2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分训练（原卷版）

专题10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并

且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在

处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三

角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论

情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

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例题讲模型

2

模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型.......................2

模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型.................................3

模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型...............5

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................6

习题练模型

10

例题讲模型］

模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型

模型解读

1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角

与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上

高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。

模型运用

例1.（24-25九年级上•山东•期末）若等腰V/2C内接于O。，AB=AC,Z5OC=100°,则V48c底角的

度数为（）

A.65°B.25°C.65°或25°D.65°或35°

例2.（2023・四川广元•八年级校联考期中）己知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,那么这个等

腰三角形的顶角等于（）

A.40°B.140°或40°C.15。或75°D.140°

例3.（2023春・山东枣庄•八年级校考期中）已知x,y满足|4-司+而？=0,则以i,'的值为两边长的等

腰三角形的周长是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对

例4.（2024八年级上•湖北•专题练习）等腰三角形三边长分别为。，2a-3,3a-5,则等腰三角形的周长

为（）

A.10B.7或10C.7或4D.10或7或4

例5.（24-25八年级上•浙江嘉兴•阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为6cm和

15cm两部分，那么这个等腰三角形的底边长是.

模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型

模型解读

1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。

2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。

模型证明

等腰三角形的两种分类讨论方法

方法1.“两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。

如图：已知Z,O两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△04P。

①以已知线段。4为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点尸（有2个）；

②以已知线段。4为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以O为圆心的有4个,

以Z为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。

方法2.“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。

若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两

圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。

模型运用

例1.（2024•山东・统考二模）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（1,6）,若M为x轴上

一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点M有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

例2.（2023•福建南平•八年级校考期中）已知△/2C中，如果过顶点8的一条直线把这个三角形分割成两个

三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为小/夕。的关于点3的二分割线.如

图1,MA4BC中，显然直线8。是“5C的关于点3的二分割线.在图2的A/BC中，ZABC^UO0,若直

线BD是的关于点B的二分割线，则/CD8的度数是.

图1图2

例3.（2023•江苏泰州•统考中考真题）如图，“3C中，AB=AC,ZA=30°,射线CP从射线◎开始绕

点C逆时针旋转。角（0°<a<75°）,与射线AB相交于点D,将A/CD沿射线CP翻折至△4C。处，射线CA'

与射线48相交于点£.若是等腰三角形，则/a的度数为.

例4.（2023春・四川达州•八年级校考期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1,2）,点P是

y轴正半轴上的一点，且A/OP为等腰三角形，则点P的坐标为.

例5.（2024•江苏泰州•八年级校联考阶段练习）如图1,AABC中，CD_LA8于。，且：4。：CD=2:3:4,

（1）试说明A48c是等腰三角形；（2）已知S^Bc=40cm2,如图2,动点M从点2出发以每秒1cm的速度沿线

段3/向点N运动，同时动点N从点/出发以相同速度沿线段/C向点C运动，当其中一点到达终点时整个

运动都停止.设点M运动的时间为/（秒），①若AZWN的边与3c平行，求才的值；②若点E是边NC的中

点，问在点M运动的过程中，AAYDE能否成为等腰三角形？若能，求出/的值；若不能，请说明理由.

例6.（2024・四川成都・八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点。为坐标原点，经过凰-2,6）的直

线交x轴正半轴于点8,交y轴于点C,OB=OC,直线/。交x轴负半轴于点。，若的面积为27

（1）求直线48的表达式和点。的坐标；（2）横坐标为加的点P在线段45上（不与点45重合），过点P作x

轴的平行线交于点E,设PE的长为了。/0）,求y与机之间的函数关系式并直接写出相应的加取值范

围；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点尸，使！尸跖为等腰直角三角形？若存在求出点尸的坐标；

若不存在，请说明理由.

模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型

模型解读

若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。

模型运用

例1.（2024•浙江嘉兴•三模）已知直角三角形两边长为3,4,则该直角三角形斜边上的中线长为（）

D.2.5或包

A.2或2.5B.5或77C.2.5或V7

2

例2.（2023春•河南郑州•八年级校考期中）如图，是“3C的角平分线，CE是“3C的高，ABAC=60°,

NACB=78。，点、F为边ABk一点、,当V2DF为直角三角形时，则N4D厂的度数为.

例3.（2023•辽宁葫芦岛•二模）如图，在RtZXZBC中，ZC=90°,//=30。，3c=2,点。是/C的中点，

点E是斜边NB上一动点，沿DE所在直线把V4DE翻折到AHDE的位置，交48于点凡若△84尸为

直角三角形，则NE的长为.

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型

模型解读

直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论,

如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。

模型证明

两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。

问题：已知点/,B和直线/,在/上求点P,使A/MB为直角三角形.

分三种情况，如图：

①以/为直角顶点，即/A4P=90。：过点/作的垂线，与已知直线/的交点Pi即为所求;

②以8为直角顶点，即/N3P=90。：过点8作的垂线，与已知直线/的交点P即为所求；

③以P为直角顶点，即//尸2=90。：以的中点。为圆心，°/的长为半径画圆，与已知直线/的交点

Pi,尸4即为所求.

代数法计算：分别表示出点力,B,尸的坐标，再分别表示出N3,4尸和2尸的长，由①8尸2=/加+/尸2；②

AP2=AB2+BP2；③么"=/产+3尸2分别列方程求解.若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况

不存在。

几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角

形。特殊地，若有30。，45。或60。角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解.

模型运用

例1.（2023九年级•广东•专题练习）如图，己知/（2,6）、5（8,-2）,C为坐标轴上一点，且“8C是直角三

角形，则满足条件的。点有（）个.

“A

A

OX

•B

A.6B.7C.8D.9

例2.（2023・江苏•九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，己知次4,0）,3（0,3）,以N8为一边在“05

外部作等腰直角dBC.则点C的坐标为

B

0\Ax

例3.（22-23八年级下•安徽阜阳•期末）如图所示，在V4BC中，4B=BC=8,04=OB,NAOC=60°,点、M

是射线CO上的一个动点.（1）当A/OM为直角三角形时，的长为

（2）若点M在边的下方，当为直角三角形时，的长为

例4.（23-24九年级上•江西景德镇•期末）如图，等边VN8C的边长为4cm,点。是/C的中点，若动点P

以2cm/s的速度从点/出发沿N方向运动，设运动时间为f秒，连接尸。，当△/尸0是直角三角形

时，则f的值为秒.

例5.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点/的坐标为（0,2）,"BO为等

边三角形，P是x轴上的一个动点（不与。点重合），将线段/尸绕/点按逆时针旋转60。，尸点的对应点为

点。，连接O。，BQo（1）点2的坐标为二（2）①如图①，当点尸在x轴负半轴运动时，求证：ZABQ=90°；

②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；

（3）在点尸运动的过程中，若AOB。是直角三角形，直谈写出点尸的坐标.

例6.（2023秋・辽宁锦州•八年级统考期末）【模型构建】

如图，将含有45。的三角板的直角顶点放在直线/上，过两个锐角顶点分别向直线/作垂线，这样就得到了

两个全等的直角三角形.由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型

在数学解题中被广泛使用.

【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x轴，＞轴分别交于4,3两点，①则

ZOAB=；②C,。是正比例函数了=履图像上的两个动点，连接AD,BC,若8CLCD,BC=3,

则/D的最小值是；（2）如图2,一次函数y=-2x+2的图像与夕轴，x轴分别交于48两点.将直

线绕点A逆时针旋转45。得到直线I,求直线1对应的函数表达式；

【模型拓展】（3）如图3,点/在x轴负半轴上，OA=8,过点N作48/x轴交直线y=-2x-3于点8,p

是直线＞=-2》-3上的动点，0是y轴上的动点，若△/尸。是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角

形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

习题练模型

1.（2023秋•广东八年级课时练习）若春8C是等腰三角形，44=36。，则/C的度数是（）

A.72°或108°B.36°或72°C.108°或36°D.36°或72°或108°

2.（2024•安徽亳州•九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点尸（-4,3）关于〉轴的对称点P,

点。00）是x轴上的一个动点，当AP。。是等腰三角形时，f值个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（23-24九年级上•广东深圳•阶段练习）在平面直角坐标系xQy中，过原点。及点/（0,2）、C（6,0）作长方

形0/8C,N/OC的平分线交AB于点。.点尸从点。出发，以每秒逐个单位长度的速度沿射线方向移

动；同时点。从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为，秒，当APQB为直

A.2或5+逐B.2或5-6C.5+后或5-6D.2或5+后或5-6

4.（23-24八年级下•江西九江•期末）如图，在V/3C中，乙4=30。，将一块足够大的直角三角尺RWN

（/.M=90°,/MW=30。）按如图放置，顶点尸在边/C上滑动，三角尺的直角边始终经过点3,斜

边PN交4B于点D,若点尸在滑动中恰能使△尸工。与△尸8c均为等腰三角形，则/C的度数为.

5.（2023春・湖北襄阳•九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为15。，则等腰三角形的底

角的度数是

6.（23-24九年级上•江苏常州•阶段练习）如图，在V/OB中，AO=2B0=4,4408=90。，点C,。分别

是04的中点，在射线上有一动点P,若是直角三角形，则尸。的长为.

7.（2024•河南关B州•三模）在矩形/3CD中，48=1,£为CD的中点，取NE的中点尸，连接BE,BF,当

△3口为直角三角形时，BC的长为.

8.（2024•浙江杭州•模拟预测）如图，在Rt^4BC中，ZC=90°,/8=30。，/C=3,点。是2C的中点,

点E是边N8上一动点，沿。E所在直线把V8DE翻折到AB'DE的位置，B，D交.AB于点、F,若44*尸为直

角三角形，则/E的长为.

9.（2024•江西南昌•模拟预测）在口/BCD中，AB=3,44=120。，AD=6,点尸为平行四边形NBCA边上

的动点，且满足△P3C是直角三角形，则8P的长度是.

10.（2024•江西南昌•模拟预测）在平面直角坐标系中，Rt^OBC的顶点3,C的坐标分别为（0,4）,（46,4）,

点3绕点。顺时针旋转（0。4。4180。）到点P,连接尸。，PC,若△尸OC为直角三角形，则点P到x轴的距

离为.

11.（24-25九年级上•贵州贵阳•期中）如图，已知在矩形纸片N8CO中，AB=2,8c=2a，点£是48的

中点，点厂是4D边上的一个动点，将△/跖沿EF所在直线翻折，得到△4EF,连接HC,4。，则当A/Z）C

是等腰三角形时，N尸的长是.

12.（2023春・河南开封•八年级校考期中）有一面积为5G的等腰三角形，它的一个内角是30。，则以它的

腰长为边的正方形的面积为.

13.（2023・安徽•九年级专题练习）在矩形ZBCD中，4B=3,BC=4,点、E,尸分别为3C,/C上的两个

动点，将尸沿E尸折叠，点C的对应点为G,若点G落在射线上，且AZGE恰为直角三角形，则线

段CF的长为.

14.（2023春・浙江绍兴•八年级校联考期中）如图，/M4N=90。，点C在边上，AC=2,点、B为边AN

上一动点，连接8C,与AA8C关于BC所在的直线对称，点。，E分别为48,3c的中点，连接DE

并延长交HC所在直线于点尸，连接HE,当△力的为直角三角形时，Z5的长为

15.（23-24八年级上•江苏南京•阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们

把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”.如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2

条线段叫做这个三角形的“三等腰线”.如图1,BE是△48。的“双等腰线”，AD.3E是V48c的“三等腰

线”.

图1

（1）请在图2三个图中，分别画出V/3C的“双等腰线”，并做必要的标注或说明.

①NC=90°；②N8=70°,//=35°；③N5=81°,NA=27°

（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是

3

（3）如图3,V4BC中，NC=&NB,ZB<45°.画出V48c所有可能的“三等腰线”，使得对Z8取值范围内

的任意值都成立，并做必要的标注或说明.（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）

图3

16.（2024•宁夏银川•校考二模）如图，在平面直角坐标系中有矩形/O3C,AO=6,BO=