2024-2025学年河南省南阳市高二上学期1月期末教学质量评估数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省南阳市高二上学期1月期末教学质量评估数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x=1的倾斜角为(

)A.45∘ B.135∘ C.2.若l⊥α，且l=2,m,1为直线l的一个方向向量，n=1,−4,12为平面αA.−4 B.−6 C.−8 D.83.已知圆C:x+12+y+12=2,A.4 B.3 C.2 D.14.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=23，且P(A)=2P(B)，则P(BA.79 B.49 C.5185.一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N1000,52，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011Ω和982Ω，则下列结论正确的是A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂

C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂6.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2,AC=3,BD=4,CD=6，则该二面角的余弦值为(

)

A.310 B.−310 C.77.用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为(

)A.310 B.25 C.358.已知F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，BA.x27−y26=1 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于1x−x6A.各项系数之和为1 B.第二项与第四项的二项式系数相等

C.常数项为15 D.有理项共有4项10.某同学投篮两次，第一次命中率为23.若第一次命中，则第二次命中率为34;若第一次未命中，则第二次命中率为12.记Ai(i=1,2)A.P(A2)=23 B.E(X)=411.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为A1C1和B1D1的交点，点N在线段CD上，NC=2NDA.若点P是线段AD1上一动点，则直线PB1//平面BC1D

B.若点Q是平面AA1D1D内一点，且满足∠AQB=∠DQN，则点Q的轨迹是抛物线

C.若点M为平面C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60∘的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为

．13.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A2,0处出发，河岸线所在直线方程为14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)直线l经过两直线l1:x+2y−6=0和(1)若直线l与直线3x+y−2=0垂直，求直线l的方程；(2)若直线l与圆(x+1)2+y16.(本小题12分)已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD=2，F为BE的中点．(1)求点B到平面ADF的距离；(2)求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值．17.(本小题12分)甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．18.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，动点P与定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=95的距离之比是常数53，记P(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(3,0)且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点．19.(本小题12分)在x2+x+1n=Dn0+Dn1(1)当n=1时，写出三项式系数D10，D1(2)类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm−1+Cn(3)求D20240C参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.313.414.2921015.解：(1)由x+2y−6=02x−3y+2=0，得x=2y=2，所以交点坐标为又直线l与直线3x+y−2=0垂直，设直线l的方程为x−3y+C=0，将(2,2)代入得C=4，所以直线l的方程为x−3y+4=0．(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时圆心−1,0到直线l的距离为3，等于圆的半径，故直线l与圆相切，满足题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x−2)，即kx−y−2k+2=0，因为直线l与圆相切，所以圆心(−1,0)到直线l的距离d=|−k−2k+2|(−1此时直线l的方程为5x+12y−34=0，综上所述，直线l的方程为x=2或5x+12y−34=0．

16.解：(1)在平面ACDE内，过点D向EA做垂线，垂足记为G，又AE=2CD，∴EG=AE−CD=2−1=1,DG=AC=2，在直角▵DEG中，DE=在直角▵BCD中，BD=∴DE=BD，又F为BE的中点，∴DF⊥BE，又AE=AB，则AF⊥BE，∵AF∩DF=F,AF,DF⊂平面ADF，∴BE⊥平面ADF，即点B到平面ADF的距离为线段BF的长，因为BE=AE(2)如图，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，以O为坐标原点，AO，BO分别为x，y轴，过O作平行于AE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A1,0,0可得AE=(0,0,2),BE=(1,−3设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z)，则BE⋅令x=1，则y=−3,z=−2，所以m所以平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值为1−co

17.解：(1)设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A，则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，所以P(A)=0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2．(2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，由(1)知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则X∼B(3,0.2)，因此P(X=0)=CP(X=2)=C所以X的分布列为X0123P0.5120.3840.0960.008期望E(X)=3×0.2=0.6．

18.解：(1)设P(x,y)，因为P与定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=95的距离之比是常数所以(x−5)2+y2x−(2)解法一：设Mx当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为y=x−3,y=−x+3，分别联立x29−y216=1，有x29此时直线MN的方程为x=−757，过点当直线MN斜率存在时，设其方程为y=kx+m,k≠±由x29−y2所以Δ=(−18km)由根与系数的关系得x1因为AM⊥AN，所以kAM⋅k即kx即k2将x1+x所以m=−3k或m=75当m=−3k时，直线MN方程为y=k(x−3)(不合题意，舍)，当m=757k时，直线MN方程为y=kx+75综上所述，直线MN过定点−75

解法二：(齐次化)设不过点A的直线MN的方程为m(x−3)+ny=1，将双曲线E的方程变形为：[(x−3)+3]29将直线MN的方程代入得，16(x−3)整理得，(16+96m)(x−3)变形得9y由题意，直线AM、AN的斜率存在，且kAM设Mx则k1,k所以k1⋅k则直线MN的方程为−796(x−3)+ny=1令y=0，