二次函数与一元二次方程（4个知识点+6个考点）解析版

第11讲二次函数与一元二次方程(4个知识点+6个考点)

T模块导航A一*素养目标—

模块一思维导图串知识1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联

模块二基础知识全梳理(吃透教材)系.

模块三核心考点举一反三2.能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或

模块四小试牛刀过关测解集.

3.根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值

或取值范围.

模块一思维导图串知识

次

二

抛物线y=ar2+

函

hx+c(aK0)与数

与

工轴的交点的横一两个y4ac>&不相等的-

元

坐标即为方程二交点实数根

次

2方一兀二次

有

个

ar++c=0两

程

的

的

相等方程吐+

的两个2

(a#0)二次函数一

关

系

根

数

实

点机

交r+c=O

个根y=ax2+bx

(30)的

+c的图象根的情况

据与z轴的交

无62-4ac<0

求点情况

象交点、..、无实数根

方

数形结合P次

根

的应用似

模块二基础知识全梳理

知识点一、二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数y=ax?+Z?x+c(aWO)的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求ax?+6x+c=0中x

的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交

点的个数，它们的关系如下表：

判别式一元二次方程

二次函数^=ax2+bx+c(aw0)

2

△=b1-4acax+bx+c=0(aw0)

图象与X轴的交点坐标根的情况

一元二次方程

抛物线y=af+w0)与x

a>0

△>0ax2+bx+c=0(a丰0)

轴交于(西,0)，(x,0)(Xj<x)两

22有两个不相等的实数根

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2

y上口-b±yJb-4ac-b±slb2-4QC

点，M,—,

a<0°\1,22a%=2a

此时称抛物线与X轴相交

a>0一元二次方程

抛物线歹二ax2+Z?x+c(aw0)与x

0ax2+bx+c=0(。丰0)

△=0轴交切于这一点，此时称有两个相等的实数根

a<0\b

抛物线与X轴相切X1=X2=~~

/V2a

a>0一元二次方程

V2

抛物线y=ax+bx+c(aw0)与xax1+bx+c=0(。牛0)

△<0

，了轴无交点，此时称抛物线与X轴相离在实数范围内无解(或称

a<0c无实数根)

要点归纳：

二次函数图象与X轴的交点的个数由y_的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，也=6'-4函＞0,方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，&=/-4何=0,方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，△=川-4。＜11，方程没有实根.

2.抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线

y=ax2+bx+c(aWO)与y轴交点和二次函数与一次函数y=自+4(左W0)的交点问题.

抛物线y="2+bx+c(aWO)与y轴的交点是(0,c).

,[y=kx+b.,

抛物线y=a/+6x+c(aWO)与一次函数y=Ax+2(kWO)的交点个数由方程组,的

y=ax-+bx+c

解的个数决定.

当方程组有两组不同的解时=两函数图象有两个交点；

当方程组有两组相同的解时。两函数图象只有一个交点；

当方程组无解时=两函数图象没有交点.

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题.

要点归纳：

第2页共28页

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方

程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.

知识点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程a?+bx+c=0(<2W0)的步骤：

1.作二次函数)，=口:+的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；

2.确定一元二次方程以'=。(〃w。)的根的取值范围.即确定抛物线y=ax'w

与x轴交点的横坐标的大致范围；

3.在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表

格的形式求出相应的y值.

4.确定一元二次方程a/+6x+c=口(百工0)的近似根.在(3)中最接近。的y值所对应的x值即是一元二

次方a/+bx+c=0(a#0)的近似根.

要点归纳：

求一元二次方程ax；'+bx+c=x0)的近似解的方法(图象法)：

(1)直接作出函数y=°炉+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程+&工+c=0的根；

(2)先将方程变为a/+bx=再在同一坐标系中画出抛物线厂二口1+6K和直线>二一。图象交点的

横坐标就是方程的根；

(3)将方程化为x'+2不+1£=o,移项后得，=-,设>=/和,=-2丁一在同一坐标系

aaaaaa

中画出抛物线尸=/和直线)，=刍x-E的图象，图象交点的横坐标即为方程+坛+c=o的根.

aa

知识点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△>()时，设抛物线V+乐+。与X轴的两个交点为A(X］,0),B(x2,0),则X］、工2是一元

bc

二次方程a—+bx+c=o的两个根.由根与系数的关系得玉+x2=——，xxx2=—.

aa

2222

|AB|=|x2—|=-^(x2—XI)=-^(Xj+x2)—4XJX2=J1一］~-4x—b-4ac_y/b-4ac

a2IaI

即\AB\=^(A>0)

l«l

要点四、抛物线与不等式的关系

二次函数^=ax2+Z?x+c(aW0)与一元二次不等式a/+/)%+c>0(aW0)及ax?+/)%+c<0(aWO)

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之间的关系如下(%[<X,):

a>0

判别式抛物线y=ax2++c与不等式ax?+/?x+c<0的解

不等式分+&C+C〉0的解集

x轴的交点集

Av

L/

△>0X<X］或X>%2玉<X<

O|XN/X2X

有两个交点

J上

△=0耳XW'i（或XW%2）无解

Xi(X2)X

有一一个交点

△<0--------全体实数无解

无交点

注：a<0的情况请同学们自己完成.

要点归纳：

抛物线y="2+bx+c在X轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的X的所有值就是不等式

办2+bx+C〉0的解集；在X轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的X的所有值就是不等式

"2+6x+c<0的解集.不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点1：二次函数图象与X轴交点情况判断

【例1】下列函数的图象与X只有一个交点的是()

A.y—x3B.y=/+2x+3C.y—x-2,x+3D.y=*—2x+l

解析：选项A中^—4ac=22—4XlX(—3)=16>0,选项B中9-4ac=22—4X1X3=—8<0,选项C中

Z?2-4ac=(-2)2-4XlX3=-8<0,选项D中lf~4ac=(-2)2-4X1X1=0,所以选项D的函数图象与x

轴只有一个交点，故选D.

【变式1-1](2023•郴州)已知抛物线y=x2-6x+”与x轴有且只有一个交点，则加=.

【解答】解：•••抛物线y=--6x+m与x轴有且只有一个交点，

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方程x2-6x+m=0有唯一解.

即A=b2-4ac=36-4m—0,

解得：m—9.

故答案为：9.

【变式1-2］（2023秋•九年级课时练习）已知抛物线了=f-6x+机-1,当用时，抛物线与x轴有

两个公共点；当m时，抛物线与x轴有一个公共点；当m时，抛物线与x轴没有公共点.

【答案】<10=10>10

【详解】•.•抛物线丁=/一6无+〃2-1,

.,.当A=b2-4ac=（-6『-4xlx（m-1）=-4m+40>0,即加<10时,

抛物线与x轴有两个公共点；

当公=^用+40=0,即小=10时，抛物线与x轴有一个公共点；

当八=^^+40<0,即机>10时，抛物线与x轴没有公共点.

故答案为：<10,=10,>10.

【变式1-3］（2023春•浙江嘉兴•九年级校考阶段练习）已知二次函数'-（加+2）X+7"（%为常数）

⑴若该二次函数图像经过（2,1）,求二次函数解析式；

（2）求证：不论7"取何值，该二次函数图像与X轴总有两个交点；

⑶当-14尤43时，y的最小值为-3,求加的值.

【答案】（1）了=》2-》-1：

（2）见解析；

⑶〃z=±2^/2

【详解】（1）解：将（2,1）代入解析式了=x2-（m+2）x+机可得4-2（加+2）+%=1

解得m=-1,

贝！］y—x2-x-1

（2）证明：将y=0代入解析式了=x?-（加+2）尤+加可得x2-（m+2）x+"7=0

判别式△=-4m=-2）~>0

一元二次方程f-（m+2）x+机=0始终有两个解，

即二次函数图像与x轴总有两个交点；

（3）解：二次函数一（加+2）x+机的对称轴为工=二1^

m+2

当----<-1时，HPm<-4,此时-1VXV3在对称轴的右侧，

2

又：1>0,开口向上

.•.当-14x43时，，随x的增大而增大，

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当x=-l时，J7最小，即1+（加+2）+加=一3,

解得加=—3,不符合题意，舍去；

m+7

当一1«-------（3时，即一4«加工4,止匕时对称轴在一IV3中间

2

当x=等时，y最小，即（丁］2一（加+2）（竺曰+根=一3

解得加=±2及，符合题意，

当3＜二三时，即机＞4,此时对称轴在TWxV3的右边

2

当x=3时，了最小，即加=3,

解得加=3,不符合题意，舍去；

综上,m=+25/2

考点2：利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴

【例2】如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1,0）,（3,0）两点，则它的对称轴为

解析：：点（1,0）与（3,0）是一对对称点，其对称中心是（2,0）,...对称轴的方程是x=2.

方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程.

【变式2-1］（2023•广东惠州・二模）已知抛物线y=x2+6x+c经过点（1,0）和点（-3,0）,则该抛物线的对称

轴为（）

A.y轴B.直线x=-lC.直线x=-2D.直线x=2

【答案】B

【分析】根据N、8两点的纵坐标相同可知43两点关于对称轴对称，据此即可求出答案.

【详解】解：：抛物线y=x2+bx+c经过点（1,0）和点（-3,0）,

••・抛物线对称轴为直线-看一,

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关

键.

【变式2-2】二次函数了="2+法+。的图象与x轴相交于（-1,0）和（5,0）两点，则该抛物线的对称轴

是.

【分析】根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半.

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【解答】解：,・•二次函数y="2+bx+。的图象与％轴相交于（_i,o）和（5,0）两点，

二.其对称轴为：%=1+5=2.

2

故答案为：x=2.

【点评】本题考查了抛物线与、轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等.

【变式2-3】如图，抛物线y=+（6-+冽-3与x轴交于4（石，0）、B（X2,0）两点（再<%2），

父y轴于C点，且X]+超=0.

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴方程.

（2）在抛物线上是否存在一点尸使AP5C二AO5C?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据玉+马=0,可得出抛物线的对称轴为〉轴即、=0，由此可求出加的值.进而可求出抛

物线的解析式.根据抛物线的解析式即可得出其顶点坐标和对称轴方程.

（2）如果AP5C3AO5C,由于AO5C是等腰直角三角形，那么尸有两种可能：①尸，。重合；②尸与0

关于直线5c对称，而这两种尸点均不在抛物线上，因此不存在这样的尸点.

【解答】解：（1）・・・玉+/=0

/.6-=0

/.加=±6,

•・•抛物线与>轴交于正半轴上，

:.m=6.

抛物线解析式了=-；/+3,

抛物线顶点坐标C（0,3）-抛物线对称轴方程x=0.

（2）3点坐标为（3,0）.

假设存在一点P使NPBC=\OBC.

因为AO3C是等腰直角三角形，3c是公共边，

故尸点与。点必关于8C所在直线对称.点P坐标是（3,3）.

当x=3时，y/3,即点P不在抛物线上，

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所以不存在这样的点尸，使AP5C=AO5C.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数解析式的确定以及全等三角形的判定等知识点.

考点3:利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围

【例3】若函数旷=勿*+（勿+2）入+,必+1的图象与x轴只有一个交点，那么"的值为（）

2

A.0B.0或2C.2或一2D.0,2或一2

解析：若勿W0,二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若皿=0,

原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（勿+2）2—4m（1必+1）=0,解得勿=2或一2,当勿=0时原

2

函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当勿=0,2或一2时，图象与x轴只有一个交点.

方法总结：二次函数yuaf+bx+c,当4ac>0时，图象与x轴有两个交点；当—4ac=0时，图象

与x轴有一个交点；当52—4ac<0时，图象与x轴没有交点.

【变式3-1】函数歹+（加+2）x+g冽+1的图象与1轴只有一个交点，则加的值为（）

A.0B.0或2C.0或2或一2D.2或一2

【分析】根据函数y=«ix2+（仅+2）x+gm+l的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得他

的值，本题得以解决.

【解答】解：•.■函数y=加工2+（加+2）x+；m+l的图象与x轴只有一个交点，

二.当加=0时，y=2x+l,此时y=0时，x=-0.5,该函数与x轴有一个交点，

当〃―0时，函数y=mx2+（m+2）x+:机+1的图象与x轴只有一个交点，则△=（加+2）2+1）=0,

解得，%=2,m2=—2,

由上可得，加的值为0或2或-2,

故选：C.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答.

【变式3-2］若函数了=以/+（加+2）x+机+1的图象与x轴只有一个交点，那么加的值为（）

A.0B.0或2或-2C.2或-2D.0或也或-逋

33

【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可.

【解答】解：分为两种情况：

①当函数是二次函数时，

,/函数y=妙2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，

△=（m+2）2-4m（m+1）=0且加w0,

第8页共28页

解得：m=±---；

3

②当函数是一次函数时，机=0,

此时函数解析式是y=2x+l,和X轴只有一个交点.

故选：D.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确利用根的判别式和分类讨论是解题关键.

【变式3-3]（2023春•福建福州•九年级校考期中）已知二次函数、=/+办+6的图象与x轴交于/,8两

点，若CM+03VI,则6的取值范围是.

-11

【答案】V;

44

【详解】解：根据题意设/+办+6=0的两个根为加、"，

则加+〃=-a,mn=b.

*/|m|+1w|<1,

/.（|m|+1w|）2=m2+/+2\mn|=（m+nf-2mn+2\mn\=a2-2b+2\b\<.

①当620时，a2-2b+2b<1,

a2<1.

又一+。％+6=0的判别式△=/—4b>0，

,a21

b<—<一.

44

0W6<一.

4

②当6<0时，a2-2b-2b<\,

0<a2<4b+1.

/.~—<b<0.

4

综上，<].

44

故答案为：<].

44

考点4：利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解

【例4】小兰画了一个函数y=*+ax+6的图象如图，则关于x的方程*+ax+力=0的解是（）

A.无解B.x=lC.x=-4D.x=—l或x=4

第9页共28页

解析：二,二次函数y=*+ax+6的图象与x轴交于(-1,0)和(4,0),即当x=-1或4时，x+ax+b=Q,

.,.关于x的方程*+@入+6=0的解为Xi=—1,4=4,故选D.

方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解.

【变式4-1]若二次函数了=/+区的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于夕轴的直线，则关于X的方程

f+6x=5的解为()

A•%]—-0,X]~4B•%—1,%?=5C•国=1,x2=-5D•石——1,x2=5

【分析】根据对称轴方程一2=2,得6=—4,解f一4x=5即可.

2

【解答】解：・・・对称轴是经过点(2,0)且平行于》轴的直线，

2

解得：b=-4,

二.关于x的方程为4X=5,

解得再=一1,%=5,

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系，难度不大.

【变式4-2】已知二次函数'二分+所+C的部分图象如图，则关于x的一元二次方程办2+&+°=0的解为

A.Xj——49%2=2B.Xj——3,%2=-1C.——4，x?——2D.石=—2，x?—2

【分析】根据抛物线的对称性求解.

【解答】解：因为抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，

设另一个交点的横坐标为X,

贝!|x+2=2x(-l),

解得：x=-4,

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性是解题的关键.

【变式4-3](2023・四川绵阳•统考二模)二次函数y=a/+6x+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方

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程a(2x-l)2+b(2x_l)+c=7的解为

X-30135

y7-8-9-57

【答案】再=一1,x2=3

【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程62+区+°=7的解为为=-3,%=5,再把方程

矶2厂1）2+〃2》-1）+0=7看作关于（2工-1）的一元二次方程，则2》-1=-3或2尤-1=5,然后解两个一次方

程即可.

【详解】解：由表值值数据得x=-3或x=5时，y=7,

，一兀二次方程ax?+bx+c—l的解为占=-3,x2=5,

把方程0（2》-1）2+〃2X-1）+。=7看作关于（2工-1）的一元二次方程，

2x-1--32x-1=5,

解得玉=T，%=3,

即一元二次方程。（2x-Ip+6（2x-l）+c=7的解为玉=-1,x2=3.

故答案为：占=-1,x2=3.

考点5：利用抛物线解一元二次不等式

解析：观察图象，可知当一3VxVl时，抛物线在x轴上方，此时y>0,即a*+Z?x+c>0,.,.关于x的不

等式af+Ar+c>。的解集是一3Vx<1.故选C.

方法总结：抛物线_7=@/+族+。在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次

不等式af+^x+c>。的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不

等式ax+fe+c<0的解集.

【变式5-1］（2023秋•九年级课时练习）二次函数>="2+法+。的图象如图所示，则关于x的不等式

a*+6x+c>0的解集是（）

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A.x<—1B.x>3C.-l<x<3D.x<—l或x〉3

【答案】D

【分析】根据二次函数y=ax2+6x+c的图象与x轴的交点坐标求解即可.

【详解】•.•二次函数y=a，+6x+c与x轴交于点（-1,0）,（3,0）

二次函数开口向上，

二关于x的不等式ax?+bx+c>0的解集是苫<-1或x>3.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当>>0时，利用图象得出不等式解

集是解题关键.

【变式5-2]（2024•任城区校级四模）已知一次函数必=6+6（后40）和二次函数%=依2+6x+c（aW0）的

部分自变量和对应的函数值如表：

12345

必01234

%0-1038

则关于x的不等式办2+（6-左）x+c<6的解集是（）

A.2<x<5B.1<x<4C.x<l或x>4D.不能确定

【分析】先利用描点法画出两函数图象，然后写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可.

一次函数必=履+6（左片0）和二次函数%=亦2+云+°370）的图象相交于点（1,0）,（4,3）,

当l<x<4时，即foc+6>ax2+bx+c，

所以关于x的不等式办2+（b-k）x+c<b的解集为1<x<4.

第12页共28页

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系比较函数

的大小，则相应自变量的取值范围为对应的不等式的解集.

【变式5-3］（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线（a>0）和直线

0）交于点。和点则不等式ax1+bx<kx的解集为.

【解答】解：：抛物线>=亦2+云（a>0）和直线（左>0）交于点。和点/,

，0<x<3时，直线在抛物线的上方，

...不等式ax2+bx<kx的解集为：0Vx<3.

故答案为：0<x<3.

考点6：确定抛物线相应位置的自变量的取值范围

【例6】二次函数y=a*+Z?x+c（aW0）的图象如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）

C.-1<^<3D.x<—1或x>3

解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为（一1,0）且其对称轴为x=l,则抛物线与x轴的另一个交

点为（3,0）.当y>0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x<—1,由右边一段图象可知x

>3.因此，xV—1或x>3.故选D.

方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键

【变式6-1］（2023秋•雷州市期末）二次函数了="2+乐+0（040）的图象如图所示，则函数值y>0时，x

的取值范围是（）

A.%<—1B.x>3C.-1<x<3D.x<-l或x>3

【分析】根据图象，写出函数图象在X轴上方部分的X的取值范围即可.

【解答】解：由图可知，XC-1或x>3时，y>0.

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故选：D.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便.

【变式6-2].(2024•织金县一模)二次函数了=办2+3"+〃(.>0)的图象过点(；,0),则使函数值y>0成

立的x的取值范围是()

A7Tl71「fl1

A.x—x>一B.—<x<—C.x<0x〉一D.0<x<一

222222

【分析】根据二次函数的对称轴和与x轴的交点坐标解答即可.

a

【解答】解：二次函数)二办?+3办+〃，。>0开口向上，对称轴为直线、=-5，

,・,图象过点。,0),

7

图象过(一3，0),

71

.,.使函数值y>0成立的x的取值范围是：x<-]或

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到二次函数与x轴的交点坐标是关键.

【变式6-3].(2023秋•丰台区期末)已知二次函数>=亦2+笈+°(。40)图象上部分点的横坐标x,纵坐

标〉的对应值如下表所示：

X-10124

y830-13

(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)直接写出当y>0时，x的取值范围.

【分析】(1)依据题意，观察表格数据，先求出对称轴是直线x=^=2,顶点坐标为(2,T),从而可设

二次函数的解析式为y=a(x-2)2-1,又图象过(1,0),计算进而可以得解；

(2)依据题意，令y=f-4x+3=0,得x=l或x=3,又抛物线开口向上，从而>>0时，x的取值范围

是函数图象是x轴上方的部分对应的自变量，进而可以判断得解.

【解答】解：(1)由题意，根据表格数据，可得抛物线的对称轴是直线x=3=2,

2

顶点坐标为(2,-1).

二.可设二次函数的解析式为y=a(尤-2)2-1.

又图象过(1,0),

u—1=0.

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.*.<7=1.

.,.二次函数的解析式为了=（工一2）2-1=/-4尤+3.

（2）由题意，令y=x2-4x+3=0,

x=1或x=3.

又抛物线开口向上，

，>>0时，x的取值范围是函数图象是x轴上方的部分对应的自变量.

，x<l或x>3.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一.选择题

1.（23-24九年级上•山东烟台・期中）已知二次函数y=af+6x+c的图象在x轴的下方，则〃，b,c满足

的条件是（）

A.a>0,b2-4ac>0B.a>0,b2-4ac<0

C.a<0,b2—4ac<0D.a<0,b2-4ac>0

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的

图像在x轴的下方，可得抛物线开口向下，「与x轴无交点，即可判断.

【详解】解：；二次函教>="2+加+°的图象在》轴的下方，

抛物线开口向下，与x轴无交点，

即a<0,b2-4ac<0,

故选：C.

2.（2023•四川绵阳一模）二次函数必=ax?+6x+c与一次函数%=M+C的图像如图所示，则满足

ax?+6无<的x的取值范围为（）

A.-3<x<0B.x<-3或x>0C.x<-3或x>lD.0<x<3

【答案】C

【分析】

本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象可得"2+法<MX中X的取值范围就是二次函数图象在一次函

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数图象下方部分的X的取值范围即可.

【详解】解：由图像可得，当》<-3或x>l时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，

即必<%，

...当x<-3或无>1时，ax1+bx+c<mx+c，

.,.当x<-3或x>1时，ax2+bx<mx，

故选：C.

3.（23-24九年级上•吉林•阶段练习）将抛物线^=-X2+4向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（）

A.（-2,4）B.（-1,1）C.（0,4）D.（1,-3）

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键.直接将原函数写成顶

点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判

断即可.

【详解】解：将抛物线>=-，+4向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：>=-/+2,

当x=-2时，y=-（-2）2+2=-2,故（-2,4）不在此抛物线上，故A选项不合题意；

当尸-1时，^=-（-1）2+2=1,故（T1）在此抛物线上，故B选项符合题意；

2

当x=0时，y=-0+2=2,故（0,4）不在此抛物线上，故C选项不合题意；

当x=l时，y=-f+2=l,故（1,-3）不在此抛物线上，故D选项不符合题意；

故选：B.

4.（23-24九年级上•山东潍坊•期中）已知二次函数y=/-5x-6,当y=0时，x的值是（）

A.2或-3B.-1或6C.-6或1D.-3或-2

【答案】B

【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，列出关于x的方程是解本题的关键.令y=0得到关于x的一元二

次方程，求出方程的解即可得到x的值.

【详解】解：令y=。，得到，-5》-6=0,

即（x-6）（x+1）=0,

解得：x=T或6.

故选：B

5.（23-24九年级上•山东泰安・期中）已知二次函数>=尔+云+。的图象与x轴的正半轴交于点/（不⑼，

点5（%,0）,与歹的正半轴交于点。（0,必）且苞=%，/=2再，那么6的值为（）

33-22

A.-B.——C.-D.——

2233

【答案】B

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【分析】此题主要考查了抛物线与X轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数y=尤+C的图象

与x轴的正半轴交于点/(玉,0),点5伍,0),与歹的正半轴交于点C(O/J且芯="，4=2再,由此得到

c=玉,,接着把点”(再,0),点3(%,0)代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解，根据交点坐标满

足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键.

【详解】解：..•二次函数y=62+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点/(占,0),点8&,0),与了的正半轴

交于点C(O，M)且再=必，x2=2xj,

c=xlf

.[O=QX；+bx1+再

[0=4ax；+2bxi+

b=一3咐,

。代入第一个方程得：b=3

3国2

故选：B.

6.(2024•观山湖区二模)抛物线％="2+云+&0W0)的部分图象如图所示,其与苫轴时的一个交点为(-3,0),

对称轴为直线x=-l,将抛物线乃沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线%,则当%<0时，

x的取值范围是()

A.—3<%<—1B.—l<x〈lC.—l<x<3D.l<x<3

【分析】依据题意，由弘与X轴时的一个交点为(-3,0),对称轴为直线x=-l,从而与X轴的另一个交点为

(-1+2,0),即(1,0),又抛物线必="2+法+或。20)的开口向上，故当必<0时，进而当将抛

物线乃沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线力，则抛物线力与x轴的交点为(-1,0),(3,0),

进而可以判断得解.

【解答】解：由题意，•.•必与x轴时的一个交点为(-3,0),对称轴为直线x=-l,

与x轴的另一个交点为(-1+2,0),即(1,0).

抛物线必+bx+c(aW0)的开口向上，

.,.当“<0时，-3cx<1.

将抛物线乂沿着x轴的正方向