第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.【知识梳理】1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.基本事实4和等角定理(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[常用结论与微点提醒]1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)两条平行直线也没有公共点，故错误.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.2.(必修二P128T2改编)下列命题正确的是()A.空间任意三个点确定一个平面B.一个点和一条直线确定一个平面C.空间两两相交的三条直线确定一个平面D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面答案D解析A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；C中，空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，C错，故只有选项D正确.3.(必修二P147例1改编)在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，则直线BA′与AC所成角的余弦值为________.答案eq\f(\r(10),10)解析如图，连接CD′，易知CD′綉BA′，则∠ACD′是直线BA′与AC所成的角，连接AD′，在△ACD′中，AC＝eq\r(2)，AD′＝CD′＝eq\r(5)，设AC的中点为O，则D′O⊥AC，故cos∠ACD′＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(\r(10),10).4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形.答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF＝EH，∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD.(2)要使四边形EFGH为正方形，应有EF＝EH且EF⊥EH，∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.考点一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点.证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，E，F四点共面.(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点.感悟提升共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合.(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.训练1(1)在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析因为EF∩HG＝P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.(2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是()答案D解析A中，由PQ与SR相交，知P，Q，R，S四点共面；B中，由QR与PS相交，知P，Q，R，S四点共面；C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四点共面；D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四点不共面.考点二空间两直线位置关系的判断例2(1)(2024·鹤壁模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，有下列三个命题：①若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析对于①，若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c相交不是异面直线，如图，故①为假命题；对于②，若a和b相交，b和c相交，则a和c可能相交、平行、异面，故②为假命题；对于③，若a和b共面，b和c共面，则a和c共面，错误，如上图，AA′(a)与AB(b)共面，AB(b)与BC(c)共面，但AA′(a)与BC(c)异面，故③为假命题.故真命题的个数为0.故选A.(2)(多选)(2024·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是()A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1答案BCD解析对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确.故选BCD.感悟提升1.要判断空间中两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义，借助空间想象并充分利用图形进行思考.判断空间直线的位置关系，一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法.2.异面直线的判定方法：(1)反证法；(2)直接法.训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，得到以下三种可能的情况，如图可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况，故选D.(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.答案②④解析根据异面直线的定义可知，在题图②④中，直线GH，MN是异面直线.在题图①中，由G，M均为所在棱的中点可知GH∥MN.在题图③中，连接GM，因为G，M均为所在棱的中点，所以GM∥HN，且GM＝eq\f(1,2)HN，所以四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交.考点三求异面直线所成的角例3(1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案D解析法一如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接C1P，BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则BC1＝2eq\r(2)，PC1＝B1P＝eq\f(1,2)eq\r(B1Ceq\o\al(2,1)＋D1Ceq\o\al(2,1))＝eq\r(2)，BP＝eq\r(B1B2＋B1P2)＝eq\r(6)，在△BPC1中，cos∠PBC1＝eq\f(BP2＋BCeq\o\al(2,1)－PCeq\o\al(2,1),2BP·BC1)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).法二如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角，由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6)，故直线PB与AD1所成的角为eq\f(π,6).(2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq\r(3)，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝eq\r(7)，则异面直线AD与BC所成角的大小为________.答案30°解析设BD的中点为O，连接EO，FO，所以EO∥AD，FO∥BC，则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角.所以EO＝eq\f(1,2)AD＝1，FO＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3)，EF＝eq\r(7)，在△EOF中，根据余弦定理，得cos∠EOF＝eq\f(EO2＋FO2－EF2,2·EO·FO)＝eq\f(12＋（\r(3)）2－（\r(7)）2,2×1×\r(3))＝eq\f(1＋3－7,2\r(3))＝－eq\f(\r(3),2)，所以∠EOF＝150°，从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°.感悟提升综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线；(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.训练3(2024·广西联考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线A1C，AB所成角的大小是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案C解析法一如图所示，连接B1C，因为A1B1∥AB，所以∠B1A1C即为异面直线A1C，AB所成的角.因为AA1＝AC＝BC＝1，所以A1C＝eq\r(2)，B1C＝eq\r(2).又因为AC⊥BC，所以AB＝A1B1＝eq\r(2).在△B1A1C中，A1B1＝A1C＝B1C＝eq\r(2)，所以△B1A1C是正三角形，所以∠B1A1C＝eq\f(π,3).法二如图，将直三棱柱补形为正方体ACBD－A1C1B1D1，连接BD1，AD1，则D1B∥A1C，所以异面直线A1C与AB所成的角即直线D1B与AB所成的角，在三角形D1AB中，D1A＝BD1＝AB＝eq\r(2)，所以∠D1BA＝eq\f(π,3)，即异面直线A1C，AB所成角的大小是eq\f(π,3).【A级基础巩固】1.(多选)下列推断中，正确的是()A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，则α∩β＝AB，B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确.2.若直线上有两个点在平面外，则()A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.3.(多选)下列命题中不正确的是()A.空间四点共面，则其中必有三点共线B.空间四点不共面，则其中任意三点不共线C.空间四点中有三点共线，则此四点不共面D.空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面答案ACD解析对于平面四边形来说不成立，故A不正确；空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，故B正确；由B的分析可知C不正确；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确.4.(2024·广州模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是()A.直线b与直线c可能是异面直线B.直线a与直线c可能平行C.直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)D.直线c与平面α可能平行答案C解析因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ.因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确；假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误.5.(2024·金华模拟)已知直线l、平面α满足l⊄α，则下列命题一定正确的是()A.存在直线m⊂α，使l∥mB.存在直线m⊂α，使l⊥mC.存在直线m⊂α，使l，m相交D.存在直线m⊂α，使l，m所成角为eq\f(π,6)答案B解析对于A，若直线l与α相交，则α内的直线与l相交或异面，因此若l与α相交，则不存在直线m⊂α，使l∥m，故A错误；对于B，由于l⊄α，所以l与α相交或平行，不论是相交还是平行，均可在α内找到与l垂直的直线m，故B正确；对于C，当l∥α时，α内的直线与l平行或异面，所以不存在m⊂α，使l，m相交，故C错误；对于D，当直线l⊥α时，直线l与α内的所有直线均垂直，故不存在直线m⊂α，使l，m所成角为eq\f(π,6)，故D错误.6.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面答案ABC解析∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选ABC.7.(2024·郑州质检)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析法一如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角).因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).法二如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知点O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角).因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).8.已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是________；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是________.答案相交或异面a∥α或a⊂α解析a，b，c是不同直线，α是平面，因为a∥b，b∩c＝A，所以直线a与直线c的位置关系是相交或异面.因为a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α.9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.答案4解析因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cosθ＝________.答案eq\f(\r(3),6)解析如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，∠POC1＝θ或π－θ.设正方体的棱长为2，则OP＝eq\f(1,2)A1D＝eq\r(2)，OC1＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(6)，则cosθ＝|cos∠POC1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))))＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面.(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线.12.如图，已知在空间四边形