2025年中考数学二轮复习：第3章 正方形压轴题之常见构图 （含解析）

第3章正方形

第1节常见构图

前言：正方形是最特殊的四边形，边、角、对角线均具有特殊性质，同时，由其自身的轴对称性及中心对称性,

使得正方形有更多的考法.

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基本性质

四边相等：AB=BC=CD=DA;

四角者B是直角：ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°;

又寸角线：OA=OB=OC=OD,AC±BD.

引例1：如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，Z1=Z2,则/BPC的度数为

解析：VZ2+ZBCP=45°,Z1=Z2,

/.Z1+ZBCP=45°,

ZBPC=135°.

引例2:如图边长为鱼的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠，点

C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M,则OM=()

解析：：AD=DC=V2,.*.AC=BD=2,OD=|BD=1,

•••DE=DC=V2,.­.=V2-1,DOM=COE,

OM=OE=42-1,

.•.选D.

弓I例3:如图,在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处

折痕为AF.若AD=4,贝CF的长为.

-4^—--------------|D

I\

I\

'\

1\//

1\//

1\//

B'¥--1c

解析:：E点是CD中点,；.DE=出C=2,AE=2有，由折叠可知AG=AB=4,；.EG=2遥-4,设CF=x,!U!JBF=4

-x,FG=4-x,

2

在RtAEFG中，EF2=EG2+FG2=(2V5—4)+(4—x),

在RtACEF中，EF2=CE2+CF2=%2+22,

2

22

(2V5—4)+(4—久尸=x+2f解得：x=6-2V5.

；.CF的长为6-2V5.

双正方形

(1)与模型相关

手拉手模型：AABG^ACBE.

A_________n

:n

GBc

三垂直模型：△FGM0ZXMCD.

口

GBML

“8”字型：△AMD^>AEMF.

(2)与对角线相关

若连接BF、BD,贝UBFLBD.

若连接EG、BD,贝！］EG〃BD,SAEDG=SAEBG.

引例4:如图，点C在线段AB上，且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG,

连接EC、EG厕tan/CEG=.

解析:连接CG,则CE±CG,VAC=2BC,tanZCEG=|

真题演练

1.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点.将AABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF,

那么/EDF的正切值是______.

2.如图，在边长为2企的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点连接EC、FD,点G、H分别

是EC、FD的中点，连接GH,则GH的长度为.

3.如图，在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上，连接AE,点F是AE的中点,

连接OF交AD于点G.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为.

4.（2020.广东）如图，在正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在边AB、CD上，ZEFD=60°.若将四边形EBCF沿

EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）

L

B

B.V2C.V3

5.（2020.温州）如图，在RtAABC中，/ACB=90。,以其三边为边向外作正方形，过点C作CRXFG于点R,再

过点C作PQLCR分别交边DE、BH于点P、Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为（）

C.8V3D.6V5

6.如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC

于M,连接AM、AF,H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K,则下列结论：

©AANH^AGNF;®ZAFN=ZHFG;③FN=2NK;④SAFN-.SADM=1:4.其中正确的结论有（）

AH

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图.正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一条直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.

。是EG的中点，ZEGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接FH交EG于点M,连接OH.以下四个结论：

®GH±BE;②△EHMS/^FHG;③器=鱼—1;④2=2—其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

8如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG,过点A作AH〃DG,交BG于点H.连接H

F、AF,其中AF交EC于点M.

(1)求证：AAHF为等腰直角三角形.

(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.

9.如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB、BC在同一条直线上，且AB=2BC,取EF的中点M,连接MD,

MG,MB.

(1)试证明DMLMG,并求辞的值.

MG

(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形，设NEAB=2a(0<a<90。)，其它条件不变，问(1)中蜉的值有变化吗?

若有变化，求出该值(用含a的式子表示)；若无变化，说明理由.

1.解析：如图，点F如图所示，连接BF、DF、EF、AF,记AF与BE交点为H,

由对称可知AF±BE，点H是AF中点，又点E是AD中点，；.EH是^DF边所对的中位线，；田11〃口旦，/E

DF=ZAEB,/.tanZEDF=tanZAEB=2.

2解析：勾股定理可得GH=L

解析:•..DE=2,，FG=L；.OG=2,CD=4,；.AD=4,AE=2V5DF=逐，由等积法可得点A至！]DF的距离为篝=

噜距离为竽

4.D.

解析：VZEFD=60°,.•.ZB'EF=ZBEF=60°,.\ZAEB'=60°,ABE=B'E=2AE,.*.BE=2.故选D.A.

5解析:连接CE、CH,易证△CPE-ACQH,原=霁=舒=gCP=5,CQ=10晨=*=*

：.CD=2V5,CM=4,AB=10,MR=10,，CR=14,.•.选A.

6.C.

解析：是AD中点，.•.AH=]an=FG,易证△ANH丝△GNF,故结论①正确;

VZHFG=ZAHF,ZAFN#ZAHF,/.ZAFN#ZHFG.故结论②错误；

易证点K是HN中点，；.FN=NH=2NK,故结论③正确；

考虑到AN=|£>M,FG=^AD,

^AFN-^ADM=1：4,故结论④正确.

综上，选c.

7.A.

解析：易证△BCE0ZkDCG,；.NBEC=NDGC,又NBEC+/EHD=/DGC+/DCG,

.,.ZEHD=ZDCG=90°,.,.GH±BE.故结论①正确；

VZEHG=ZEFG=90°,.,.ESF、G、H四点共圆，

AZHEM=ZGFM,又EF=GF,ZEHF=ZGHF,

AAEHMc-AFHG,故结论②正确；

；GH平分/EGB,且GHLBE,...△BGE是等腰三角形,

・•・GB=GE=&GC,假=f=鱼-1,

故结论③正确；

易证M。“喷=篝_V2

EF-1一2

^HOMOM°MOM=-^==72—1,

SJ-JQQOGOEOM+ME2+V2

故结论④错误.

综上，选A.

8解析:(1)：AH〃DG,易证△ABH丝△DCG,；.BH=CG,

.\BC=HG,.\AB=HG,易证△ABH0△HGF,；.AH=HF,

AAHB^AHFG,AZAHB=ZHFG,

,?ZHFG+ZFHG=90°,ZAHB+ZFHG=90°,

ZAHF=90°,AAHF为等腰直角三角形.

(2)易证△AMDgZkFME,；.MDE=HD=-

,5

.•.又DE=CE-CD=2,.-.EM=-DE=-x2=-.

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；.EM的长为3

4

解析：⑴延长GM与DE交于点N,易证△M