浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）

浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集U={x∈N*∣x≤8}，集合A={1,3A．{1,2,C．{5,6,2．“x>3”是“关于x的不等式ln(xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不3．幂函数y=xm2−2m−3(m∈Z)的图象关于yA．1 B．2 C．3 D．44．若数据x1，x2，⋯，xn的方差为s2，则−5xA．s2 B．5s2 C．255．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（）A．30 B．60 C．90 D．1206．已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225)，则下列说法正确的有（）（参考数据：①P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827；②A．这次考试成绩超过100分的约有1000人B．这次考试分数低于70分的约有40人C．P(115<X≤130)=0D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为117．函数f(x)=|1+22x−1|，若a=f(−A．c>b>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c8．设定义在R上的函数f(x)满足f(2x)+f(2x+2)=0，f(x+1)为奇函数，当x∈[1,f(x)=a⋅2x+b，若f(0)=−1A．1011 B．3253 C．125253 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．考虑两个变量X和Y的样本数据集，其样本相关系数rxyr其中，xi和yi分别是X和Y的第i个样本值，x和y分别是X和下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（）A．分母中的i=1n(xi−x)B．分子部分i=1nC．样本相关系数的值越接近于0，表示X和Y之间的线性关系越强。D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较。10．已知函数f(x)的定义域为R，若f(xy)=yf(x)+xf(y)，则以下一定成立的是（）A．f(1)=0 B．f(2)=2C．f(x)为奇函数 D．f(x)在(1,11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=13，P(B)=4A．P(AB)=1C．P(B∣A)=P(B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知(x2+ax)13．已知正数x，y满足4x+9y=xy且x+y<m2−24m有解，则实数m14．已知实数x1为函数f(x)=xex−e4的零点，x四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f(x)=（1）若不等式f(x)<1−b的解集为{x∣−2<x<3}，求a，（2）当a>0时，若方程f(x)+a+8=0的两个不相等的实根为x1，x2，求16．李医生家在H小区，他在C医院工作，从家开车到医院上班有L1，L2两条路线（如图），路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为p，(0<p<1)；路线L2上有B（1）若走路线L1且p=（2）若走路线L2，求遇到红灯次数X（3）按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择L1，L17．生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量H(t)（单位：ng/mL）与一天中的时间●在夜间(0≤t<6)，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数H(t)=a．●在早晨(6≤t≤12)，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为H(t)=b(t−6)+a，当t=12时，分泌量达到最大值H●在下午和晚上(12<t≤24)，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即H(t)=H已知午夜时荷尔蒙分泌量为5ng/mL（1）求参数a，b和c的值以及函数H(t)的解析式；（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于10ng/18．已知函数f(x)=log（1）求m的值；（2）若f(x)=log4g(x)，判断g(x)（3）若f(x)≥log4(a⋅2x19．假设通过简单随机抽样得到X和Y的抽样数据列联表，XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d课本中给出χ2χ此处我们把2×2列联表中的a，b，c，d称为观察频数，记作Oij，（例如O12=b把(a+b)(a+c)n，(a+b)(b+d)n，(c+d)(a+c)n，(c+d)(b+d)即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如E11=(a+b)(a+c)χ2根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示：教学方法\成绩级别低中高总计传统方法203050100在线学习354520100互动式学习251560100总计8090130300参考数据：P(0.1000.0500.0250.0100.0057.789.4911.1413.2814.86（1）已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的12、13、（2）（i）求O31，E（ii）依据小概率值α=0.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵U={x∈N*∣x≤8}={1，2，3，4，5，6，7，8}，

又∵A={1，3，5，8}，B={5，6，7，8}，

∴(∁UA)={2，4，6，7}，(∁UB)=2．【答案】A【解析】【解答】解：ln(x2−x+1)>ln(x+4)则x2−x+1>0x+4>0x2−x+1>x+4，解得x＞3或-4＜x＜-1，故“x>3”是“关于3．【答案】A【解析】【解答】解：∵幂函数y=xm2−2m−3(m∈Z)在(0，+∞)上是减函数，∴m2-2m-3<0，∴-1<m<3，又∵m∈Z，∴m=0，1，2，又∵图象关于y轴对称，

当m=0时，y=x-3是奇函数，图象关于原点对称，故m=0不成立；

当m=1时，y=x-4是偶函数，图象关于y轴对称，故m=1成立；

当m=2时，y=x-3是奇函数，图象关于原点对称，故m=2不成立；

∴4．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，−5x1+2,−5x2+2，⋯，−5xn5．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，不同的安排方法种数为C52C326．【答案】D【解析】【解答】解：A、μ=100，σ=15，则P(X>100)=12，所以成绩超过100分的约有2400×12=1200人，A错误；

B、P(X>70)=P(70<X<100)+P(X>100)=12P(100-2x15<X<100+2x15)+0.5=12×0.9545+0.5=0.97725，所以P(X<70)=1-P(X>70)=1-0.97725=0.02275，所以分数低于70分的人数约为0.02275x2400=54.6，即约为55人，B错误；

C、P(X<115)=P(X<100)+12P(100-15<X<100+15)=0.5+12×0.6827=0.84135，所以

P(X<130)=P(X<100)+12P(100-2×15<X<100+2×15)=0.5+12×0.9545=0.97725，所以

P(115<X≤130)=P(X≤130)-P(X<115)=0.97725-0.84135=0.1359，C错误；

D、因为P(X>100)=7．【答案】D【解析】【解答】解：因为f(x)=|1+22x−1|=2x+12x−1，即f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=2x+12x−1=1+22x−1单调递减，a=f(−23)=f(238．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，即f(x)关于(1，0)对称，同时f(1)=0，又由f(2x)+f(2x+2)=0，令x=0，可得f(0)+f(2)=0，则有f(2)=-f(0)=1，当x∈[1，2]时，f(x)=a·2x+b，则有f(1)=2a+b=0f(2)=4a+b=1，解可得a=12b=-1，故x∈[1，2]时，f(x)=12×2x-1，同时，f(2x)+f(2x+2)=0，即f(x)+f(x+2)=0，则有f(x+2)=-f(x)，故f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，log22024=log21024×9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、分母中的平方根实际上是标准偏差的平方根，而不是标准差本身，标准差需要将平方根的结果再开方，A错误；

B、分子部分计算的是每个样本点相对于各自平均值的偏差之积，如果这个乘积总和为正值，则说明两个变量的变化趋势一致，即正相关；反之则负相关，B正确；

C、样本相关系数的绝对值越接近于0，表示X和Y之间的线性关系越弱，而非越强，C错误；

D、通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数消除了量纲的影响，使得不同单位的数据可以比较，D正确；

故答案为：BD．

【分析】根据样本相关系数的性质求解即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因为函数f(x)的定义域为R，若f(xy)=yf(x)+xf(y)，令x=y=1，则f(1)=2f(1)，即f(1)=0，A正确；

B、由题意无法求f(2)的值，B错误；

C、令x=y=-1，则f(1)=-2f(-1)=0，即f(-1)=0，所以f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，即f(x)为奇函数，C正确；

D、由题意无法判断单调性，D错误；

故答案为：AC．

【分析】由已知结合函数的性质，利用赋值法检验各选项即可判断.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由题意，P(A)=13，P(B)=45，P(A+B)=715，所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=115，A正确；

B、P(AB)=P(A)-P(AB)=13-12．【答案】2【解析】【解答】解：(x2+ax)5展开式的通项为Tr+1=C5rx25-raxr=C513．【答案】(−∞【解析】【解答】解：∵正数x，y满足4x+9y=xy，

∴4y+9x=1，

∴x+y=x+y4y+9x=4xy+9yx+13≥236+13=25，

当且仅当4xy=9yx，即x=15，y=10时取等号，14．【答案】e【解析】【解答】解：因为实数x1为函数f(x)=xex−e4的零点，显然x1>0，所以x1ex1=e4，即x1+lnx1=4，x1=4-lnx1>0，则0<x1<e4，

因为x2为函数g(x)=x(lnx−2)−e6的零点，显然x2>0，所以x2(lnx2-2)=e6>0，则lnx2-2>0，故x2>e2，

又g(x)=x(lnx−2)−e6(x>0)，所以g'(x)=lnx-1，故当x>e，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以函数g(x)=x(lnx−2)−e6在(e，+∞)上只有唯一零点x2，

因为x1=4-lnx1，0<x1<e4，则e6x1>e2，又g(e6x1)=e615．【答案】（1）解：原不等式可化为x2−(a+1)x+b<0，因为该不等式的解集为可知x2−(a+1)x+b=0的两根为则−2+3=a+1−2×3=b，即1=a+1−6=b，解得a=0b=−6；所以（2）解：∵方程f(x)+a+8=x∴Δ=(a+1)2−4(a+9)=a2又a>0，∴a>7．由韦达定理：x1所以x=令t=a+9，(t>16)，h(t)=∵h(t)在(16,+∞)∴【解析】【分析】(1)由题意可知x2−(a+1)x+b=0的两根为-2和3，结合韦达定理求解即可；

(2)由Δ>0，可得a>7，结合韦达定理可得16．【答案】（1）解：设“走路线LI最多遇到1次红灯”为事件A则P(A)=C30(12)（2）解：依题意，知X的所有可能取值为0，1，2．P(X=0)=(1−34)×(1−35故随机变量X的分布列为X012P199所以E(X)=0×1（3）解：设选择路线Ll遇到红灯的次数为Y，则Y∼B(3,p)若E(X)>E(Y)，则3p<2720，0<p<9若E(X)<E(Y)，则3p>2720，920若E(X)=E(Y)，则p=920，此时选择路线L1【解析】【分析】(1)利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；

(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到X的分布列和期望；

(3)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，则Y∼B(317．【答案】（1）解：根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量H(0)=5ng/ml荷尔蒙分泌量满足关系式：H(t)=b(t−6)+a当t=12时，分泌量达到峰值即Hmax=20解得：b=因此，早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为H(t)=2.在下午和晚上(12<t≤24)时段，荷尔蒙分泌量满足：H(t)=20⋅所以H(24)=20⋅e−c(24−12)所以荷尔蒙分泌量为H(t)=20⋅综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为H(t)=（2）解：①当6≤t≤12时，H(t)=2解得t≥8，所以8≤t≤12②当12<t≤24时，H(t)=20⋅e∴e−∴t−12≤6,t≤18综上所述8≤t≤18该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于10ng/【解析】【分析】(1)由H(0)=5求出a，再由H(12)=20求出b，由H(24)=5求得c，即可得H(t)的解析式；

(2)利用分类讨论法求出H(t)≥1