2025年中考数学分类复习：点与圆、直线与圆的位置关系（解析版）

4<14支导圆、直铁易圆的彼置房东

■

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

考点1点与圆2024•广州卷：垂径定理，圆周角定理，点与圆的

的位置关系位置关系，锐角三角函数

2020•广州卷：由三角函数解直角三角形、勾股定

考点2直线与理、直线和圆的位置关系

圆的位置关系2021•广州卷：直线与圆的位置关系，四边形内角在中考中，与圆有关的位置关系、

和，弧长公式与切线有关的计算常以填选形式

2022•深圳卷：圆周角定理、切线的性质、等腰三考察，而圆的切线判定及性质常出

角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质现在圆的综合大题中，解决与圆有

2022•广州卷：等腰三角形的性质、平行线的判定关的综合题目不仅需要掌握圆的

考点3切线的与性质、切线的性质、三角形的内角和定理的应基本性质、圆切线的判定和性质，

性质用、弧长的计算及圆中的一些计算，还需要我们熟

2020•深圳卷：切线的性质、相似三角形练的结合全等三角形、相似三角

2024•深圳卷：切线的性质、圆周角定理、中垂线形、特殊四边形、特殊三角形、三

的判定和性质、矩形的判定和性质角函数、解三角形等综合分析问

2023,深圳卷：格点作图、圆切线的性质和判定、题，并需要考生注意几何大题的逻

全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和辑语言使用，在解答时，思路要清

考点4切线的判定晰、书写要工整，做到每一步都有

判定2020•广东卷：圆的切线的判定与性质、圆周角定理有据。

理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正

切三角函数

考点5切线长2023•广州卷：三角形内切圆、切线长定理、圆周

定理角定理、切线的性质

■——

5年真题•分点精准练

考点1点与圆的位置关系

1.（2024•广东广州•中考真题）如图，。。中，弦的长为46,点C在。。上，OC±AB,ZABC=30°.QO

所在的平面内有一点尸，若。尸=5,则点尸与。。的位置关系是（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内C.点尸在。。外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键.由垂径定理可得AD=26，由圆周角定理可得ZAOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出。。的半

径，即可得到答案.

【详解】解：如图，令OC与AB的交点为。，

•.•OC为半径，A5为弦，且OC_LAB,

2

•.•/ABC=30°

...ZAOC=2ZABC=60°,

在3130中，ZADO=90。，ZA(9D=60°,AD=2&,

AJ~)

•/sinZAOD=——

OA

・OA=^^="4

"sin60°6,即0。的半径为4,

2

•.•OP=5>4,

•••点P在。。外,

故选：C.

C

考点2直线与圆的位置关系

4

2.（2020•广东广州•中考真题）如图,&AABC中,NC=90°,AB=5,cosA=-,以点3为圆心，一为半

径作08,当r=3时，与AC的位置关系是（）

B.相切C.相交D.无法确定

4

【分析】根据R/A4BC中，ZC=90°,cosA=-,求出AC的值，再根据勾股定理求出BC的值，比较BC

与半径r的大小，即可得出与AC的位置关系.

4

【详解】解：回心AABC中，ZC=90°,cosA=-

AC4

团cosA==—

AB5

0AB=5,

0AC=4

0BC=7AB2-AC2=3

当r=3时，。3与AC的位置关系是：相切

故选：B

【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理

解求出BC是解题的关键.

3.（2021・广东广州•中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示,钢管的半径是24cm,若ZACB=60°,

则劣弧AB的长是（）

B.1671cmC.32兀cmD.192兀cm

【答案】B

【分析】先利用v形架与圆的关系求出EIC+a4OB=180。，由EIC=60。，可求0X08=120。，由。B=24cm,利用弧

长公式求即可.

【详解】解：妫。与8C是圆的切线,

团0A财C,OB^CB,

盟OAC二团03090°,

团团。+财03=360°-团0AC-团05。=360°-90°-90°=180°,

团团C=60°,

的4。乐180°-60°=120°,

团O5=24cm,

j120x^x24

团二=-------=lo7rcm.

"180

故选择5.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内

角和，弧长公式是解题关键.

考点3切线的性质

4.（2022•广东深圳・中考真题）如图所示，己知三角形ABE为直角三角形，ZABE=90°,BC为。。切线，C

为切点，DE为0。直径，C4=CD,则VABC和ACDE面积之比为（）

C.72:2D.(>/2-l):l

【答案】B

【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算

即可.

【详解】解：如图取OE中点O,连接OC.

团是圆0的直径.

^\ZDCE=ZDCA=900.

团与圆O相切.

国/BCO=90。.

回ZDCA=ZBCO=90。.

⑦ZACB=NDCO.

0ZABD+ZACZ)=180°.

0ZA+ZBDC=180°.

又团ZBDC+ZCDO=180。.

团NA=NCDO.

回/ACB=NDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

团AABC=AZ)OC(ASA).

回S/\ABC=$4DOC•

团点。是。E的中点.

团SADOC=0.5SACDE•

—

0,^AABC0,5S4CDE-

0,^AABC'ZcDE=1：2

故答案是：102.

故选:B.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周

角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.

5.(2022•广东广州•中考真题)如图，在0ABe中，AB=AC,点。在边AC上，以。为圆心，4为半径的圆恰

好过点C,且与边48相切于点。，交8c于点E,则劣弧£>E的长是(结果保留")

【答案】2兀

【分析】如图，连接OE,证明A8〃0E,可得？A?COE,再证明？COE1AOD90?,可得

?DOE180?90?90?,再利用弧长公式进行计算即可.

【详解】解：如图，连接O。，OE,

回<9石=OC=4,

国？OEC2OCE,

NB=/ACB,

\?B?OEC,

\AB//OE,

\?A?COE,

团©0与边A8相切于点。，

醴ADO90?,

团？A?AOD90?,

\?COE?AOD90?,

\?DOE180?90?90?,

,,1/90p'4

£>E的长==2p,

loU

故答案为：2万.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应

用，弧长的计算，求解/DOE=90。是解本题的关键.

6.（2020・广东深圳・中考真题）如图，48为回。的直径，点C在回。上，与过点C的切线互相垂直，垂足

为。连接BC并延长，交的延长线于点E.

E

（2）若A5=10,BC=6,求CD的长.

24

【答案】（1）见解析；（2）CD=-,

【分析】⑴连接0C,由同旁内角互补得出AD〃。却可得回OCB=E1E,即可推出国ABE=%AE=AB.

⑵连接AC,由勾股定理求出AC,由回EDC丽ECA得出相似比，求出CD即可.

团CD与回0相切于C点

0OC0CZ)

又团QM4E

0OC//AE

盟0CB=[2E

^OC=OB

团团ABE=R10CB

团团ABE=©E

^\AE=AB

(2)连接AC

她8为回0的直径

团团ACB=90°

^AC=V102-62=8

^\AB=AEfACSBE

^\EC=BC=6

团R1DEC=R]CEA,R1EDC=R]ECA

盟EDCffiECA

DCEC

团---=---

ACEA

EC._6,,24

团CD---AC=——x8=—.

EA105

【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质，关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求

解.

7.（2024•广东深圳・中考真题）如图，在△AB。中，AB=BD,O。为△A3。的外接圆，BE为。。的

切线，AC为。。的直径，连接。C并延长交助于点E.

（1）求证：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半径.

【答案】（1）见解析（2）3y/5

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接50并延长，交于点连接0。，易证80垂直平分A。，圆周角定理，切线的性质，推

出四边形5HDE为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知。/=5石=5,勾股定理求出的长，设OO的半径为「，在中，利用勾

股定理进行求解即可.

【小问1详解】

证明：连接80并延长，交AD于点、H,连接。D,

VAB=BD,OA=OD,

：.80垂直平分AT＞，

ABHJ.AD,AH=DH,

,：BE1为。。的切线，

:.HB±BE，

：AC为。。的直径，

ZADC=90°,

二四边形3HDE为矩形，

/.DEVBE-,

小问2详解】

由（1）知四边形5HDE为矩形，BHJ.AD，AH=DH，

^\AH=DH=BE=5,

BH=7AB2-AH2=5亚，

设。。的半径为,，贝1J：OA=OB=r,OH=BH-OB=575-r,

在RtZVLOT/中，由勾股定理，得：/乂5）2+（5百

解得：r—3也;

即：。。的半径为3石.

考点4切线的判定

8.（2023,广东深圳•中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O,A,3均在格点上，（M=3,AB=2,

以。为圆心，Q4为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线AC,且AC=4(点C在A的上方);

②连接OC,交0。于点。；

③连接80,与AC交于点E.

⑴求证：8。为。。的切线；

⑵求AE的长度.

【答案】⑴画图见解析，证明见解析

3

(2)AE=-

［分析1(1)根据题意作图，首先根据勾股定理得到oc=VCM2+AC2=5，然后证明出AAOC^ADOB(SAS),

得到ZOAC=ZODB=90°,即可证明出8。为。。的切线；

(2)首先根据全等三角形的性质得到3D=AC=4,然后证明出VWEsV%)0,利用相似三角形的性质求

解即可.

【详解】(1)如图所示，

E1AC是。。的切线，

E1Q41AC,

0OA=3,AC=4,

<30C=y/0A2+AC2=5>

回OA=3,AB=2,

团OB=OA+AB=5,

^\OB=OC,

又138=04=3,ZAOC=NDOB,

0△A(9C^AD0B(SAS),

SZOAC=ZODB=90°,

^ODLBD,

团点。在。。上，

团50为。。的切线；

(2)EIVAOCAOQ8,

团BD=AC=4,

^\ZABE=ZDBO,NBAE=/BDO,

^NBAE^NBDO,

AEABAE2

0一=一，即an一=-

ODBD34

3

团解得AE=；.

【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判

定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

9.(2020•广东•中考真题)如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,ZDAB=90°,A3是。。的直径，CO平

分/BCD.

图1

(1)求证：直线CD与。。相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为E,尸为优弧舛E上一点，AD=1,3c=2.求tanNAPE的值.

图2

【答案】（1）证明见解析；（2）也.

2

【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出03,CB,再根据角平分线的性质可得OE=03,

然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得=ZAEB=90°,再根据圆的切线的判定、切

AFDF1

线长定理可得CE=BC=2DE=AD=1,然后根据相似三角形的判定与性质可得笠=等==,设AE=e

9EFCE2

RFAF

从而可得EF=2〃，又根据相似三角形的判定与性质可得r=",从而可得缶，最后根据正切三

EFBE

角函数的定义即可得.

【详解】（1）如图，过点。作OELCD于点E

QADIIBC,ZZMB=90°

0ZOBC=90°,即OB_LCB

又回CO平分/BCD,OE1CD

^OE=OB

即0E是。。的半径

回直线CD与。。相切；

（2）如图，连接BE,延长AE交BC延长线于点下

由圆周角定理得：ZAPE^ZABE,ZAEB=90°

〈AB是。0的直径，AB±AD,ABLBC

二•AD、BC都是0。的切线

由切线长定理得：CE=BC=2,DE=AD=1

AD!IBC

⑦ZDAE=NCFE

ZAED=ZFEC

在VAD石和△■二£1中,

ZDAE=ZCFE

团AADE~AFCE

AEDE

团----=----

EFCE2

设A石=〃(a>0),则砂=2〃

・.・ZBAE+ZABE=ZFBE+ZABE=90°

.\ZBAE=ZFBE

ZBAE=ZFBE

在人45£和△BFE中,

ZAEB=ZBEF=90°

.".^ABE~^FE

BEAE口口BEa

——二——,即——=——

EFBE2aBE

解得BE=无a

在RGABE中，tanZABE=—=-^=—

BEV2a2

贝hanZAPE=tanZABE=

【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切

三角函数等知识点，较难的是题（2）,通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.

考点5切线长定理

10.（2023•广东广州•中考真题）如图，AABC的内切圆。/与BC,CA,AB分别相切于点。，E,F,若

。/的半径为r，NA=a,则（政+CE—3。）的值和/EDE的大小分别为（）

ao(

A.2r,90°—。B.0,9Q0-aC.2r,90°--D.O,90°——

22

【答案】D

【解析】

【分析】如图，连接3,IE.利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可.

【详解】解：如图，连接7F,IE.

：AABC的内切圆。/与8C,CA,AB分别相切于点E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IF工AB,IE±AC,

BF+CE—BC=BD+CD—BC=BC—BC=0,AAFI=ZAE1—90°,

・•・ZEIF=180°-a,

：.ZEDF=-ZEIF=90°--a.

22

故选：D.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性

质，属于中考常考题型.

1年模拟•精选模考题

11.（2024・广东广州•二模）VABC中，AB=AC=6,BC=4,以点A为圆心，5为半径画圆，那么该圆与BC

的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不能确定

【答案】A

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作AD13C、

求出AD是解题的关键.

根据题意画出VABC,并过点A作AD2BC于点。，根据等腰三角形三线合一求得8。的长，再利用勾股

定理求得的长，把与圆的半径5比较大小，判定该圆与BC的位置关系即可.

【详解】解：如图，根据题意画出VABC,并过点A作AD13C于点。，

13BD=CD=—BC=—x4=2,

22

^AD=yjAB2-BD2=V62-22=4A/2，

0472=V32>A/25=5,

团以点A为圆心，5为半径的圆，与8C的位置关系是相离，

故选：A.

12.（2024・广东河源•二模）如图，PA.P3是。。的切线，切点分别为点43,点C为。。上一点，ZP=66°,

则NC等于（）

A.66°B.63°C.57°D.60°

【答案】C

【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先由切线的性质得到

NOBP=NOAP=90°,再由四边形内角和为360度求出NAO3=H4。，则由圆周角定理即可得到

ZC=-ZAOB=5T.

2

【详解】解：回外、总是。。的切线，

ZOBP=ZOAP=9Q°,

回々=66°,

0ZAOB=360°-ZOBP-ZOAP-ZP=114°,

0ZC=-ZAOB=57°,

2

故选：C.

13.（2024・广东汕头•一模）如图，为。。的直径，AC是。。的切线，点A是切点，连接BC交。。于点

D,连接O。，若NC=40。，则ZAOE>=（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理.先根据切线的性质得到NBAC=90。，再利用互余计算出

4=50。，然后根据圆周角定理得到/AOD的度数.

【详解】解：团A3为。。的直径，AC是。。的切线，点A是切点，

13AsiAC,

0ZBAC=90°,

EIZC=40o,

0ZB=5O°,

团OB=OD

⑦ZB=NODB

^ZAOD=2ZB=100°.

故选：D.

14.（2024•广东广州•二模）如图，AB是。0的直径，直线。石与相切于点C,过A,5分别作">_1。石,

E,连接AC,BC,若AD=6,CD=3,则VABC的面积为（）

4A/3C.6D.6A/3

【答案】D

【分析】本题考查了切线的定义，解直角三角形，直径所对的圆周角，解题的关键是掌握切线的定义，熟

记各个特殊角度的三角函数值，以及直径所对的圆周角是直角.

连接OC,得出OC，OE,易得tanNACD=器=当，AC=y/AD2+CD2=，推出44。。=60°，则^OAC

是等边三角形，进而得出AB=204=4有，再根据圆周角定理得出NACB=90。，根据勾股定理得出

BC=YIAB2-AC2=6>即可得出・

【详解】解：连接OC,

团直线DE与。。相切于点C,

0OC±DE,

BAD±DE,AD=4i,CD=3,

Eltan/ACD=若=亭，AC=^AEr+CD1=2-^3>

0ZACD=30°,

团NACO=60°,

^OA=OC,

回^OAC是等边三角形，

国OA=OC=AC=26,

^AB=2OA=4y/3,

团A8是。。的直径，

^\ZACB=90°,

©BC7AB「AC?=6,

团VA6C的面积=工AC。5C=4x2百x6=,

22

15.（2024・广东清远•三模）如图，PAP5是。。的切线，4B是切点，C是。。上一点，若"=40。，则

/C=

【答案】70。/70度

【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，连接根据题意得出々4O=/PBO=90。，再由

多边形内角和得出203=140。，最后利用圆周角定理即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

【详解】解：连接03,04

团PAP3是。。的切线，

^PA±OA,PB±OB,

EI/B4O=/PBO=90。，

ia/p=40°,

0/AOB=360°-ZP-ZPAO-ZPBO=140°,

¥C=402=70°.

2

故答案为：70°.

16.（2024・广东汕头•二模）如图，已知VABC中，ZC=90°,AF=10,内切圆0。半径为2,则图中阴影

部分面积是.

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积

和是VA03的面积一扇形MON的面积，进而即可求解.解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心.

【详解】解：设是VABC的内切圆。。与AB,AC,3c的切点分别为E,F,G,令Q4,02与。。分

别交于M,N,

贝IJQ4、分别是一CAB、NCB4的角平分线,

0NOAB=-ZCAB,AOBA=-ZCBA,

22

0ZACB=90°,

团ZCAB+ZCBA=180°-90°=90°,

^ZOAB+ZOBA=-ZCAB+-ZCBA=45°,

22

0ZAOB=180-(ZOAB+AOBA)=135°,

由圆的对称性及角平分线的对称性可知，图中阴影部分面积和是VA03的面积一扇形MON的面积，

11353

团S阴影=S.AOB-S扇形MON=-X10X2--X7TX22=10--7i,

3

故答案为：10--7t.

17.（2024・广东广州•二模）如图，已知0。的半径长为2,48为。。直径，点尸是0。一动点，BC=2,

连结CP,以CP为斜边，在CP上方构造直角三角形。尸。且满足NCPQ=30。，ZCQP=90°.

（1）若CP是。。的切线，求。。=.

（2）求。。的最大值为.

【答案】M或62A/3+1/1+2^

【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；

（1）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解；

（2）以C。为斜边构造直角三角形CPQ且满足NCOO'=30。，ZCO'O=90°,证明ACOO'S^CP。，得出

△。。0'6右（才。进而得出。。=；。尸=1,进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解.

【详解】解：如图所示,

回。。的半径长为2,A3为。。直径，BC=2,

团CO=4

又回CP是。。的切线，

团OP=2,OP1CP

团CP=26

团NCPQ=30。，ZCQP=90°.

国CQ=gcP=6/PCQ=60°

PO1

团sinN尸CO=——=-

OC2

国NPCO=30。

^ZQCO=90°

在RRCQO中，OQ=y]CQ2+CO2=+42=V19;

如图所示，过点。作Q。，。。于点。，

f?lZPCQ=60°,ZPCO=30°

团NQCD=30。

团。。=5

团QD=；CQ=],CD=y/3DQ=^

35

回OD=CO—CD=4——=一

22

在RtAOOQ中，QO/DQ^+DO。=JR+[I)=币

故答案为：晒或币.

（2）如图所示，以C。为斜边构造直角三角形CPQ且满足NC0<7=30。，ZCO'O=90°,则

OO'=COsin60°=2/

回NCPQ=30°,ZCQP=90°

ISACOO'SACPQ,

QCO'CQCCP

回---=----即Rn----=---

CPCOO'Cco

又团ZQCP=ZO'CO=60°

0ZQCO'=ZPCO=60°-ZO'CP

EIACQO'SACPO

丝一丝」

UJ——

POPC2

0O,2=|OP=I,

回点。在以O'为圆心，1为半径的圆上运动,

0OQ的最大值为。。+。。=2指+1

故答案为：26+1.

18.（2024・广东深圳•三模）如图，A3是。。的直径，C是。。上一点，过点C作0。的切线交出的延长线

于点0,过点A作AE_LCD于点E,延长E4交。。于点尸，连接3方.

⑴求证：AC平分NB4E；

（2）若拿DE二：1，求tan/AOE的值.

BF2

【答案】⑴见解析

(2)tanZAD£=

3

【分析】（1）连接OC,如图，根据切线的性质得到OCLCD,则根据平行线的判定方法得到OC〃AE,

再利用平行线的性质得到NC4E=NOC4,力口上NQ4C=NOG4,从而得至l]NQ4C=NC4E；

（2）根据圆周角定理得/AEB=90。，再证明AADES®超，利用相似三角形的性质得到与=若=:，则

ABBF2

AD=AO,接着利用正弦的定义得到ND=30。，然后根据特殊角的三角函数值求解.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和解直角三角形.

【详解】（1）证明：连接OC,如图，

/.OC1CD,

QAE1CD,

OC//AE,

.\ZCAE=ZOCA,

・.•AC=AO,

ZOAC=ZOCA,

.\ZOAC=ZCAE,

二•AC平分/B4E；

(2)解：,「AB是O。的直径，

ZAFB=90°,

\ZDAE=ZBAF,ZAED=ZF,

..△ADESAABF,

.帅_DE_1

一花一即一5'

:.AD=AO,

在Rt^OCD中，

.OC1

sin£)=----=—,

OD2

「.NO=30。，

/.tanZADE=tan30°=.

3

19.（2024•广东深圳•三模）如图，是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点.A、B、C、。四点

是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

⑴在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O；

⑵在图中，过点C作。。的切线CD.

⑶在图中，每个小正方形边长等于1,求阴影部分的面积

【答案】⑴见解析

⑵见解析

,25,

(3)—7t—6

8

【分析】本题考查作图应用与设计作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关

键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

（1）连接AC,与AB的垂直平分线的交点。即为圆心；

（2）取格点P、Q、T,连接尸。，取PQ的中点£>,连接CD,则直线CD即为所作的切线（可证明ADCTs^cAB,

得ZDCT+ZACB=90°,从而^ACD=90°）；

（3）先利用勾股定理求出直径AC,则可得圆的半径；根据“影=5半圆即可求解.

【详解】（1）解：如图，点。即为所求；

（2）解：如图，直线即为所求.

（3）解：回由勾股定理得ac=JAB，+3C，="2+3?=5

；.OA=OC=-,

2

回00的面积=7Tx[g）无.

QSVABC=：AB.BC=gx4x3=6,

125

•'•S阴影部分=ZS。。-S^ABC=《-兀―6.

20.(2024•广东深圳•模拟预测)如图，VABC内接于0。，AO平分/B4C交BC边于点E,交。。于点。,

过点A作A/[BC于点F,已知QO的直径为6.

⑴过点D作直线MN〃3C,求证：是。。的切线;

(2)若AB=4,AC=3,求AF.

【答案】(D见解析

(2)AF=2

【分析】本题考查了圆的相关性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键正确作

出辅助线.

(1)连接OD,OB,OC,由角平分线的定义可得NB4T>=NC4r),推出/8OD=/COD,得到OD±BC,

最后根据平行线的性质即可证明；

(2)连接AO并延长交。。于连接,由AH是直径，得至!JZABH=90°=ZAFC,证明^ACF^^AHB,

根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：如图1，连接o。，OB,OC,

•.•AD平分/3AC

BD=CD，

../BOD=/COD,

又♦.,OB=OC,

:.OD1BC,

■：MN〃BC,

ODLMN,

•.♦oo是半径，

.〔MN是。。的切线；

(2)解：如图2,连接49并延长交。。于a,连接3”,

图2

ZABH=90°=ZAFC,AH=6,

又AB=A3，

ZAHB=ZACF,

:.AACF^AAHB,

.ACAF

"AH~AB,

AB.AC=AH.AF,

AB=49AC=3,AH=6,

:.AF=2.

21.（2024•广东东莞•一模）如图，0。是VABC的外接圆，点。在5C边上，NBAC的平分线交于点。,

连接50、CD,过点。作5C的平行线与AC的延长线相交于点P.

A

D「

⑴求证：尸。是0。的切线；

(2)求证：AABD^ADCP；

⑶当AB=12,AC=16时，求CO和DP的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

70

(3)CD=100，DP-

【分析】(])先得出NB4c=2/&位＞,进而得出NBOD=NA4C=90。，得出PDLOD即可得出结论；

(2)先说明=再推出NOCP=/ASD,即可得出结论；

(3)先求出BC,再推出取＞=8,利用勾股定理求出BD=CD,最后由△ABDs^CP得出比例式求解

即可得出C。的长，如图，过点C作CELOP于点E,在RtzXECP中，根据勾股定理尸£=JcpZ-CE?求解

即可.

【详解】(1)证明：如图，连接8,

团BC是回。的直径，

0ZBAC=90°,

134£＞平分/347,

^ZBAC=2ZBAD,

BZBOD=2ZBAD,

ZBOD=ZBAC=90°,

^DP//BC,

0NODP=ZBOD=90°,

0PD1OD,

团OD是。。半径，

EIPD是。。的切线；

D'P

(2)证明：^\DP//BC,

国NACB=NP,

回？ACS?ADB,

团/ADB=NP,

团四边形ABDC是圆内接四边形，

0ZABD+ZAC£)=180°,

国ZACD+NDCP=180。,

国NABD=NDCP,

^AABD^ADCP；

(3)解：团5C是。。的直径，AB=n,AC=16f

回NBDC=NBAC=90。,

在Rtz^ABC中，BC=y/AB2+AC2=y/122+162=20^

团AD平分/A4C,

国NBAD=NCAD,

^ZBOD=ZCOD,

@BD=CD,

团ZDBC=ZDCB=45°,

^\OD=OC,

团NODC=NOCD=45。,

在RtZkBCD中，BC=yjBD^CD2=A/CD2+C»2=V2CD，

万i—

^BD=CD=—BC=—BCX20=10429

22

0AAB£>^ADCP,

ABBD121072

回所二》‘R即n向

0CP=—,

3

如图，过点。作CELOP于点£,

⑦/CED=/CEP=900,

⑦NODP=90。,ZODC=45°,

回/CDE=Z.ODP-ZODC=90°-45°=45°,

团ZDCE=90°-ZCDE=90°-45°=45°=ZCDE,

团DE-CE,

在RtzXECD中，===6CE,

SDP=DE+PE^10+—^—

33

【点睛】本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的

判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平

行线的性质等知识点.判断出△ABD-AnCP、掌握圆的基本性质是解题的关键.

22.(2024•广东深圳•三模)如图，43是。。的直径，C为。。上一点，连接AC,BC,延长AB至点使

得点E为A8的中点，连接CE交48于点孔连接3E.

⑴求证：DC为。。的切线

(2)求证：AACFS/XECB；

(3)若C£>=4,tan?CEB则直接写出CFCE=

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)如图：连接OC,可知NQ4C=NOC4进而证得NOCA=/OCB,再根据圆周角定理可得

ZACO+ZOCB=90°,可推出/OC8+NOCB=90。，从而证得结论；

(2)如图连接OE,利用圆周角定理即可证明△ACFS/^ECB；

(3)由已知易证△DCKs/VMC,于是些=£2=生=tan/A=tan/CM=1；再结合已知条件可得

CDADCA2

AB=AD-BD=6,再根勾股定理列方程求得3C=述，AC=1^-；由△ACFS/XR%,然后根据相

55

似三角形的性质即可解答.

【详解】(1)证明：如图：连接OC,

回。4=OC,

^\ZOAC=ZOCA.

又⑦NDCB=NOAC,

回/OCA=/DCB,

0AB是直径，

0ZACB=90°,BPZACO+ZOCB=90°,

0ZDCB+ZOCB=90°,

0ZOCD=90°,即OC_LCZ),

EIOC为半径，

团。C为。。的切线；

(2)证明：如图：连接OE,

回点E为AB的中点，

I3ZACF=ZECB,

^ZCAF=ZCEB,

HAACF^AECB；

(3)解：SZDAC=ZDCB,ND=ND,

回△DCBsADAC,

BDCDBC/“…「1

团--—tan/A—tan/C£3——,

CDADCA2

团CD=4,

^BD=-CD=2,AD=2CD=S

2f

团AB=AD—BD=6,

在RtZkABC中，AB=6,AC=2BC,

SAC2+CB2^AB2,§P（2CB）2+CB2=62,

同它一66A「_12小

团JDC------，AC------，

55

团△ACFSZ\ECB；

ACCF

团m---------

ECCB

团CECF=ACCB=x述72

55T

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角

形等知识点，能够灵活运用相关知识是解题的关键.

3

23.(2024・广东广州•二模)如图，已知A5为。。直径，AC是。。的弦，cos/A4c=1/BAC的平分线

交。。于D

备用图

⑴尺规作图：过点。作DEIAC交AC的延长线于点E,OE交AD于点、F.

⑵求证：DE是。。的切线；

(3)若A尸=8,求近的长.

【答案】(1)见详解

(2)见详解

(3)5

【分析】(1)按照基本作图"过一点作已知直线的垂线”的作法，作DE1AC交AC的延长线于点E,再连

接OE交AD于点歹即可；

(2)连接OD,则/34=/及狂)，而ND4c=N54。，贝l|/OZM=/CW,所以O£>〃AC,则

ZODE=ZAEP=90°,即可证明OE是00的切线；

(3)作。于点。，则。2=£>E,可证明R3A。。之RSADE,^OA=OD=5m,由

=cosZQOD=cosABAC=OQ=1OD=3m,则£4=04=8，〃，再证明ADOFSAM尸，得=

贝尸=5.

o

【详解】(1)解：作法：1.延长AC；

2.以点。为圆心，以适当长度为半径作弧交射线AC于点M、N；

3.分别以点M、N为圆心，以大于;的长为半径作弧，两弧交于点尸；

4.作射线交AC的延长线于点£(；

5.连接OE交AD于点尸，

线段OE、OE、点产就是所求的图形.

(2)证明：连接OD,则0D=Q4,

ZODA=ZBAD,

ABAC的平分线AD交。。于。，

ZDACZBAD,

ZODA^ZCAD,

:.OD//AC,

•：DELAC交AC的延长线于点E,

ZODE=ZAEP=90°,

•••OD是。。的半径，且DE人on,

二DE是。。的切线.

(3)解：作于点。，则NAQD=90°

EIDE是。。的切线.

SZAED=90°

•.•AD平分，BAC,作。。，48于点。，DE1AC交AC的延长线于点E,

DQ=DE,

•：AD^AD,

^t^ADQ=Px^ADE(HL),

设。4=。£>=5根，

NQOD=NBAC,

/.器=cosZQOD=cosABAC=|,

33

/.OQ=—OD=—x5m=3m,

/.EA=QA=OA+OQ=5m+3m=8m,

-OD\\EA,A尸=8,

.△DOFSAAEF,

.DFOD5m5

一~AF~^A~Sm~Sf

:.DF=-AF=-x8=5,

88

.•.DF的长是5.

【点睛】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角

形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

24.(2024•广东东莞,一模)已知：如图，是。。的直径，C,。是。。上两点，过点C的切线交的延

长线于点E,DELCE,连接CD,BC.

⑴求证：ZDAB^2ZABC；

(2)若tanNADC=g,3c=8,求0。的半径.

【答案】⑴证明见解析

(2)2百

【分析】(1)连接OC,根据切线的性质，已知条件可得DE〃OC,进而根据平行线的性质可得

ZDAB=ZAOC,根据圆周角定理可得NAOC=2NABC,等量代换即可得证；

(2)连接AC,根据同弧所对的圆周角相等，可得=进而根据正切值以及已知条件可得AC的长,

勾股定理即可求得A8,进而即可求得圆的半径.

【详解】(1)连接OC,如图，

D

,,DEICE,

/.OC//DE,

,\ZDAB=ZAOC,

•/AC=AC，

:.ZAOC=2ZABC,

,\ZDAB=2ZABC.

（2）解：连接AC

•/AC=AC^

.•.ZADC=ZABC,

•/tanZADC=—,

2

1AC

tan2^LA.BC———----,

2BC

团3C=8,

团AC=4,

0AB=4A/5,

02。的半径为26.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题

意添加辅助线是解题的关键.

25.（2024・广东中山•三模）如图，A3是0。的直径，且AB=4,点C是。。上的一个动点，C。是0。的一

条弦，且=点E在A3的延长线上.

⑴若sin/AED=g,求证：OE是。。的切线；

(2)若点C为半圆的中点，连接CE,求CE的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)275

【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上

知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)连接OD,由圆周角定理得出NACB=90。，求出/38=30。得到“。"=2/36=60。，解直角三

角形得出NAED=30。，求出NODE=90。即可得证；

(2)连接OC,则OC=Or>=OB=」A8=2,由含30。角的直角三角形的性质得出OE=2OD=4,证明

2

AC=BC,推出NCOE=90。，再由勾股定理计算即可得解.

【详解】(1)证明：