海南省黎族苗族自治县琼中中学2025届高三下学期开学考试数学试题（解析版）

第页，共页第18页，共18页华中师范大学琼中附属中学高三年级第二学期2月份数学月考试题一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.已知复数，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可得答案.【详解】，所以.故选：C2.已知集合，集合，则的真子集的个数为（

）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】先将两方程联立求出中的元素，再可求出出的真子集的个数.【详解】由，得或，所以，则中有2个元素，所以的真子集的个数为.故选：A3.已知两个非零向量，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，得，再根据投影向量的公式计算即可.【详解】由题意，，解得，所以在上的投影向量为.故选：.4.已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（）A.或2 B.或4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：的圆心，半径，因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或，故选：A.5.已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式列方程求公比.【详解】设等比数列的公比为q，且，由，，成等差数列，得，整理得，则.故选：A6.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法作出异面直线与所成角，解三角形即可求得答案.【详解】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点，故，即四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成角或其补角；直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接，则平面，故平面平面，故，是棱的中点，故，则,而，又，故在中，,由于异面直线所成角的范围，故异面直线与所成角的余弦值是，故选：D.7.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（）A.5 B.9 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值.【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则，所以，令，，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9.故选：B.8.已知，则的大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以故选：D二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.函数（）的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是（）A.直线是函数的图象的一条对称轴B.函数在上单调递减C.函数的图象向右平移个单位可得到的图象D.函数在上的最大值为【答案】AC【解析】【分析】根据两角和余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项.【详解】由，由是函数图象的一个对称中心，即，，解得，，又，所以，所以，对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确；对于B选项：令，，解得，，即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误；对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确；对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误；故选：AC.10.已知直线和圆，则（）A.直线l恒过定点（2，0）B.存在k使得直线l与直线垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为【答案】BCD【解析】【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；当时，直线与直线垂直，故B正确：∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，故选：BCD.11.已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（）A.B.C.当时，取最大值D.当时，的最小值为27【答案】ABD【解析】【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D.【详解】A：首项为正数的等差数列的前项和为，所以，若，则一定大于零，不符合题意，所以，，故A正确；B：由A可知，，故B正确；C：由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误；D：，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：（每小题5分，共15分）12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积，若的平分线交于点D，则________．【答案】##【解析】【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理求得以及，利用正弦定理求得，进而求得.【详解】依题意，所以，所以，所以为锐角，且.由余弦定理得，是的平分线，由正弦定理得，由于，所以，所以，而，，在三角形中，由正弦定理得，解得.故答案为：13.若函数定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，则______．【答案】【解析】【分析】由条件可得，，由此证明函数为周期函数，周期为，再求，结合周期性求结论.【详解】因为函数定义域为，为偶函数，所以，用替换可得，因为的图象关于点成中心对称，所以的图象关于原点成中心对称，所以，所以，又，，所以，故，所以，所以函数为周期函数，周期为，由，可得，，，又，故，所以，所以，，，，所以.故答案为：.14.三棱锥中，，平面平面，且.记的体积为，内切球半径为，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】根据等体积法可得，即可构造函数，利用导数求解单调性，即可求解最值.【详解】设三棱锥的高为，依题意，可取中点，连接，，则,由于，则,则，由于平面平面，且交线为,平面，故平面，故,则的面积为,的面积，由可得和的面积为，于是三棱锥的表面积为，由等体积可知，所以，故=.设函数，且，则，当单调递减，，单调递增，所以，所以时，取得最小值，故答案为：．点睛】关键点点睛：利用等体积法得到，构造函数，求导.四、解答题：15.在等差数列中，已知公差，其前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的表达式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式，代入计算即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可知则，又，所以，所以，解得所以；（2）由（1）可知，所以，则，两式相减，得，整理得.16.在中，内角所对的边分别是，已知．（1）求证：为等腰三角形；（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用切化弦将角化成，利用三角变换公式以及正弦定理可证；（2）利用面积公式和余弦定理可得．【详解】（1）由得：，则，，，，由正弦定理可知：，则为等腰三角形.（2）由题意得：，解得：，∵为钝角三角形，且，为钝角，，由余弦定理得：，.【点睛】本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式，属中档题．17.已知函数.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，由已知可得，即可求出实数的值；（2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，可得出关于实数的不等式，通过构造函数，结合函数的单调性可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为，则，在直线方程中，令，可得，由题意可得，解得.【小问2详解】解：因为函数的定义域为，.当时，对任意的，，即函数在上单调递增，此时函数无极值；当时，由，可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故函数的极大值为，整理可得，令，其中，则，故函数在上单调递增，且，由可得，解得.因此，实数的取值范围是.18.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因，所以，即，【小问2详解】设平面的法向量为，，所以有，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.【点睛】19.如图，直线分别与抛物线交于和，与x轴分别交于和，直线与的交点为．（1）当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，．求抛物线C的方程；（2）是否成等比数列？请给予说明；（3）在问题（1）的条件下，若，求面积S的最小值.【答案】（1）．（2）成等比数列．证明见解答．（3）8．【解析】【分析】（1）由题，求出弦长，即可求出的值；（2）设出点的坐标，分别表示出，再证明即可；（3）由可知，再由（1）的条件求出，从而的面积为，利用基本不等式求最值即可．【小问1详解】由