2024-2025学年高中数学试题选择性必修一（人教B版2019）第2章平面解析几何2-8直线与圆锥曲线的位置关系

2.8直线与圆锥曲线的位置关系课后训练巩固提升A组1.“抛物线与直线有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当直线与抛物线相切时,它们必有一个公共点,但有一个公共点时,直线可能与抛物线相交.故选B.答案:B2.经过点(0,1),且与抛物线y2=mx(m>0)有且只有一个公共点的直线共有()A.3条 B.2条 C.1条 D.4条答案:A3.已知直线y=x与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|等于(A.2 B.455 C.4解析:由y=x,x故x=±255,y=±故|AB|=410答案:C4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F(7,0),直线y=x1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为23,则此双曲线的方程为(A.x23-y24C.x25-y22解析:由焦点为F(7,0),得c=7,a2+b2=7.设双曲线的方程为x2a2M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x1代入双曲线方程,整理得(72a2)x2+2a2xa2(8a2)=0,则x1+x2=2a由已知,得2a27解得a2=2,符合题意,故双曲线的方程为x22-答案:D5.(多选题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的值不可能是()A.2 B.1 C.12解析:由y2=8x,得Q(2,0),设直线l的方程为y=k(x+2).因为直线l与抛物线有公共点,所以方程组y=k即k2x2+(4k28)x+4k2=0有解,所以Δ=(4k28)216k4≥0,解得1≤k≤1.故选AD.答案:AD6.已知直线y=kx2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k=.

解析:由y2=8x,y=kx-2得k2x2则4(k+2)k2答案:27.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线,截直线2xy+1=0所得弦长为15,则抛物线方程为.

解析:设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0).由2x-y+1=0,y2=ax消去整理得4x2+(4a)x+1=0,Δ>0,x1+x2=a-44,x1x2则由题意,得(1+解得a=12或a=4,均符合Δ>0.故所求抛物线方程为y2=12x或y2=4x.答案:y2=12x或y2=4x8.设椭圆C:x2a2+y2b2=(1)求椭圆C的方程;(2)求过点(3,0),且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标解:(1)将点(0,4)的坐标代入椭圆C的方程,得16b2=1,解得b=又e=ca=35即116a2=925故椭圆C的方程为x225+(2)过点(3,0),且斜率为45的直线方程为y=45(x设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将y=45(x3)代入椭圆方程得x2即x23x8=0,则x1+x2=3,故线段AB中点的横坐标为x1+x22=故所截线段的中点坐标为329.设A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,OA⊥OB(O为坐标原点),求证:(1)A,B两点横坐标之积、纵坐标之积均为定值;(2)直线AB经过一个定点;(3)△AOB面积的最小值为4p2.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴y12y22=4p2x1x2=4p2(y又由题意可知,y1y2≠0,∴y1y2=4p2,∴x1x2=4p2.故结论成立.(2)∵y12-y22=(y1y2)(y1+y2)=2p∴当x1≠x2时,y1∴直线AB的方程为yy1=2py1+y2∴y=2py1+y2·x2py又y1y2=4p2,∴y=2py1+y2·x∴直线AB过定点(2p,0).当x1=x2时,∵x1x2=4p2,∴x1=x2=2p,此时直线AB为x=2p,过点(2p,0).综上,直线AB过定点(2p,0).(3)设△OAB的面积为S,△OMA的面积为S1,△OMB的面积为S2,直线AB经过的定点为M,则S=S1+S2=12|MO|·(|y1|+|y2|)又|y1|+|y2|≥2|y1·y当且仅当|y1|=|y2|,即AB⊥x轴时,等号成立.故S≥12·2p·4p=4p2,故△AOB面积的最小值为4p2B组1.直线y=x+1被椭圆x24+y22A.23,C.-23解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,AB的中点为M(x0,y0),则x两式相减得14(x1x2)(x1+x2)+12(y1y2)·(y1+y2)∴y1-y2∴x02y0=1.又y0=x0+1,∴x0=23,∴弦的中点坐标为-2答案:C2.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.13 B.23 C.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2∴x1x2=4.①∵|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+p2=x2且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.②由①②得,x2=1.∴B(1,22).又B在直线y=k(x+2)上,∴3k=22,∴k=22答案:D3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线,与抛物线交于A,B两点.若|AF||BF|∈(0,1),则A.15 B.14 C.1解析:因为抛物线的焦点为0,p2,所以直线方程为y=33x+p2,代入抛物线方程,得x2233pxp2=0,解得xA=33p,xB=3答案:C4.(多选题)若无论k取何值,直线y=k(x2)+b与双曲线x2y2=1总有公共点,则实数b的值可以为()A.32 B.16 C.2解析:由题意,得y=k(x-2)+b,x2-y2=1,得(1k2)x2∵Δ≥0,∴1b23≥0,即∴3≤b≤3.故选ABD.答案:ABD5.已知直线y=m与椭圆x23+y24=1有两个不同的交点答案:(2,2)6.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+解析:当直线的斜率存在时,设过点P(4,0)的直线方程为y=k(x4),将x=y24得ky24y16k=0.则y1y2=16,y1+y2=4k故y12+y2当直线的斜率不存在时,易求得此时y12+故y1故y12+答案:327.已知动点P与平面上两定点A(2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值12(1)试求动点P的轨迹方程C;(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=423时,求直线l解:(1)设点P(x,y),则依题意有yx+2·yx-2=12,整理得x22+y2=1.因为x≠±2,所以曲线C(2)由x22+y2=1,y=kx+1消去y,得(1解得x1=0,x2=-4设M(x1,y1),N(x2,y2),则由|MN|=1+k2|x1x2|=1+k2·故直线l的方程为xy+1=0或x+y1=0.8.已知直线l:y=k(x+1)与抛物线y2=x交于A,B两点,O为坐标原点.(1)若△OAB的面积为10,求k的值;(2)求证:以弦AB为直径的圆必过原点.(1)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),原点O到直线AB的距离为d,由y消去y,得k2x2+(2k2+1)x+k2=0.由题意知k≠0,由根与系数的关系,得x1+x2=2k2+1k2,x1x2=1.则|AB