湖北省鄂东新领先协作体高三下学期2月联考数学试题

高三2月联考试卷数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.本试卷主要考试内容：高考全部内容.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则B可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的并集运算，对四个选项逐一检验即可得解.【详解】由，当时，或，故A错误；当时，或，故B错误；当时，，故C正确；当时，，故D错误；故选：C.2.若双曲线的焦距为6，则（）A.5B.3C.D.【答案】D【解析】第1页/共19页【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得.【详解】若双曲线的焦点在轴上，依题意可得，解得；若双曲线的焦点在轴上，依题意可得，解得.综上可得：.故选：D.3.不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】应用余弦函数的性质计算即可.【详解】由不等式，化简得，由余弦函数的性质得.故选：C.4.小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.50.30.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（）A.0.48B.0.49C.0.52D.0.21第2页/共19页【答案】A【解析】【分析】利用全概率公式计算即可得到结果.【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为，故选：A.5.已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项.【详解】由奇偶性判断可知：是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；再当时，可知，故A错误；所以C正确，故选：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式可求值，再利用指数不等式可判断，从而可研究两个集合之间的包含关系，即可判断充要条件.第3页/共19页【详解】因为，所以，又由可知，，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B7.甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是（）A.甲：中位数为9，众数为B.乙：中位数为9，极差为3C.丙：平均数为8，极差为4D.丁：平均数为8，方差为3【答案】B【解析】【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对5个数据进行举例假设分析，即可得到判断.【详解】对于A，中位数为9，众数为，说明至少有两个数，不妨取两个，则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A；对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差，由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B；对于C个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C；对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得，第4页/共19页若存在数12，则，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D；故选：B.8.若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（）A.B.3C.4D.【答案】A【解析】【分析】先设底面边长及高，计算底面面积，进而得到该六棱锥的体积公式，再得出最后应用基本不等式计算即可．【详解】设正六棱锥的底面边长与高分别为,底面为正六边形，设底面的中心为，连接，则，底面，为正六棱锥的高，所以，因为正六棱锥的体积为，所以，即，则，因为，第5页/共19页当且仅当，即时取最小值，则的最小值为.故选：A.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a，，，.下列结论正确的是（）A.若，则不是纯虚数B.若，则的实部等于虚部C.若，则的最小值为D.若，则【答案】BC【解析】AB据模长公式可得参数的等量关系，利用二次函数的性质以及对数的运算，可得CD的正误.【详解】对于AB，由，则，可得，解得，所以，显然是纯虚数，故A错误，B正确；对于CD，由，则，可得，所以，且，故C正确，D错误.故选：BC.第6页/共19页10.已知定义域为的函数满足，且.则（）A.B.C.D.可能为增函数【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断AB选项，利用举特例函数，来检验CD选项即可.【详解】因为，，所以令，可得，故A正确；再令，可得，又因为，所以，又令，可得，所以，故B正确；不妨取，则，，此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误；但由于此时在上是增函数，故D正确；故选：ABD.已知ABC是抛物线上不同的动点，F为抛物线Wl为抛物线W的准线，AB的中点为，则（）A.当时，的最大值为32B.当时，的最小值为22C.当时，直线AB的斜率为D.当时，点P到直线l的距离的最小值为14【答案】ACD【解析】【分析】对于A，设直线的方程为，与抛物线方程联立得韦达定理，由推得第7页/共19页B转化于C，由A项结论可得，求出值，即得直线的斜率；对于D，由判断直线过焦点，设直线的方程为，联立抛物线方程得韦达定理，仿照B项作图转化求得，即可求得最小值.详解】对于A，如图设直线的方程为，代入可得：，由可得，设，则，因的中点为，则，故，，即，则，于是，故当时，取得最大值为32，故A正确；第8页/共19页对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，设交抛物线于点，因，故，由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长，因的中点为，则为梯形的中位线，且，故此时，即的最小值为15，故B错误；对于C，由A项得到，因，故得，解得，故直线的斜率为，故C正确；对于D，由可得直线经过点，可设直线的方程为，代入可得：，设，则，仿照B项作图，则点P到直线l的距离为：，故当时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线的相关问题，一般应从曲线定义，设直线方程与之联立得韦达定理，以及弦长公式或弦中点有关的点差法等入手探求，对于线段有关的最值问题，可考虑结合图象转化，利用三点共线时线段和最小，以及将其转化为函数，利用其单调性求其最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.在中，，，，则______.【答案】第9页/共19页【解析】【分析】利用三角形的正弦定理角化边和余弦定理边求角，即可求解.【详解】由三角形正弦定理可得：，再由，联立上两式可解得：，再由余弦定理得：，所以，故答案为：.13.在正方体的底面ABCD所在平面中，以点A为圆心，1为半径的圆与以点C为圆心，3为半径的圆外切，则该正方体外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】利用两圆相外切，就可求得圆心距为，从而可得正方体的边长，对角线长，及外接球直径，再利用球的表面积公式即可.【详解】由题意可知：，即正方体边长为，正方体的体对角线为，而正方体外接球的直径为体对角线，即正方体外接球半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：.14.函数的最小值为______，此时______.【答案】①.②.【解析】第10页/共19页【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可.【详解】由所以可知当，即时，函数取到最小值，故答案为：①；②.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.65名医生报名加入医疗救援队.（1）若小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；（2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案；（2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案.【小问1详解】由题意可得从人中选出人组成一队，总的情况数为，选中小张之后，医疗救援剩下的人从总人数剩下的人中选出，情况数为，所以小张被选人医疗救援队的概率.【小问2详解】的可能取值为，则，，，第11页/共19页，，所以的分布列如下表：所以数学期望.16.如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，M是的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面.（3）求平面与平面的夹角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】1）证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；（3）求出平面的法向量，利用二面角的夹角坐标公式即可求出结果；【小问1详解】连接交于，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，且平面，不在平面内，所以平面；【小问2详解】因为平面，且四边形为矩形，所以两两垂直，第12页/共19页故以为坐标原点，以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，又因为，，，所以，设平面的法向量为，且，则，故，取，则，因为，所以，所以，所以平面.【小问3详解】设平面的法向量为，且，则，故，取，则，设平面与平面的夹角为，则，因此平面与平面的夹角为.17.已知数列是等差数列，且，.（1）求的通项公式.（2）试问有多少项为整数？（3）求数列的前n项和.【答案】（1）（2）5第13页/共19页（3）【解析】1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可；（2）根据通项公式特征计算求解；（3）应用分组求和结合错位相减计算求解.【小问1详解】数列是等差数列，且，，所以，设等差数列公差为，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】因为，当为整数时，则为整数，所以，所以有5项为整数；【小问3详解】因为，所以，数列的前n项和.设，于是，两式相减得，第14页/共19页所以，所以18.已知椭圆的短轴长为，且离心率为.（1）求C的方程.（2作斜率不为0的直线与椭圆C交于ST作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.①证明：为定值.②求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.【解析】1）利用椭圆参数的关系即可求解椭圆方程；（2）①利用设的直线与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度，，即可得到线段之积与直线系数的关系，同理计算出，再作比值，即可得到定值；②利用弦长公式和面积公式可计算出,化归到对钩函数来求值域即可.【小问1详解】由已知得，第15页/共19页因为，又由，可解得，所以椭圆方程为：.【小问2详解】①设斜率不为0的直线的方程为，联立直线和椭圆方程可得，化简得，由于椭圆与直线交于两点，，因此，所以或，根据韦达定理可得，，又因为，，因此，令的方程为，椭圆与直线交于两点，联立直线和椭圆方程，化简得，同理：，，，第16页/共19页因此②由于，又由于，因此，化简可得，设，由于，因此，因此，又由于当时，，因此，因此，所以面积的取值范围为．19.定义：，是函数的两个极值点，若为“M函数”.（1）若为“M函数”，求m的取值范围.（2）已知函数有两个极值点.①求a的取值范围；②证明：为“M函数”.【答案】（1）第17页/共19页（2）①；②证明见解析【解析】1）由函数解析式求导，根据极值点定义建立方程，结合题意建立不等式，可得答案；（2）①由极值点定义将问题等价转化为易知函数零点分布求参数，将导数构造为新函数判断其单调性，结合零点存在性定理，建立不等式，可得答案；②明确问题为极