北京市通州区2024-2025学年高三年级上册期末摸底考试数学试卷（解析版）

2025年北京市通州区高三上学期期末数学试卷

本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知全集°=卜2，-L°」23},集合”=卜，/卜则%，=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{-2,2,3}D.{3}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得集合A,进而求得ea.

【详解】由X2<4,解得—2<X<2,所以A={-1,0,1},

所以{—2,2,3}.

故选：C

2.若复数z满足(z-l)i=l+i,其中i为虚数单位，则2=()

A.2+iB.2-iC.-iD.i

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的运算化简复数即可求解.

【详解】因为(z-l)i=l+i,所以z=l+Hi=l—i+l=2—i.

i

故选：B

3.已知函数/•(月=卜+=3则/(%)=()

A.是偶函数，且在(0,+8)上是增函数

B.是偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.是奇函数，且在(0,+8)上是增函数

D.是奇函数，且在(0,+8)上是减函数

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性.

【详解】函数的定义域是R,关于原点对称，/(-x)=e-A+eT=/(%),

故函数/(%)是偶函数,

又因为/'(x)=e'-ef,易知其为增函数，

当xe(0,+oo)时，/,(%)>/'(0)=0,

故/(%)在(。,+8)上是增函数，

故选：A.

3

4.在二项式(尤-一)6的展开式中，常数项为()

x

A.540B.20C.-20D.-540

【答案】D

【解析】

【分析】求出通项，找到常数项即可.

【详解】(X—1)6的通项公式为G=C*6-]—3]=(—3/C*6-2/，

常数项时6—2左=0,则左=3,

所以常数项为(—3)3C：=-540,

故选：D.

5.圆O]-2x+4y+4=0与圆Q:必+J?=1位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.外离

【答案】D

【解析】

[分析】直接根据两圆位置关系的判断方法即可得到答案.

【详解】圆a：Y+y一2x+4y+4=0的标准方程为(x—1)2+(y+2)2=1,

圆心为(1,—2),半径为厂=1，

圆。2：X2+y2=1,圆心为。2(0,0),半径为尺=1，则|O]Q|=上+(-2)2=J?，

・•・，R+r=2,R—r=0,|QO2|>R+r,

故圆。]和圆02的位置关系是外离.

故选：D.

6.设。卜出，的，%为1，2,3,4的一个排列，则满足|4-%1+1。3-。41=4的不同排列的个数为()

A.24B.16C.8D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分析可得贝力4一21=1且3-“41=3,或1%-%1=3且|〃3-。41=1，或1%-%|=2且

3-4=2,分别在不同情况下,列出所有可能，进而得到答案.

【详解】根据题意，若I4一41+1%-。41=4,贝[]]%-〃21=1且1。3-。41=3,或|%-%|=3且

|〃3-。4=1，或1%-％1=2且&1=2,

当Iq—。21~1且I。3—“41=3时，有％=2,%=3,q=1,4=4,或4=2,%=3,%=4,g=1，

或q=3,%=2,%=1,g=4,或％=3,私=2,%=4,%=1，共4种可能；

当Iq-41=3且I/-。41=1时，有q=1，4=4,q=2,%=3,或4=1，4=4,%=3,4=2,

或％=4,/=1,%=2M4=3,或%=4,%=1,%=3,%=2,共4种可能，

当1%-%|=2且19-&1=2时,有%=I,%=3,。3=2,。4=4,或q=1,%=3,%=4,%=2,

q=3,=1,%=2,。4=4,q=3,a?—1,%=4,=2,^4%=2,a?—4,%=1,=3,

或%=2,4=4,q=3,g-1,或4=4,4=2,%=L&=3,或4=4,4=2,%=3,4=1,共8种可能，

满足1%-4I+&-41=4的不同排列的个数为4+4+8=16,

故选：B.

7.已知直线/：y=2x,双曲线c：［—2L=i（。>0）,贝广。=1”是“直线/与双曲线无交点”的（）

a24

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的性质判断即可.

222

【详解】双曲线C:与-匕=1的渐近线方程为y=±—X,

a24a

当。=1时，直线/为双曲线。的一条渐近线，直线/与双曲线无交点;

2

反之直线/与双曲线无交点，0<—K2,即。之：1,

a

所以“a=1”是“直线/与双曲线无交点”的充分而不必要条件.

故选：A

8.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知AB=10cm,-20cm,棱台的高为12cm,先需要

对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是

A.640元B.440元

C.390元D.347.5元

【答案】A

【解析】

【分析】根据棱台的高求出侧面等腰梯形的高，再计算出棱台的表面积，即可求得该零部件的防腐处理费用.

如图所示，AC^BD=O,连接分别是3C,4G的中点，连接

OM,MN,O[N,取ON的中点"，连接"W.

由题意，在正四棱台ABC。-a用G2中，平面AB]G2,则。。1=12,

因为分别是AC3C的中点，所以且OM=gAB=5,

2

又01,N分别是4G，与G的中点，所以。双//4用，且aN=；A3i=io，

故OM//O]N,则O,M,N，a四点共面；

因为，平面44GR,01NU平面A[B]G2,所以OO]，O[N,

所以四边形OMNO]为直角梯形，

在直角梯形OMNO]中，OM=；O[N,又点”是QN的中点，

所以四边形为矩形，则MHLOiN,且MH=OO]=12,又HN=；01N=5,

因此，在直角AAffW中，MN=^MH~+HN~=13-

所以在正四棱台ABCD-A4GA中，

侧面积H=4x；x（BC+BG）xMN=4x1x（10+20）xl3=780,

22

底面积S2=AB-+ABj=10+20=500,

表面积S=S]+S2=780+5。。=128。（平方厘米），

又每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，

所以该零部件的防腐处理费用是1280x0.5=640（元）.

故选：A

IT

9.关于函数〃x）=3sin（2尤+：）（xeR）,有下列命题：

O

①若/（西）=/（々）=°，则看一々=for（左eZ）；

TT7T

②/（%）=3sin（2x+-）（XGR）的图象可由g（x）=3sin（2x）（xeR）向左平移一得到；

66

jr

③若占，%€（-了0）且石＞%2，则一定有/（七）＞/（々）；

jrTT

④函数/（x）=3sin（2x+多（xeR）的图象关于直线x=—对称.

66

其中正确命题的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】①选项，求出函数的零点，从而求出两零点的差值，根据平移得出解析式判断②，根据正弦函数

的单调性判断③，代入检验法判断④.

【详解】令/（x）=3sin（2x-F]=0,解得：2x--=kn,keZ,即》=如+M，keZ,

I6）6212

所以两个零点的距离：玉_々=旦+4一且—±=3二"=包（左eZ），①错误；

21221222'）

由g（x）=3sin（2x）（xeR）向左平移亲得到了（X）=sin2（%+专）=sin（2x+g）

,故②错误；

因为看,当€（-：0）,所以2为+2,2x,+为（-：,=）,所以/（x）=3sin（2x+B）单调递增，所以%>尤2

366266

时，则一定有/（西）〉/（々），③正确；

当》='时，2X+2=£,y=sin（2x+£1=l,所以直线x=0是函数的对称轴，④正确；

662I6J6

故选：B

10.已知数列｛4｝的各项均为正数，其前〃项和为5“，且下列说法正确的是（）

A.当％=1时，数列｛%｝为递减数列

B.数列｛4｝不可能为等比数列

C.当q>4,V«>2,都有3〃<S“〈㈣

D.当％=1时，B/neN".\!n>m,都有可>4

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过给定的数列递推式，写出项，分析数列的单调性、常数列情况、分类讨论，逐个判定即

可.

【详解】对于选项A,当％=1时，可得1=靖—2a2，即嬉—2出—1=0.

因为数列｛｝的各项均为正数，解这个方程出2+^+^

g==1+A/2.

再由%=。3—2%，即（1+>/2）-《一2a3，

解得%=2+5+,+叵=i+H>

4=1，4=1+母>1，%=1+也+&>1+0，

可以发现4</<%，所以数列｛4｝不为递减数列，所以选项A错误.

由4=%（%—2）,因为4>0,%+1>0,得出矶-2>0,即0>2.

又由4,=<i-2q+1解出4+i=1+M+l（neN+）.

由7^+1+1>为推出日节>qT，进一步得到（4-3）<0,

结合q〉0得出<3,

从而得到0<a”<3时,an+l>an.

同理得到an=3时，a“+i=an；。“〉3时，an+l<an.

当4>3时，由%=43一2°向变形为4+1=（4+1—1）2,得出4+1>4,进而得到（％+「1）2〉4,推

出。“+1-1>2,即4+1〉3,所以3时，an+l>3；同理0<。〃<3时，0<a"+i<3.

对于选项B,4=3时，a“+i=4,为等比数列，所以选项B错误.

对于选项C,当4>3时，根据前面分析的单调性an+l<an,所以〉3在“eN+时恒成立且｛«„）单调

递减.

当q〉4时，因为4“单调递减且〉3,所以3<%<%恒成立，进而所以选项C正确.

对于选项D,当0<。“<3时，。“+1<3且％+i>%.

当％=1时，因为数列单调递增且为<3,所以不存在〃eN+使4>4,所以选项D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：由2=4+1（。“+1-2）,因为〉O,a“+i〉0,得出q+1-2>0,即a“+i〉2.由

向口+1>4,推出北万T>a“—1,进一步得到3）<0,分类讨论得到数列单调性是关键.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数y（x）=婷+log2（x-2），则/（4）----------------

【答案】3

【解析】

【分析】直接代入计算即可.

?

【详解】y（4）=4+log2（4-2）=2+l=3-

故答案为：3.

12.A,B,。三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周

的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：

A班66.577.588

B班6789101112

C班46.588.51012.513.5

估计A班的人数有人；设B班体育锻炼时间的方差为s；,C班体育锻炼时间的方差为s；,则s；

s；（填：>，<，=）.

【答案】①.36②.<

【解析】

【分析】由表格数据可知，样本有20人，其中A班有6人，然后再利用抽样比计算A班学生人数；分

别由题计算两班平均数，在算出方差，比较即可.

【详解】由题意知，抽出的20名学生中，来自A班的学生有6名.

根据分层抽样方法，A班的学生人数估计为120XA=36人；

设B班体育锻炼时间的平均数为），C班体育锻炼时间的平均数为五，

-6+7+8+9+10+11+12八—4+6.5+8+8.5+10+12.5+13.5八

%=------------------------------------=9,%=------------------------------------------------=9，

2_（6-9）*2+（7-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（10-9）2+（11-9）2+（12-9）2_

7

2222

2_（4-9）2+（6.5-9）+（8-9『十,与一^+（10-9）+（12.5-9）+（13.5-9）_66

=-------------------------------------------------------------------=—，

77

由此可知s；<sf.

故答案为：36；<

13.已知抛物线C:/=4x的焦点为E，点",N在C上，若|M7q+|N尸|=8,则线段MN的中点的横

坐标为.

【答案】3

【解析】

【分析】设M(4X),N(9,%)，根据抛物线定义可得|阿|+|即|=%+々+2=8,即可求解中点横坐

标.

【详解】设Ng,%)，则根据抛物线定义可得|艘|+|距|=石+1+/+1=8，

解得%+%=6,所以线段MN的中点的横坐标为3.

故答案为：3.

14.已知第瓦｝是同一平面上的三个向量，满足同=，=2,万.B=-2,则0与5的夹角等于

；若4与5一3的夹角为(则同的最大值为.

2兀

【答案】①.」②.4

3

【解析】

【分析】第空,利用cosG力=可得;

1同W

第2空，根据向量夹角的关系，利用向量的几何表示，设四=苕，AC=b，莅=^确定为VA5C的

外接圆直径时最大，进而可得.

-rS-b-21一「12n

【详解】第1空：C°StZ,Z?=uH=2^2=-2,因口匕目0,兀］，故汗力=彳，

2〃

第2空：设m=互，AC=b，则N5AC=—

3

设AD=1，则CD=3—万，BD=c-b因守一花与亍—B的夹角为§，

而万石=g,故。在两段优弧上，如下图，

21〜

——x——2

右上方的弧所在圆的半径为近2,左下方的弧所在的圆的半径为2且圆心为A,

结合图形可得同即|AD|可取得最大值为直径即为4,

故答案为：—；4

3

15.如图，正方形ABCD和正方形CDEb所在的平面互相垂直.”为3c中点，尸为正方形CDEF内一

点（包括边界），且满足NAPD=NMPC,。为正方形A3CD内一点（包括边界），设筋=3,给出下

列四个结论：

①使EQ_LMP；

②文Q,使。。=6；

③点P到DF的最小值为20-2；

④四棱锥P-AMCD体积的最大值为逑.

4

其中正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】先求出点尸的轨迹方程，建立适当的直角坐标系后，借助空间线面的概念研究位置关系，结合距

离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.

【详解】根据题意，正方形ABCD和正方形CDEE所在的平面互相垂直，

平面ABC。c平面CDEF=DC,P为正方形CD跖内一点，

所以平面ABC。，CM,平面CDEF,平面CDEF,

所以、APCM均为直角三角形，

因为NAPD=NMPC,

pnpc

所以——=——，又因为M为3c中点，AD=2MC,

ADMC

所以尸£>=2尸C,

如图，以。为原点，DC,DE所在直线分别作x,y轴，建立平面直角坐标系，

因为AB=3,所以℃=3,D（0,0）,C（3,0）,设P（羽y）,

由尸D=2PC可得出+丁=2—3『+,

化简可得（％—4了+丁=4，点尸的轨迹为以圆心q（4,0）半径为厂=2的圆的一部分，如图所示，

当。与D重合，P在点A时，此时EQJ•平面ABC。，MPu平面ABCD,所以故①

正确；

当。与A重合，P在点£时，|PQ|最大，即|PQ|=|%4|,

|CA|=V32+32=3A/2,所以在△EGA中，|尸0=怛囿=jgcf+|CA『=后,

因为J初＜6,故不存在R。，使。。=6,故②错误；

设。1到DE的距离为〃，点P到DF的距离最小值为h-r,

在AO/D中，利用等面积法可得：|x|QD|-|CF|=|x|DF|-/i,即gx4x3=gx30-/z,解得

h=141,

所以点p到Z)歹的距离最小值为/z-r=2后-2，故③正确；

](3\27

四边形AMCD的面积S=,x万+3卜3=彳，隹。|=6，

当尸在点鸟时，四棱锥P—AMCD体积有最大值，VP_AMCD=^S-\P2C\=^x^-x43=^-,故④

正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：求出点尸的轨迹方程，建立适当的直角坐标系，借助空间线面的概念研究位置关系

是解题关键，第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.在VABC中，s/3atanB=2bsmA-

(1)求ZB；

(2)若a=8,3C边上中线的长为2,求VA3C的面积.

7T

【答案】(1)-

6

⑵4A/3

【解析】

【分析】(1)根据同角三角函数的商数关系和正弦定理化简可得853=走，进而求出N3；

2

(2)根据余弦定理求出c,再根据三角形面积公式求出面积.

【小问1详解】

因为y/3atanB=2Z?sinA，由正弦定理得

所以6sinAtan3=2sin3sinA，即石sin=2sin3sinA，

cos8

又因为0<A<兀,0<3<兀，所以sinA，0,sin5力。，

所以cos3=走，所以NB=4.

26

【小问2详解】

设中点为。，a=8,

5cAD=2,则AD?=^^+吕加—2AB.BDcosB，

即4=C?+16—4百c，即。2—4月c+12=0.

所以c=2^3，

所以SvABC=^acsinB=^x8x2y/3x^-=4y/3.

17.如图，在四棱锥P—A3CE＞中，底面ABCD为菱形，且PB=A3=2,PS,平面ABC。，E是

PC的中点.

（1）求证：CD//平面ABE；

（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线DE与平面ASE所成角的正弦值.

条件①：平面PLC平面P3C；条件②：PD=2石.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析；

⑵显

3

【解析】

【分析】（1）由菱形ABCD得CD〃AB，结合线面平行的判定定理，即可证得CD//平面ABE；

（2）选择条件①：由E是PC的中点，PB=AB,得BELPC,结合平面PDC_L平面尸3C,得到5E,

平面PDC,得到BELCD,进而再结合ML平面ABC。，得PB上AB,进而得AB_L平

面P3C,证得尸8,50,45两两垂直.以8为原点，建立空间直角坐标系，分别求得瓦和平面的法向量

［的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解；

若选择条件②，依，平面43。£>得依1,6。，利用勾股定理及其逆定理可得3。=2后，BCLCD,

进而A5L5C,再结合P5J_平面ABCD,得P5,5C,A3两两垂直.以B为原点，建立空间直角坐标系，

分别求得诙和平面ABE的法向量［的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解；

【小问1详解】

•••A3CD为菱形，所以CD〃AB.

又因为ABu平面B43，CD<Z平面Q4B，

所以CD〃平面已钻.

【小问2详解】

若条件①：平面平面P3C.

:底面ABCD是边长为2菱形，PB=AB=2,；.PB=BC=2,

是尸C的中点，，鹿，尸C

:平面PDC_L平面P3C,平面PDCn平面PBC=PC,5Eu平面P3C,

：8匚平面。。。，所以5ELCD.

•/CDIIAB,：.BE±AB,

：平面ABC。，AB,4£）匚平面718。£>,；.尸5,48,总上30

又D3E=3,P5,BEu平面P6C,AB，平面P3C.

；BCu平面PBC,：.AB工BC

：.PB,BC,AB两两垂直,

以B为坐标原点，分别以BC,BA,BP为羽y,z轴建立空间直角坐标系，

ZA

->

y

D

X

则B（0,0,0）,A（0,2,0）,E（l,0,l）,D（2,2,0）,

所以瓦=（一1,一2,1）,屁=（1,0,1）,4=（0,2,。）,

设平面ABE的法向量为为=(x,%z),

n-BE=x+z=0

则一，令x=l,得为=（1,0,—1）,

n-AB=2y=0

设直线DE与平面ABE所成角为6,

-ICOSDEH|-S____2__

则sin。

11\DE\\n\76x72

故直线DE与平面ABE所成角的正弦值为显

3

若选择条件②：PD=2y/3.

ML平面ABC。，h)(=平面48。£),，。3,3。

:菱形棱长为2,PB=AB=2

BD=dPD?—PB?=#@2-22=20

;BC=CD=2,所以BD?=BC2+CD2,

所以3CLCD,即BCLAD.

所以底面ABC。是边长为2的正方形，所以5CLA5.

：平面ABC。，AB,3Cu平面ABCD,

PB±AB,PB±BC

所以依,4瓦3。两两垂直.

以8为坐标原点，分别以BC,3A族为％,%z轴建立空间直角坐标系,

则B（0,0,0）,A（0,2,0）,E（l,0,l）,D（2,2,0）,

所以质=（一1,一2,1）,而=（1,0,1）,通=（0,2,0）,

设平面ABE的法向量为为=(%,y,z),

n-BE=x+z=0

则一令x=l,得为=（1,0,—1）,

n-AB=2y=0

设直线DE与平面ABE所成角为6,

2_V3

则sin0=

76x72-3

故直线DE与平面ABE1所成角的正弦值为

18.为服务北京城市副中心三大文化建筑(北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆)游客差

异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务.无人驾驶微公交

每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量

高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据.如下：

车次序号乘车人数

1T0号8999899997

11-20号9989999978

用频率估计概率.

(1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率；

(2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的

分布列及数学期望E(X)；

(3)假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆

微公交都满载9人的概率不低于50%,则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高

峰期是否需要缩短发车间隔.(写出结论，不用说明理由)

7

【答案】(1)—

10

(2)分布列见解析，E(X)=17.2

(3)公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔

【解析】

【分析】(1)结合数据，20辆微公交的乘车人数为9人的共有14辆，求得概率;

(2)结合数据，求出X的可能取值，求出概率，列出分布列求出期望;

(3)结合古典概型，求出连续两辆微公交都满载9人的可能情况，求出概率.

【小问1详解】

根据数据可得，20辆微公交乘车人数为9人的共有14辆,

——147

所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率为一=—

2010

【小问2详解】

根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有4辆，9人的共有14辆,

所以乘车人数为7人的概率为2=工，乘车人数为8人的概率为a=工，乘车人数为9人的概率为

2010205

147

2010

记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，则X可能取值为14,15,16,17,18.

111

p(x=14)=—x—=--

1010100

1_1

=15)=—X—+—x------

'710551025,

177「1119

尸(x=16)=—x——+—-X一+—X—=——

'710101C)105550

17717

P(x=17)=-x——+—X—二

'751010525

7749

P(x=18)—x—=--

1010100

所以X的分布列为:

X1415161718

119749

P

100255025Too

119749

E(X)=14X一+15x—+16x—+17x—+18x一=17.2

100255025100

【小问3详解】

公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔，

理由：20辆公交车连续两辆共有19种可能，其中共有10种两辆微公交都满载9人，

其连续两辆微公交都满载9人的概率P=—>50%,

19

所以公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔.

22

19.已知椭圆C：3+4=l（a>匕>0）,以椭圆C的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等

ab'

边三角形.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）斜率存在且不为。的直线/与椭圆c交于两点，与y轴交于点河，点A关于y轴的对称点为

A',直线A3交y轴于点N.在X轴上是否存在定点E，使得NOEM=NONE（。为坐标原点）？若存

在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）三+/=［；昱

4-2

（2）存在，（1,0）或（一1,0）

【解析】

【分析】（1）由题可知a=2Z>=2,进而得到椭圆方程和离心率；

⑵假设存在定点E，使得NOE"=NONE,原问题等价于%满足/2=|%卜|%|，表示直线A3、A'B

的方程，可表示出>凶，yN,据此计算可得点E的坐标.

【小问1详解】

因为以椭圆C的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形，

所以a=2Z>=2,即a=2,b=L故椭圆。的方程：—+y2=1,

4

c=A/«2~b2=也>故禺心率e=£=-;

a2

【小问2详解】

假设X轴上存在点£（砧，0），4吏得NOEM=NONE,

\OM\\OE\.

当=时，所以扇=固，设/（0，%1），N（0,yv），

2

所以XE满足4=血卜后|，设A(c,d),B(m,n),

由题意可知直线斜率存在且不为0,故帆+cw0,m-c/0,

直线AB的方程为y_〃=〃d(x-m),所以当x=0时yM=+n,

m—cm—c

r.,「八一mn+md)

即〃0,----------+〃,

Im-c)

因为点A与点A关于y轴对称，所以A(—c,d).

,,一（八—mn+md

同L理可得N0,---------+〃

Im+c

—mn+md—mn+md

因为加=---------+n,

m—c

—mn+md-mn+md7712d2—"202

所以噌二即|・|%|=-----------\-n-----------\-n

2

m-cm+cm2-c

22

Pl口机21C，21

因为A(c,d)，在椭圆上,即----FTl—I,-----Fd=],

44

/2、

m

m21--,21----

祖2d2一〃2c24j4J

%J=1,所以/=1或/=一1,

m2-c2m2

故在x轴上存在点E，使得NOEM=NQVE,点E的坐标为(1,0)或(―LO).

20.已知f(x)=2尤Inx+ox?+Z?在点(1,f(1))处与x轴相切.

(1)求。力的值；

(2)求/(x)的单调区间;

(3)若机>〃>0,求证\!mn<——―--.

Inm—InM

【答案】(1)a=-l,b=l

(2)单调递减区间为(0,+。)，无单调递增区间

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)依题意知，/。)=0,/'。)=0,联立求得答案;

（2）对/（幻，利用导数求单调区间;

构造函数/（。=!—In"上证明.

（3）对不等式变形，换元t=

n2It

【小问1详解】

因为f(x)=2x\nx+ajc+)在点(1,/(1))处与x轴相切，/'(x)=21nx+2G+2,

所以/'(l)=21nl+2a+2=0,/⑴=21nl+“+0=0,解得a=—l8=1.

【小问2详解】

由(1)得，/(x)=2xlnx-x2+l,定义域为(0,+8),f'(x)—21nx―2x+2,

2

令g(x)=/，(x),贝！|g，(x)=—-2,

x

令g，(x)=O,则x=l,

当xe(0,1)时，g'(x)>0,尸⑺单调递增，所以/'(%)</'⑴=0,所以/(九)单调递减,

当x6(1,+8)时，g'(x)<0,尸(为单调递减，/,(%)</,(1)=0,所以/(幻单调递减，

所以/（幻的单调递减区间为（0,+8）,无单调递增区间.

【小问3详解】

m-n

因为根>〃>0,则”>1,要证^/布<-------------

nInm—Inn

m-ni

即证~I>In771—Inn,

1mn

即证

\n\mn

设”竺，则1>1,

Vn

1,

即证看——>lnr=21nG

即证5—In力—万->0(%>1),

1

令方«)