数学高考备考课件第四章导数及其应用42第2课时

第2课时导数与函数的极值、最值§4.2

导数的应用课时作业题型分类深度剖析内容索引题型分类深度剖析题型一用导数求解函数极值问题多维探究命题点1根据函数图象判断极值典例(2017温州“十五校联合体”期中联考)设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是A.f(－2)与f(2) B.f(－1)与f(1)C.f(2)与f(－2) D.f(1)与f(－1)√解析由图象知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在区间(－∞，－2)上为增函数，在区间(－2,2)上为减函数，在区间(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)的极大值与极小值分别是f(－2)与f(2).命题点2求函数的极值典例设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点.②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8).函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点.设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－1<x2.当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；√∴f′(x)＝0有两个不等的正实数根，∴ax2－2x＋1＝0有两个不等的正实数根，√

几何画板展示函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.思维升华跟踪训练(1)(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值√解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的极值点.当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)则f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值.故选C.√解得1<a<2，故选C.题型二用导数求函数的最值师生共研引申探究令f′(x)<0，得1<x≤e，求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.思维升华解析由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，题型三函数极值和最值的综合问题师生共研令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同.又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.解由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，解得a＝1，b＝5，c＝5，因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.思维升华√

几何画板展示解析由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，典例(14分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.利用导数求函数的最值答题模板思维点拨

(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论.规范解答综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a. [7分]函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a. [8分]又f(2)－f(1)＝ln2－a，当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.

[12分]综上可知，当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a. [14分]答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的

最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.课时作业基础保分练12345678910111213141516√解析由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值.12345678910111213141516√解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A.(－1,2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3,6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)12345678910111213141516√解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.∴a>6或a<－3.12345678910111213141516√令f′(x)>0，得x>1.令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，5.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于A.11或18 B.11C.18 D.17或18√解析∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析

f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b<1，则由f′(x)>0，得x<b或x>2，由f′(x)<0，得b<x<2，123456789101112131415167.(2017·丽水模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝____.5解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.经检验，当a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值.123456789101112131415168.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是___________.12345678910111213141516解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－a<x<a时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，123456789101112131415161解析由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.10.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为____.12345678910111213141516－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.11.(2017·北京)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；12345678910111213141516解因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，所以f′(0)＝0，又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516解设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.1234567891011121314151612345678910111213141516解当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘12345678910111213141516故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.1234567891011121314151612345678910111213141516所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，12345678910111213141516则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.技能提升练12345678910111213141516212345678910111213141516可得f′(x)＝x2－2x－1，14.设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为____.解析由已知条件可得|MN|＝t2－lnt，1234567891011121314151615.若函数f(x)＝mlnx＋(m－1)x存在最大值M，且M>0，则实数m的取值范围是__________.拓展冲刺练12345678910111213141516当m≤0或m≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调，此时函数f(x)无最大值.1234567891011121314151616.(2018·湖州五中模拟)已知函数f(x)＝ax2