北京市朝阳区2024-2025学年高三年级上册9月月考数学检测试题（含解析）

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期9月月考数学检测试题

一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.设复数z='（2-'），则忖=（）

A.V3B.V5

C.3D.5

2已知集合/={0,1,2},5={xeN|0<x<3},则/U8=()

A.{051}B.{1,2}

C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

3,下列函数中，在区间（0,+e）上单调递减的是（）

B.y=2~xC.y-Vx+1D.y=x3

A.J=log2x

4.“。>0>6”是“30〉3人'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知球。的半径为2,球心到平面。的距离为道，则球。被平面0截得的截面面积为

（）

A.兀B.6兀C.3%D.2&

6.在平面直角坐标系xQy中，角。的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合,

其终边过点P（4,3）,则tan|a+?]的值为（）

1

A.-7B.——C.1D.7

7

7.已知“X）为定义在R上的函数，/⑵=2,且g（x）=/（2x）+J为奇函数，贝!]/（—2）=

（）

A.-4B.-2C.0D.2

8.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形4BCD是边长为

2的正方形，且△BCE均为等边三角形，EF//CD,EF=4,则该木楔的体积为

A.V2B.2行C.巫D.晅

33

9.已知V48C是边长为2的等边三角形，点。在线段48上，通=2丽，点E在线段C。

上，且△◎£与△CD3的面积相等，则彳斤.反的值为()

2112

A.----B.—C.-D.一

3333

10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有

相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数

/(x)="产L(abw0,e=2.71828…)来表示.下列结论正确的是()

e

A.若仍>0,则函数/(x)为奇函数B,若ab>0,则函数/(x)有最小值

C.若仍<0,则函数/⑴为增函数D.若仍<0,则函数/(x)存在零点

二、填空题共5题，每题5分，共25分.

11.函数/(x)=V^+2+」一的定义域是_____________.

X+1

12.已知向量a=(-1,加)，6=(2,1),且［_£z，则加=.

13.将函数/(司=85］。«+仁｝0>0)的图象向左平移兀个单位长度后得到函数8(%)的

图象，则g(F)=；若g(x)为偶函数，则。的最小值是.

［inx,x>1,

14.已知函数/(x)=<2其中aeR.若a=0,则函数/(x)的值域是_______；

(x+a),x<1,

若函数v=/(x)-1有且仅有2个零点，则。的取值范围是.

15.已知｛4｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为S“，且,+!=1(〃6>1*).给出

下列四个结论：

①H+Ssf；

②％+%>2a2；

③对任意的〃eN*,都有。“41+工；

n

④存在常数/>1,使得对任意的“cN*,都有％〉Z,

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数［(x)=sin2x-2cos2x.

(1)求/(x)的最小正周期及值域；

(2)求/(x)的单调递增区间.

17.已知等差数列｛a”｝和等比数列也｝满足ar=bi=l,a2+a4=10,b2b4=a5.

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)求和：4+4+4+…+打篦一1,

18.在V48c中，a=C，B=j再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

0

已知，使VN8C存在且唯一，并求

(1)c的值；

(2)V48C的面积.

条件①：6=1；条件②：b=2；条件③：cos2=«亘.

4

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

19.已知函数/(x)=e"cosx-x.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

TT

(II)求函数/(X)在区间［0,5］上的最大值和最小值.

20.已知/(%)=二一分一1,aeR,e是自然对数的底数.

(1)当。=1时，求函数y=/(x)的极值；

(2)若关于x的方程/(x)+l=0有两个不等实根，求。的取值范围；

(3)当a>0时，若满足/(西)=/(》2)(苞<》2),求证.%+<21na

21.给定正整数〃22,设数列％,4,％是1,2,...,〃的一个排列,对力w{1,2,…，科,不表示

以为为首项的递增子列的最大长度，上表示以为为首项的递减子列的最大长度.

(1)若〃=4,q=1,g=4,4=2,%=3,求A和必；

(2)求证：Vz€{1,2,...,77-1},(玉_毛)2+(毛+1_乂+1)2W0；

(3)求2J%一其|的最小值.

Z=1

北京市朝阳区2024-2025学年高三上学期9月月考数学检测试题

一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项.

1.设复数Z='（2T）,则忖=（）

A.V3B.75

C.3D.5

【正确答案】B

【分析】

求得z后再求模长即可.

【详解】z=i（2-。=2,+1,故目=722+12=V5.

故选：B

本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.

2.已知集合2={0,1,2},5={xeN|0<x<3},则ZU8=（）

A.{0,1}B.{1,2}

C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【正确答案】C

【分析】根据并集的定义即可求解.

【详解】因为N={0』,2},5={XGN|0<X<3}={1,2},

所以ZDB={0,1,2}.

故选：C

3,下列函数中，在区间（0,+力）上单调递减的是（）

x3

A.y=log2xB.y~2~C.y=y/x+1D.y=X

【正确答案】B

【分析】根据函数解析式直接判断单调性.

【详解】A选项：函数y=log2x的定义域为（0,+司，且在（0,+“）上单调递增，A选项错

误；

B选项：函数了=2r=［；］的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；

C选项：函数y=&斤的定义域为11,+8）,且在［-L+s）上单调递增，C选项错误；

D选项：函数y=d的定义域为R,且在R上单调递增，D选项错误；

故选：B.

4“。>0>6”是“3。>3人'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案.

【详解】因为指数函数y=3工单调递增，

由。>0>6可得：3"〉3J充分性成立，

当3"〉3'时，a>b,但不一定必要性不成立，

故选：A

5.已知球。的半径为2,球心到平面a的距离为百，则球。被平面a截得的截面面积为

（）

A.nB.6兀C.3万D.2也兀

【正确答案】A

【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.

【详解】设截面圆半径为厂，由球的性质可知：则截面圆的半径厂=）22—（Gy=1，

所以球。被平面a截得的截面面积为5=万/="，

故选.A

6.在平面直角坐标系xQy中，角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合,

其终边过点P(4,3),贝+的值为()

1

A.-7B.——C.1D.7

7

【正确答案】D

【分析】由终边经过点的坐标可求tana,再利用两角和的正切公式即可求解.

【详解】由终边过点P(4,3),可得tana=^，

7131

(\tana+tan——F1

所以tana+-=------------=-^—7=7.

I4—anata-1-1

44

故选：D

7.已知〃x)为定义在R上的函数，/(2)=2,且g(x)=/(2x)+L为奇函数，则/(一2)=

A.-4B.-2C.0D.2

【正确答案】A

【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.

【详解】因为g(x)=/(2x)+/是奇函数，

所以有g(T)+g(D=/(-2)+1+/(2)+1=0

即/(—2)=—4.

故选：A

8.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形4BCD是边长为

2的正方形，且ANDEQBCE均为等边三角形，EF//CD,EF=4,则该木楔的体积为

c迪

'亍

【正确答案】D

【分析】如图，分别过点A,B作EE的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,C”,取的

中点0,连接G。，求出SAADG=S^CH=叵，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.

【详解】如图，分别过点A,B作斯的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,C”,

则由题意等腰梯形ABEF全等于等腰梯形CDEF,

则EG=HF=^2=1,AG=GD=BH=HC=722-12=6.

2

取的中点0,连接G。，因为2G=G£>,所以G0LND,

则G0=«⑷―俨=也，

,•S&ADG=S&BCH=]XV2X2=V2.

因为AB//EF,AGLEF,所以48LNG,因为四边形48c。为正方形，

所以/B_L4D,又因为4C)n/G=Z,4D,ZGu平面4DG,所以481,平面4DG,

所以跖，平面AGD,同理可证EF±平面BCH,

...多面体的体积广=/棱锥E—/0G+七棱锥F—BCV+金棱柱4G。-=2嚏棱锥“一+嚏棱柱4G0-5HC

=—xV2xlx2+41x2=8后，

33

9.已知V43。是边长为2的等边三角形，点。在线段4g上，近=2丽，点石在线段

上，且与△CDS的面积相等，则次.数的值为()

【正确答案】C

【分析】由AC4E与MDB的面积相等以及AD=2DB可得S,ACD=2S^CAE，从而E是CD

的中点，再根据数量积的定义即可求得近.前.

【详解】如图所示:

AD=2DB，…S"CD~2s&CDB，

而^/\CAE=S/XCDB，••S^ACD~2s©月，

42

所以石是CD的中点，40=—,BD=—,

33

AE^=^(AC+AD)BC=^AC^C+^AD^C

=g函网cosC+g阿.冈C0S(7l-B)

——1x2cx2cx—1i—1x4—x-2x/(—1)、——1.

222323

故选：C

10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有

相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数

/(x)=jf(abwO,e=2.71828…)来表示.下列结论正确的是()

e

A.若仍＞0,则函数/(x)为奇函数B.若。6＞0,则函数/(x)有最小值

C.若仍＜0,则函数/⑴为增函数D.若仍＜0,则函数/(x)存在零点

【正确答案】D

【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一

分析，即可判断和选择.

【详解】对A：取。=6=1,满足。6>0,此时/卜)=d+尸，

其定义域为R，关于原点对称，且/(x)=/(-x),此时/(X)为偶函数，故A错误；

对B：/(x)=ae*+加一x,令6"=。〉0,故y=a/+：若存在最小值，则/(x)有最小

值，

因为。6>0,故一〉0,根据对勾函数的单调性可知，_一4,n有最小值，无最大值，

ay=t+—>u

故当a<0时，y=a/+彳，/〉0有最大值没有最小值，故B错误；

I)

对C：当。(0,少0时，满足仍<0,又^=彼是单调减函数，y=6eT是单调减函数，

故/(x)=ae，+加r是单调减函数，故C错误；

对D：令/(x)=0,即ae、+ber=0,则©2'=—2,因为0方<(),故一2〉0,

aa

解得x=gln1—故当ab<0,gin[—即为函数零点，故D正确.

故选：D

关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的

判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.

二、填空题共5题，每题5分，共25分.

11.函数/(》)=&*+—一的定义域是_______________.

X+1

【正确答案】[-2,-1)U(-1,+«))

【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域.

x+2>0

【详解】由题意，〈，八，解得2且XH—1,

、x+lwO

所以/(X)的定义域为［―2,—l)U(—l,+8),

故［―2,—1)U(—1,+00)

一1

12.已知向量a=(-1,加)，6=(2,1),且£j_B，则加=.

【正确答案】2

【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.

一_L

【详解】因为a=(—1,加)，6=(2,1),且Z'B，

所以万.3=0，即一1x2+冽xl=0,解得加=2.

故2

13,将函数/(司=8515+1)。>0)的图象向左平移兀个单位长度后得到函数8(万)的

图象，则g(-兀)=；若g(x)为偶函数，则。的最小值是.

【正确答案】①.立②.°

26

【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g(x)的解析式，从而可得g(-兀)的值；再利用函

数是偶函数建立方程进行求解即可.

【详解】解：将函数/(x)=cos(0x+j］(0>O)的图象向左平移兀个单位长度后得到函数

g(x)的图象,

即g(x)=COS@(工+兀)+—=COS8+.+工,

\76I6)

兀

所以g(一兀)-cost一刃兀+G兀+1=cos—=V3

6~T

若函数g(x)为偶函数，则加+'二配，k^Z,

6

金17

co-----\~k,keZ

6

..・当左二1时，g取得最小值为*,

6

痂⑺5

故——；—•

26

[inx,x>1,

14.已知函数/(%)=/T其中awR.若〃=0,则函数/(')的值域是______；

(x+a),x<1,

若函数v=/(x)-l有且仅有2个零点，则。的取值范围是.

【正确答案】①.[0,+8)②.(-2,0]

【分析】(1)由分段函数分别求值域即可；(2)易知在x<l和时，y=/(x)-l分别有一

个零点，由二次函数的零点分布情况即可求解.

InYY>1

【详解】⑴4=0时，〃X)=2，，

当x21时，/(x)=lnx>lnl=o,

当x<1时，/(x)=%2>0,

综上：/(x)>0,即函数/(x)的值域是[0,+8).

flnx-1,x>l

⑵y=/(x)_l=2，

(x+a)-1,x<1

当时，令Inx-1=0,得1=。，

故在[1,+8)上，函数歹=/(%)-1有一个零点x=e,

当x<l时，设g(x)=(x+a)2一1,

由题意可知：g(x)=(x+a『-1在(-8,1)上有且仅有一个零点，

—a<1

所以〈八、八或g(D<0，解得。=0或-2<a<0,

[g(l)=0

所以。的取值范围是(-2,0].

故[0,+co)；(-2,0].

15.已知｛4｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为S“，且,+!=1(〃6>1*).给出

下列四个结论：

①H+Ssf；

②％+%>2a2；

③对任意的〃eN*,都有。“41+工；

n

④存在常数/>1,使得对任意的“cN*,都有％〉Z,

其中所有正确结论的序号是.

【正确答案】①②③

【分析】首先由题设条件分析出数列｛%｝与邑的增减性，根据乙和S“随着〃增大的变化情

况可以判断①；然后分析%+%〉2a2,发现其实际上为，%—%〉%—%，即可以想到判

断4—4T〉%T-%_2是否成立，可建立关于%-%_1-(4_1-%_2)的代数式，通过此对

代数式正负的判断，即可判断%-%_2,即可判断②；我们可以将③中的题设转

化为判断S“-12〃是否成立，我们发现｛2｝的每一项都是大于1的，而〃个大于1的数相加

大于〃个1相加，而当"=1时，51—1=4—1=2—1=1,即可判断S"—12”，即可判断③;

而根据前面的研究，可以较易对④作出判断.

【详解】由题意知:«„>0,

=1zzeN<z

V—+—(*)>A—=1-->an>\,Sn>l,

aS

nn%Sn

111_S“—1一S"

…:s"S“TS"(S“「l)-S"T(S“-1)—

"1S"T(S”T)(%T)(S“T)(S"「1)

:随着n的增大而增大，，S,"1一5"<0,----------—'1--------<0

-1)

•*.an-an_x<0,即%<an_x,：.an随着n的增大而减小,

故：｛%｝为正项单调递减无穷数列，且1<%<々=2,

E+S3=+4+。2+。3=+。2++。3<+。2+%+。2=的2'故①正确；

:邑―二兀-Ei

一(S"-1)(S.「1)’''1—1)(九2-1)

S.T—S”S2—S〃T

；•%一%.「（%「4-2）

(S"T)(S“「l)(S.「l)(S-T)

(S,T—S“)(STT)—(S“_2—s〃T)(s「i)

(S-1)(ST-I)-―1)

(Si-S")(S“-2-1)一[(S“_i-)一(S“一%)](S〃T)

(S“-l)(S“「l)(S")

(S—i-S))(Sy-1)-[(S“i■-S")+(a”一%])[⑹0-1)

(S,-)(S-T)

(S〃T-S")(S-2-1)一(S“T-S〃)(S“一1)一(%-)(S〃-1)

(S〃-1)(S,T-l)(S,”2-1)

(S〃T一S")(S“2-S")一(%-%T)(S〃-1)

(-—1)(-1)'

S"随着〃的增大而增大,

・••S"T-s.<0,s“_2-s“<0,.•.(S,T-S")(S"2-S")〉0,

a„随着〃的增大而减小，

0,S“—1>0,(a“—a,—)(S,,—1)<0,

.』"—1—S")(S,”2—S“)一(4—4])(S〃-1)

(S,T)(S”T-I"-T)

a

n--(a“T-«„_,)>0,：.an-%T>-a“一2-

%—%>%—，

即：％+%〉2a2，故②正确；

S„5-1+1,11,1,1

•；%=不~1=1+二=，，要判断%<1+—，即判断：1+=匚<1+一，

S〃TS〃-1Sn-1nSn-1n

11

即判断：丁一^一,即判断：S-\>n,

Sn~1nn

而S1=1]—1=2—1+&+,,,+%=1+4+,•,+%21x〃=〃,

当且仅当〃=1时取等号，，S”一12〃对任意的都成立，

.••对任意的〃eN*,都有%三1+工，故③正确；

n

根据以上分析可以得出：｛4｝为l<a“V2,随着〃的增大而减小的递减数列，且随着〃的增

大，。“的值无限接近1,

；・存在常数/>1,对任意的“eN*,当〃足够大时，总会有1<%<Z,故④错误.

故①②③.

三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/（x）=sin2x-2cos2x.

（1）求/（x）的最小正周期及值域；

（2）求/（x）的单调递增区间.

【正确答案】（1）最小正周期为万，值域为卜后-1,后-1]；

、7兀73兀7r

（2）kji---.k7iH---->k邑Z.

88

【分析】（1）利用三角恒等变换将/（X）化为标准型，再求其性质即可；

（2）根据（1）中所求，结合正弦函数的单调增区间，列出不等式，即可求得结果.

【小问1详解】

f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=V2sin2x---1,

r\

故f(x)的最小正周期T=券=»，/W的值域为[—亚-1,V2-1].

【小问2详解】

根据⑴中所求，/(x)=V2sin^2x-^J-l,

JrJrjrJC37r一

令2k兀---V2x----V2k7iH—，左£Z,解得x£kji----,knH---->keZ.

242L88_

■JT3jr

故/(X)的单调增区间为.k7T-—,k7r+—,k^Z

|_oo

17.已知等差数列｛%｝和等比数列也｝满足ai=bi=l,a2+a4=10,b2b4=a5.

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)求和：4+4+4+…+4〃一1.

V-1

【正确答案】(1)an=2n-l.(2)-~-

2

【详解】试题分析：（I）设等差数列的公差为d,代入建立方程进行求解；（II）由｛4｝是

等比数列，知221｝依然是等比数列，并且公比是/,再利用等比数列求和公式求解.

试题解析：（I）设等差数列｛a。｝的公差为d.

因为a2+a4=10,所以2ai+4d=10.

解得d=2.

所以an=2n-l.

（II）设等比数列的公比为q.

因为b2b4=a5,所以biqbiq3=9.

解得q2=3.

所以&T=b|/"-2=3"T.

3"-1

从而4+a+4+—+4“_1=1+3+32+―+3"-1=^—.

【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等

差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于-

C,=〃•加+一产等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差

+1+，〃

数列X等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可

以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.

18.在V4BC中，a=6,B=*再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使VZ8C存在且唯一，并求

（1）c的值；

（2）V/8C的面积.

条件①：b=l；条件②：6=2；条件③：cosA=

4

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

y[6+J14

【正确答案】（1）

2

V3+V7

⑵

S.ABC4

【分析】（1）若选①，根据asinB<6<8，由作圆法知满足条件的V48c有两个，不合

题意；若选②，根据6>0>asinB，由作圆法知满足条件的V48c有且仅有一个，利用

余弦定理可构造方程求得c的值；若选③，利用正弦定理可求得6,由余弦定理可构造方程求

得c的值；

（2）利用三角形面积公式可直接求得结果.

【小问1详解】

若选条件①，asin5=V2sin—=^->

62

•rasinBvb〈夜，，满足条件的V4BC有两个，不合题意，，不能选择条件①;

若选条件②，asin5=V2sin—=>

62

3>0>asinB，满足条件的VABC有且仅有一个，

由余弦定理得：b-=a2+c2-2accosB=2+c2-4hc=A，

y/_6+M_p.V6—V14（舍）,_y]~6+V14

解得：c------V---或c

222

2

若选条件③，vA€（057i）,cos/="工，sinA=Vl-cosA=

44

76/sin5

由正弦定理得:b=--------

sin/

4

由余弦定理得：/=〃+。2—2。。cos5=2+。2—&。二4，

解得：c二位屈或C二乒取（舍），则满足条件的V48c有且仅有一个，

22

■\［6+A/^4

/.c=-----------•

2

【小问2详解】

由⑴如V6+V14,Q1.口1与几+旧1V3+V7

田（1）矢口：c=--------，..S=—acsmB=—xyj2x---------x一=--------.

2ARr22224

19.已矢口函数/（x）=e"cosx-x.

（I）求曲线y=/（x）在点（0J（0））处的切线方程；

7T

（II）求函数/（X）在区间［0,万］上的最大值和最小值.

77

【正确答案】（I）y=1；（II）最大值1；最小值一万.

【详解】试题分析：（I）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式

厂/@=/的）（X-0）中即可；（II）设力（x）=/'（x）,求"（x）,根据〃'（x）＜0确定函

数〃（x）的单调性，根据单调性求函数的最大值为"0）=0,从而可以知道/z（x）=/'（》）＜0

恒成立，所以函数/(X)是单调递减函数，再根据单调性求最值.

试题解析：(I)因为/(x)=e*cosx-x,所以/'(x)=eX(cosx-sinx)-1J'(O)=O.

又因为/(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=L

(II)设〃(x)=e*(cosx-sinx)-1,则(x)=eT(cosx-sinx-sinx-cosx)=_2e'sinx.

当时，

所以〃(x)在区间0微上单调递减.

所以对任意有<〃⑼=0,即/'(x)<0.

所以函数/(x)在区间0,|上单调递减.

因此/(x)在区间0,-|上的最大值为/(0)=1,最小值为=

【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的

是需要两次求导数，因为通过/'(x)不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，

设〃(x)=/'(x),再求〃(x),一般这时就可求得函数Zz'(x)的零点，或是

/z'(x)〉0(/z'(x)<0)恒成立，这样就能知道函数〃(x)的单调性,再根据单调性求其最值，

从而判断y=/(x)的单调性，最后求得结果.

20.已知/(x)=e=ax-l,aeR,e是自然对数的底数.

(1)当。=1时，求函数y=/(x)的极值；

(2)若关于x的方程/(x)+l=0有两个不等实根，求。的取值范围；

(3)当a>0时，若满足/(西)=/(》2)(占<々)，求证.占+工2<21na

【正确答案】(1)极小值为0,无极大值.

(2)(e,+oo)

(3)证明见解析

【分析】⑴把。=1代入函数/(x)中，并求出,(久)，根据/'(久)的正负得到/(x)的单调性,

进而求出/(x)的极值.

(2)/(x)+l=O等价于y与g(x)=f的图象有两个交点，求导得到函数y=g(x)的

X

单调性和极值，画出y=g(x)的大致图象，数形结合求解即可.

(3)求出/(无)，并得函数y=fO)在(一”,lna)上单调递减，在(ina,+。)上单调递增，可

得则石e(-oo』na),x2e(ln(2,+oo),要证西+马<21na,只需证石<Zlna—x2,只需证

x>

/(i)/(21niz-x2),即证/(%2)>/(2山二一尤2)，令〃(x)=/(x)-/(21na-x),对

八(久)求导证明即可.

【小问1详解】

当a=l时，f(x)=ex-x-l,定义域为R,求导可得/'(x)=e-1,

令/'(x)=0,得x=0,

当x<0时，/(%)<0,函数/(x)在区间(—。⑼上单调递减，

当x〉0时，/(%)>0,函数/(x)在区间(0,+oo)上单调递增，

所以y=/(久)在工=0处取到极小值为0,无极大值.

【小问2详解】

方程/(x)+1=e'—ax=0,

当x=0时，显然方程不成立，

ex

所以xwO,则口=^,

X

方程有两个不等实根，即V=。与g(x)=《的图象有2个交点，

X

x

w=-(-x-lJ)e

当x<0或0<x<l时，gf(x)<0,

g(x)在区间(-。,0)和(0,1)上单调递减，

并且xe(—oo,0)时，g(x)<0,当久€(0,1)时，g(x)>0,

当x>l时，g'(x)>0,g(x)在区间(1,+8)上单调递增,

x〉0时，当x=l时，g(x)取得最小值，g(l)=e,

作出函数y=g(x)的图象，如图所示：

因此V=。与g(x)=^有2个交点时，a>e,

X

故。的取值范围为(e,+8).

【小问3详解】

证明：a>Q,由/'(x)=e'-a=0,得x=lna,

当x<lna时，/f(x)<0,当x>lna时，

所以函数y=/⑺在(-”/na)上单调递减，在(ina,+。)上单调递增.

由题意演<》2，且/(再)=/(工2)，则再e(—8,Ina),x2e(ln4z,+oo).

要证x,+x2<2Ina,只需证玉<2Ina-x2,

而X[<21na-々<Ina,且函数/(x)在(一oo』na)上单调递减，

故只需证/(%1)>f(21na-x2),

又/(再)=/(工2)，所以只需证/(9)>/(21na—%),

即证/(x2)-/(21ntz-x2)>0,

令7z(x)=,

即=ex-ax-l-[e21n"r-a(21na-x)-l]=ex-a2e~x_2ax+2alna,

/(x)=e'+a2Q~x-2a,

由均值不等式可得h'(x)=e+a2e-x-2a>2^ex-a2e-x-2a=Q，

当且仅当ex=/e-x,即x=lna时，等号成立.

所以函数九0)在R上单调递增.

由工2>拈°,可得〃(%)>〃(lna)=0,即/(9)一■/(Zlna-xj〉。，

所以/(x1)>/(21ntz-x2),

又函数/(x)在(-8,Ina)上单调递减，

所以再<21na—々，即%+%<21na得证.

21.给定正整数〃22,设数列为,电，…，％是1，2,…，〃的一个排列，对项表示

以为为首项的递增子列的最大长度，上表示以％为首项的递减子列的最大长度.

(1)若〃=4,q=1,%=4,%=2，%=3,求为和巴；

(2)求证：Vie{1,2,...,〃—1},(玉―yj+(x/+1-yM)W0；

(3)求才"-％|的最小值.

i=l

【正确答案】(1)Xi=3,%=2

nn

(2)证明见解析(3)当〃为偶数时，X卜.-川的最小值是3；当〃为奇数时，»二切

z=l2/=1

YI—1

的最小值是

2

【分析】(1)直接根据定义求解；

(2)分情况讨论证明x「y,.主xM-yM,故可推知x；-v7.和xM-yM不能同时为零，进而

得到结论;

(3)对〃的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.

【小问1详解】

以为为首项的最长递增子列是%,%,，以为首项的最长递减子列是4，%和，%•

所以玉=3,y2=2.

【小问2详解】

对—1},由于q,电，…，%是1，2,…，，的一个排列，故为*aM.

若at<aM,则每个以aM为首项的递增子列都可以在前面加一个%,

得到一个以为为首项的更长的递增子列，所以X,>x,.+1；

而每个以为为首项的递减子列都不包含aM,且为<aM,

故可将为替换为aM,得到一个长度相同的递减子列，所以％