33页

两点，若AB的中点坐标为（1,-1），则椭圆E的方程为（）

x2,2

A.—+匕

=117+气=1

189

3=1

C.D'

3627

二、多选题

9.下列命题中正确的是（）

A.若空间向量°，小不满足£=九b=c'则Z

B.若直线/的方向向量为工=0,_i,2），平面1的法向量为m=0,4,-1），则/，a

C.点M（3,2,1）关于平面yOz对称的点的坐标是（-3,2,-1）

D.已知。为空间任意一点，A,B,C,尸四点共面，且任意三点不共线，若

___—.1―,1——►,1

OP=mOA+-OB+-OC,则加=一

236

22

10.已知双曲线c土—匕=1，则下列说法正确的是（）

2m

A.双曲线C的实轴长为2B.若Q亚，。）是双曲线C的一个焦点，则

m=6

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为〃?D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则

m=2

11.如图所示，棱长为2的正方体ZBCD-N/CQi中，G为的中点，与面48G交

于点”，则下列结论正确的有（）

试卷第31页，共33页

A.M在瓯方向上的投影向量是,函B.'及与平面45a所成角的正弦值为逅

23

c.三棱锥4_班©的外接球的体积为4G兀D.点〃是V48C1的重心

三、填空题

12.已知平面”的一个法向量@=（x，i，-2）,平面夕的一个法向量3=若

a1/3，贝*y=.

13.曲线v=亦二/与直线y=Mx+2）有公共点’则上的取值范围是___.

22

14.已知双曲线C・二一匕=1（a>Q,b>0）左右焦点分别为巴，琪,且巴关于它的一条渐

'a1b-

近线的对称点为P,若以尸为圆心，尸片为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为.

四、解答题

15.已知不共面的三个单位向量力，砺，反两两之间的夹角均为60。,

OM=OA+OB+OC'ON=OB+2OC-

⑴求证：OMVBC'

试卷第41页，共33页

16.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代

汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，

唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.

诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将

军的出发点是军营所在位置为8(3,5)，河岸线所在直线的方程为x+y-3=0.

(1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的最短总路程；

(2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为°,在△/BC中，求3c边中线所在的直线方程.

17.如图，在三棱柱48C-/4cl中，441_L底面4BC，AA〔=BC==^AC，点'

M为Bg的中点.

(1)证明：/。］//平面4瓦饮；

(2)棱,°上是否存在点"，使二面角8-的大小为生，若存在，求型的值；若不

4CN

存在，请说明理由.

18.已知椭圆C£+E=l(">°>°)的右焦点为乙°⑼，点尸(百立］在椭圆C上.

a2b2，2

试卷第51页，共33页

(I)求椭圆C的方程;

3

(2)若过原点的两条直线分别交椭圆C于点瓜G和凡H,且幻弓"胆=-；(。为坐标原

点).判断四边形EPG”的面积是否为定值？若为定值，求四边形瓦7G〃的面积；若不为

定值，请说明理由.

19.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，研究

了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点48距离之比为久(

4>0且的点尸的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，5(2,4))

若动点P满足1=2,动点「轨迹为圆C

PB

⑴求圆。的方程；

⑵过点("1)的直线/与圆C交于久E两点，若弦长口阂=2咨，求直线/的方程；

(3)若0是x轴上的动点，QF，0G与圆c相切，切点分别为凡G,试问直线尸G是否恒

过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由.

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BDACBCBAADBD

题号11

答案ACD

1.B

【分析】利用双曲线的标准方程求渐近线方程即可得解.

【详解】对于双曲线2—―/=1，

令2x2-「=0，得y=+41x,

所以双曲线2/_/=1的渐近线方程是y=士收*.

故选：B.

2.D

【分析】根据斜率与倾斜角的关系，直接求出四条直线的倾斜角，即可求解.

【详解】由＞知倾斜角为°,由苫一了二°,得到了二芯,斜率为1,倾斜角为三,

4

又由后+“。，得到一屈，斜率为-®倾斜角为2

由x+y=O,得至武一一二斜率为T,倾斜角为亚，

4

故选：D.

3.A

【分析】先利用两直线平行的公式求出再确定充分性和必要性即可.

【详解】当时，。2=1，所以"1或〃=—1，

当。=1时，直线4：x+y—1=0，直线（：x+y—2=0,两直线不重合,

当〃二—1时，直线4：—x+y—1=0,即x—y+l=0,

答案第11页，共22页

直线，2：x-y-2=0,两直线不重合,

所以当4=1或"-1时，〃〃2，

所以“4=1”是“即2”的充分不必要条件.

故选：A,

4.C

【分析】设出V45c的外接圆方程，将/曾,0]，5(3,0)，0(3,4)代入即可求解,

【详解】设YABC的外接圆方程为卜_“『+Q_92=/,

(l-^)2+b2=r24=2

所以(3—a)2+/」2,解得b=2,

(3—q『+(4—bp"[r=45

所以外接圆的方程为(尤_2)2+(y.2)2=5.

故选：c.

5.B

【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算求解即可.

----►—»»2—*-1/—►—►、2f11-*

【详解】MN=ON-OM=-OA一一\OB+OC\=-a一一b一一

32、,322

故选：R-

D

6.C

P(m,77)0(%0)2PQ=—PMm=x

【分析】设，，则，根据可得1,代入

n=­y

[3,

尤2+y2=l艮|]可求解.

答案第21页，共22页

【详解】设9则。（加,0），

所以画=(0-n\PM=(x-m,y-n)f

2PQ=-PMj0=—x+mm=x

，所以j—2〃=—y+n9所以＜

因为1

n=­y

3

因为尸在圆。上，所以/+/=],

所以工2+1]；=1，即总+X?=1，

因为点尸是圆0上异于A，3的动点，所以

所以点”的轨迹方程为《+x2=1（XN±1）-

故选：c

7.B

【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.

【详解】...Q=（7,1,_1），2=（1,0,0）是直线/的一个单位方向向量,

点P到直线/的距离为"后2_（万方）2=行斤=&-

故选：B.

8.A

【分析】设幺£修，为0，8后叼，%0,利用点差法和中点坐标公式，及斜率公式可得

上=L,再结合'的关系即可求解.

a22

答案第31页，共22页

【详解】设4曾//10，8曾％2，%0，

+二1

22

代入椭圆方程可得：ab

两式作差可得•(占+在乂西一%)(%+%)(%-%)

'/b2

又AB的中点坐标为(1,-1),

所以再+/=2,必+%=-2，

则”一%=Q,又如

%1-%2/1-32

所以Q=L,即/=2/，

a22

又"一〃=。2=9，

所以“2=18万=9，

所以椭圆的方程为：片+片=1.

189

故选：A-

9.AD

【分析】根据向量相等的定义判断A;根据空间向量的坐标运算可得工,碗，即可判断B;

由空间点关于平面的对称点的特点可判断C；由共面向量定理可判断口•

【详解】对于A,若£=加则向量.与各方向相同，模长相等，

答案第41页，共22页

若B，则向量各与工方向相同，模长相等，所以向量Z与"方向相同，模长相等，

所以々d.—IC，故A正确；

对于B,因为e=（l,-l,2”m=（6,4,-1）,

所以〉碗=6-4一2=0,所以工，有，

所以///a或/ua，故B错误；

对于C,点加（3,2,1）关于平面W>z对称的点的坐标是（_3,2,1），故C错误；

对于D，因为。为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，且任意三点不共线，

^OP=mOA+-OB+-OC,则机+l+'=1,所以机=工，故。正确.

23236

故选：AD-

10.BD

【分析】根据题意，由条件可得双曲线的焦点在x轴上，豆a3b二际，然后结合双曲

线的性质逐一判断，即可得到结果.

【详解】因为曲线C二一片=1为双曲线，所以焦点在“轴上，且。="6=诟,

2m

对于A,双曲线的实轴长为2。=2a，故A错误；

对于B,若Q后，。）是双曲线C的一个焦点，贝旷=20,即已也『=2+加，

解得帆_故正确；

frl-6V,B

对于C,取双曲线的一个焦点为尸伍⑼，一条渐近线方程为y=2x,即--@=°,

答案第51页，共22页

则双曲线c的焦点到渐近线的距离为茁+(_]=b=品,故C错误；

对于D,若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则2=返=「即'”=2,故D正确；

a41

故选：BD

11.ACD

【分析】对于A：根据投影向量的定义分析判断；对于B：利用等体积法求点与到平面

4BG的距离为d，进而可求线面夹角；对于C：可知三棱锥同一84£的外接球即为正方

体的外接球，进而运算求解；对于D：可证平面45G，结合正三棱锥的结构特征分

析判断.

【详解】对于A：因为34L3C，且G为的中点，

由投影向量的定义可知：CG在8月方向上的投影向量是:函，故A正确；

对于B：设点与到平面AiBCi的距离为d，

因为七rg=且V4g是以边长为班的正三角形，

gP-t/x-x2V2x2V2x—=-x2x-x2x2»解得d=，

322323

BB14g2百

所以与平面所成角的正弦值为d::亍=右，故B错误；

BB123

对于c,因为三棱锥&-Bq。的顶点均为正方体的顶点，

答案第61页，共22页

可知三棱锥4一"G的外接球即为正方体的外接球,则外接球半径尺=；。3=指'

所以外接球的体积为/=34族3斯r-/，故C正确;

3

对于D：因为4g70]为正方形，则4GJ.8Q，

又因为Ag]_L平面4月。|〃，BRu平面44clA，则4cl1BB/

且8QiC84=4'2Q,AB|u平面网QQ，则/g，平面网DQ,

由DB'平面BBQQ，可得£珞_L40，

同理可得。用_L43，

且4G。4台=4，4G，48u平面42G，所以。4,平面42G，垂足为“，

又因为44=4G=84，V43cl是正三角形，可知四面体D-48G为正三棱锥，

则”为V48cl的中心，即“为V48cl的重心，故D正确；

故选：ACD.

12.一G

【分析】根据题设得到一kC，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解.

ab=0

【详解】因为平面”的一个法向量1=（羽1，-2）,平面£的一个法向量B且

答案第71页，共22页

a_L0，

所以3丁，即无8=°,所以_x+y_2x3=0,得到a尸一百，

2

故答案为：_省.

13.Fo,-

L4」

【分析】通过化简知曲线丫=而二7是圆心为（3,0），半径为3的上半圆，再借助数形结

合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果.

【详解】直线y=Mx+2）过定点（-2,0），由了=疝二"得（x_3/+y2=*（y20），故曲

线y=,6口一）2是圆心为（3,0），半径为3的上半圆，如图所示：

当直线y=%（x+2）与半圆口一3）2+/=9,（yN。）相切时，

设切线倾斜角为a，ae「0,Q-,贝人山£=23,，切线的斜率左=1211。=23,

L2；54

所以曲线yWx-x2与直线y=M》+2）有公共点,则左的取值范围是10,3

故答案为：0,』

.4.

14.2

答案第81页，共22页

【分析】由己知可得圆的半径等于C，结合焦点到渐近线的距离为6,用勾股定理得出

\OM\^a＞再用中位线的性质得出0、,关系求出离心率.

【详解】如图，由题意可知，闾尸闫尸片|=心

设可与渐近线＞=纥的交点为跖则〃为尸工的中点，且尸工,加,

则点S）到直线…二。的距离公

在中，因为。，M分别为月片，尸区的中点，

所以|尸£|=2|。闾=2°，所以c=2a，

所以双曲线的离心率e=£=2.

a

故答案为：2

15.（1）证明见解析

⑵①

7

【分析】（1）根据条件，利用向量的数量积运算即可证明;

答案第91页，共22页

(2)根据条件，利用向量的夹角公式即可计算.

【详解】（1）H^/O3-OB=a4-OC=Q8-OC=lxlxcos60o=-,

2

所以

-----►/»,\/►►\,»►/•,\/",►\►22

OM-8C=（CU+OB+OC）.（OC-OB）=ON.（OC-O8）+（O8+OC）.（OC-O3）=OC-OB=1

所以两_L沅，即。MJL8C.

(2)因为

------►,*/►\/►*\,-”*2►►

AC.ON=（OC-OA）•（OB+2OC）=OC•OB+20c-OAOB-2OAOC=-+2---\=\,

又可停一百=/一2反京+而=1一2x；+l=l,则的=1,

O2V|2=（0S+2dC）2=OB2+4OBOC+4OC2=1+2+4=7,贝/。叫=口

AC-ON1V7

16•⑴后

(2)26x+19y-123=0

【分析】(1)根据点关于直线对称可得对称点片(_2,0)，即可根据两点距离公式求解，

⑵根据两直线的方程可得交点。与3,即可根据中点坐标可得。偌,为进而根

答案第101页，共22页

据两点坐标求解直线方程.

【详解】(1)由题意可知48在x+y-3=0的同侧，

设点8关于直线x+y-3=0的对称点为与⑺⑼,4cH三点共线满足题意，点C为使得总

路程最短的“最佳饮水点”，

。+3b+5。=-25,(-2,0)

------+---------3=01

则J2，解得〔b=°,即，

[a-3''

此时“将军饮马”走过的总路一程为\AC\+\CB\=\AC\+\CB\=+F=历.

二

(2)由(1)知心=-^—=~r故直线方程为y=：(x+2),

典4+26

故直线/用的方程是x-6y+2二二0>

[x-6y+2=07喈，制

〈X=

联立[x+y-3=0,解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为/乙

y=

7

BCD(x,y)3+716_3754+75_20,即A彳37了20J、,

边的中点，则丫_一

A-

21427

答案第111页，共22页

AD20

,1-T26

二直线斜率后=-37=-^

14

；・直线'"的方程为了-1=-||（1）,整理得26》+19了-123=0.

・・•△/8C中8c边中线所在的直线方程为26x+19y-123=0,

17.（1）证明见解析

力、++ANc

⑵存在‘加=2

【分析】（1）连接力4与48交于点O,从而得到〃/G，利用线面平行的判定定理,

即可求解;

（2）根据条件，建立空间直角坐标系，设/2=1,N（0,a,0），04。41，求出平面84M

与&ACV的法向量,利用面面角的向量法,即可求解.

【详解】（1）连接4B］与交于点O，则。为4B］的中点，连接（W,

因为点M为4G的中点，

所以（W///G，

答案第121页，共22页

因为（WU平面4收，/C]<Z平面A[BM，

所以4C1//平面-

AM

（2）存在’国=2；理由如下:

因BC=6AB=6AC'则3c2=+NC?,故/814C，

如图建立空间直角坐标系/-xyz，

设初=1,则5jl,0,0®,4(0,0,月，臼,

设N（O,a,O），04V41，

.=弓（0）,丽=（04-行）,

BAXMm•BA、=0

设平面的一个法向量为成目£xi，%，Z]（5,则有・

m-^M=Q9

—再+y[^Z[=0再=V2^m=(V2,-V2,l)

即八1，取

尹+尹=。

答案第131页，共22页

AMN

nn-AxM=Q

设平面的一个法向量为«H8x2）j2,zJ,则有，

心丽=0'

x=-V2n=(-42,42,a

取2，得'

ay2-V2Z2=0

因为Icos仿率」而司一I=V2,整理得3/+16"12=0,

'一|研同一6而7一2

解得°=2可0』或"一6（舍），止匕时生=2.

3L」CN

18.⑴工+J1；

43

（2）为定值，473-

【分析】（1）根据题设有c=l，再由点在椭圆上及椭圆参数关系求得/=4，/=3,即

可得方程；

（2）讨论直线尸户的斜率存在性，设直线方程，并与椭圆联立，应用韦达定理、弦长公式、

点线距离公式，求三角形面积，即可得结论.

【详解】（1）由题意c=l,又点尸［右,立］是椭圆上一点，

、2）

.•二+3=1,又m=i,解得片=%”=3,

a24b2

因此，椭圆的方程为《+《=1.

43

（2）四边形跖G〃的面积为定值，理由如下：

如图：

答案第141页，共22页

①当直线£尸的斜率不存在时，直线EF_Lx轴，此时四边形E尸G/f为矩形，且左”

C（Jrn

因为心不妨设“=走，则心=_1-

x{x24EG2FH2

取避?|，//一如］，则四边形欧G”的面积5=4%次=4、'"、血=46.

I'2J「2J2

②当直线环的斜率存在时，设EF：y=kx+m,且矶%,y），/（工2，%），

联立直线所与椭圆C的方程，消去》并整理，得（442+3封+8协穴+4加2—12=0・

由A8=（km^-4（总+4）（加f2~,>,^4A:2-m2+3>0

=8kmW-12

所以西+x2~xx=—