2025圆锥曲线的定值问题重难点突破（解析版）

圆锥曲线的定值问题

目录

高频考点一：椭圆中的定值问题（椭圆中的定值问题）

高频考点二：椭圆中的定值问题（椭圆中的定直线问题）

高频考点三：双曲线中的定值问题（双曲线中的定值问题）

高频考点四：双曲线中的定值问题（双曲线中的定直线问题）

高频考点五：抛物线中的定值问题（抛物线中的定值问题）

高频考点六：抛物线中的定值问题（抛物线中的定直线问题）

高频考点一：椭圆中的定值问题（椭圆中的定值问题）

典型例题

例题1.（23-24高二上,河南鹤壁•开学考试）已知椭圆。3的离心率2,且圆

i=-过椭圆C的上、下顶点.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若直线l的斜率为三，且直线，与椭圆。相交于3,0两点，点尸关于原点的对称点为后,点儿力」।

是椭圆。上一点，若直线从后与川。的斜率分别为*,证明：3-+幻为定值，并求出此定值.

【答案】⑴了；

（2）证明见解析，0.

【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题

【分析】（1）根据圆的上下顶点可求b,利用。，b,C的关系可得答案；

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出求和化简即可.

【详解】（1）由题意可得匕・W,乎，所以炉・8,

21

xBJ

所以椭圆c的方程为：；

（2）证明：设直线，的方程为X=?J+L设RH/），。住心），由题意Hffi,

联立｛'i・8,整理可得旷+切+产-8・0,

A-ldf-4x8x|f-8）＞0即T＜y,且=W川s

.._-j*,-1jr：-l_（兀+1）（2力+12）+（力-1）（2乂♦，・？）

所以“"~x,♦2x,+21+t—2）（2,r.+/+2）

444悟“，鼻+4

4FJI+“J,+F＞）+418）I"_n

（况+，-2）（2月+，_2）j2儿+/-2）（况+f+2）

即证得*“♦*"为定值，且定值为0.

-C—+^-l(a>i>>0)

例题2.(24-25高二上•全国•课后作业)己知。为坐标原点，椭圆a，的左、右焦点

分另U为，卜"°)囚"°),若尸为c上一点，当5巩最大时,8小痔■彳

⑴求。的方程；

(2)设直线、・川•'广与C交于4B两点，点A关于x轴的对称点为A(A与E不重合),直线A3与1

轴交于点H,证明：1切1为定值.

工

【答案】⑴

⑵证明见解析

【知识点】椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、椭圆中焦点三角形的其他问题

【分析】(1)根据焦点三角形，结合余弦定理以及基本不等式即可求解35"冏的最小值为丁-I,

即可求解，

(2)联立直线与椭圆方程可得韦达定理，根据点斜式求解直线43方程，令，・0,代入化简即可求解

阳的直

【详解】⑴设附卜加附卜力，则曲=力幽=-----------------=嬴，

)yviWI，I'a

又V2),当且仅当m=x=a时取等号，

所以wia,,即854r尸七的最小值为a

2b21

所以W~-=4,又a：-V・3,解得a：=8,ir=5,

/jJ,■I

所以c的方程为了+了=.

(2)设"J”"i.J「，,I'd,易知

联立lr+M-Lw（w+8）r+io^-i5-o

IQyfSin-15

则八5m：+8=’5”+8,

,」.一（■『/r.+r,..y.+r,..

因为<->,则直线的方程为工7,

+|g+6,+（—+/帆、节J./r、-15jT8"

令，=。，得jr.+jr：J,+J-/>♦/：-lOVSin5,

练透核心考点

1.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）已知点P在椭圆「二’?-I">?>>⑴上，过点尸作直线/与椭

圆c交于点。，过点P作关于坐标原点。的对称点P,「PI的最小值为二右，当直线/的斜率为0时,

存在第-象限内的一点P使得阳川国卜2月.

⑴求椭圆c的方程；

（2）设直线/的斜率为％（麻0）,直线QP的斜率为求X/的值.

二.£■1

【答案】

*r=-l

（2）3

【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题

【分析】（1）由题意可得'■二点尸坐标为（9』，进而计算可求椭圆的方程；

区+丘=[①

，左•[②

（2）设点P（­）,力・“川，由题可得1不2计算可得结论.

【详解】（1）因为1Ppl的最小值为:!。，所以第・26，所以2-JJ,

当直线i的斜率为零时，点「与点Q关于『轴对称，又点P与点P关于点0对称，

由椭圆的对称性可知，此时点Q与点P关于（轴对称，则“0P=9O\

由几何关系可解得点P坐标为（百」），

r2y1,31.

代入椭圆。的方程：a2得：a-2,解得T・6,

二+£=i

故椭圆。的方程为丁+丁=；

(2)设点“3”,QC"I,PLJ,

上+上=1①

L区.[②上

162，由；，得：6

r-~=11a>h>0Ir

2.（24-25高三上•河北沧州・阶段练习）已知椭圆。»的左焦点为,，上、下顶点分别

为儿凡且？，点

I在r上.

（1）求椭圆「的方程；

⑵过左焦点耳的直线交椭圆「于M.N两点，交直线T-_2于点/>,设月"优，图.即,证明:

J+"为定值.

土+-=1

【答案】⑴2

⑵证明见解析

【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定

理求参数

乙/

【分析】（1）由-,得再把点I-1代入椭圆方程求a出D即可；

（2）设出直线皿的方程，代入椭圆方程，设MxJJM"；）,由加小・即，表示

出”+“，利用韦达定理化简得定值.

【详解】（[）由题意可知,所以a.叵

kg

因为点itJ在「上，所以亍,彳*,

解得力=1,故a=#,

r22.

^―+r-1

所以椭圆厂的方程为？.

(2)由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为

4k：-1|

设),则l*工-设2M1+2<J,

又年2.-乃.甲-1,0|,由市=画廊=词得

2xtx,+3(x,+XJ+4

所以lx,+l)(x,4-11

I)(4E

2%/+3(匹+勺)+4-——-+3-+4=0

1+贺I

因为1+2<

所以2+30为定直

高频考点二：椭圆中的定值问题(椭圆中的定直线问题)

典型例题

例题1.(23-24高二上,湖北恩施•期末)已知动圆T过定点国一L5,且在定圆°仆-11+「="的内部

与其内切.

⑴求动圆圆心了的轨迹方程.

(2)当过点的动直线,与圆心厂的轨迹相交于两不同点45时，在线段48上取点。，满足

网网=|珂网则点〔是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由.

/J.1

【答案】(1)7+7二

⑵点。在定直线I上.

【知识点】椭圆中的定直线、轨迹问题一一椭圆

【分析】（1）根据椭圆的定义求得轨迹方程；

AP国

（2）设点.」，由冏网同网均不为零,J同网,

则且

4wl,由椭圆方程说明点P在椭圆外，得出丽=一屈,而=4诙，用坐标表示出该等式，然后求得

并利用点AB在椭圆上消去各参数得出关于XJ的方程，从而得出结论.

【详解】（1）设动圆r和定圆。切于点”•

由题意可得动点r到定点团-LOl和定圆圆心CILO）的距离之和恰好等于定圆。的半径，即

|7z|+|rq-|7w|+|rc|-4

r尸-

由椭圆定义可得动圆圆心T的轨迹方程为43.

（2）点。在定直线.I"上.理由如下.

设点。（XJIMKJJ㈤工,「|

由题设知网网网网均不为零,记

,贝口＞0且"1,

因为儿RB©四点共线，将点R4」）代入轨迹方程r得了+行＞,所以点p在椭圆外，又点Q在线段

45上,所以"•-祖.而♦磔,

X,-4X.

x=-------L,

1-A11+4

F1一为：」J+打：

于是i①，1+4②.

又点AB在椭圆上，所以

（即一生）（x,+\xjI（『「廿：）（1+川J,7

③一④xZ'得4+3,代入①②有

例题2.（23-24高二上•安徽•期中）已知椭圆a0的左、右焦点分别为歹，可，。为

坐标原点，点n在椭圆C上，且I12,直线才过点歹且与椭圆C交于A,B两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵已知就•根，垣•耳札

若直线XA4,加交于点D,探究：点。是否在某定直线上？若是，求

出该直线的方程；若不是，请说明理由.

【答案】⑴7+7=

⑵点。在直线g-4上.

【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的定直线、根据a、b、c求椭圆标准方程

【分析】

（1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；

（2）由题意先确定N位置，设直线，与A、B坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出A、B纵

坐标关系式，再利用点A、B坐标表示直线,、BN,法一、求出。点横坐标化简计算即可；法二、直

接利用直线,、邱'方程作比计算4-?为定值，计算即可.

【详解】（1）设@CO）,«>0）,

则由卜卜Y"济,

贝!]«+】）：=4,解得（。--3舍去），

则①

代入点pIfVT]得±a：+协2_=i，②

联立①②，解得苏・4,-3,

依题意，"IT。），

'X-）节―1

设直线/i=P-l,联立13k“jr—l"。,

整理得1"+4广的-9=0,

△*36m*+36（3H:+4）«l44|l+m*|>0

设4（M》I）,日（力・力），

dm9

则'3".4「八3次.4,

所以加3（.】:+.匚）・0

AM:y=_2J_（X+2）即J.」I（x-2）

可设直线』+?，直线"v.~-

x_2F：（x.+』+FJ%一2）

得"-［r（x,+2i-rji,-2）_

=2+1>+解”叶「3）=/%FJ：+F：-3y）

=［八（憾+1卜川）*-3）「，力+3久J

』>rm+3E+j：）-』一+3.〉）］

-2--------------------:-----------------I

工+巾.,

故点。在直线x。-4上.

3,、31

册,+2_.优+2）.呷5+厂..JJ'JJ♦力・产・尹1

不二％（『2）=.JL_*F+川-3jJ§

法二:故■・一

解得L-7,

故点。在直线*=T上.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（HJ

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或F）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为H+与、丁国（或》+外、FJ：）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

练透核心考点

>6C过点“印书

1.（23-24高二上•陕西汉中•期中）已知椭圆C且离

正

心率为-.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/：，='+'”与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A,B,证明：AK43的内心在一条定直线上.

三+匚=]

【答案】⑴7+彳=

（2）证明见详解

【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线

【分析】（1）根据题意建立关于。，b的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程；

（2）设由工J/,联立直线i和椭圆C的标准方程，得到关于X的一元二次方程，再根据韦达

定理证明年，进而即可得出结论.

X"!J*M.

所以椭圆C的标准方程为7+彳一

（2）设山功工.『：），

x1y1,

■42

联立♦两,消F整理得3亡+4阳—＞）：-4—（1,

则解得

4nlW-4

工♦'=―—―XX.=---------

可得♦3,'t13,

2m

y+y=\+T+2in=—

所以113,

8

+-xi+2x,x.+m（x,+x.）---

所以*3

卮2y/6、884而”4m8c

又W+xj―丁（X+t1/）+3=-3+—p------p-m+3=0

所以尢.+l,=0恒成立，则乙M/8的平分线总垂直于x轴，

】瓜

所以一M45的内心在定直线,.丁上.

2.(2024・四川资阳•模拟预测)椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为

42atI),“叫,点”淘在椭圆E上.

⑴求椭圆E的方程.

(2)过点的直线/与椭圆E交于P,。两点(异于点A,B),记直线AP与直线8。交于点M,试问

点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.

【答案】⑴丁+篦=

(2)点“在定直线-4上

【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的定直线、根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标

准方程

【分析】(1)根据左右顶点及点在椭圆上列式求解写书椭圆方程即可；

(2)先设直线方程再联立方程组求韦达定理，再求两个直线的交点，确定交点横坐标即得.

【详解】⑴设椭圆E的方程为改+可

故椭圆E的方程为4S.

(2)依题可设直线/的方程为t="(XJ

联立方程组t丁至.1,整理得曰".+1r-4k6=0,

直线A尸的方程为，直线5。的方程为.

:一』，+_--二r,-6r-

tJ**_••

联立方程组，得IV*2ir-iv.-2)/,

由,'+；=而71,2m3+1,得KFJL"

4nyj：-6j;+丁：-60+乃)・",♦了：-I"1J：

Xo

所以3y,+j.3M+JJ

故点M在定直线x--4上.

高频考点三：双曲线中的定值问题(双曲线中的定值问题)

典型例题

例题1.(2024•全国•模拟预测)已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过42。,

31,3)

两点.

⑴求C的方程；

(2)设尸，M,N三点在C的右支上，BMAP,HNBP,证明：

(i)存在常数L满足三亚♦声・？丽；

(ii)，A以'P的面积为定值.

工上7

【答案】⑴43

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题、双曲线向量共线比例问题

、，।Am=一只=一

【分析】(工)设C的方程为,即-矿-I,其中.由C过A,2两点，代入解得4,3即

可.

:

(2)(i)设/'QJ・)，W,\其中TK-4jr,=12；z=0,1,2.因为B///4P,

k「工

所以直线的斜率为*，+L方程为『-“d"

"+4)结合韦达定理得到、=工+工,

同理t=.1「与再结合向量运算即可解决.

（ii）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.

【详解】（1）设C的方程为‘代一bT,其中皿<0.

11

j”=九=

由C过A,2两点，故4m-1,l&n-Pn-l,解得4,3.

X'

因此c的方程为彳一不

(2)(i)设P(-),w(*i.yi>,*(必.%)1其中工>Q,i=0,I,2.

因为HM//4P,所以直线8M的斜率为'9+?,方程为人3・hx+4l

J-3="T+4)得(3-代片-跖(%.3)x・4[|伙+3八3]・0

由

川包+3-3]

-4x,

(3-4*.*1)

所以

16k;+24c,+1216+X心区♦2)+12(x0+2『

3-际

12|£-4)+24儿|*,+>1+1)一+」「

---------------------------------------------=2x0+况

12(2)

,/J2X+2J+4)3.八43,

=«.|x,+4)+3=--------0------0------+3-2汽+fx-2+3=+2y

因此3?-0-0

同理可得直线AN的斜率为：*+4,直线AN的方程为

x'r1

<43

由"hX+」得13■叱）r-1阳-（咻+1?）.0

-|16之+12)

-2x,=----------：——

所以,3・〃；，

T_曲：+6灯.-3：+"%+4)’6x：+町：+48(%-J%)+168

L3・41工3)：.绚。4

_dr；+8j-j+14(3Xo-4r-)♦48(x,-jr0)_

怎Xo+『°+D',

因此

=况_6_-_4)=一3+况

则说♦丽・｛曲.4「而即存在4**4,满足QM+CftT.40P.

j

(ii)由(i),直线MN的方程为

+[4九)’

所以点P到直线MN的距离

而

…Es=：4卬卜6

所以一MMP的面积2r1为定值.

【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线.本题第(1)小问设问基础，但需要注意所设

方程的形式；第(2)(i)小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考

验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大.

p//T

C.-"T-11^7>O.i>0I-

例题2.(24-25高三上•贵州•开学考试)已知双曲线才夕的离心率为3,实轴长

为6,A为双曲线C的左顶点，设直线/过定点日―一"，且与双曲线C交于£,B两点.

⑴求双曲线C的方程；

(2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值.

二一J1

【答案】⑴93~

(2)证明见详解

【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题

2V3

【分析】(])由实轴长为6,得a-3,由离心率为丁，得再由东+方=(•'得力.力，即可

得到双曲线C的方程；

(2)设电J),曲.匚)，直线]t”-2,直线与双曲线联立方程得0献・犷・4中・57,根据

4m”.-5

韦达定理得=疝-3,J=；tr-3,根据斜率公式得即，",最后代入化简计算即可得证.

【详解】(1)因为双曲线的实轴长为6,所以a=3,

273j空

因为双曲线的离心率为丁，所以£=亍，解得

X2J1.1

由a：+加・r,得L,则c的方程为万一不一.

(2)

E

1A

广旅"O\F2x

设鼠XJ),取J：),因为直线/过定点B(-2,0),显然直线/不垂直于F轴，则设直线

1r7可一切工土⑨

fx.他•-2

归上.1、

联立方程组I亍’T*,消去尤得(刖-3》-Mr-5=0,

.5

ldm:♦20(J»:-3)>0汨>T

4m一5

y^y=­：~~7ir=—：—

则冽•一3,八八w-3,

因为A为双曲线C的左顶点，所以4J3.0),

直线AE的斜率即+3,直线A尸的斜率4+3,

Ku*，-*M------J--5---------_------------F--J--：------------

所以(*1♦3XW♦3)0^1-243XBL”$

“«

加JJ：+*J1+「2)+l

-5

后3_55

即直线AE与AF的斜率之积为定值.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于设出直线/的方程，然后直曲联立，利用韦达定理，代入

"*，•的表达式，化简即可得到定值.

练透核心考点

C----r=l(fl--'O).

1.(2024高三•全国・专题练习)如图，已知双曲线。的右焦点尸，点48分别在。的

两条渐近线上，儿？1丫轴，R?_LC6.BFHOA(。为坐标原点).

⑴求双曲线C的方程;

(2)过C上一点HjW)的直线/与直线A尸相交于点M,与直线'=三相交于点及，证明点P在。上移动

网

时，”了1恒为定值，并求此定值.

■

工-八1

【答案】⑴3--

网20

(2)证明见解析，阳3

【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题

【分析】(1)由渐近线方程和已知平行关系可得直线2尸的方程，与直线方程联立解得2坐标，再求

得A坐标，利用垂直得等量关系即可.

M“户-3)

(2)本题虽为证明实质为计算的值.分别用坐标表示直线，与A尸的交点3,'及直线/与直

线

x=-雇•二一)--I=1

2的交点为-，并利用31化简，即可得到定值.

【详解】(1)由题意知，直线。8方程为」=一£'，直线。4的方程为J=£',

I,、

J*二—(t一£)

因为即所以直线3尸的方程为.0,与直线。2方程联立，

3C——Mk=一

解得”2a,把x*c代入直线。4的方程得C,口,所以“a

又因为A8_LOB,所以"aa,解得＜r-3,

X2，■]

故双曲线c的方程为了一'-

(2)由⑴知则直线/的方程为亍........,

1K-3

T--20;—

即抗

A/(2,3S21)

因为直线AF的方程为T-2,所以直线7与A尸的交点3几，

3Tx®_3

TIN(------)

直线/与直线■?的交点为y讥，因为网2,o),

(工-才

产次：:工・丹

则9刀

因为刊\.几)是C上一点，则丁"，代入上式得

凶j__%工-3)：4

k百.2丁吟…(7J即3万阿？百

,所求定值为网

2.(23-24高三下•湖南长沙,阶段练习)已知椭圆‘7+‘A/.N分别为双曲线

c.1r2-1

一的左，右顶点，^上：分别为？和的离心率.

厉

&2=-----

⑴若4.

(i)求C的渐近线方程；

(ii)过点”的直线/交C的右支于48两点，MB与直线1交于B两点，记48乂，8坐

标

1111

分别为(EJJ111-求证：Jiy：Ti几；

(2)从。上的动点「‘1-』'*±内引(?的两条切线，经过两个切点的直线与C的两条渐近线围成三角形

的面积为S,试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由.

1’・士一X

【答案】⑴(i)2；(ii)证明见解析

(2)是，定值为。

【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、双曲线中的定值问题

【分析】(1)根据离心率可求。，故可得(i)中方程；设直线的方程为*=夕+4,联立直线方程和

1111

—,一+—

椭圆方程后利用韦达定理化简工y-r'匚后可得它们相等.

(2)设到。是求出切点弦的方程后再求出切点弦与渐近线的交点后可求得面积为定值.

•jo:—1Ja：+1-1

【详解】(1)(i)由题意得aa,所以“产一？T,

解得a：-4,又a>l,所以a・2.

故双曲线a的渐近线方程为'w±7l；

(ii)证明：设直线AB的方程为x=T+4,

卜”+4.

由匕消元得5-4)「+防+HDQO且“±2,

故△•代叫―心。，故…

又直线日的方程为y=­（x+2）,

（2）设两个切点为2«•「"（¥』），由题意知斜率存在,

直线用方程为"工）・二，

4；1I

联立旨”7,故（l+a*）x+勿cm11+（匚-Z/Ja'-a：=0

由△・0可得4叫也”占『・4（1**）［优・也）%・刃-0

整理得到：匕＜X*♦+J-T--0

故”"a，故.『，，所以‘ar，

同理直线惚方程为

cr

由7/过P点可得'=|可得直线FE的方程为务+R",

不妨设直线尸P与x轴交于点V1）,与两条渐近线的交点分别为斤，8，

则围成三角形的面积为:

因尸在双曲线c上，小4•"，则为定值.

高频考点四：双曲线中的定值问题（双曲线中的定直线问题）

典型例题

X*«**

------=】（a>0,b>0）rr

例题1.（23-24高二上•江西萍乡•期中）已知双曲线C：ab的离心率为J1,其左、

右顶点分别为人，4,右焦点为药，尸为C的左支上不同于A的动点，当F的纵坐标为1时，线段月弓的

中点恰好在轴上.

⑴求双曲线「的标准方程；

（2）若点“（工山，连接"P交C的右支于点。，直线以与直线C从相交于点T,证明：当尸在。的左支

上运动时，点7在定直线上.

【答案】⑴i-尸=【

（2）证明见解析

【知识点】双曲线中的动点在定直线上问题、根据韦达定理求参数、根据离心率求双曲线的标准方程、根

据a、b、c求双曲线的标准方程

【分析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线C的标准方程；

仁）设点PKJ）,。（工J：）,分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出.

【详解】（1）由离心率a',c+i>,得

当户的纵坐标为I时，线段吗的中点恰好在F轴上，

则尸尸11轴（式为C的左焦点），

故刊7）,代入的方程得：工・1,

故双曲线C的标准方程X、尸.【；

（2）设点—）,小』|,其中，＜T,工＞1,

由题意知，直线MP的斜率存在且不为0,设MP：

;

代入V-厂/，得11一＜M+妹・A-12＜+4＞0,

由题意知，直线以：H+l，直线Q4：0-1相交于点了，

所以K,+lX.-l

x.一―3x,fif.%.4J

解得Lf+3x：-4.-X,+3K,-4-2-x.43tv.-4-

I，

故当P在C的左支上运动时，点T在直线'=3'上.

例题2.（2024・贵州毕节・三模）在平面直角坐标系京丁中，O为坐标原点，4-L。）.及10］，动点P满足

*'*■＜设点P的轨迹为曲线

⑴求曲线r的方程；

（2）过点C1D的直线/与曲线「在y轴右侧交于不同的两点M,N,在线段MN上取异于点M,N的点Z）,

满足LI16'I.证明：点。在定直线上.

【答案】⑴T'3—=If'r*±1）

（2）证明见解析

【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的动点在定直线上问题

【分析】（1）设点尸的坐标为（',』），根据斜率乘积为定值化简即可；

（2）设直线/的方程为9-1・*保-。，联立双曲线方程得到韦达定理式，化简弦长得

以“（X,+4•（X,♦X「山，代入韦达定理式计算即可.

【详解】（1）设点尸的坐标为（'•』），

-2_■3

由*r■3得x+1x-1,化简整理得3

所以曲线「的方程为"

（2）若直线/的斜率不存在，则直线/与曲线「只有一个交点，不符合题意，

所以直线/的斜率存在，设为％,则直线/的方程为1）,

设点

联立方程组I'-丁.，整理得（3-H*-北）1信-北+小。，易知33,

△・（丁・川、4（3”）『・北川>0,解得太<2,

2k1-2k门

r+r,=­；--->0

'1J-3

■■北+4

（iV<-3,解得或k>5

综上k<--或♦<*<2,

因为|e‘卜—K-1卜力+》（”rI,

同理由|*|16rl得KT（x：T）=（x「l）（xf）

化简整理得骂H♦/）・（*♦K：-2）K,

所以-丁二*：-3I«：-3J

3K-4

化简整理得-X-1,代入JT=ST）,

化简整理得3*-J-3=0,

所以点。在定直线3=0上.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再对

化简得招/■（«；+/）■（4+3-2”，代入韦达定理式计算即可

练透核心考点

C=上=1

1.（2024・贵州遵义•一模）已知双曲线。b~（a>0,6>0）的左、右焦点分别为尸，为，直

线）=3与。的左、右两支分别交于M,"两点，四边形MFFN为矩形，且面积为11.

⑴求四边形M产尸耳的外接圆方程；

（2）设A,B为（？的左、右顶点，直线:过点（-3.0）与。交于广，:两点（异于八，5）,直线4?与82交

于点R,证明：点R在定直线上.

【答案】⑴V2J4

（2）证明见解析

【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在

定直线上问题

【分析】（1）依题意可得尸尸＞且网・3,由卜--C求出M点，再根据矩形面积及

c：・f+於求出。、b、c,即可得到双曲线方程及M、石点坐标，再求出线段的中点及线段长，最后求

出外接圆的方程；

（2）设直线，为＞叼-3,P,联立消元、列出韦达定理，表示出AP与82的方程，

联立求出x,即可得证.

【详解】（1）由双曲线a~~b~=的左、右焦点分别为八「"文月心叫

直线y・3与C的左、右两支分别交于“，"两点，且四边形MFFN为矩形，

所以且卬卜3,

即\。人则a",又c'=d+>,S,*=3x?c=l?,

解得〜2,a-1,,

T-J---"=1,

所以双曲线。的方程为3,

所以矩形”FN的外接圆的方程-T

(2)由(1)知，1川,即川,

依题意知直线7的斜率不为零，设直线，为i=m.r-3,?0.3，Q(3V,

X1-—«1

'；3

由卜・绅-3,得(3)展-1y-1&置+工・0

当划：_].()且4・324m:-4x24(l?r-1)«3&M♦96>0

IM24

所以'+,：=^^7^7,3：=3疝-1,

所以上",)F

一r--h—(x-1)

直线4尸的方程为3，直线R2的方程为0T

'1.(X+11=--~(X-1)

联立两方程可得，所以M+1工・|

K+1一x+1jr；1冲；-2氏_呷寸：二生

I1"--1°F/F•广4广町4-4久

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程，设交点坐标为0•>♦、'

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或F)的一元二次方程，必要时计算△；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为'+4、X'的形式;

(5)代入韦达定理求解.

----=l|a>0,h>0）

2.（23-24高三上•河南周口•阶段练习）己知双曲线C：a0实轴的左、右端点分别为

2_

人，4,点尸二■在c上，且“加的斜率之积为5.

⑴求C的方程；

（2）已知直线/与C交于M,N两点（均与尸不重合），与直线1-2交于点Q,且点M,N在直线1=?的

两侧，若1Mpi「兀卜四力/阿，线段MN的中点为R,证明：点R在一条定直线上.

--r:=1

【答案】⑴2

⑵证明见解析

【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的动点在定直线

上问题