比较大小六大方法-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题07比较大小六大方法汇总

dan

题型1临界值法比较大小.............................................................1

题型2利用函数性质比较大小........................................................4

题型3构造差与商比较大小...........................................................7

题型4构造函数比较大小............................................................11

题型5放缩法比较大小..............................................................16

题型6导数法.......................................................................20

题型1临界值法比较大小

【例题1】(2023•全国•高三专题练习)已知a=log22.8,b=log0.82.8,。=2-。-8试比较a,

b,c的大小为()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a、b、c与0、1相比较，即可得到结论.

【详解】=log22.8>log22=1,

/)=logo,82.8<log0,8l=：0,

0<c=2­°-8<2°=l,

:.b<c<a.

故选：B.

【变式1-111.（2021・全国•高三专题练习）已知a=log0,53,b=0.5-3,c=3用试比较

a,b,c的大小为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a、b、c与0、1相比较，即可得到结论.

【详解】解：,•,a=logo.53=-log23<0,

Z）=O.5-3=23>2O=1,

1o

0<c=3-0-5=gy<Q）=],

:.a<c<bt

故选：B.

3

【变式1-1】2.（2022•全国•高三专题练习）B^a=log0,33,b=（|）~,c=4-i,则下列

大小比较正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由对数函数及指数函数的单调性可得a,b,c的范围，进而比较出它们的大小关

系.

【详解】因为a=logo,33<logo.31=。，即a<0,

c=4-1=^e（o,i）,

公（|尸=针>0°=1，即b>1，

所以可得：a<c<b,

故选：C.

【变式1-1】3.（2022•山西太原•统考一模）比较大小：a=log3或，b=e01,c=e呜

（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由对数函数的性质可知a=log3V2<I，由指数函数的性质可求出匕>1,c=l，进

而可判断三者的大小关系.

【详解】解：因为鱼<遮，所以a=log3V^<（,b=e01>e°=1,c=eln2=e-ln2=2-1=

i

2,

则b>c>a,

故选:A.

【点睛】本题考查了指数、对数式的大小比较.若两式的底数相同，常结合指数函数的单调

性比较大小，若两式的指数相等，则常结合图像比较大小；有时也进行整理通过中间值比较

大小.

【变式1-1】4.（2021•福建泉州•福建省德化第一中学校考三模）比较下列几个数的大小：

030001

a=（|）',b=log2|,c=5,则有（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先让a力,c和0或1比较大小，然后再判断a力,c的大小.

0.31

G(0,1),b=Iog-<0,c=50001>1

©2

c>a>b.

故选D

【点睛】本题考查指对数比较大小，意在考查转化与计算，属于简单题型.

题型2利用函数性质比较大小

型重点

比较指对幕形式的数的大小关系，常用方法：

(1)利用指数函数的单调性：y=a、，当a>l时，函数递增；当o<a<l时，函数递减；

(2)利用对数函数的单调性：y=Iogax,当a>1时，函数递增；当。<a<1时，函数递减;

【例题2】(2022・重庆・校联考模拟预测)下列各式比较大小正确的是()

A.1.725>1.73B.0.6T>0.62c.O.801>1.201D.1.703<0.931

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性可判断AB,再由幕函数单调性判断C,借助1判断D.

【详解】A中，,.函数y=可在R上是增函数，2.5<3,.-.1.72-5<1.73,故错误；

B中，•3=0.6，在R上是减函数，-1<2,.•O6T>0.62,故正确；

C中，-/y="。1在(0,+8)上是增函数,O.801<1.2。1.故错误;

D中，■.-1.70-3>1,0<0.931<1,.•.1.7°-3>0.931,故错误.

故选：B

【变式2-1】1.已知2021。=2022,2022b=2021,c=ln2,则()

A.logac>logfecB.logca>logcb

C.ac<bcD.ca<cb

【答案】D

【分析】比较。、久c的大小关系，利用指数函数和对数函数的单调性可判断各选项的正误.

【详解】；a=l°g20212022>Iog20212021=1,0=log20221<b—log20222021<log2022

2022=1,

0=Ini<c—ln2<Ine=1,即0<c<l,

所以，logac<logal=0,loghc>log6l=0,则log/<logbC,即A错误；

a>b,0<c<1,所以，logcaVlogW,ac>bc,ca<cb,即BC都错误，D正确.

故选：D.

【变式2-1】2.(2022春・天津北辰•高三天津市第四十七中学校考开学考试)定义在R上的

函数7'0)=sin久+2x,若a"©),b=/(lnV2),c=f(£)，则比较a,b,c的大小关系为

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由对数函数性质得|1,lnVIe珀1勺大小，由导数确定函数的单调性，然后由单调性比较

大小.

【详解】由对数函数性质知ln&<ln^=1,屋>1,

11

所以111应<5<瓯

尸(x)=cosx+2>0恒成立，/(X)在R上是增函数，所以6<a<c.

故选：C.

【变式2-1]3.(2023・全国•高三专题练习)若函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=/(%+1)

为偶函数，且-时,，(々)—八巧)](冷—问)>0,比较f(2017),/(2018),

f(2019)的大小为()

A./(2017)<f(2018)</(2019)B./(2018)<f(2017)</(2019)

C./(2018)</(2019)<f(2017)D./(2019)<f(2018)<f(2017)

【答案】D

【分析】由题意可知，函数y=fO)的周期T=4,再由当—1W%i<X2W1时，

[/(%2)-/(xi)](%2-%1)>。可知函数y=/X)在[—L1]上为增函数，然后计算比较即可.

【详解】•••函数y=f(%)是R上的奇函数，又y=+1)为偶函数，

•••/■(-%)=-/(%),/(-%+l)=f(x+1),

•••/(%)=f(x+4),即函数y=/'(%)的周期r=4,

,­1一1W久1<Qw1时,X2—Xi>0,[f(%2)—f(xl)](x2—xl)>0>

•••f(%2)-f⑸)>0即f。2)>/(%1),函数y=f(x)在[—1,1]上为增函数，

/(2017)=/(I+4X504)=/(I),f(2018)=f(2+4x504)=f(2)=f(0),

/(2019)=/(-1+4X505)=/(-1),

•••f(2019)<f(2018)</(2017).

故选：D.

【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

【变式2-1】4.(2023・安徽亳州•高三校考阶段练习)我们比较熟悉的网络新词，有

"yyds"、"内卷"、"躺平"等,定义方程/⑶=尸⑶的实数根x叫做函数八%)的"躺平

点”.若函数g(x)=e*r,/i(x)=In%,火乂)=2023x+2023的“躺平点”分别为a,b,

C,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根据"躺平点"新定义，可解得a=l,c=O,利用零点存在定理可得6e(Le),即可

得出结论.

【详解】根据“躺平点”定义可得g(a)=g'(a),又g'(x)=e-1；

所以e"—。=e°—1/解得。=1；

同理/T(x)=§,gpinfe=I；

令TH(X)=lnx-：,则nT(x)=5++>0,即巾(久)为(0,+8)上的单调递增函数，

1

又小(1)=一1<0,m(e)=1-->0,所以TM(X)在(l,e)有唯一零点，即be(l,e)；

易知"0)=2023,即9(c)=2023c+2023=d(c)=2023,解得c=0；

因此可得6>a>c.

故选：B

题型3构造差与商比较大小

驷』1重点

(1)作差法：作差与0作比较；

(2)作商法：作商与1作比较(注意正负)；

【例题3】(2022•全国•高三专题练习)若x,y,z是正实数，满足2x=3y=5z,试比较

3x,4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令2,=3〉=5z=t,则t>1,久=修，y=鲁，z=鲁，利用作差法能求出结果.

【详解】V、z均为正数，且*=3y=5Z,

令2工=3》=52="则t>l,

故久=log2t=假，y=log3t=鲁，z=log5t=居，

；.3x—6z=3境—鲁)=强设;且产)>0,即3x>6z;

6z_4y=2嚣一•=^1^>0,即6z>4y,

即3x>6z>4y成立，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

(1)将指数式转化为对数式；

(2)利用作差法比较大小.

【变式3-1】1.已知正数x,y,z满足:dny=yez=zx,则x,y,z的大小关系为()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不对

【答案】A

【分析】将z看成常数，然后根据题意表示出x,y,再作差比较出大小即可

【详解】解：由xlny=yez=zx,得xlny=zx,则z=lny,彳导y=eZ,

所以ez，ez=zx,所以x=

令f(z)=ez—z(z>0),则尸(z)=ez—1>0,

所以函娄好(z)在(0,+8)上单调递增，所以f(z)>/(0)=e°-0=1,

所以ez>z,即y>z

所以x_y=§_ez=^£：=^^>o,

所以尤〉y,

综上％>y>z,

故选：A

2

e

【变式3-1】2.(2023・全国•模拟预测)已知a=2e〃，b=e,c=&，试比较a,b,c

的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用Inx常见的不等式，估计出ln2的范围，精确估计出1.73(诉<1.8,然后利

用作商法比较大小.

【详解】先证明两个不等式：

(1)21nx<%—|(x>1),设/(%)=21n%—%+:(％>1),贝！］

f(x)=|-l-i=-(|-l)2<0(%>l),即f⑺在(L+8)上单调递减，故

/(X)<f(1)=0,即21nx<%—|(x>1)成立

(2)lnx>笔热x>l),设g(x)=ln;・笔小(x>l),则

9'(乃=5一品=意号>。(乂>1),即9。)在(L+8)上单调递增，故

9(£)>9(1)=0,即Inx>翠渣(％>1)成立

再说明一个基本事实，显然3<n<3.24,于是1.73(遮〈诉<1.8.

由(1)可得।取X=2,可得21n2Vl.5=ln2Vo.75Qe°75>2;

由(2)可得，取x=2,可得ln2>g,再取x=g,可得其>齐0.27,即e。"<>

3

4,

"盘年>1，显然"°，于是6>a；

£=蛊=咚西<Q^<e2-而-。-27=eL73-而<e0=i,显然a>0,于是c<a.故

a2e标21n24=c'_u_八、、'」y"

b>a>c.

故选：B

-1

【变式3-1】3.若0<6<a<-,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb，贝!J()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果.

ah

【详解】•:x=Q+be》,y=b+ae,z=b+aet

:.y—z=a(^ea—eb>)

又a>b>0,e>l,:.ea>eb

.,.y>z

z—%=(b—a)+(a—》)於=(a—b)(於_1),

又a>b>0,eb>l

:.z>x

综上：x<z<y

故选：A

【变式3-1】4.(2023•贵州贵阳校联考三模)已知正实数a,6,c分别满足。2=口b=\n2,

c=簧，其中e是自然常数，贝M力,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比较出a,c大小关系；可构造函数;■⑶=器，将a力和hc大小关系的比

较转化为f(2)/(e)和汽e2)/(8)大小的比较，利用导数可求得打切单调性，从而比较出大小

关系.

【详解】由导:。=焉4=*居=竽

e>Q)=又c>0,

人cInxL.IZ,—--Inx♦——2—lnx

令/(X)=/，则尸(x)=旦一=豆豆，

.•.当Xe(0电2)时,f(%)>0；当xeg2,+8)时,f(%)<0；

•••f(%)在(0,e2)上单调递增，在(e2,+8)上单调递减；

•••/(e)>/(2),即惜=亲>器，,奈>也2,即a>b;

且左2)>/(8),即詈=：>翳=翳，二m2(噜即b<c;

综上所述：a>c>b.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用函数单调性比较大小的问题；解题关键是能

够根据所给数字的特征，将问题转化为名好=方的不同函数值的比较问题，从而利用导数

求得函数单调性，根据单调性得到大小关系.

题型4构造函数比较大小

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)下列大小比较中，错误的是()

e3e3e71en71371

A.3<e<irB,e<?r<eC.n<e<3D.?r<e<3^

【答案】D

【分析】对于选项D,构造函数f(x)=竽得到f(x)W/(e)=：.令尤=J得到兀3>e\所

以选项D错误；

对于选项A,在f(久)中，令x=彳，得到兀e>e3.所以选项A正确;

对于选项B,在中，令％=兀，则兀e<e1所以选项B正确;

对于选项C,6”<3，所以酒<^<3兀，所以选项C正确.

【详解】解：对于选项D,构造函娄好(%)=等，所以r(%)=费，

所以当0<%<e时,/口)>0,函数/(%)单调递增;当x>e时，/(无)<0,函娄好(x)单调递

减.

所以/(幻</(e)=(当且仅当x=e时取等)

e2

则令％贝11恰<t化简得1|">兀>2-2,故3皿兀>6-m>6—e>7i,

n

故1毋>兀，故兀3>4，所以选项D错误；

3

对于选项A,30<冰,/(3)</(e),.-.^<^,.-.3e<e,

在外为端中，令比=彳，则去*化简得lnQ2—表故eln/r>e(2与>27X(2—詈

7T

)>2,7X(2-0.88)=3.024>3,

e3e3e3e

^ffUXelnTT>3,Aln7T>lne,n>e.fifrlU3<e<n,所以选项A正确;

对于选项B,在了⑺/中，令x=%则乎〈詈,.5<—所以e3〈游</,所以选项B

正确；

对于选项G6"<3%所以游<0”<3兀，所以选项C正确.

故选：D

19-113139

【变式4-1】1.(2022•全国•高三专题练习)比较。=/力=/。=景而(e为自然对数的

底数)的大小为()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根据这三个数的结构，构造函数y=加2T,再用导数法判断其单调性，然后利用

单调性判断.

【详解】根据题意，构造函数'=疣2-3

所以y'=(1-X)e2~x

当0<x<1时y'=(1—x)e2~x>0

所以y=xe2T在（0,1）上递增,

所以a>b>c

故选A.

【点睛】本题主要考查了比较数的大小，构造函数，导数与函数的单调性等问题，还考查了

运算求解的能力，属于中档题.

1ln2

【变式4-1】2.（2023•辽宁•大连二十四中校联考模拟预测）已知0=（丁力=停）％=

（增T，试比较她c的大小关系（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根

据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调

性判断即可.

【详解】设/■co=竽（％>o）=>r（x）=

当x>e时,r（x）<0,/（无）单调递减，

所以有f（e）>/（3）>/（4）,

Ineln221n2ln4

e万一4一

设9(%)=xx(x>0)=>lng(%)=xlnx,

设y=xlnx=>y=In%+1,

当。＜%＜，时，y'＜0,函数y=泪n%单调递减，

因为］＞墨＞竽＞0,

所以1电@＜1电曾］＜ln［g（竽）］,

因为函数y=Inx是正实数集上的增函数，

故［咫］＜M詈）］＜［。（竽）］,

1In3ln4ln2

即（）〈停产＜（vF=（竽）%所以。＜°＜瓦

故选：C

【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题

的关键.

【变式4-1】3.（2023•全国•长郡中学校联考二模）设实数a,b满足1001。+1010^=

2023。，1014a+1016fe=2024\则a,b的大小关系为（）

A.a＞bB.a=bC.a＜bD.无法比较

【答案】C

【分析】先假设a26,再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.

【详解】假设a2b,则1010。21010、1014a＞1014\

6

由1001。+1010=2023a得1001。+io］。。＞2023a=（蜷）°+（费）”＞1,

因函数/（%）=（瑞）1（瑞）,在R上单调递减，又/。）=瑞+嬲=藕＜1，则

/（a）＞l＞/（l）,所以a＜l；

由1014。+I。.=2024b得10146+10166＜2024『（黑）"+（嬲）”＜1,

E-7■乎A/、z1014、%,,1016、x+CM、H、i-n“、1014,10162030、«.i

因函数g（w=（痂）+（痂）在R上单吗递减，又g（i）=,+痂=百＞1，则m

g(6)Wl<g(l),所以b>l;

即有a<1<匕与假设a2b矛盾，所以a<6,

故选：C

02

【变式4-1]4.(2023•河南开封•校考模拟预测)若a=e,b=g,c=In3.2,则aec的

大小关系为()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根据结构，构造函数丁=才-1-1,利用导数证明出e'2t+l,利用单调性判断出

a>c-令f(x)=ln久—筌，利用单调性判断出c>b,即可得到答案.

【详解】iHy=ef-t-1,因为y'=e1-L

令y>o,解得t>o；令y<o,解得t<o；

所以y=ef-t-1在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以Vmin=e°-0-1=0,所以e‘>t+1,

所以a=e°2>0.2+1=1.2>V1.2=b,a>1.2=|ne12，c=In3.2,

因为(ei2)5=e6>(2.7)6=387.4>(3.2)5-335,5,所以eL2>3,2,即a>c;

令久久)=lnx—竽xe(0,+8),

所以f(久)在(0,+8)单调递增，/(l)=0,

所以当久>1时，/(x)>0,即lnx>等，

所以n3.2=ln2+lnl,6>年常+空需=琦>琮="，

又1<1.2<1.21,1</?=V12<1.1,所以c>l.l>b.

故a>c>b.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，解答的关键是结合式子的特征，合理构造函数，利

用导数说明函数的单调性，即可判断.

题型5放缩法比较大小

J,尉:

木匕均量点

通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只:

要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较

的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构

造函数n»=e”—久―1,利用导数证明得到x>0时，e%>x+l,进而放缩得到a=e0,2；

>1+0.2=1.2=Ine1-2.

11

【例题5】(2023•全国•高三专题练习)已知a=si*,b=lg3,c=2i,比较a,b,c的大

小：(用"<"连接)

【答案】a<b<c

【分析】通过构造函数fO)=x-sin久，利用其单调性得到a=sin,再通过作差与零进

行比较，得出b与争勺大小关系，再通过仇c与1进行比较，判断出b<c,进而得到结果.

【详解】令/(%)=%—sinx,广⑺=l—cosx20恒成立，当且仅当久=2kn(keZ)取等号,

所f⑶=%-sin久是增函数，

当X6(0,+8)时，f(x)=%-sinx>f(0)=0,即x>sinx,所以a=sing<，

111___1

又6—W=lg3-§=lg3—|gi0"又因为27>10,所以3>103,故由y=Igx的单调性知，

lg3>|g10?,所以b">0,从而b>a,

1

又易知b<1,又由函数y=2"的单调性知，C=23>2°=1,所以a<b<c.

故答案为：a<b<c

【变式5-1】1.已知a=e°L。=牛+1,c=<2,则它们的大小关系正确的是()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】构造函数/(%)=ln%+1-%可证b<c,XlnV12+1<Vl?2<1.1,可得InVl区

<0.1z即可证a>c.

【详解】由b=^+l=lnVf^+l

令f(x)=ln久+1—%,则((%)=§—1,当x6(0,1),f(x)>0；当x6(1,+8),f(%)<0；

所以f(x)=ln:r+l—x在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且/(1)=0

则/'(VL2)<0,因此lnV12+l—Vl》<0,所以6<c

又因为。=亚泛<1.1,所以InVl^+l<，!》<1.1,得lnVL^<0.1

<e01,有a>c

故选：C

【变式5-1】2.(2022•湖南•校联考模拟预测)若。=总荷，b=®c=ln5,(e

=2.71828…)试比较a,b,c的大小关系()

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出e5,进而求出a的范围，再由L642<e求出6的范围，最后构造函数估算

出c即可求解.

【详解】由e=2.71828…得e2<7.5,故<7.5x7.5x2.72=153,又1.64x1.64=

2.6896<e,故砺e5<1.6<Vi，

由常用数据得ln5=1.609,下面说明ln5k1.609,令/(x)=ln(x+1)-总誉，尸(x)=击一

(2%+6)(4久+6)—4(02+6支)一4久3

(4x4-6)2-(x+l)(4x+6)2'

当xe(—1,0)时,r(X)>0,f(X)单增，当“e(0,+8)时,f(%)<0,f(x)单减,则佗)max

=/(0)=0,

则ln(x+l)W亳鬻,则ln5=21n2+In*ln2=ln仁x||x葛X…X•=ln(l+2)+In

(1+±)+...+ln(l+±),

令g(x)=器,则ln2X媪)+9田+…+g岛”0.6932，尾=Ingx与)=ln(l+1)+ln

(1+J

ln|«5Q+g(。x0.2232,贝!Jln5=21n2+ln1«2x0.6932+0.2232«1.6096,综上,

b>c>a.

故选：D.

【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出ln5的范围，放

缩得到皿%+1)<篝，再由ln2=ln(l+白+In(l+*)+“•+ln(l++)和尾=In

(1+1)+ln(l+J结合ln5=21n2+峙即可求解.

【变式5-1】3.已知。=5也20。步=*=3，则它们的大小关系正确的是()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由x>0时，5也久<%判断功6的大小关系，作出y=sinx与y=|x的图象判断a,c

的大小即可.

【详解】20°=^,故。=$啮

因为%>0时，sinx<x,

ULI\Inn7

所以sin§<9<—,

因为/'(%)=sinx-jx中fQ)=0.

作出y=5也无与)7=/在同一坐标系中的图象，如图,

由数形结合可知Sin久>也在(0,。恒成立，所以si谤>

所以c<a<b,

故选：A

【变式5-1】4.已知实数a,5满足a=log23+log86,6。+8。=10万，则下列判断正确的

是()

A.a>2>bB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根据对数和指数的单调性可判断a>2,b>2-在构造函娄好(久)=6、+中—10\

%>2,再根据换元法和不等式放缩，可证明当x>2时，/(%)=6"+8"-10"<0,由此即

可判断a力的大小.

【详解】因为a=log23+log86=log23+|log2(2X3)

=^log23+|>|log22V2+|=|x|+!=-|>2,所以a>2;

由6a+8。=10。且a>2,所以6。+8a>36+64=100,所以b>2,

令f(x)=6x+8X-10x,%>2,

令t=x—2>0,贝=t+2,

则/■(x)=6X+8X-10x,x>2等价于g(t)=36x6C+64X8t-100X10f,t>0;

又g(t)=36X6f+64X8t-100x10£<100X8t-100X10£<0,

所以当x>2时，/(%)=6x+8x-10x<0,

故6a+8。=10b<10a,所以a>6>2.

故选：C

题型6导数法

【例题6】(2022秋・河北保定•高三校考阶段练习)已知f(x)是定义在R上的函数，其导

函数为广(久)，且不等式广。)>小。)恒成立，则下列比较大小错误的是()

A.e/(l)</(2)B./(o)>e/(-i)C.e/(-2)>/(-1)D.e2/(-l)</(l)

【答案】C

【分析】由已知条件可得弋/限>0,所以构造函数g(x)=%,求导后可得g'(x)>0,从

而可得g(x)在R上单调递增，然后分析判断

【详解】由已知r(x)>f(x),可得f'((f(x)>o,

设g(%)=管，贝0⑴:弋平2,

,y(x)>0,因此g(x)在R上单调递增，

所以g⑴<g(2),g(-1)<g(0),9(-2)<g(-1),g(-1)<g⑴,

日产)<f(2)"T)々f(O)f(-2)f(-l)f(-l)fm

即ee21e-1e°,e-e-1"e"1e'

所以e/(l)</(2),e/(-1)</(0),e/(-2)</(-l),e2/(-1)</(l),

所以ABD正确，C错误，

故选：C.

【变式6-1】1.(2022•安徽•六安二中高三阶段练习)定义在R上的奇函数f(x)满足xe

。+8)时，都有不等式f(x)—xf(X)>0成立，若2=log32f(log23),b=c=In

则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<be.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根据f(x)—xf(x)>0构造函数g(x)=竽，可得函数为减函数，又由f(x)为奇函数

可知g(x)为偶函数，据此可比较a,b,c大小.

【详解】•••当xe(0,+8)时不等式f(x)-xf(x)>0成立，(竽)=f-利的<o,

・•.g(x)=竽在。+8)上是减函数.贝帖=log32f(log23)=^^=g(log23),b=V2f

(孝)=譬=9(多，c=ln^f(ln^)-^-g(-1),又•.•函数y=f(x)是定义在R上的

奇函数，

g(x)=号是定义在R上的偶函数，则g(-》=g(1),

•••log23>1>^>|,"g(x)在(0,+8)上是减函数，

•••g(log23)<g(祟<g(1),贝！］a<b<c,

故选：A.

【变式6-1】2.(2022•山东聊城一中高二期中)定义在(0,导上的函数f(x),f(x)是f(x)的

导函数,且f(x)<-tanx-f(x)成立,a=2*),b=V2f(j),c=竽f@,则a,b,c的大

小关系为()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【分析】由条件可得cosx•f(x)+sinx-f(x)<0,考虑构造函数g(x)=墨，结合导数运

算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数g(x)在(0,9上的单调递减，再根据函

数的单调性比较函数值的大小即可.

【详解】因为xe(0,5)时，cosx>。，

所以f(x)<-tanx-f(x)可化为f(x)+黑-f(x)<0,即cosx-f'(x)+sinx-f(x)<0,设

g(x)=黑,则g'(x)=(照)'黑著)sinx,所以当xe(o④时，g,(x)<0,

所以函数g(x)在(o,9上的单调递减，因为三<H，所以g(9>gG)>g《)

所以驾>驾>驾，即竽陪)>V2f(f)>2鸣)，

643

所以c>b>a,

故选：B.

【变式6-1]3.(2022・四川南充一模)设定义R在上的函数y=f(x),满足任意xeR,都

有f(x+4)=f(x),且xe(0,4]时，xf(x)>f(x),则f(2021),若2丹边的大小关系

是()

A.f(2021)<®<®B.®<f(2021)<®

C.产<中<f(2021)D.审<出2021)<中

【答案】A

【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.

【详解】依题意，任意xeR,都有f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.

所以f(2021)=f(l),中=苧，空=嘤

构造函数F(x)=竽(0<xW4),F'(x)=xf(x；J(x)〉o,

所以F(x)在区间(0,4]上单调递增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即早〈苧〈等，也即出2021)<卓<七.

故选：A

【变式6-1】4.(2021•陕西汉中模拟预测(文))已知定义在R上的函数f(x),其导函数为

f(x),当x>0时，xf(x]”x)>0,若a=I12,b=喑,c=噜，贝帕,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】根据题意当x>0时，廷能3>o,结合导数的运算法则可构造函数g(x)=竽,

由此判断其单调性，利用函数的单调性，即可判断a,b,c的大小.

【详解】设g(x)=^,则g'(x)=^W产，由题意知当x>0时，xff(x)>o,即g'(x

)>0,

故g(x)=,x>0时单调递增，故g(2)<g(n)<g(5),即苧<耳<等,；.a<b<

故选：D.

1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f(x)=2022X-2022-，-In

(Vx2+1-x),当。<久<5，a=cosx,b=Incosx,c=ecosx,试比较f(a),f(b),/'(c)的

大小关系()

A.f(a)</(c)<f(b)B.f(b)</(c)<f@

C/(c)</(a)</(/?)D./(b)</(a)</(c)

【答案】D

【分析】根据函数/(%)的单调性及利用久6(0,1)时，In*<x<e，判断a,6,c的大小即可得解.

xx

【详解】•••/(%)=2022-2022T_in(V^TT-%)=2022-2022T+也(7^77+x),

・••/O)在R上是增函数，

由％6(0,1)时，Inx<x<ex^Q,b<a<c,

・•・/(》)V/(a)V/©,

故选：D

2.(2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测)设。=康，b=%n-，c-lng,则a,

b,c的大小关系正确的是()

A.C<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】构造函数f(X)=ln(x+1)-1sinx,求导确定单调区间，得到c>b,再构造函数

g(x)=乎—ln(x+1),求导确定单调区间得到a>c,得到答案.

Q-11O

【详解】设/(%)=ln(x+1)—^sinx,0<%<-,则尸(%)=有一了0$%,

13

<%<<

3-4-JCOS%<1,故f'(x)>0,/(x)在(01)上单调递增,

故/(X)>f(0)=0,当0<x<w时，ln(x+1)>/inx恒成立，

令“磊仅，J则唱>沁高，即c>b；

设。0)=曰_也(久+1),0<x<^,则9'(乃=磊_a=或缁，

又x—6Vx+1=(V%)2—6Vx+1=(Vx—3尸—8,

故乂一6爪+1在&e京)上单调递减，x-6Vx+l>^-^=+l>0,

故“(x)>0,则函数g(x)在(0,亲)上单调递增，即g(x)>g(0)=0,

故当。<x<亲时，乎>ln(x+1)恒成立，

令“磊(*),则短=/>喘即”，

综上所述：b<c<a.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数比较函数值的大小问题，意在考查学生的计算能力,

转化能力和综合应用能力，其中构造函数，求导，利用函数的单调性比较大小是解题的关

键.

3.(2023・四川成都•树德中学校考模拟预测)已知久久)、g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,

且/'⑶+g(x)=e，+cos%,a=2ln(sin*+cos'，b=log;3,c=logsj,则g(a)、g

(b)、g(c)大小关系为()

A.g(c)<g(a)<g(b)B.g(a)<g(6)<g(c)

C.g(a)<g(c)<g(6)D.g(b)<g(a)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数f(x)、g(x)的解析式，利用导数分析函数g(x)在

(0,+8)上的单调性，并比较a、网、|c|的大小关系，结合函数g(x)在(0,+8)上的单调性可

得出g(a)、g(b)、g(c)的大小关系.

【详解】因为/'(>)、9(比)分别为R上的奇函数和偶函数，且〃>)+g(x)=e"+COSK,

则f(-%)+g(-%)=e-x+cos(-x),

./(%)=一

x

所以,/(x)+g(x)=e+cos%，所以,x_|_—X4

—/(%)+g(%)=e~x+cos%g(x)=------1-cosx

当x>。时，g'[x}=邑£---sinx,令h(x)=----sinx,其中x>0,

xx

则%’(x)=---cosx>Ve-e-—cosx=1—cosx>0,函数h(x)在(0,+8)上单调递增,

则八(久)>h(0)=0,因此函数g(x)在(0,+8)上为增函数,

因为si吧+cos"=&sin悟+?=后靖=乎,

所以，a=21n苧=ln|=lnj3<ln7^=g,\b\=logi3

=log43>log42=I，

|c|=|logs1|=log32>log3V3=|,

曳_史=(In3)2-ln2-ln4>(叫2_(*呻=(ln3)z_(ln倔4)0

因为网一|c|

ln4ln3In3-ln4ln3.ln4In3-ln4

所以，网>|c|>a>0,所以，g(a)<g(|c|)<g(网),

因为函数9(x)为R上的偶函数，故9(a)<9(c)<g(b).

故选：c.

4.(2023秋・湖北•高三校联考阶段练习)记a=2*3茏，h=202V2023,c=202V2023,贝U

a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

1

【分析】由函数f(%)=骑病在R上单调递增，可判断a<b,再对％c两边取对数，由函数

g(x)=署在解,+8)单调递减，可得c<a,从而得解.

1

【详解】设/(X)=X痂，则/(X)在R上单调递增，

故f(2022)</(2023),即a<0；

由于Ina=^^ln2022,lnc=^jln2023,

2

设。0)=磊x>e,

贝叼⑴=1^=—<^<°，(…2)，

则g(x)在(e2,+8)单调递减，故9(2023)<5(2022),

即Inc<Ina,贝[]c<a;

综上得，b>a>c,D正确.

故选：D

5.(2024秋・广东广州•高三华南师大附中校考开学考试)a=^+lnl0,b=61nll-51n

9—l,c=装+等，贝hc的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】令久久)=(%+l)In久一x,则。=r(10)=((等)，b=稣岁，c=r(”B),

然后利用导数证明对任意％1抵6(2,+8)(%1<%2)，都有广(夸)>怨詈>

小火皿2,即可得结论.

r_LlI

【详解】令/(%)=(x+l)lnx-x,则/(%)=InK+=-1=Inx+

所以。=1(1。)=广(誓)，4笔空，=%吗

下面证对任意打,比2G(2,+8)(打〈无2),者隋广(2产)>%普)>r(W

令g(无)=/(x)—彗詈久(x>2),则只需比较g，留立),0,3铲g的大小,

E二/、