2025年重庆三诊数学试题及答案

重庆三诊数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[X]分，共[X]分）

1.下列函数中，有最小值的是：

A.$f(x)=x^2-2x+1$

B.$f(x)=x^2+2x+1$

C.$f(x)=-x^2+2x-1$

D.$f(x)=-x^2-2x+1$

2.若等差数列$\{a_n\}$的前三项分别是2，5，8，则其第10项为：

A.17

B.18

C.19

D.20

3.若$\sin^2x+\cos^2x=1$，则$\sin2x$的取值范围是：

A.$[-1,1]$

B.$[-1,0]$

C.$[0,1]$

D.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

二、填空题（每题[X]分，共[X]分）

4.函数$f(x)=x^3-3x+1$的对称中心为$\boxed{\text{点}}$。

5.等差数列$\{a_n\}$的前三项分别是3，5，7，则该数列的前10项之和为$\boxed{\text{数值}}$。

6.若$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$）在$x=1$时取得最大值，则$a$的取值范围为$\boxed{\text{范围}}$。

四、解答题（每题[X]分，共[X]分）

7.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，求证：$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。

8.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，求该数列的通项公式。

五、证明题（每题[X]分，共[X]分）

9.证明：对于任意实数$x$，都有$x^2+1\geq2x$。

六、综合题（每题[X]分，共[X]分）

10.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

（1）函数$f(x)$的图像与$x$轴的交点；

（2）函数$f(x)$的单调区间；

（3）函数$f(x)$的极值点。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A.$f(x)=x^2-2x+1$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为$(1,0)$，因此有最小值0。

2.B.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1=2$，$d=3$，所以$a_{10}=2+(10-1)\times3=29$。

3.C.根据三角恒等式$\sin^2x+\cos^2x=1$，$\sin2x=2\sinx\cosx$，由于$\sin^2x+\cos^2x=1$，所以$\sin2x$的取值范围为$[-1,1]$。

二、填空题答案及解析思路：

4.对称中心为$(1,0)$，因为$f(x)$是关于$x=1$对称的。

5.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$得$S_{10}=\frac{10}{2}(3+29)=165$。

6.由于$f(x)$在$x=1$时取得最大值，所以$f'(1)=0$，即$2a+b=0$，又因为$f(1)=1$，所以$a+b+c=1$，解得$a=-\frac{1}{2}$。

四、解答题答案及解析思路：

7.解析思路：求导数$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令$f'(x)>0$解得$x>1$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。

8.解析思路：由$S_n=3n^2-2n$，得$a_1=S_1=1$，$a_2=S_2-S_1=6$，$a_3=S_3-S_2=9$，由此可以得出公差$d=a_2-a_1=5$，所以通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times5=5n-4$。

五、证明题答案及解析思路：

9.解析思路：将不等式$x^2+1\geq2x$改写为$(x-1)^2\geq0$，显然对于任意实数$x$，$(x-1)^2$都是非负的，所以原不等式成立。

六、综合题答案及解析思路：

10.解析思路：

（1）令$f(x)=0$，解得$x^3-6x^2+9x+1=0$，可以通过因式分解或使用数值方法求解，得到$x=1$或$x=3$。

（2）求导数$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$解得$x=1$或