高考备考资料之数学人教A版全国用课件99圆锥曲线的综合问题第1课时

§9.9圆锥曲线的综合问题第九章平面解析几何基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线

；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线

；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线

.知识梳理相交相切相离(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是

；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是

.平行平行或重合2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝__________________________________＝

|y2－y1|.3.圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值.或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.【知识拓展】(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切.(

)(2)设点P(x0，y0)为双曲线

＝1上的任一点，则|x0|≥a.(

)(3)椭圆

＝1上的点到焦点距离的最大值是a＋c.(

)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.(

)(5)过点(2,4)的直线与椭圆

＋y2＝1只有一条切线.(

)(6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2＝－p2.(

)基础自测123456××√√×√题组二教材改编2.[P71例6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有A.1条

B.2条C.3条

D.4条答案解析123456√解析过(0,1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.3.[P80A组T8]已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线

－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.答案123456解析由题意可设直线l的方程为y＝m，解析4即当m＝0时，|AB|有最小值4.题组三易错自纠4.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线A.有且只有一条

B.有且只有两条C.有且只有三条

D.有且只有四条答案123456解析√所以符合条件的直线有且只有两条.5.(2017·江西省南昌市三模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝

，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________.答案1234566.已知双曲线

＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________.解析答案123456y＝±x123456123456又∵b2＝c2－a2，

③题型分类深度剖析第1课时范围、最值问题解答题型一范围问题师生共研(1)求椭圆的方程；又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.解答(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围.解

设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2).整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得|MA|≤|MO|，所以直线l的斜率的取值范围为解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华(1)求椭圆C的标准方程；解答又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.解答解由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，得0<m2<2，显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O到直线的距离为d，故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).命题点1利用三角函数有界性求最值典例

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是题型二最值问题多维探究√解析答案命题点2数形结合利用几何性质求最值典例

在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.解析答案命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值解答(1)求椭圆E的方程；解答解

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知Δ＞0，由题意可知，圆M的半径r为处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华(1)求实数m的取值范围；解答解

由题意知m≠0，可设直线AB的方程为解答(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).课时作业基础保分练12345678910111213141516答案解析√12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，12345678910111213141516√解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案123456789101112131415164.(2018·长春质检)已知F1，F2分别是双曲线

＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是A.(1，＋∞) B.(2,3]C.(1,3] D.(1,2]√12345678910111213141516解析由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，又e>1，所以1<e≤3.故选C.5.(2018届云南昆明一中摸底)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为解析答案12345678910111213141516√123456789101112131415166.(2017·九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为解析答案12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－4b＝－4，12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516712345678910111213141516即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.解析答案123456789101112131415168.(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为________.12345678910111213141516解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，解析答案123456789101112131415169.(2017·泉州模拟)椭圆

＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.12345678910111213141516解析令直线l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，12345678910111213141516解析答案1234567891011121314151661234567891011121314151612345678910111213141516解答1234567891011121314151611.已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2，解答12345678910111213141516(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.12345678910111213141516解

设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)212345678910111213141516解答12345678910111213141516(1)求C1，C2的方程；12345678910111213141516解答12345678910111213141516(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为弦AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.12345678910111213141516解因为AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，1234567891011121314151612345678910111213141516设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，12345678910111213141516因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，12345678910