2025中考数学复习：动点在四边形中的分类讨论（基础训练） 含解析

动点在四边形中的分类讨论

【专题说明】

动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想，

分类讨论的思想，对学生综合运用知识的能力要求非常高。

四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在

一起进行考察。

一、解题基本思路

解决动点问题的思路，要注意以下几点：

1、设出未知数

动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t

2、动点的运动路径就是线段长度

题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所

运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。

所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。

3、方程思想求出时间

动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，

列出方程求解出t的值。

4、难点是找等量关系

这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来.的，而是同学们根据题

型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。

5、注意分类讨论

因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意

分类讨论。.

【精典例题】

1、如图，在矩形ABC。中，BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,。出发沿A。，BC,CB,D4方向

在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，

若BQ=_rcm(XW0),则AP=2rcm,CM=3xcm,DN=x^cm.

(1)当x为何值时，以尸。，为两边，以矩形的边(A。或BC)的一部分为第三边构成一个三角形；

1

（2）当x为何值时，以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.

2、如图1,在平面直角坐标系中，己知矩形ABC。的三个顶点2（1,0）、C（3,0）、0（3,4）.以A为顶点的抛

物线>="2+6尤+c过点C动点P从点A出发，沿线段向点8运动，同时动点。从点C出发，沿线

段C。向点。运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒.过点P作交AC于

点E.

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作于肛交抛物线于点G,当t为何值时，AACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、。运动的过程中，当f为何值时，在矩形ABCC内（包括边界）存在点H,使以C、0、E、

H为顶点的四边形为菱形？请直接写出f的值.

图1

3、如图1,在R3ABC中，NC=90。，AC=6,3C=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单

位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC,

交于点。，联结尸。点P、。分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运

动，设运动的时间为/秒（仑0）.

（1）直接用含，的代数式分别表示：QB=,PD=；

（2）是否存在f的值，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何

改变点。的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点。的速度；

（3）如图2,在整个运动过程中，求出线段尸。的中点M所经过的路径长.

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图1图2

4、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线>=加一2°元-3a（a<0）与x轴交于A、8两点（点A在点2的

左侧），经过点A的直线/：y=.fcc+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为。，且CO=4AC.

（1）直接写出点A的坐标，并求直线/的函数表达式（其中入b用含。的式子表示）；

（2）点E是直线/上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为?，求。的值；

（3）设尸是抛物线的对称轴上的一点，点。在抛物线上，以点A、。、P、。为顶点的四边形能否成

为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

图1备用图

5、如图1,已知抛物线C：y=—f+6x+c经过A（—3,0）和仇0,3）两点.将这条抛物线的顶点记为它的

对称轴与无轴的交点记为N.

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线。，抛物线。的顶点记为AT,它的对称轴与x轴的交点记为N<如果

以点〃、N、M'、V为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

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图1

1.【解析】(1)当点尸与点N重合或点。与点M重合时，以尸。，MN为两边,以矩形的边(AD或BC)

的一部分为第三边可能构成一个三角形.

①当点尸与点N重合时，

由f+2x=20,=721-1.X2=-V21-1(舍去).

因为2Q+CM=x+3x=4("[-l)<20,此时点。与点M不重合.所以x=0T-1符合题意.

②当点。与点M重合时，

由x+3x=20,得x=5.此时DV=X2=25>20,不符合题意.故点。与点M不能重合.

所以所求尤的值为历-1.

(2)由(1)知，点。只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，由20-(x+3x)=2()_(2x+x2),解得玉=0(舍去)，％=2.

当广2时四边形PQMN是平行四边形.

②当点尸在点N的右侧时，由20—(x+3x)=(2x+x2)—20,解得玉=-10(舍去)，9=4.

当x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当尤=2或x=4时，以尸，Q,M,N为顶点的四边形是平行四

边形.

(3)过点°,M分别作A。的垂线，垂足分别为点E,F.由于2尤X,所以点E一定在点P的左侧.

若以尸，Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形，则点尸一定在点N的右侧，旦PE=NF,

即2x-x=f-3x.解得%=0(舍去)，无2=4.

由于当x=4时，以尸，Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形，所以，以「，Q,M,N为顶点的四边形不

能为等腰梯形

4

2.思路点拨

1.把A4CG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD

2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.

3.构造以C、。、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.

满分解答

(1)A(l,4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+4,

代入点C(3,0),可得a=-1.

所以抛物线的解析式为y=—(x—1>+4=—^+2x+3.

(2)因为PEIIBC,所以空=组=2.因此尸E=L八

PEBC22

所以点E的横坐标为1+4八

2

将X=1+_L/代入抛物线的解析式，y=—(X—1)2+4=4-工产.

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所以点G的纵坐标为4一于是得到GE=(4-L/)_(4_t)=_L/+r.

444

因此SMCG=S^GE+SACGE=；GE(人尸+°/)=-；/+f=—：(/一2>+1•

所以当f=l时，AACG面积的最大值为1.

(3)"型或/=20-8G.

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考点伸展

第(3)题的解题思路是这样的：

因为FEUQC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点/关于PE轴对称的点“，那么

四边形EH'CQ也是平行四边形.

再根据尸。=C。列关于f的方程，检验四边形FEC。是否为菱形，根据EQ=C。列关于f的方程，检

验四边形EH'CQ是否为菱形.

£(1+；/,4—力，F(l+1r,4)>e(3,r),C(3,0).

如图2,当/。=C。时，BQ』。。，因此(}_2)2+(47)2=已

整理，得/一40/+80=0.解得％=20—8石，匀=20+8行(舍去).

如图3,当EQ=C。时，EQ2=C02,因此(}_2)2+(4-27)2=/.

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整理，得13/_72r+800=0.(13?-20)(?-40)=0.所以％=型，与=40(舍去).

3.思路点拨

1.菱形PO8Q必须符合两个条件，点尸在NABC的平分线上，PQ//AB.先求出点P运动的时间3再

根据PQ//AB,对应线段成比例求C。的长，从而求出点。的速度.

2.探究点M的路径，可以先取两个极端值画线.段，再验证这条线段是不是点〃的路径.

满分解答

4

(1)。2=8—2/,PD=-t.

3

(2)如图3,作/ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交于°,那么四边形PDBQ是菱形.

过点P作垂足为E,那么BE=BC=8.

在RtAABC中，AC=6,BC=8,所以AB=10.

在RtAAPE中，CosA=—=-=所以r=W.

APt53

6_io

当尸Q/42时，丝=色，即丝=_3_.解得。。=卫.

CBCA869

所以点。的运动速度为%+12=3.

9315

(3)以C为原点建立直角坐标系.

如图4,当t=0时，尸。的中点就是AC的中点E(3,0).

如图5,当t=4时，尸。的中点就是尸8的中点网1,4).

直线EF的解析式是y=-2了+6.

如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(生N,f).经验证，点M(心，力在直线上.

22

所以尸。的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF=2A/5.

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第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：

当t=2时，尸。的中点为(2,2).

设点M的运动路径的解析式为代入£(3,0)、FQ,4)和(2,2),

9a+3b+c=0,

得,a+b+c=4,解得。=0，b=—2,c=6.

4a+2b+c=2.

所以点M的运动路径的解析式为y=~2x+6.

4.思路点拨.

1.过点E作x轴的垂线交4。于尸，那么A4E尸与ACE尸是共底的两个三角形.

2.以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，与。尸平行且相等，对角线AP=QD当为对

角线时，与尸。互相平分且相等.

满分解答

(1)由>=办2—2ax—3a=a(x+l)(x—3),得4(—1,0).

由CD=4AC,得孙=4.所以。(4,5a).

由A(—1,0)、£>(4,5。)，得直线/的函数表达式为y=or+a.

(2)如图1,过点E作无轴的垂线交AD于尸.

设E(JC,ax2-2ox—3a),F(x,ax-\-d),那么EF=yE~yF=ax1~^ax—4a.

由sKACE=s4AEF—sZCEF=-x)-^-X)

gEF(x£AEF(XEc

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=^EF(xc-xJ=1(ax-3ax-4a)=|a(x-|)-a，

得AACE的面积的最大值为-纪a.解方程—至a=9,得2

a=——

8845

(3)已知A(—1,0)、0(4.5a),xP=\,以A。为分类标准,分两种情况讨论:

①如图2,如果为矩形的边，那么AD//QP,AD^QP,对角线AP=QD

由XD-XA=XP-XQ,得XQ=-4.

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当x=-4时，y=a(x+l)(x—3)=21a.所以。(一4,21a).

由>A=yp—y°，得yp=26a.所以尸(1,26。).

由4尸2=。£>2,得22+(26a)2=82+(16。)2.

整理，得7/=i.所以一乎.此时P（l,_

②如图3,.如果A。为矩形的对角线，那么A。与P。互相平分且相等.

由知+XA=X?+_X2，得X°=2.所以。(2,—3a).

由y»+y4=yp+y°,得yp=8a.所以P(l,8a).

由AD1=PQ1,得52+(5a)2=l2+(lU)2.

考点伸展

第（3）题也可以这样解.设尸

①如图2,当4。时矩形的边时，ZQPD=90°,所以邈=空，即工二3

MDNP-5a3

解得”=1±初.所以P（I,1±至）.所以°（_4,3）.

aaa

将。（一4,3）代入y=a（x+D（x—3），得』=21a.所以。=一立.

aa7

②如图3,.当AZ）为矩形的对角线时，先求得。（2,—3a）.

由乙4纱=90。，得生=变,即3=_?_.解得

GQKD3—3a—5a2

5.思路点拨

1.抛物线在平移的过程中,MW与MN保持平行，当M\T=MN=4时，以点M、N、M\V为顶点

的四边形就是平行四边形.

2.平行四边形的面积为16,底边MN=4,那么高NN』4.

3.M，N，=4分两种情况：点在点N，的上方和下方.

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4.NN，=4分两种情况：点N，在点N的右侧和左侧.

满分解答

(1)将4-3,0)、8(0,3)分别代入yn-d+M+c,得

-9-3Z?+c=0,

解得