第25课时　圆的有关性质及与圆有关的位置关系 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第四章图形的性质第25课时圆的有关性质及与圆有关的位置关系知识点1圆的定义及有关概念（1）到定点的距离等于

⁠的点的

轨迹叫做圆，其中定点叫圆心，定长叫

半径.（2）相关概念：弦、直径、弧、优弧、

劣弧、等弧、半圆、等圆、同心圆、圆

心角、圆周角、弓形、圆内接四边形.定长

知识点2圆的有关性质（1）圆的对称性：既是轴对称图形，又

是中心对称图形，圆心是对称中心，任

意一条直径所在的直线都是对称轴；圆

还有旋转不变性.（2）垂径定理：垂直于弦的直径

⁠

这条弦，并且

⁠这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（非直径）

的

垂直于弦，并且平分

⁠

⁠.知二推三：（如图）平分

平分

直径

这条

弦所对的两条弧

（3）圆心角、弧、弦关系定理：在同圆

或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、

两条弦（或弦心距）中有一组量相等，

那么它所对应的其余各组量都分别相等.（4）圆周角定理及推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的

圆周角

⁠，都等于它所对的圆心

角的

；

②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对

的弧

⁠；③直径所对的圆周角是

，90°

的圆周角所对的弦是

⁠；相等

一半

相等

直角

直径

④圆内接四边形的对角

⁠，圆

内接四边形的任意一个外角等于它的

内对角.互补

知识点3三角形的内心和外心

三角形的外心（外接圆的圆心）是

三边

的交点，它到

⁠

⁠的距离相等；三角形的内心（内

切圆的圆心）是三内角

⁠的

交点，它到

的距离相等.垂直平分线

三

顶点

角平分线

三边

知识点4点与圆的位置关系点与圆的位置关系图

形点到圆心的距离d

与半径r的关系点在圆内

⁠点在圆上

⁠点在圆外

⁠d＜rd＝rd＞r知识点5直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

⁠

⁠

⁠圆心到直线的距离d与半径r的关系

⁠

⁠

⁠210d＜rd＝rd＞r知识点6切线的性质与判定性质判定圆的切线与

过切线的半

径（直径）

⁠（定义法）与圆只有一个

公共点的直线是圆的切线过圆心且垂

直于切线的

直线必过切

点（数量法）到圆心的距离

等于半径的直线是圆的切

线，通常作垂线、证半径垂直

性质判定经过切点且

垂直于切线

的直线必过

该圆的圆心（判定定理）经过半径的

外端且垂直于半径的直线

是圆的切线，通常连半

径、证垂直知识点7切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们

的切线长

⁠，这一点和圆心的连

线

两条切线的夹角.相等

平分

名师指津1.

利用垂径定理进行证明或者计算时，

由半径、弦心距及弦的一半所组成的直

角三角形，用勾股定理构建方程，求出

未知量的长.2.

已知两弦求距离时，要分两弦位于圆

心同侧和异侧两种情况，不能遗漏.3.

已知弦长求圆周角时，要注意同一条

弦所对的圆周角有两个，它们互补，不

能遗漏.考点一

与圆有关的位置关系

CA.

点P在☉O上B.

点P在☉O内C.

点P在☉O外D.

无法确定图1

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝

90°，AC＝5，BC＝12.若☉O的半径

为3，当圆心O与点C重合时，☉O与直

线AB的位置关系为

；若☉O从

点C开始沿直线CA移动，当OC＝

⁠

时，☉O与直线AB相切.相离

图2考点二

圆周角定理及推论例2

（1）如图1，AB是☉O的直径，

点D，E在☉O上，∠AED＝35°，则

∠BOD的度数是（

D

）DA.

80°B.

100°C.

120°D.

110°图1

（2）（2024·吉林）如图2，四边形

ABCD内接于☉O，过点B作

BE∥AD，交CD于点E.

若∠BEC＝

50°，则∠ABC的度数是（

C

）A.

50°B.

100°C.

130°D.

150°C图2（3）如图3，点A，B，C，D在☉O

上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为

⁠；

图3

8

图4考点三

垂径定理及推论例外3（1）（2024·赤峰）如图1，AD

是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径

OC⊥AB，连接CD，交OB于点E.

若∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（

B

）BA.

61°B.

63°C.

65°D.

67°图1

（2）（2024·牡丹江）如图2，在☉O

中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，

BE＝1，则弦AC的长为

⁠.图2

AA.

18°B.

30°C.

36°D.

72°图1

（2）（2024·泸州）如图2，EA，ED是

☉O的切线，切点为A，D，点B，C在

☉O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，

则∠E的度数是（

C

）A.

56°B.

60°C.

68°D.

70°C图2（3）如图3，BE是☉O的直径，点A在

☉O上，点C在BE的延长线上，∠EAC

＝∠ABC，AD平分∠BAE交☉O于点

D，连接DE.

当AC＝8，CE＝4时，BE

＝

，DE＝

⁠.图312

例5

（2024·资阳）如图，已知AB是

☉O的直径，AC是☉O的弦，点D在

☉O外，延长DC，AB相交于点E，过

点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，

DG＝DC.

（1）求证：DE是☉O的切线；[答案]

（1）证明：连接OC，如答案图，∵OA＝OC，DG＝DC，∴∠OAC＝∠OCA，∠DGC＝∠DCG.

∵∠AGF＝∠DGC，∴∠AGF＝∠DCG.

又∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠OAC＋∠AGF＝180°－∠AFG＝90°，∴∠OCD＝∠OCA＋∠DCG＝∠OAC＋∠AGF＝90°.又∵OC是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.（答案图）（2）若☉O的半径为6，点F为线段OA

的中点，CE＝8，求DF的长.

（答案图）1.

（2024·外语校）如图，四边形ABCD

内接于☉O，AB为☉O的直径，延长

DC交AB延长线于点E，且CD＝CE，

若∠DAB＝45°，则∠E＝（

B

）

A.

25° B.

30° C.

45° D.

50°（第1题）B

A.

B.

2C.

2

D.

4C（第2题）3.

（