河北省石家庄市2025届高三一轮诊断考试数学试题（石家庄一模）+答案解析

河北省石家庄市2025届高三一轮诊断考试数学试题（石家庄一模）❖

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合4={1,2,3,4,6,8},B={x\2xeA},贝!JG_B)=()

A.{6}B.{6,8}C.{4,6,8}D.{3,4,6,8}

2.若z=2+*则+5=()

z

A.—4+2iB.-4一2iC.4+2zD.4-2z

4.在正四棱台AB。。-4bBic1力中,已知48=243=6，^，该正四棱台的体积为168,则44=（)

A.3B.4C.5D.6

5.设函数/（/）=log3（/—QI+3）在区间（0,1）上单调递减，则〃的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

6.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（）

A.6B.15C.20D.30

x2y2

7.已知双曲线。：l（a〉0,b〉0）的右焦点为F,其中一条渐近线上存在一点尸，使得另一条渐近

滔一京

线垂直平分线段尸尸，则双曲线C的离心率为（）

A.2B.^2C.73D.4

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8.若函数/(为的定义域内存在为，应(y1，)2)，使得“3)；1(/2)=1成立,则称/(7)为“完整函数，，.

已知/(力)=—，一LCOSQI+即)(G〉0)是Pp上的“完整函数”，则G的取值范围为()

262622

1Q171317

A.B3]U[4,4)B.e3]uU,+cx))

000o

1313

C.[--,+oo)D.,3]U[4,+oo)

55

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按

[200,300),[300,400),•一/700,800]分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是()

A.该工业园区内年收入落在区间性00,700)内的小型民营企业的频率为0.55

B.样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少

C.规定年收入在400万元以内(不含400万元)的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小

型民营企业能享受到减免税政策

D.估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数

10.已知函数/(n)=(/—a)2Q—2),且c=1是/(乃的一个极值点，下列说法正确的是()

A.实数a的值为1或一1

B./(，)在(l,+oo)上单调递增

C.若/=1是/(/)的一个极小值点，则当2>1时，/(2c+1)>/(2+2)

D.若2=1是/(2)的一个极大值点，则当0</<1时，/(2x-1)>f{x2-1)

11.如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正

六边形4耳6。1后由，ABCDEF,它们的中心分别为5,。，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的

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等腰三角形组成.若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2,则下列命题正确的是()

7T

A.异面直线Op4i与。/所成的角为w

B,平面。1。』

C.该多面体外接球的表面积为(4\/3+12)%

D.直线481与下底面所成角的正弦值为y73-1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量正,可满足E=2,|才+2了|=|力—用，则|才+了|=.

13.已知抛物线。：/=42的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线。于4,8两点，与准线交于点尸,弱=2版，

则直线/的斜率为,\FP\=.

14.在/XAB。中，角42,C的对边分别为a,b,C.已知b+c=tan^(5tanB+ctanC),b=M，A=4C>

则Q=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(c)=(x-a)2ex.

(1)当a=0时，求的图象在点(1"⑴)处的切线方程；

⑵讨论/(2)的单调性，并求当/(2)的极大值等于4时，实数a的值.

16.(本小题15分)

一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：

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倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车合计

女性居民150250400

男性居民350250600

合计5005001000

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异；

(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，

求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率；

(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中

随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为X,求X的分布列与数学期望.

参考公式：/=—八「吗、人/，其中葭=a+b+c+d.

7(a+b)(c+d)5(a~+"c)(b+d)

参考数据：

a0.10.050.010.0050.001

①a2.7063.8416.6357.87910.828

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—43co中，底面N3CD是平行四边形，£是PD的中点，点尸在线段网上.

(1)证明：〃平面4。石.

(2)若平面/BCD,P4=4B=3,BC=5,AC=4,平面E4D与平面PNC夹角的余弦值为A丝,

29

求篝PF的值.

FB

18.(本小题17分)

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22

已知椭圆。：勺+《=1（（1>6>0）的左、右焦点分别为三，F2,焦距为2C,圆（2+。）2+y2=4。2与椭

azbz

圆C相交于a3两点，乙4/8=120°,的面积为通.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点（1,0）的动直线/与椭圆。有两个交点尸，。，以线段P。为直径作圆。，点河（磔,0）始终在圆。内

（包括圆周），求①o的取值范围.

19.（本小题17分）

Q.一Cr，

若｛薪｝是递增数列，数列｛厮｝满足对任意的打eN*,存在meN*,使得“"&0,则称｛厮｝是｛金｝

C?i+1

的“分割数列”.

（1）设c„=4n—1,an=2n-l,证明：数列｛厮｝是数列｛金｝的“分割数列”.

⑵设C=n—2,Sn是数列｛5｝的前"项和，&=C2X，判断数列｛SJ是否是数列｛服｝的“分割数列”，

并说明理由.

（3）设｛品｝是首项为0,公比为q的递增等比数列，4是｛品｝的前〃项和，若数列｛4｝是｛c„｝的“分割数

列”，求实数。与“的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】B

13

【解析】解：因为B={右1《,2,3,4},

则AnB=口,2,3,4},

所以口(AAB)={6,8}.

2.【答案】D

【解析】解：因为z=2+?：,所以三土刍=4二10(2—〃)=4—2i.

z2+/5

3.【答案】A

【解析】解：易知函数/(2)是定义域为(—oo,0)U(0,+oo)的奇函数，所以排除3,C,

又函数/(乃在原点附近的零点为g和1,可取大于0且接近于0的一个数，如0.1,易得"0.1)<0,

故选4

4.【答案】C

【解析】解：连接/C,4G，作为ELA。，垂足为E.易知四边形ACG4是等腰梯形，小后就是该正

四棱台的高，

2

且4。=24cl=12.由，x[(6\/2)+(3鱼)2+672x3鱼1AXE=168,得ArE=4,

所以44=,42+(^^=5.

5.【答案】C

【解析】解：抛物线沙=/—&立+3的对称轴为直线/=*由1解得2<a<4,所以。

-11-。+320,

的最大值为4.

6.【答案】D

【解析】解：把星期一到星期六记为1,2,3,4,5,6,则不连续值日的三组数可列举为(1-3,2-5,4-6),

(1-4,2-5,3-6),(1-4,2-6,3-5),(1-5,2-4,3-6),(1-6,2-4,3-5),所以符合条件的方

法有5黑=30种.

7.【答案】A

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【解析】解：不妨设渐近线？;=2c垂直平分线段尸尸,

a

所以|OF|=|OP|=c.

所以点尸的坐标为

a2c、2

由（^62)+得3a2=62,

所以双曲线。的离心率e

8.【答案】B

^^sin(3/——)+-cos(wa;——)=

【解析】解:smcvx.

f⑺=2'6)2'67

因为/31）+/（工2）=2,所以/Q）在［y,y］上有两个最大值点.

令3X=t,则函数4=sin力在区间［竽，竽］上至少存在两个最大值点，则到（7T,解得“22.

223

47r

当2T=—WTT，即时，显然符合题意.

3

、“C/IQm>r37T57r3cJ7T5cJ7T_3cJ7T八_5cJ7T

当2WG<4时，因为4力〈可，所以一^―Wg1<—^―，3?r—--<6?r,5TT—-—<IOTT,

乙乙乙乙乙乙

分以下两种情况讨论:

^、口，9〃..5G7F、137r、13L13/

①当一--(="，n即nCJW3o时，--—2，即nn所以1r

222255

97r3G7T-口日八5"TF177r17「广…17/,

②当K<F-<6TT,即3<G<4时，—--a即n所以三<s<4.

222255

1317

综上，口的取值范围为33]5』,+8).

00

故选：B.

9.【答案】BD

【解析】解：（0.001+0.002+2a+0.0015+0.0005）x100=1,所以a=0.0025,

则年收入落在区间性00,700）内的小型民营企业的频率为0.25+0.25+0.15=0.65,A错误；

由频率分布直方图可以看出2正确；

因为年收入在400万元以内的小型民营企业的频率为0.3，所以该工业园区有30%的小型民营企业能享受到

减免税政策，C错误；

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因为01+0.2=0.3，所以中位数应该在［400,500)内，设为400+，,则0.0025c=0.2,解得工=棠=80,

所以中位数约为480,平均数约为

250x0.1+350x0.2+(450+550)x0.25+650x0.15+750x0.05=480,中位数等于平均数，D正确.

10.【答案】ACD

【解析】解：函数*0)=3—43—2)的定义域为尺,户⑶=3Q—a)Q—勺).

O

令/⑶=0,得3=a,工2=十，

O

耳

所以当Q=1时，f'(3)=3(力一l)(x--),

O

由［(乃>0,得2<1或,>■!，由/(乃<0,得

OO

则/⑵在(一8」)和(1+M上单调递增，在(13)上单调递减，

此时立=1是/(2)的一个极大值点.

当工=1时，解得a=—1,

则f(x')=3(2+1)(®-1),

由尸(①)〉。得7<-1或.〉1,

由/'3)<o,得一1<2<1,

则/(乃在(一00,—1)和(1,+00)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，

此时2=1是/(①)的个极小值点.故N正确，B错误.

若c=l是/(2)的一个极小值点，则a=—1,/(2)在(1,+8)上单调递增，

因为,〉1,则2/+1>c+2>1,所以/(2z+1)〉/(①+2),故C正确.

若立=1是/(2)的一个极大值点，则a=l,/(2)在(—8,1)上单调递增，

因为0<2<1,所以一1<2/-1<1,-1<a；2-1<0>且2/-1〉/一1等价于0</<2,

即当0<7<1时，X2-1<2X-1<1>所以/(*—1)</(2X—1),故。正确.

11.【答案】BCD

【解析】解：对于/,设小，耳在下底面的射影分别为出，B{,则。(平分/小。外,

7T

所以异面直线014与。/所成的角为故N错误.

b

对于B,易知001垂直于底面，所以00J出外，又平分/尚。耳，所以04,尚3，因为OAn。01=。,

。4。。1c平面O1OA,所以出口灶平面0。4从而小3」平面O1OA,故2正确.

对于C,设4区的中点为G,G在下底面上的射影为“，上、下两底面间的距离为d,外接球的半径为R,

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则04=2,OH=\/3>所以/=—（2—=4\/^—4,/?2=22+（^）2=\/3+3,

从而所求外接球的表面积为（4通+12）不，故C正确.

对于。，设直线481与下底面所成的角为仇由上面可知d=2血—1，所以sinO=2Vz1=遍一1，

故。正确：

12.【答案】2

【解析】解：因为国+2用=|记-曲,

所以同2+4/.T+4冈2=何”2才.t+|了『，化简得闰+2方.7=0.

又因为（/+7）2=|司2+2方•7+=|团2=4,

所以国+了|=2.

13.【答案】土裔；4

【解析】解；设直线/的方程为沙=kQ—1），则点尸的坐标为（—1,一2人），因为巨g=2版，所以点8的

坐标为G孝），因为点2在抛物线上，所以（—）2=；解得卜=±通,因为=l+g=*所以

\FP\=4.

14.【答案】3

【解析】解：因为b+c=tanK（btan_B+ctan。），

DIDI

所以sin——-——cosBcosC(sinB+sinC)=cos——-——.(sin2BcosC+cosBsin2C),

fOSifinBC.+C

移项得sinBcosC(sinB)=sinCcosB(sinCcos——-------cosCsm——-——），

2222

C-BC-B

即sinBcosCsin=sinCcosB•sin

22

C-B

移项并整理得sinsin(B-C)=0,

2

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解得8=。,又因为4=4。，所以4+B+C=6C=7T,

解得。=[,A=§,

63

所以a2=3+3—2x3x(--)=9,

解得a—3.

,2x

15.【答案】解:⑴因为a=0,所以/Q)=居3f(x)^(2x+x)e,

所以户⑴=3e,又/⑴=e,

所以所求切线的方程为y-e=3eQ-1),即3ec—4—2e=0.

⑵/(c)的定义域为R,尸⑶=[2(a;-a)+(①-可讨=(a?-a)(x-a+2)e",

当/'(工)=。时，"=<2—2或/=以

由尸(工)>0,得田<61—2或2〉&,由尸(工)<0,得a-2<x<a,

则/Q)在(-co,a-2)和(a,+oo)上单调递增，在(a-2,a)上单调递减，

所以当x=a—2时，/(为取得极大值.

由/(a—2)=4e-2=4,解得a=2.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

16.【答案】解：(1)零假设为为:对新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异.

用坦主心物短工者考利21000x(150x250-350x250)2125，-八

根据表中数据，计算得到x2=-----7~~~-=—«41.7>10.828=0)001，

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断“不成立，

即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.

(2)由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7:3,所以抽取男性7人，女性3人，

再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件/,贝IJP⑷=1-寡=晨

，6

p2p2o

恰有2名男性居民记为事件B,则P(AB)=7y=-,

所以在有女性居民参加座谈的条件下，

恰有2名男性居民也参加座谈的概率为4P(-AB^}-3-x-6=9

P[A)10525

(3)在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，可得抽

取结果如下表：

倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车

男性居民75

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再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为X,X可取0,1,2,3,

求出P(X=0)魂二福

P(X=1)=段21

012

X的分布列如下:

X0123

72171

P

44442222

917

数学期望E(X)=lx五+2x/+3x.=*

乙乙乙乙rr

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

17.【答案】(1)证明：连接区),设80n=G，连接GE.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BG=GD，

又£为尸口的中点，所以GE"PB.

因为GEC平面/CE，平面/CE,所以PB〃平面ACE.

⑵解：因为4B=3，BC=5,4。=4,所以4"+4。？=口。2,则人口工人。.

又P4_L平面A8CD,所以AC,4P两两垂直.

以/为坐标原点，瓦甘，A5,瓦F的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示

由P4=4B=3,BC=5,4。=4,可知4(0,0,0),8(3,0,0),P(0,0,3),0(-3,4,0).

设四=入道(0(入(1),则/=/+即=(3入0,3—3A),=(-3,4,0)

方.可二°,得—3x+4y=0,

设方=(今0,z)是平面E1D的法向量，由

7?.AF=0,3Ax+(3—3X)z=0,

取x=4,可得方=(4,3,涓1).取平面尸/C的一个法向量为记=(1,0,0).

A—1

同•rrl\44^/29

设平面与平面P/C的夹角为依则c°s®解得A=]

同|利29

,+9+(占)O

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PF1

所以方=21

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

18.【答案】解：（1）因为=120°,所以/4?诉2=60°,

则COSZ.AF1F2=；4c2+4c2—(2a—2c)2c2—a2+2ac

2x4c22c2

解得a=2c.

因为的面积为3义4°2、5=遮，所以c=l，a=2,b=M，

22

所以椭圆c的标准方程为匕+红=1.

43

⑵设点P（如明），Q（x2,y2）-

当直线/的斜率不存在时，/的方程为工=1,不妨设Q（l,—去，

15

易求—2（/o4

y=k(x—1)

力2/

)z+L

消去y得(3+4硝/—8点工+4『—12=0,

8k24k2-12

所以的+此=

3+4依2四=行庐.

因为点M在圆。内（包括圆周），所以近.而<0,

所以(3—21)(@)一/2)+加沙2W0,

所以(立0—®l)(®0—±2)+k2(xi—1)(22—1)40,

所以(fc2+1)/m2-(&)+昭)⑶+电)+埠+M〈0，

2

所以(廿+1)(4%2-12)—8k2(XQ+FC)+(XQ+fc2)(3+所2)w0,

即(4%-8x0-5)次2+3嗝-12w0恒成立，

第12页，共14页

所以5(。，

13城—1240,

解得—]<须)<2.

综上，®)的取值范围为[-；,2].

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

19.【答案】(1)证明：因为｛③｝是递增数列，｛%｝满足对任意的"CN*,存在meN*,使得刍

Qm—金+1

所