北京市朝阳区2024-2025学年高三年级上册10月月考数学检测试题（含解析）

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1已知集合Af={x|x+220},N={xIx—1<0},则AfDN二（）

A.{xI-2<x<1}B.{x|-2<x<l）

C.{x\x>-2}D.{xIx<1}

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是则i.z=（）

A.V3+iB.-V3-iC.V3-iD.—6+i

3,下列函数中，在区间（0,+力）上单调递减的是（）

A./（x）=2XB.f（x）=-Inx

C.f（x）=--D./（X）=3M

4.已知实数a,b满足。>6,则下列不等式中正确的是（）

A.\a\>bB.a>\b\

C.a2>abD.ab>b2

5.欧拉公式*=cosx+isinx（，为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常

重要的地位，特别是当》=万时，e玩+1=0被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它

是“创造的公式”.根据欧拉公式可知，e,在复平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2%]0v<21

6.已知函数/（x）=<6:，那么不等式/（同>必的解集为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,4）D.（1,6）

7.设a=0.5°4,Z）=log050.4,c=log40.5,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

yX

8.若切片0,贝(J"x+y=O”是“二+一=一2”的()

xy

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

“|x+l|-l,xe(-oo,0)

9.已知函数/(x)=41,g(x)=x29—4x—4,设6eR,若存在aeR,使

ln(x+1),xe[0,+<x>)

得/(a)+g(b)=O,则实数b的取值范围是()

A.[-1,5]B.(-oo,-l]u[5,+oo)

C.[-l,+℃>)D.(-oo,5]

10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.

其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的

寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值(精确到

0.001),可得N的值为()

M2371113

lgM0.3010.4770.84510411.114

A.13B.14C.15D.16

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

H.函数/(X)=工+万工的定义域是______.

lux

12.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且当xe(一90]时，/(x)=2^+1,则

13.设函数则曲线y=/(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形

的面积为

14,对于三次函数/(%)=加+励2+以+4。/0),给出定义：/'(X)是函数/(X)的导函

数，/"(X)是/'(X)的导函数，若方程/"(x)=o有实数解/，则称点(%,/宙))为函数

y=/(x)的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都

有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若/(x)=gx3-gr+3尤根据这一发现，函数

y=/(x)的对称中心是.

15.已知函数/(x)=《，给出下列四个结论：

x+2ax,x>a

①当a=0时，/(x)的最小值为0；

②当时，/(x)存在最小值；

③当aNl时，/(x)在(—叫+8)上单调递增；

④/(X)的零点个数为g(a)，则函数g(a)的值域为{0」,2,3}.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.设函数/(x)=sinoxcose+cosft(xsin9a>>0,|^|<

(1)若/(0)=|,求。的值;

(2)已知/⑴在区间-上单调递增,。的值.

17.在VZ8C中，b2+c2-a2=bc.

(1)求//；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使V48C存在且唯一确

定，求VZ8C的面积.

条件①：cos5=—；

14

条件②：a+6=12；

条件③：c=12.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答,

按第一组解答计分.

18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选

出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动

的高一学生，获奖情况统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖

的概率；

(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1

名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；

(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；

从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为口；从该地区高一女生中随

机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为夕2,试比较Po与丐"的大小.(结论不要求证

明)

19.已知函数/(x)=l+a(x-l)-lnx.

(1)若a=2,求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)若a<2,证明：当x>l时，/(x)<e*T.

20.己知函数/(x)=e*-asinx.

(1)当a=2时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)当a=l时，证明：函数y=/(x)-2在区间(0,兀)上有且仅有一个零点;

(3)若对任意xe[0,兀],不等式/(x"2-cosx恒成立，求a的取值范围.

21.已知数列A：%,a2,%满足：a”{0,1}(z=1,2,…，〃，w>2),从A中

选取第1项、第,2项....第，；“项彳<,2<…<)加>2称数列为,气，…,气为A的长

度为加的子列.记7(，)为A所有子列的个数.例如A：0,0,1,其T(z)=3.

(1)设数列A：1,1,0,0,写出A的长度为3的全部子列，并求7(/)；

(2)设数列A：4，。2，…，an9H：%,%T，…,%，A"：1—%,1—。2，…，1—%，

判断7(/),7(H),7(/方)的大小，并说明理由；

(3)对于给定的正整数“，k(l<k<n-l),若数列A：%,a2,%满足：

a1+a2+---+an=k,求T(/)的最小值.

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

]已知集合""={xIx+2之0},N={xIx—1<0},则MC|N=()

A.{xI-2<x<1}B.{xI-2<x<1}

C.{xIx>-2}D.{xIx<1}

【正确答案】A

【分析】先化简集合M,N,然后根据交集的定义计算.

【详解】由题意，M={x|x+2>0}={x|x>-2},2V={xIx-1<0}={x|x<1},

根据交集的运算可知，Mr\N={x\-2<x<l].

故选：A

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,、回)，则i.z=()

A.V3+iB.-V3-iC.V3-iD.—也+i

【正确答案】B

【分析】首先表示出z,再根据复数代数形式的乘法运算计算可得.

【详解】因为复数z对应的点的坐标是(-1,6),

所以z=—1+，则i・z=i•(―1+V3ij=—i+A^i2=—i.

故选：B

3.下列函数中，在区间(0,+力)上单调递减的是()

A./(x)=TB.f(x)=-Inx

C./(%)=--D./(X)=3M

X

【正确答案】B

【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.

【详解】对于A：/(x)=2、在定义域R上单调递增，故A错误；

对于B：因为歹=Inx在定义域(0,+8)上单调递增，

所以/(x)=-Inx在定义域(0,+8)上单调递减，故B正确；

对于C：/(x)=-工在(0,+8)上单调递增，故C错误；

X

对于D：/(X)=3K=3%I—["—],所以/(x)在(0,+。)上先减后递增，故D错误.

3,x<1

故选：B

4.已知实数。力满足。>6,则下列不等式中正确的是()

A.\a\>bB.a>\b\

C.a2>abD.ab>b2

【正确答案】A

【分析】由时可知A正确；通过反例可知BCD错误.

【详解】对于A,•••\a\>a(当且仅当。之0时取等号)，，同>6,A正确；

对于B,当°=一1,6=-2时，。<网，B错误；

对于C,当°=一1,6=-2时，/=],ab=2,则/<仍，C错误；

对于D,当。=1,6=-2时，ab=-2,b2=4>则abvb?，D错误.

故选：A.

5.欧拉公式*=cosx+isinx(i为虚数单位)是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常

重要的地位，特别是当》="时，e"+1=0被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它

是“创造的公式”.根据欧拉公式可知，成在复平面中位于(

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】A

【分析】根据定义把点写成三角形式，即可得出对应点的坐标，从而得其象限.

【详解】由题意/=cosl+isinl,对应点坐标为（cosl,sinl）,而cosl>O,sinl>0,点在第一

象限.

故选：A.

“、2r-l,0<x<21

6.已知函数/3=彳6>2，那么不等式/（力>》5的解集为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,4）D.（1,6）

【正确答案】C

1

【分析】分别作出y=/Q）及y=的图象后，借助图象分析即可得•

1

【详解】分别作出y=f（x）及v-丫5的图象如下：

y一4

1

由图可知不等式/@）〉/的解集为（1，4）・

故选：C.

7.设a=0.5°4,Z>=log050.4,c=log40.5,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.

c<a<b

【正确答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.

【详解】因为0<0.5°4<0.5°=1，即0<”1，

又Z?=log050.4>log050.5=1,c=log40.5<log4l=0,

所以6>a>c.

故选：D

8,若封wO,贝！J“x+y=0”是+二=一2”的（）

xy

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】解法-：由7*7化简得到x+片。即可判断；解法二证明充分性可由

x+尸。得到A-九代入丁《化简即可，证明必要性可由丁?=-2去分母'再用完全

XV

平方公式即可；解法三：证明充分性可由一+二通分后用配凑法得到完全平方公式，再把

yx

x+V=0代入即可，证明必要性可由二+上通分后用配凑法得到完全平方公式，再把

yx

x+y=0代入，解方程即可.

【详解】解法一:

XV

因为孙。0,且一+』=一2,

yx

所以》2+/=一2盯，即/+/+2孙=0,即（x+y/=0,所以x+y=0.

所以"尸0，，是］+4-2”的充要条件

解法二:

充分性：因为盯wo,且x+〉=o,所以x=1y,

所以出+上=口+上=一1一1二一2,

yy-y

所以充分性成立;

必要性：因为个WO,且一X+上V=-2,

yx

所以/+/=_2孙，即/+_/+2刈=0,即(x+y)2=0,所以x+y=O.

所以必要性成立.

所以“x+歹=0”是“-+-=-2”的充要条件.

yx

解法三：

充分性：因为町/0,且x+y=O,

所以尤+了_X?+V_/+/+2孙2xy_(x+y)~-2xy_-2xy

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

XV

必要性：因为中W0,且一+上=-2,

yx

22

所以±+上=三土工Y+/+2肛-2肛=(x+才-2秒二丘匕27

yxxyxyxyxy

所以(x+m=0,所以(x+y)2=o,所以x+y=O,

xy

所以必要性成立.

xv

所以"X+V=o，，是"一+2二—2”的充要条件.

yx

故选：C

“、|x+l|-l,XG(-a9,0),、

9.已知函数/(x)=41,g(x)=，9—4x—4,设6eR,若存在aeR,使

ln(x+1),xe[0,+oo)

得/(a)+g(b)=O,则实数b的取值范围是()

A.[-1,5]B.(-oo,-l]u[5,+oo)

C.[-l,+℃)D.(-oo,5]

【正确答案】A

【分析】根据题意，求得函数/(X)的值域为［-1,+8),结合题意转化为-g(6)»-1,列出

不等式，即可求解.

【详解】由题意，作出函数y=/(x)的图象，如图所示，

所以，当xe(一叫0)时，/(x)>/(-l)=-l；

当xe[0,+co)时，/(x)>/(0)=0,可函数。(x)的值域为[-1,+8),

设6eR,若存在aeR,使得/伍)+g(b)=0成立，即/(a)=-g(6),

只需—gS)»T，即对于beR,满足—62+46+42—1成立，即"―46—5〈0,

解得—1<6«5,所以实数b的取值范围为[—1,5].

10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.

其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的

寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值(精确到

0.001),可得N的值为()

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

【正确答案】C

【分析】利用对数的运算公式计算即可.

【详解】由题意知，N的70次方为83位数，所以N7°€(1082,1()83),贝u

lgl082<lg7V70<lgl083,即82<701gN<83,整理得1.171<IgN<1.185,

根据表格可得坨14=坨2+怆7=1.146<1.171,炫16=4恒2=1.204〉1.185,所以

lgN=lgl5,即N=15.

故选：C.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(》)=工+万工的定义域是____

Inx

【正确答案】(0*l)U(l,2]

【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案.

Inxw0

【详解】由题意可得Jx〉O,解得xe(O,l)u(l,2].

2-x>0

故答案为.(0/)u(l,2]

12.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且当xe(一90]时，/(%)=2^+1,则

【正确答案】1

【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.

【详解】因为/(x)是定义在R上的偶函数，且当xe(一%0]时，/(x)=2x+1,

,2121

+—=—+—=1.

333

故1

13.设函数/卜)=三沪手，则曲线y=/(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形

的面积为

【正确答案】-

6

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点

坐标，从而求得所求面积.

ex+2sinx

【详解】因为/(x)=

1+x*2

(ex+2cosx)(l+x21-(ex+2sinx)-2x

所以/'(x)=-------------~M-----------------------

l+X2

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

则/'(o)=二3,

(M"

所以该切线方程为V—l=3x,即y=3x+l,

令x=0,则y=l,令y=0,则x=—g,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=gxlx--=1.

236

故答案为.一

6

14.对于三次函数/(力=加+加+cx+d(aw0),给出定义：/'(x)是函数/(x)的导函

数，/"(x)是/'⑺的导函数，若方程/"(x)=0有实数解%,则称点(%,/伉))为函数

V=/(x)的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都

有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若〃力=$3一；/+3》-',根据这一发现，函数

J=/(x)的对称中心是.

【正确答案】

【分析】根据所给定义，求出函数的一阶导数与二阶导数，再/"(x)=0,求出X,即可得解.

【详解】因为/(切=:/-3/+3X-\,

所以/'<x)=/-x+3,则/"(x)=2x—1,令/"(x)=2x—1=0,解得x=g,

+3x---

212

所以函数y=/(x)的对称中心是

故加

/、2X+a^x<a

15.已知函数/(x)=<给出下列四个结论：

x+2ax,x>a

①当a=0时，/(x)的最小值为0；

②当时，/(x)存在最小值；

③当a21时，/⑴在(-*+8)上单调递增；

④/(X)的零点个数为g(a)，则函数g(a)的值域为{0」,2,3}.

其中所有正确结论的序号是.

【正确答案】①④

【分析】对于①，写出此时函数解析式，得到当x=0时，/(x)取得最小值，最小值为0；

对于②，举出反例；对于③，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右

端点的函数值，故③错误；对于④，对。进行分类讨论，结合零点存在性定理得到函数g(a)

的值域为{0,1,2,3}.

【详解】对于①，当a=0时，/(月=1，

x2,x>0

当x<0时，0<2“<1，当x20时，x2>0-

综上，当x=0时，/(x)取得最小值，最小值为0,①正确;

11

2

对于②，不妨设。=一；，此时/(%)=<22

2、1

X—x,x>—

2

当x<—,时，2A--ej_V2-P

22

当时，x1-x={x-^-\-->,

2I44

故/(x)>-g,此时函数不存在最小值，②错误；

对于③，y=2工+。在xe(—oo,a)上单调递增，且y=2"+ae(a,2"+。)，

当a21时，y=x?+2ax=(x+a『一/在xe[a,+co)上单调递增，

且y=(x+a)~-/>3a2，

当a=8时，2"+。—3。2=72〉0，

故当a=8时，/(x)在R上不单调递增，③错误；

X

…「(、[2+a,x<a

对于④，/(x)=2C，

x+2QX,x>a

y=2"+a在上单调递增，

当a<0时，设=2"+Q,显然％(a)=2a+a单调递增，

又'(-1)<O'‘[—己]〉0，故存在aoGL-j]，使得％(旬)二0，

当。(4时，2"+a=0无解，即歹=2"+。在》。上无零点，

此时y=—+2就有两个零点，。和—2。，故此时g(a)=2,

当。>/时，y=2"+a在上有1个零点，

此时y=—+2ax有两个零点，。和—2〃，故此时g(a)=3,

当a=0时，/(x)=|2%xv0,由①知，此时有1个零点，即g(a)=l,

[x>0

当a〉0时，y=2无+a在上无零点，y=x2+2ax在x2a上也无零点，

此时g(a)=O,则函数g⑷的值域为{0,1,2,3},④正确.

故①④

函数零点问题处理思路：

(1)直接令函数值为0,代数法求出零点；

(2)将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简

化了思维难度；

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.设函数/(x)=sinGxcoso+cosGxsin。0,

(1)若/(0)=|,求。的值;

712兀

(2)已知/(x)在区间上单调递增,

71

【正确答案】(1)-

6

、兀

(2)。=1,(p=---

【分析】(1)借助两角和的正弦公式化简后代入计算即可得；

(2)由题意可得函数周期，即可得。，而后借助正弦函数性质代入计算即可得。.

【小问1详解】

f(x)=sinoxcos。+costoxsin。=sin(eox+°),

/(O)=sin^=1,故o=m±g+2E(左eZ),

又时＜/,故。=今；

【小问2详解】

由题意可得T=2=2兀，

2兀

故闷=亍~=1，又69＞。,故G=l,

由/［笄］=1,则g+9=3+2E(左eZ),

解得9=—1+2E(左eZ),又解＜］,故°=—£.

17.在VZ8C中，b2+c2-a2=bc.

(1)求乙4；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使V48C存在且唯一确

定，求V48c的面积.

条件①：cos8=—；

14

条件②：a+b=12-,

条件③：c=12.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答,

按第一组解答计分.

JT

【正确答案】（1）—

3

（2）答案见解析

【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得cosZ=L,即可求解；

2

（2）根据题意，若选择①②，求得sinB,由正弦定理求得。=7,6=5,再由余弦定理求得

c=8,结合面积公式，即可求解；

若①③：先求得sin8=等，由sinC=sin（Z+8）=萼，利用正弦定理求得。=，，结

合面积公式，即可求解；

若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得6=0,不符合题意.

【小问1详解】

解：因为〃+。2一2=6由余弦定理得COS'=°:一"=/,

2bc2

JT

又因为/e（0,兀），所以z=

【小问2详解】

7T

解：由（1）知4=—,

3

若选①②：cos5=—,a+b=12,

14

由cosB――,可得sinB—Vl—cos2B—上也,

1414

a_12-a

由正弦定理一，二—J,可得正二5百，解得。=7,则b=12—a=5,

sinAsinB——----

214

又由余弦定理/=〃+02-26ccos4，可得49=25+c?-5。,

即。2—5c—24=0,解得。=8或。=—3（舍去）,

所以VABC的面积为S=—bcsmA=-x5x8x——二10JJ.

222

若选①③：cos5=U且c=12,

14

由cosB=U,可得sin3=Jl-cos?3=夫8,

1414

因为4+3+。=兀，可得sinC=sin（4+B）=x—+—x《石，

,72142147

a12

ac-----—■-------21

由正弦定理^—=——，可得G4g，解得。=一，

smAsinC——------2

27

所以VABC的面积为S=-acsinb=—x—x12x.

222142

若选：②③：a+6=12且c=12,

因为〃+c2_/=A，可得〃+122—（12—bp=12A,整理得24b=12b,

解得b=0,不符合题意，（舍去）.

18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选

出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动

的高一学生，获奖情况统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖

的概率；

（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1

名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；

(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为P。；

从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为回；从该地区高一女生中随

机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为夕2,试比较P。与旦妻的大小结论不要求证

明)

【正确答案】(1),

240

(2)分布列见解析，期望EX=L

2

(3)夕。〉旦口

02

C：oQ

【分析】(1)直接计算概率尸(Z)

C200C300

(2)X的所有可能取值为0,1,2,求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率

得到分布列，最后计算期望即可；

(3)计算出?。=竺，旦士匹=」，比较大小即可.

°5024

【小问1详解】

设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,

抽到的2名学生都获一等奖”，

则尸爪殊=人

【小问2详解】

随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

记事件2为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”,

事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.由题设知，事件3,。相互独立,

10+15+15g,P(C)估计为25+25+403

且P(8)估计为

~20030010

所以P（x=0）=Pg6=P⑸P©=U11—吃］=2，

P(X=1)=P{BCuBC)=P(B)PC)+P(5)P(C)=1x^l-f11—3Xa=,

133

P(X=2)=P(BC)=P(5)P(C)=jx-=—.

所以X的分布列为

X012

28193

p

505050

2Qio3］

故X的数学期望E(X)=0x—+lx—+2x—=—

V'5050502

【小问3详解】

4〉且养，理由：根据频率估计概率得

40+901352»,、右13

pa———，由(2)知夕］—，22—，

°50050200510

13

故乩+0_5+1O_］」50,

2-2-4-200

则0〉”22.

19.已知函数/'(x)=l+a(x-l)-lnx.

(1)若。=2,求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线方程;

(2)求函数/(x)的单调区间；

(3)若a<2,证明：当x>l时，/(x)<e^.

【正确答案】(1)V=x

(2)答案见解析(3)证明见解析

【分析】(1)借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程；

(2)分a<0及。>0,结合导数讨论即可得；

(3)构造函数g(x)=ei+hw-a(x-1)-1,多次求导研究其单调性即可得.

【小问1详解】

当a=2时，/(x)=1+2(x—1)—lux=2x—Inx—1,

则/⑴=2x1—Ini—1=1,

r(x)=2--,贝=2—1=1,

X

即曲线y=f(X)在点(1/(1))处的切线方程为>=(X-1)+1,

即V=X；

【小问2详解】

f\x)=a--=—―-(x>0),

XX

当a<0时，f(x)<0恒成立，故/(X)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，若则/•'(>)<0,若则f'O)>0,

故/(x)在上单调递减，在上单调递增；

【小问3详解】

令g(1)=e"i+Inx]=ex-1+Inx,

g'(x)=e"T+--tz,

x

令〃(x)=g'(x)=e"T+--a,则=e"T―二，

XX

i2

令加(x)=/(x)=e'T——-,则m'(x)=e'T+=〉0恒成立，

XX

故力'(x)在(1,+8)上单调递增，

则〃(x)〉/?'(l)=e°_；=0,

故g'(x)在(1,+8)上单调递增，

则g'(x)〉g'(l)=e°+=2-。〉0,

故g(x)在(1,+8)上单调递增，

则g(x)>g(l)=e°+lnO_a(l-l)_I=O,即f(x)<ex~l.

20.己知函数/(x)=-asinx.

⑴当a=2时，求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)当a=l时，证明：函数y=/(x)—2在区间(0,兀)上有且仅有一个零点;

(3)若对任意xe[0,兀],不等式/(x)之2-cosx恒成立，求a的取值范围.

【正确答案】(1)x+y—1=0；

(2)证明见解析；(3)(—8』.

【分析】(1)根据导数几何意义可求得切线斜率/'⑼，结合/(0)=1可得切线方程；

(2)令g(x)=/(x)-2,求导后可知g'(x)>0,由此确定g(x)在(0,兀)上单调递增,结

合零点存在定理可得结论；

(3)A(x)=/(x)-2+cosx,将问题转化为〃(x)20恒成立；求导后,分析可知当a»0时,

/(X)单调递增；当a〉l时，利用零点存在定理可说明/z(x)在(0,%)上单调递减，由此可

得“对<"(0)=0,知不合题意；当a=l时，可得〃'(x)>〃(0)=0,知〃(x)单调递增，满

足题意；当。<1时，采用放缩法得/z(x)>e*-sinx+cosx-2,结合。=1时的结论可知其

满足题意；综合三种情况可得结果.

【小问1详解】

当a=2时，f(x)=ex-2sinx,则/<x)=e、'-2cosx,

.••/'(O)=l-2=-1,又/⑼=1,

\/(X)在点(o,/(o))处的切线方程为：y=—x+1,即x+y—1=0.

【小问2详解】

当a=l时，令g(x)=/(x)—2=eX—sinx—2,则g'(x)=e*—cosx；

x

当xe(O,兀)时，e>e°=bcosx<L即g'(x)〉0,

・•・g(x)在(0,兀)上单调递增,Xg(0)=l-2=-l<0,g(兀)=e"-2〉0,

g(x)在(0,兀)上有唯一零点，即/(x)-2在(0,兀)上有且仅有一个零点.

【小问3详解】

令A(x)=f(x)-2+cosx=ex-«sinx+cosx-2,

则对任意XE［O,兀］,/z(x)20恒成立；又“(X)=e"-acosx-sinx,

令/(x)="(x),则，⑴=ex+sinx-cosx；

当时，若xe［0,兀|,则ex>e°=1>cosx<1,sinx>0,

(x)20在［0,兀］上恒成立，则”(x)在［0,兀］上单调递增；

①当a〉l时，=1—(7<0,〃'(兀)=e"+a〉0,

,

3x0e(0,7t),使得力'(%)=0,且当xe(O,x())时，A(x)<0,

.・.〃(x)在(0,%)上单调递减，此时欠无)<可0)=0,不合题意；

②当a=l时，/2(x)=ex-sinx+cosx-2；

当xe(0,兀)时,l(x)>l(O)=O,则”x)在［0,可上单调递增,

.•./?(切2”0)=0恒成立，满足题意；

③当a<1时，/2(%)=e*—asinx+cosx-2>ex-sinx+cosx-2,

由②知：对任意xe［0,兀］,A(x)>e,:-sinx+cosx-2>0,满