自动控制原理第四章（1）学习资料

第四章：线性系统的根轨迹法教学目的对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。本章重点1、根轨迹方程模值条件：相角条件：本章重点2、根轨迹的绘制方法3、根轨迹与系统性能的关系4、几个基本要概念

根轨迹的概念：根轨迹是指开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环特征根相应在s平面上运动的轨迹。

根轨迹增益k*与开环增益k的关系：根据对传递函数分子多项式和分母多项式的分解，开环传递函数可写成二种不同的表达式。本章重点尾1型：时间常数表达式首1型：零极点形式其中：k*是根轨迹增益；k是开环增益，k*与k的关系为本章要求1、正确理解根轨迹的概念2、掌握根轨迹绘制方法（以根轨迹增益k为变量）3、用根轨迹分析系统性能

我们知道：闭环系统的极点（闭环系统特征根）在s平面上的位置，决定了系统瞬态响应的基本特征┈模态。对线性二阶系统：a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈过阻尼响应。b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共轭复根┈欠阻尼响应。根轨迹法是研究控制系统的又一种方法。c.系统响应单调上升（ξ＝1）系统具有两个相等的负实根┈临界阻尼。4-1根轨迹法的基本概念d.系统响应为等幅振荡（ξ＝0）系统具有一对虚根┈无阻尼。e.系统响应不稳定（ξ＜0）系统的根位于右半s平面上。系统的零点对瞬态响应有影响，但不起决定的作用。因此，对闭环控制系统的瞬态响应来说，系统特征根起着主导作用。根轨迹的概念：它是开环系统某一参数从零变化至无穷时，闭环系统的特征根在s平面上变化的轨迹。

注意概念，根轨迹是通过开环系统传递函数来研究闭环系统特征根的变化。为避免直接求解高阶方程的特征根，1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与闭环特征方程式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法－根轨迹法。1.根轨迹概念二阶系统根轨迹ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)设控制系统及系统的传递函数如图所示，当k从0→∞时，求系统特征根的变化。注意：K一变，一组根变。一组根对应同一个K；根轨迹概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0时，s1=0,s2=－20＜k＜0.5时，两个负实根；k=0.5时，s1=s2=－10.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool根轨迹概念由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条；一个n阶系统的根轨迹则应有n条。2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨迹的起点。3.k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。4.特征方程的重根点是根轨迹离开负实轴进入复数平面分离点。根轨迹概念5.在k为有限范围内，此二阶系统特征根实部总是负的，因此根轨迹全在左半s平面。而三阶或三阶以上系统特征根的实部在k超过某一数值后，可能变为正值，以致根轨迹由左半s平面穿过虚轴进入右半s平面，使系统变得不稳定。6.s=-1的直线是原点0到(-2，j0)点之间负实轴的垂直平分线，在根轨迹上任取一点s连接s1=0、s2=-2的两点向量与负实轴构成等腰三角形，向量与横坐标的夹角之和为180°，即θ1+θ2=180°2.根轨迹与系统性能有了根轨迹，就可以立即分析系统的稳定性

稳定性：如果从k＝0到k＝∞，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，说明系统对所有的k值都是稳定的。如果越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点处的k值就是系统稳定与不稳定的临界开环增益。

稳定性能：如果给定系统的稳态误差要求，由根轨迹图可以确定闭环极点的位置的允许范围。

动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，如过阻尼状态、欠阻尼状态……GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG3.根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系K*为根轨迹增益1、闭环系统根轨迹增益，等于系统前向通道根轨迹增益KG*

，对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。K*=KG*KH*=KG*(单位反馈时：KH*＝1）；2、闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；3、闭环极点与开环传递函数的零点、极点、根轨迹增益都有关；4、根轨迹法的基本任务就是如何由已知的开环零、极点，求出闭环的极点随开环系统根轨迹增益的变化轨迹。结论：1根轨迹增益、2零点、3极点P1314.根轨迹方程由于根轨迹是所有闭环极点的集合，而闭环极点又是特征方程的特征根，为了求出所有的闭环极点，研究一下闭环系统的特征方程。特征方程1+GH=0或：GH＝－1所以，只要将闭环特征方程化为根轨迹方程，就可以绘出根轨迹图，由于GH是系统的开环传递函数，这样就达到了从开环传递函数出发，研究闭环系统的目的。根轨迹方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi开环极点“×”,也是常数！开环零点“○”,是常数！Zji=1n∏根轨迹增益K*，不是定数，从0~∞变化这种形式的特征方程就是根轨迹方程szj(-)根轨迹的模值条件与相角条件因为G(S)、H(S)都是复函数，根轨迹方程是一个向量方程，G(S)H(S)=-1包含二个条件：相角条件和模值条件。事实上，系统的根轨迹是通过寻找s平面中满足相角条件的所有s点绘制而成的。根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK