八年级上学期数学期中必刷易错60题（13个考点专练）解析版

期中真题必刷易错60题（13个考点专练）

一.三角形的角平分线、中线和高（共3小题）

1.（2023秋•龙马潭区校级期中）给出下列说法正确的是（）

A.三角形的角平分线是射线

B.三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外

C.三角形的顶点到对边的距离是三角形的高

D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线

【分析】根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可.

【解答】解：A.三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误；

B.三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法

错误；

C.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.故本小题说

法错误；

。.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确；

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键.

2.（2023秋•铜梁区校级期中）下列说法中，正确的是（）

A.三角形的三条高都在三角形内

B.三角形的一个外角大于任何一个内角

C.三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形

D.到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点

【分析】根据三角形的高的概念、三角形的外角性质、三角形的中线的性质、角平分线的性质判断即可.

【解答】解：A、锐角三角形的三条高都在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形的外部，故本选项说法

错误，不符合题意；

3、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故本选项说法错误，不符合题意；

C、三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，说法正确，符合题意；

到三角形三边距离相等的点是这个三角形三个内角平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形的高的概念、三角形的外角性质、三角形的中线的性质、

角平分线的性质是解题的关键.

3.（2023秋•新和县期中）在AABC中，AC=5cm,4）是AABC中线，若周长与AADC的周长相差

2cm,则54=3或7cm.

【分析】根据三角形的中线的定义可得3D=CD,然后依据AABD周长与AADC的周长相差2cm,代入数

据计算即可得解.

【解答】解：如图，AD是AA5c中线，

BD=CD，

AABD周长—AADC的周长=（BA+BD+AD）-（AC+AD+CD）=BA-AC,

AABD周长与AADC的周长相差2cm,

.JBA-51=2,

解得BA=7或3.

故答案为：3或7.

【点评】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差=|BA-AC|是解题关键.

二.三角形三边关系（共3小题）

4.（2023秋•泗水县期中）如图所示，为估计池塘两岸A、3间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P,

测得上4=18m，PB=16m,那么A、3之间的距离不可能是（）

P

A.18/nB.26mC.30，"D.34/n

【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得

18-16<AB<16+18,再计算即可得AB的范围.

【解答】解：根据三角形的三边关系可得：18—16<AB<16+18,

即2<AB<34,

.1A、8之间的距离不可能是34,

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两

边的和.

5.（2023秋•陇西县校级期中）若a、b、c是AABC的三边的长，化简|a+b-c|+1a-匕-c|=（

）

A.2bB.2aC.2a+2bD.2b+2c

【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里

的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可.

【解答】解：.b、c是AABC的三边长，

:.a+b—c>0,Q—b—c<0,

..|a+b—c|+1fl—b—c|=a+b—c+（b+c—ci）—2b.

故选：A.

【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力.在运用三角形三边关系判定

三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大

于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

6.（2023春•香坊区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）

A.13,11,20B.3,7,10C.6,8,16D.3,3,7

【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.

【解答】解：A、13+11>20,

二长度为13,11,20的三根小木棒，能摆成三角形，本选项符合题意；

B、3+7=10,

二长度为3,7,10的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；

C、6+8<16,

二长度为6,8,16的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；

D、3+3<7,

二长度为3,3,7的三根小木棒，不能摆成三角形，本选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键.

三.三角形内角和定理（共6小题）

7.（2023秋•下城区校级期中）在AABC中，N4=5O。，ZB,NC的角平分线相交于点O,则NBOC的度

数是（）

A.65°B.115°C.130°D.100°

【分析】首先利用三角形的内角和求出NABC+NACB=130。，再根据NB,NC的角平分线相交于点O,求

出NEBC+NDCB得结果,再利用三角形的内角和求出ZBOC的度数.

【解答】解：ZA=50°,

ZABC+ZACB^130°,

ZB,NC的角平分线相交于点O,

NEBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZEBC+ZDCB=65°,

ZBOC=115°,

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握这两个知识点的结合，求NEBC+ZDCB

是解题关键.

8.（2023秋•潮阳区期中）如图，在A4BC中，ZA=30°,ZB=50°,将点A与点3分别沿"N和EF折叠，

使点A、3与点C重合，则NNCF的度数为（）

A.22°B.21°C.20°D.19°

【分析】根据三角形内角和定理求出NACB=100。，再根据折叠的性质得，NACN=NA=30。，

ZFCE=ZB=50°,进而得NNCF=20°.

【解答】解：NA=30。，NB=50。，

ZACB=100°,

将点A与点3分别沿MN和所折叠，使点A、3与点C重合，

:.ZACN=ZA=30°,ZFCE=ZB=50°,

r.Z2VB=20°,

故选：c.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键.

9.（2023秋•泸县校级期中）如图，在AABC中，4）和3E是角平分线，其交点为O,若N3QD=7O。，则

ZACB的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】依据三角形外角性质，即可得到==再根据角平分线的定义，即可得到

ZABC+ZBAC^140°,进而得出NC的度数.

【解答】解：N3OD是AABO的外角，

ZABO+ZBAO=ZBOD=70°,

又-AD和BE是角平分线，

ZABC+ABAC=2（ZABO+NBAO）=2x70°=140°,

ZACB=180°-140°=40°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180。.

10.（2023秋•蓬江区校级期中）如图，在AABC中，NB=50。，44=30。，CD平分NACB,CE1,AB于点

E,则NDCE的度数是（）

A.5°B.8°C.10°D.15°

【分析】依据直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根据NA=30。，CD平分NACB,即可得到N3CD的

度数，再根据NDCE=NBCD-NBCE进行计算即可.

【解答】解：ZB=50°,CE±AB,

:.ZBCE=4O°,

又-ZA=30°,CD平分NACB,

ZBCD=-ZBCA=-x(180°-50°-30°)=50°,

22

ZDCE=ZBCD-ZBCE=50°-40°=10°,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

11.（2023秋•琼中县期中）如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为EF,ZA=80°,ZB=65°,

NC庄=75°.

（1）求NCEF的度数;

(2)求N/MC+NBFC的度数.

【分析】（1）依据题意，先根据三角形内角和定理求出NC的度数，再根据NCEE=78。即可得出结论;

（2）依据题意，首先根据四边形内角和定理可得NAEC+/B尸C+（18（T-NC）+NA+N3=360。，代入计算

即可得解.

【解答】解：（1）AABC中，ZA=80°,28=65。,

.-.zc=180°-80°-65°=35°.

ACEF中，NC=35°,ZCFE=75°,

ZCEF=180°-35°-75°=70°.

(2)由题意，在四边形ABEE中，ZAEC+ZBFC+(180°-ZQ+ZA+ZB=360°,

ZAEC+NBFC=360°-(ZA+ZB+180°-ZC)=360°-(80°+65°+l80°—35°)=70°,即

ZAEC+ZBFC=70。.

【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180。是解答此题的关键.

12.（2023秋•平南县期中）如图，41。尸=90。，点A在射线O尸上运动（点A不与点O重合），点3在射

线上运动（点3不与点。重合），且AE,BE分别是NS4O和NABO的平分线，它们相交于点E.

（1）如图1,当NA8O=70。时，求NAEB的度数；

（2）点A,3在运动过程中，/AEB的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发

生变化，试求出NAEB的度数；

（3）如图2,作AABO的两外角/。4H和ZAON的平分线交于点尸，延长AE,历9交于点G,在AAFG

中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时NABO的度数.

M

【分析】(1)先求出440=20。，再根据角平分线的定义得NE4B=10。，NEBA=35。,进而由三角形的内

角和定理可求出/4£»的度数；

(2)先由角平分线的定义得N54O=2NE4B,ZABO=2NEBA,再由三角形的内角和定理

ZBAO+ZABO=90°,进而得N£AB+NEB4=45。，据此可得NA£B=的度数；

(3)设44G=戊，则NS4O=2N54G=2tz,由々AO为锐角得0。<1<45。，进而得NABO=90。—2c,

然后分别表示出NQ49=90。一ZG=45°-a,ZF=450+a,由此得NQ4F>NG,ZF>ZG,然后分

四种情况进行讨论：①当NQ4尸=2NG时，②当NOA产=2N/时，③当々=2NQ4/时，④当NF=2NG

时，根据每一种情况求出。，即可得NABO的度数.

【解答】解：(1)ZABO=70°,NMOP=90°,

ZBAO=180°-ZABO-ZMOP=20°,

AE,BE分别是NBA。和NABO的平分线，

:.ZEAB=-ZBAO=W°,ZEBA=-ZABO=35°,

22

：.ZAEB=18O°-ZEAB-ZEBA=135°；

(2)NAEB的大小不发生变化.

AE,BE分别是440和NABO的平分线，

:.ZBAO^2ZEAB,ZABO=2NEBA,

ZMOP=90°,

ZBAO+ZABO=180°-ZMOP=90°,

2ZEAB+2ZEBA=90°,

ZE4B+ZEB4=45°,

ZAEB=180。一(ZSW+NEBA)=180°-45°=135°；

(3)设NS4G=(z,

AE1平分NBAO,

;.NBAG=NOAG=a,Z&4O=2ZS4G=2cr,

NBAO为锐角，

.•.0°<26Z<90°,即0°<&<45°,

ZBAO+ZABO=90°,

ZABO=90°-ZBAO=90°-2a,

AT平分NQ4H,

:.NOAH=2NOAF,

ZBAO+ZOAH=180°,

.•.2ct+2ZQ4F=180°,

:.ZOAF=90°-a,

NMOP=90°,

ZAON=1800-ZMOP=90°,

FO平分NAQV,

ZAOF=」ZAON=45。，

2

ZAOF=Z.OAG+Z.G,

.•.NG=NAOb—Na4G=45°—（z,

NF=180°一（/OAF+ZAOF）=180°-（90°-a+45°）=45°+a,

在AAFG中，ZOAF^90°-a,ZG=45°-a,ZF=45°+tz,

:.ZOAF>ZG,ZF>ZG,

.,在AAFG中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，

.•・有以下四种情况：

①当NQ4F=2NG时，贝U90。一a=2（45。-a）,解得a=0。，不合题意舍去；

②当NQ4F=2N尸时，贝1]90。一1=2（45。+&）,解得《=0。，不合题意舍去；

③当"=2NQ4F时，贝I45。+。=2（90。-。），解得a=45。，不合题意舍去；

④当Nb=2NG时，45°+«=2（45°-a）,解得（z=15°,

此时ZABO=90°—2c=60。.

综上所述：在AAFG中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍时，ZAB<9=60°.

【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解三角形的内角和等于180。，

以及角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点.

四.三角形的外角性质（共4小题）

13.（2023秋•武昌区期中）下列说法正确的是（）

A.三角形的一个外角等于任意两个内角的和

B.三角形的一个外角小于它的一个内角

C.三角形的一个外角大于它的相邻的内角

D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

【分析】根据三角形的外角性质判断即可.

【解答】解：A、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项说法错误，不符合题意；

B,三角形的一个外角不一定小于它的一个内角，故本选项说法错误，不符合题意；

C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项说法错误，不符合题意；

D,三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，说法正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和、三角形的一

个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

14.（2023秋•庐阳区校级期中）三角形中，三个内角的比为1:2:6,则该三角形最大的外角为（）

A.108°B.120°C.160°D.162°

【分析】根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可.

【解答】解：设三角形的内角为别为尤，2x,6x,

x+2x+6x=180°,

解得x=20。，

.•.2x=40°,6x=120°,

最小的内角为20。，

故这个三角形的最大的外角的度数是160。.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据内角和定理求出各个内角.

15.（2023秋•楚雄州期中）如图，Nl=55。，Z3=108°,则N2的度数为（）

A.52°B.53°C.54°D.55°

【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可.

【解答】解：N3是A/WC的外角，4=55。，N3=108。,

,-.Z2=Z3-Zl=108o-55o=53o.

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和.

16.（2023秋•陕州区期中）如图，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=（）度.

A.450B.540C.630D.720

【分析】根据题意，画出图象，由图可知N3+/4=N8+N9,因为五边形内角和为540。，从而得出答案.

【解答】解：如图

Z3+Z4=Z8+Z9,

.-.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7,

=Z1+Z2+Z8+Z9+Z5+Z6+Z7,

=五边形的内角和=540。，

【点评】本题考查了五边形内角和，同时需要考生认真通过图形获取信息，通过连线构造五边形从而得出结

论.

五.全等三角形的判定（共2小题）

17.（2023秋•旌阳区期中）如图，AC^DF,ZACB=ZDFE,点、B、E、C在一条直线上，则下列条件

中不能断定AABC三DE尸的是（）

A.ZA=NDB.BE=CFC.AB=DED.ABIIDE

【分析】根据全等三角形的判定ASA推出三角形全等，即可判断A；求出BC=£F,根据&4s即可判断3；

根据有两边和其中一边的对角相等不能判断两三角形全等，即可判断C；根据平行线性质推出"=

根据A4S即可判断。.

【解答】解：A、在AABC和ADEF中

ZA=Z£>

<AC=DF,

NACB=NDFE

:.AABC=ADEF,故本选项错误;

B、BE=CF,

/.BE+EC=CF+EC,

即5C=EF,

在AABC和ADEF中

AC=DF

<ZACB=ZDFE,

BC=EF

:.AABC=ADEF,故本选项错误；

。、根据=ZACB=ZDFE,AC=DF,不能判定AABC和ADEF全等，故本选项正确;

D、AB//DE,

:.ZB=ZDEF,

在A4BC和ADE歹中

ZB=ZDEF

<ZACB=ZDFE,

AC=DF

.\AABC=ADEF,故本选项错误;

故选：C.

【点评】本题考查了平行线性质和全等三角形的判定的应用，熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，题

目比较好，难度适中.

18.（2023秋•保亭县校级期中）如图，Z1=Z2,如果添加一个条件，即可得到AABEvAACE,那么这个

条件可以是_NB=NC_（要求：不添加其他辅助线，写出一个条件即可）

【分析】根据题意，易得NAEB=ZAEC,又至公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件

【解答】解：•Z1=Z2,

:.ZAEB=ZAEC,

又・AE=AE,

当N3=NC时，\ABE=AACE（AAS）；

或当班'=CE时，AABE=AACE（SAS）；

或当NB4E=NC4E时，AABE=AACE（ASA）.

故答案为：ZB=ZC（答案不唯一）.

【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相

等时，角必须是两边的夹角.

六.全等三角形的判定与性质（共8小题）

19.（2023秋•中山市期中）如图，已知3尸是NABC的平分线，APLBP,若=12。裙，则AABC的面

积等于（）

B.30cm2C.36cm2D.不能确定

【分析】延长钎交于点。，根据角平分线的定义可得再根据垂直定义可得

ZAPB=ZDPB=90°,然后根据AS4可得从而利用全等三角形的性质可得AP=DP,进而

可得AAPC的面积=ADPC的面积，最后进行计算即可解答.

【解答】解：延长AP交3C于点D,

A

:.ZABP^ZDBP,

AP1BP,

:.ZAPB=ZDPB=90°,

BP=BP,

:.NBAP=NBDP{ASA）,

:.AP=DP,

AAPC的面积=ADPC的面积，

ABPC的面积=12c>,

NBPD的面积+ACPD的面积=12,

^ABP的面积+AAPC的面积=12,

.〔AABC的面积=24。川，

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键.

20.（2023秋•中江县期中）如图BD为AABC的角平分线，且50=5。，E为延长线上一

点，BE=BA,过E作于歹，下列结论：

①AABD=AEBC；②疑虑+包七川。。；

®AD^AE=EC；④ABIICE；

⑤BA+BC=2BF.其中正确的是①②③⑤.

【分析】根据SAS易证AABD=AEBC,可得ZBCE=ZBDA,AD=EC可得①②正确，再根据

角平分线的性质可求得/。AE=NOC£,即③AD=AE=£C正确，根据AD=AE=EC可求

得⑤正确.

【解答】解：①80为AABC的角平分线，

：.ZABD=ZCBD,

又BD=BC,BD=BC,

AABDsAEBC(SAS),即①正确；

②AABD=AEBC,

：.ZBCE=ZBDA,

ZBCE+ZBDC=ZBDA+ZBDC=180。，即②正确；

③ZBCE=NBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCD=ZBEA,

：.ZDCE=ZDAE,

.•・AACE为等腰三角形，

AE—EC,

AABD=AEBC,

AD=EC>

:.AD=AE=EC,即③正确；

④根据已知条件，可得AB//CE不一定成立，故④错误；

⑤如图，过E作EG,6c于G点，

E是5。上的点，

:.EF=EG,

在RtABEG和RtABEF中，

BE=BE

EF=EG，

RtABEG=RtABEF(HL),

：.BG=BF,

在RtACEG和RtAAFE中，

EF=FG

AE=CE

RtACEGsRtAAFE(HL),

:.AF=CG,

:.BA+BC=BF+FA+BG-CG^BF+BG=2BF,即⑤正确.

故答案为：①②③⑤

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本

题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.

21.（2023秋•和林格尔县校级期中）已知：如图，AB=CD,DE=BF,AE=CF,求证：AB//DC.

【分析】依据题意，由DE=BF,从而DE-EF=BF-EF,即DF=BE,进而可证得2△CflXSSS）,

则最后可以判断得解.

【解答】证明：：。石=8/，

DE-EF=BF-EF,即DF=BE,

在和中，

'AB=CD

'AE=CF>

BE=DF

△AEB2ACFD（SSS）,

:"B=/D,

：.AB//DC.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握其判定和性质定理是解题

的关键.

22.（2023秋•磴口县校级期中）已知（如图），在△ABC中，。是BC的中点，过点D的直线GF交AC于

点尸，交AC的平行线3G于点G,DE±GF,交AB于点E,连结EF.求证：BG=CF.

A

【分析】依据题意，由平行线的性质得到NDBG=NDCF,由中点的定义得到81)=8,即可证明△BGD三

△CFD(ASA)，根据全等三角形的性质即可得到答案.

【解答】证明：BG//AC,

:.ZDBG=ZDCF.

。是3C的中点，

BD-CD,

在△BGD与△CFD中,

ZDBG=ZDCF

<BD=CD,

NBDG=NCDF

△BGD=△CFD(ASA).

:.BG=CF.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

23.(2023秋•东城区校级期中)在AABC中，AD平分N54C,DGLBC,且平分8C,至于E,

于尸.求证：BE=CF.

【分析】由角平分线的性质可得=由线段垂直平分线的性质可得3。=OC,由“HL”可证

RtABDE=RtACDF,可得结论.

【解答】证明：如图，连接BD,CD,

D

4)平分N54C,DELAB,DF±AC,

:.DE=DF,

DG_L3C且平分3c于点G,

/.BD-CD,

在RtABDE和RtACDF中，

JBD=CD

[DE=DF'

RtABDE=RtACDF(HL),

:.BE=CF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形

的判定方法是本题的关键.

24.(2023秋•东莞市校级期中)如图，在AABC中，AD_L3C,垂足为。，AD=CD,点E在AD上，DE=BD,

M.N分别是钻、CE的中点.

(1)求证：AADB^ACDE；

(2)求NAffiW的度数.

【分析】(1)由垂直的定义得到/4DB=NADC=90。，根据已知条件即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到ZBAD=ZDCE,根据直角三角形的性质得到AM=QV,由AADM=ACDN,

可得ZADM=NCDN,ZCDN+ZADN=90°,可得+NAZW=90。，即可得出NMZW=90。.

【解答】解：(1)AD±BC,

ZADB=ZADC=90°,

在与ACDE中，

AD=CD

<ZADB=ZADC,

DB=DE

:.AABD=ACDE(SAS)；

(2)^ABD=ACDE,

:.ZBAD=ZDCE,AB=CE,

M.N分别是钻、CE的中点,

:.AM=-AB,CN=-CE,

22

:.AM=CN,

在MDM和XCDN中，

AM=CN

<ABAD=ZDCE,

AD=CD

\ADM=ACDN(SAS),

.-.ZADM^ZCDN,

ZCDN+ZADN=90°,

:.ZADM+ZADN=90°,

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握全等三角形的性质

定理是解题的关键.

25.（2023秋•磴口县校级期中）己知：在△AOB和△COD中，OA^OB,

（1）如图①，ZAOB=ZCOD=60°.

①请问线段AC与四相等吗？请说明理由.

②求NAPB的度数.

（2）如图②，若ZAOB=NCOD=c,N4PD的大小为_180。—（直接写出结果，不证明）.

【分析】（1）①根据SAS证△=即可得证4c=班＞；

②由全等三角形的性质得出ZOAC=ZOBD,设AC与BO交于点拉，根据

180。—NQ4C—NAA7O=180。—NO5D—即可得出NA/刃=50。；

(2)依据题意，根据(1)可得NAPB=NAO6=a,从而可得NAPD=180。-NAP5,进而得解.

【解答】解：(1)®AC=BD.理由如下：

ZAOB=NCOD,

ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即ZAOC=ZBOD,

OA=OB,OC=OD,

/.△AOC=△BOD(SAS),

:.AC=BD；

②设AC与50交于点M,贝JNAMO=NBMP,

ZOAC=ZOBD.

.-.180°-ZOAC-ZAMO=180°-ZOBD-ZBMP,

即ZMPB=ZAOB=60。.

:.ZAPB=600.

(2)如图，

由(1)可得，△AOC=ABOD,

:.ZOAC=ZOBD.

.-.180°-ZOAC-ZAMO=180°-ZOBD-ZBMP.

又-ZAMO=ZBMP,

XAPB=XAOB=a.

ZAPD=1800-ZAPB=1800-a.

故答案为：180°-a.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

26.（2023秋•清原县期中）如图①所示，A,E,F,C在一条直线上，=B，过E,尸分别作

D

图①图②

（1）请猜想线段EG,FG的数量关系，不用说明理由.

（2）若将ADEC的边EC沿C4方向移动，变为图②时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.

【分析】（1）根据垂直定义可得NDEC=NDEG=NAFB=N3FG=90。，再利用等式的性质可得AF=CE,

然后利用HL证明RtAAFBvRtACED,从而利用全等三角形的性质可得加'=DE,再根据对顶角相等可得

NBGF=NDGE,从而利用A4s证明ABFGMADEG,最后利用全等三角形的性质可得GE=GV,即可解答;

（2）利用（1）的思路，即可解答.

【解答】解：（1）GE=GF,

理由：DELAC,BFLAC,

ZDEC=ZDEG=ZAFB=NBFG=90°,

AE=CF,

:.AE—EF=CF—EF,

:.AF=CE,

AB=CD,

RtAAFB=RtACED（HL）,

:.BF=DE,

ZBGF=ZDGE,

NBFG=ADEG（AAS）,

:.GE=GF；

（2）上述结论依然成立，

理由：DE±AC,BF±AC,

ZDEC=NDEG=ZAFB=NBFG=90°,

AE=CF,

..AE+EF=CF+EF,

:.AF=CE,

AB=CD,

RtAAFB=RtACED（HL）,

:.BF=DE,

ZBGF=ZDGE,

:.ABFG=M）EG（AAS）f

,\GE=GF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

七.角平分线的性质（共6小题）

27.（2023秋•肇源县期中）如图，在四边形ABCD中，NA=90。，49=2,BC=4,对角线BD平分NABC,

则ABC。的面积为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】过点。作。垂足为石，先利用角平分线的性质可得八4=。E=2,然后利用三角形的面积

进行计算即可解答.

【解答】解：过点。作垂足为£,

DA=DE=2,

BC=4,

ABCD的面积=LBC.DE」X4X2=4,

22

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

28.（2023秋•永善县期中）如图，AABC的三边AC,BC,Afi的长分别是10,15,20,点O是AABC三

条角平分线的交点，则SAOM4AOB/SAOAC的值为（）

C.2:3:4D.4:3:2

【分析】过点O作ODLAB于点。，OELBC于点E,OF,AC于点F,根据角平分线的性质定理可知

OD=OE=OF.再由三角形的面积公式计算，作比即可.

【解答】解：如图，过点。作ODLAB于点O,OE_L3C于点E,OW1.AC于点P,

点。是AABC三条角平分线的交点，

:.OD=OE=OF,

:S.nRC:S.nAr=-AB-OD:~BC-OE:-AC-OF=AB:BC:AC,

AABC的三边AC,BC,AB的长分别是10,15,20,

0AB:S&OBC^AOAC=20:15:10=4:3:2

故选：D.

【点评】本题主要考查角平分线的性质定理.正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出8=OE=O尸

是解题关键.

29.（2023秋•和林格尔县校级期中）如图，AE,BE,CE分别平分NBAC,ZABC,ZACB,EDVBC

于点。，ED=3,AABC的周长为24,则AABC的面积为（）

A.18B.24C.36D.72

【分析】过点E作可，4?,垂足为尸，过点E作EGLAC,垂足为G,根据角平分线的性质可得

EG=EF=ED=3,然后根据AABC的面积=AABE的面积+ABEC的面积+AAEC的面积，进行计算即可解

答.

【解答】解：过点E作EF_LAB,垂足为尸，过点E作EG_LAC,垂足为G,

5E平分NABC,EDLBC,EFYAB,

:.EF=ED=3,

CE平分ZACB,ED±BC,EG±AC,

.-.ED=EG=3,

AABC的周长为24,

.•.AABC的面积

=MBE的面积+ABEC的面积+AAEC的面积

=-AB-EF+-BC-ED+-AC-EG

222

=^EF（AB+BC+AC）

1。

=—x3x24

2

=36,

故选：c.

【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

30.（2023秋•陕州区期中）如图AABC中，NC=90。，A3平分44C,于E,给出下列结论:

®DC=DE；②ZM平分NCDE；③DE平分ZADB；®BE+AC=AB；®ZBAC=ZBDE.其中正确的是

①②④⑤（写序号）

CA

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OC=DE,判断①正确，然后利用“HL”证明

RtAACD和RtAAED全等，根据全等三角形对应角相等可得4DC=N4DE,判断②正确；全等三角形对应

边相等可得AC=AE,然后求出=判断④正确；根据同角的余角相等求出=

判断⑤正确，并得到③错误.

【解答】解：，ZC=90°,加平分44C,DE.LAB,

:.DC=DE,故①正确；

jAD=AD

在RtAACD和RtAAED中，《，

[DC=DE

RtAACD=RtAAED(HL),

:.ZADC=ZADE,AC=AE,

平分NCDE,故②正确；

BE+AC^BE+AE=AB,故④正确；

ZBAC+ZB=9QP,

NBDE+NB=90°,

:.ZBAC=ZBDE,故⑤正确；

ZADE+ZBAD^90°,而NBADw",

:.ZBDE^ZADE,

，DE平分/位汨错误，故③错误；

综上所述，正确的有①②④⑤.

故答案为：①②④⑤.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角

相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键.

31.(2023秋•海淀区校级期中)如图，Z4OB=60。，点P在NAO3的平分线上，尸C_LtM于点C,点。在

边QB上，且OD=DP=4,则线段OC的长度为6.

【分析】作PEVOB于E,根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出DE,求出OE,证明AOCP二AOEP,

根据全等三角形的性质解答.

【解答】解：作PELOB于E,

ZAOB=60°,点尸在NAOB的平分线上，

:.ZPOB=3Q°,

DO=DP,

ZOPD=ZPOB=30°,

/.ZPDE=60°,

PELOB,

二.ND尸石=30。，

:.DE=-PD=2,

2

/.OE-6，

在AOCP^n\OEP中，

ZCOP=ZEOP

，ZOCP=ZOEP,

OP=OP

:.AOCP=\OEP(AAS),

；.OC=OE=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判断的力量和性质

定理是解题的关键.

32.（2023秋•凉州区校级期中）如图，AABC中，49是AA5c的角平分线，［史_LAB于点E.

（1）若N3=40。，ZC=76°,求NEZM的度数.

（2）若AB=20,AC=16,DE=6,求AABC的面积.

【分析】（1）先利用三角形内角和定理可得44c=64。，然后利用角平分线的定义可得NZMB=32。，再根

据垂直定义可得"E4=90。，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；

（2）过点。作D尸，AC,垂足为尸，先利用角平分线的性质可得小=£＞尸=6,然后根据AABC的面积

=AACD的面积+AAD8的面积，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）-ZB=40°,ZC=76°,

,ZS4c=180°—ZB—NC=64°,

AD平分44C,

ZDAB=-ABAC=32°,

2

DEYAB,

:.ZDEA=9Q°,

ZADE=90°-NDAB=58°,

.•.NEQ4的度数为58。；

(2)过点。作D尸，AC,垂足为尸，

AD平分44C,DE.LAB,DF±AC,

：.DE=DF=6,

AB=2Q,AC=16,

\ABC的面积=AACD的面积+AADB的面积

=-ACDF+-ABDE

22

=—x16x6+—x20x6

22

=48+60

=108,

.•.AABC的面积为108.

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

八.线段垂直平分线的性质（共2小题）

33.（2023秋•山西期中）如图，在AABC中，DE垂直平分3c分别交4C,3c边于点。，E.若AB=3,

AC=5,则AABD的周长为（）

A

D

------------土-----------

E

A.6B.7C.8D.10

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得=然后利用等量代换可得AABD的周长=AB+AC,进行

计算即可解答.

【解答】解：•DE是的垂直平分线，

:.DB=DC,

AB=3,AC=5,

AABD的周长=AB+49+BD

=AB+AD+CD

=AB+AC

=3+5

=8,

故选：c.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

34.(2023秋•盐都区期中)已知：如图，AABC中，EF是钻的垂直平分线，A£>_L3c于点D,且。为

CE的中点.

(1)求证：BE=AC；

(2)若NBEF=55°,求Nfi4c的度数.

【分析】(1)连接AE,根据线段垂直平分线的性质可得/场=BE,再根据已知可得：AD是CE的垂直平分

线，从而可得AE=AC,然后利用等量代换可得3E=AC,即可解答；

(2)根据垂直定义可得N3EE=90。，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得4=35。，然后利用等腰三

角形的性质可得NB=N54E=35。，再利用三角形的外角性质可得NA£C=70。，最后利用等腰三角形的性

质可得NA£C=NC=70。，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答.

【解答】(1)证明：连接AE,

A

即是AB的垂直平分线，

:.AE=BE,

ADYBC,且。为CE的中点，

是CE的垂直平分线，

AE=AC,

BE=AC;

(2)解：EFLAB,

,\ZBFE=9Q°,

ZBEF=55°,

NB=90。—NBEF=35。，

EB=EA,

ZB=ZBAE=35。,

ZAEC是MBE的一个外角，

ZAEC=ZB+ZBAE=70°,

AE^AC,

:.ZAEC=ZC=10°,

za4c=180。—"一NC=75°,

:.ZBAC的度数为75。.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添

加适当的辅助线是解题的关键.

九.等腰三角形的性质(共6小题)

35.(2023秋•绍兴期中)已知等腰三角形ABC的底边BC=6c〃z,M|AC-BC|=3cm,那么AABC的周长为

()

A.12cmB.12cm或24cmC.24anD.12aw或21cm

【分析】根据已知易得AC=9s或AC=3c〃z,然后分两种情况：当等腰三角形ABC的腰长AC=AB=3cm

时；当等腰三角形ABC的腰长AC=AB=9w时；分别进行计算即可解答.

【解答】解：\AC-BC\=3cm,BC=6cm,

AC=9cm或AC=3cm，

分两种情况：

当等腰三角形ABC的腰长AC=AB=3cm时，

3+3=6,

・•.不能组成三角形；

当等腰三角形ABC的腰长AC=AB=9cm时，

;.AABC的周长=9+9+6=24(cm),

综上所述：AABC的周长为24c加，

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值，分两种情况讨论是解题的关键.

36.(2023秋•乐昌市期中)等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为3CM,则该等腰三角形的底边长为(

)

A.3cmB.4.5cmC.5cmD.6cm

【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3cm时，当等腰三角形的底边长为3cm时，然后分别进行计算

即可解答.

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的腰长为3c机时，

.，等腰三角形的周长为12cm,

，等腰三角形的底边长=12-3x2=6(cm),

7.3+3=6，

.•・不能组成三角形；

当等腰三角形的底边长为3c机时，

等腰三角形的周长为12a”，

等腰三角形的腰长=gx(12-3)=4.5(aw),

综上所述：该等腰三角形的底边长为3cm,

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况是解题的关键.

37.(2023秋•徐州期中)已知等腰三角形中，两条边长为3和7,则这个等腰三角形的周长为17.

【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7,底边长为3时;

然后分别进行计算即可解答.

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的腰