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文档简介

动点在四边形中的分类讨论

【专题说明】

动点问题是中考中非常重要的一类问题,也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想,

分类讨论的思想,对学生综合运用知识的能力要求非常高。

四边形中的动点问题是一类非常重要的问题,它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在

一起进行考察。

一、解题基本思路

解决动点问题的思路,要注意以下几点:

1、设出未知数

动点问题一般都是求点的运动时间,通常设运动时间为t

2、动点的运动路径就是线段长度

题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位,那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所

运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。

所以我们在做动点问题的时候,第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。

3、方程思想求出时间

动点问题通常都是用方程来解决,根据题目找到线段之间的等量关系,然后用含有t的代数式表示出来,

列出方程求解出t的值。

4、难点是找等量关系

这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来.的,而是同学们根据题

型自己挖掘出来的等量关系,所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。

5、注意分类讨论

因为点的运动的位置不同,形成的图形就不同,符合结论的情况可能就不止一种,所以做动点问题要注意

分类讨论。.

【精典例题】

1、如图,在矩形ABC。中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,。出发沿A。,BC,CB,D4方向

在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,

若BQ=_rcm(XW0),则AP=2rcm,CM=3xcm,DN=x^cm.

(1)当x为何值时,以尸。,为两边,以矩形的边(A。或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;

1

(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;

(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.

2、如图1,在平面直角坐标系中,己知矩形ABC。的三个顶点2(1,0)、C(3,0)、0(3,4).以A为顶点的抛

物线>="2+6尤+c过点C动点P从点A出发,沿线段向点8运动,同时动点。从点C出发,沿线

段C。向点。运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作交AC于

点E.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作于肛交抛物线于点G,当t为何值时,AACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P、。运动的过程中,当f为何值时,在矩形ABCC内(包括边界)存在点H,使以C、0、E、

H为顶点的四边形为菱形?请直接写出f的值.

图1

3、如图1,在R3ABC中,NC=90。,AC=6,3C=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单

位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,

交于点。,联结尸。点P、。分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运

动,设运动的时间为/秒(仑0).

(1)直接用含,的代数式分别表示:QB=,PD=;

(2)是否存在f的值,使四边形为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何

改变点。的速度(匀速运动),使四边形在某一时刻为菱形,求点。的速度;

(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段尸。的中点M所经过的路径长.

2

图1图2

4、如图1,在平面直角坐标系中,抛物线>=加一2°元-3a(a<0)与x轴交于A、8两点(点A在点2的

左侧),经过点A的直线/:y=.fcc+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为。,且CO=4AC.

(1)直接写出点A的坐标,并求直线/的函数表达式(其中入b用含。的式子表示);

(2)点E是直线/上方的抛物线上的动点,若AACE的面积的最大值为?,求。的值;

(3)设尸是抛物线的对称轴上的一点,点。在抛物线上,以点A、。、P、。为顶点的四边形能否成

为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

图1备用图

5、如图1,已知抛物线C:y=—f+6x+c经过A(—3,0)和仇0,3)两点.将这条抛物线的顶点记为它的

对称轴与无轴的交点记为N.

(1)求抛物线C的表达式;

(2)求点M的坐标;

(3)将抛物线C平移到抛物线。,抛物线。的顶点记为AT,它的对称轴与x轴的交点记为N<如果

以点〃、N、M'、V为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?

3

图1

1.【解析】(1)当点尸与点N重合或点。与点M重合时,以尸。,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)

的一部分为第三边可能构成一个三角形.

①当点尸与点N重合时,

由f+2x=20,=721-1.X2=-V21-1(舍去).

因为2Q+CM=x+3x=4("[-l)<20,此时点。与点M不重合.所以x=0T-1符合题意.

②当点。与点M重合时,

由x+3x=20,得x=5.此时DV=X2=25>20,不符合题意.故点。与点M不能重合.

所以所求尤的值为历-1.

(2)由(1)知,点。只能在点M的左侧,

①当点P在点N的左侧时,由20-(x+3x)=2()_(2x+x2),解得玉=0(舍去),%=2.

当广2时四边形PQMN是平行四边形.

②当点尸在点N的右侧时,由20—(x+3x)=(2x+x2)—20,解得玉=-10(舍去),9=4.

当x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当尤=2或x=4时,以尸,Q,M,N为顶点的四边形是平行四

边形.

(3)过点°,M分别作A。的垂线,垂足分别为点E,F.由于2尤X,所以点E一定在点P的左侧.

若以尸,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形,则点尸一定在点N的右侧,旦PE=NF,

即2x-x=f-3x.解得%=0(舍去),无2=4.

由于当x=4时,以尸,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,所以,以「,Q,M,N为顶点的四边形不

能为等腰梯形

4

2.思路点拨

1.把A4CG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD

2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.

3.构造以C、。、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.

满分解答

(1)A(l,4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+4,

代入点C(3,0),可得a=-1.

所以抛物线的解析式为y=—(x—1>+4=—^+2x+3.

(2)因为PEIIBC,所以空=组=2.因此尸E=L八

PEBC22

所以点E的横坐标为1+4八

2

将X=1+_L/代入抛物线的解析式,y=—(X—1)2+4=4-工产.

24

所以点G的纵坐标为4一于是得到GE=(4-L/)_(4_t)=_L/+r.

444

因此SMCG=S^GE+SACGE=;GE(人尸+°/)=-;/+f=—:(/一2>+1•

所以当f=l时,AACG面积的最大值为1.

(3)"型或/=20-8G.

13

考点伸展

第(3)题的解题思路是这样的:

因为FEUQC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点/关于PE轴对称的点“,那么

四边形EH'CQ也是平行四边形.

再根据尸。=C。列关于f的方程,检验四边形FEC。是否为菱形,根据EQ=C。列关于f的方程,检

验四边形EH'CQ是否为菱形.

£(1+;/,4—力,F(l+1r,4)>e(3,r),C(3,0).

如图2,当/。=C。时,BQ』。。,因此(}_2)2+(47)2=已

整理,得/一40/+80=0.解得%=20—8石,匀=20+8行(舍去).

如图3,当EQ=C。时,EQ2=C02,因此(}_2)2+(4-27)2=/.

5

整理,得13/_72r+800=0.(13?-20)(?-40)=0.所以%=型,与=40(舍去).

3.思路点拨

1.菱形PO8Q必须符合两个条件,点尸在NABC的平分线上,PQ//AB.先求出点P运动的时间3再

根据PQ//AB,对应线段成比例求C。的长,从而求出点。的速度.

2.探究点M的路径,可以先取两个极端值画线.段,再验证这条线段是不是点〃的路径.

满分解答

4

(1)。2=8—2/,PD=-t.

3

(2)如图3,作/ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交于°,那么四边形PDBQ是菱形.

过点P作垂足为E,那么BE=BC=8.

在RtAABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.

在RtAAPE中,CosA=—=-=所以r=W.

APt53

6_io

当尸Q/42时,丝=色,即丝=_3_.解得。。=卫.

CBCA869

所以点。的运动速度为%+12=3.

9315

(3)以C为原点建立直角坐标系.

如图4,当t=0时,尸。的中点就是AC的中点E(3,0).

如图5,当t=4时,尸。的中点就是尸8的中点网1,4).

直线EF的解析式是y=-2了+6.

如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(生N,f).经验证,点M(心,力在直线上.

22

所以尸。的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=2A/5.

6

第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:

当t=2时,尸。的中点为(2,2).

设点M的运动路径的解析式为代入£(3,0)、FQ,4)和(2,2),

9a+3b+c=0,

得,a+b+c=4,解得。=0,b=—2,c=6.

4a+2b+c=2.

所以点M的运动路径的解析式为y=~2x+6.

4.思路点拨.

1.过点E作x轴的垂线交4。于尸,那么A4E尸与ACE尸是共底的两个三角形.

2.以AD为分类标准讨论矩形,当AD为边时,与。尸平行且相等,对角线AP=QD当为对

角线时,与尸。互相平分且相等.

满分解答

(1)由>=办2—2ax—3a=a(x+l)(x—3),得4(—1,0).

由CD=4AC,得孙=4.所以。(4,5a).

由A(—1,0)、£>(4,5。),得直线/的函数表达式为y=or+a.

(2)如图1,过点E作无轴的垂线交AD于尸.

设E(JC,ax2-2ox—3a),F(x,ax-\-d),那么EF=yE~yF=ax1~^ax—4a.

由sKACE=s4AEF—sZCEF=-x)-^-X)

gEF(x£AEF(XEc

22

=^EF(xc-xJ=1(ax-3ax-4a)=|a(x-|)-a,

得AACE的面积的最大值为-纪a.解方程—至a=9,得2

a=——

8845

(3)已知A(—1,0)、0(4.5a),xP=\,以A。为分类标准,分两种情况讨论:

①如图2,如果为矩形的边,那么AD//QP,AD^QP,对角线AP=QD

由XD-XA=XP-XQ,得XQ=-4.

7

当x=-4时,y=a(x+l)(x—3)=21a.所以。(一4,21a).

由>A=yp—y°,得yp=26a.所以尸(1,26。).

由4尸2=。£>2,得22+(26a)2=82+(16。)2.

整理,得7/=i.所以一乎.此时P(l,_

②如图3,.如果A。为矩形的对角线,那么A。与P。互相平分且相等.

由知+XA=X?+_X2,得X°=2.所以。(2,—3a).

由y»+y4=yp+y°,得yp=8a.所以P(l,8a).

由AD1=PQ1,得52+(5a)2=l2+(lU)2.

考点伸展

第(3)题也可以这样解.设尸

①如图2,当4。时矩形的边时,ZQPD=90°,所以邈=空,即工二3

MDNP-5a3

解得”=1±初.所以P(I,1±至).所以°(_4,3).

aaa

将。(一4,3)代入y=a(x+D(x—3),得』=21a.所以。=一立.

aa7

②如图3,.当AZ)为矩形的对角线时,先求得。(2,—3a).

由乙4纱=90。,得生=变,即3=_?_.解得

GQKD3—3a—5a2

5.思路点拨

1.抛物线在平移的过程中,MW与MN保持平行,当M\T=MN=4时,以点M、N、M\V为顶点

的四边形就是平行四边形.

2.平行四边形的面积为16,底边MN=4,那么高NN』4.

3.M,N,=4分两种情况:点在点N,的上方和下方.

8

4.NN,=4分两种情况:点N,在点N的右侧和左侧.

满分解答

(1)将4-3,0)、8(0,3)分别代入yn-d+M+c,得

-9-3Z?+c=0,

解得

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